Kỳ thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng sắp tới, nhằm giúp học sinh có thêm tài liệu tham khảo, chuẩn bị thật tốt kỳ thi quan trọng, chúng tôi xin giới thiệu Bộ đề thi thử Đại học năm 2014.
Trang 1I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 Cho hàm số y x3 3 m 1 x 2m 1 có đồ thị là Cm , m là tham số thực
a Khảo sát và vẽ đồ thị C khi 0 m 0
b Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến trong khoảng x ;x thỏa 1 2 x2x12014
Câu 2 Giải phương trình
31 sin 2x sin3x cos 2x cos3x
Câu 3 Giải phương trình x33x2 x 2 2x 11 2x 2 x 4
Câu 4 Tính tích phân
1
x 2
Câu 5 Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình bình hành với AD a 3,AC AB a Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm của tam giác ACD Gọi M,N lần lượt là
trung điểm của SA,BC Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AC,SD bằng 3a 95
38 Tính thể tích của khối chóp M.ABNG theo a
Câu 6 Cho a, b,c là các số thực thỏa mãn a2b2c2 1 ab bc ca Chứng minh rằng
a b c 54abc 5 9 ab bc ca 2 a b c
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , trên tia Ox lấy điểm A , trên tia Oy lấy điểm B và trên tia
OA lấy điểm C sao cho AC 2OB Gọi M là một điểm trong tam giác ABC sao cho tam giác ABM đều Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C của tam giác ABC biết rằng ABO 15 và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam 0 giác ABC bằng 2 3
Câu 8a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi M là điểm cố định của họ mặt phẳng P đi qua với mọi a
a , biết rằng 2 2 2 2
a
P : a 2a x a a y a 1 z 6a 3 0 Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và chứa trục Oy
Câu 9a Gọi X là biến cố ngẫu nhiên có phân bố nhị thức T x 2;0,4 Lập bảng phân bố xác suất của biến
cố X , biết x là nghiệm của phương trình
x 1
x 3 2
3 7 441
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7b Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AO Gọi C
là đường tròn tâm A , đường kính OD Tiếp tuyến của C tại D cắt CA tại E 8;8 Đường thẳng vuông
góc với ED tại E và đường thẳng đi qua A , vuông góc với EB cắt nhau tại M 8; 2 Viết phương trình
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết đường thẳng EB có phương trình 4x 3y 8 0
Câu 8b Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A 4; 1;1 ,B 3;1; 1 và C 1;2; 4 Gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm A,B và cùng phương với Ox Tìm tọa độ điểm đối xứng của C qua mặt phẳng
Câu 9b Giải hệ phương trình
6
1 log y 9 5
5 2 log y log y 6 21
-Hết -
Trang 2DIỄN ĐÀN TOÁN THPT HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐH NĂM 2014
Đề 02 - Ngày thi : 16-11-2013
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
Câu 1 Cho hàm sốy = −x3+ 3(m + 1)x2+ m − 1có đồ thị là(C m),mlà tham số thực
a Khảo sát và vẽ đồ thị(C0)khim = 0
b Tìm tất cả các giá trị củamđể hàm số đồng biến trong khoảng(x1; x2)thoảx2− x1= 2014
Lời giải :
a Tự giải
b.y0= −3x2+ 6(m + 1)x = −3x¡x − 2(m + 1)¢nêny0> 0khixở trong 2 nghiệm0; 2(m + 1)
Trường hợp:m + 1 > 0dox2− x1= 2014nên2(m + 1) ≥ 2014 ⇐⇒ m ≥ 1006
Trường hợp:m + 1 < 0dox2− x1= 2014nên2(m + 1) ≤ −2014 ⇐⇒ m ≤ −1008
Câu 2 Giải phương trìnhsin³2x + π
4
´
− sin 3x = cosµ 31π
4 − 2x
¶
+ cos 3x
Lời giải :
Phương trình đã cho tương đương:
p
2 sin 2x = cos3x + sin3x ⇔ sin2x = sin³3x + π
4
´
⇔
2x = 3x + π
4+ k2π 2x =3π
4 − 3x + k2π ⇔
x = −π
4 − k2π
x =3π
20+k2 π
5
(k ∈ Z )
Vậy phương trình đã cho có nghiệm:x =3π
20+k2 π
5 ; x = −π
4 − k2π (k ∈ Z )
Câu 3 Giải phương trìnhx3+ 3x2+ x + 2 =p2x + 11 + 2x2px + 4
Lời giải :
PT⇔ x2¡x + 3 − 2px + 4 ¢ + x + 2 −p2x + 11 = 0, (1)
Đặt :t =px + 4 ⇒ x = t2− 4, (t ≥ 0)
Khi đó(1)trở thành :¡t2
− 4¢2¡t2− 2t − 1¢ + t2
− 2 −p2t2+ 3 = 0
⇔¡t2
− 4¢2¡t2− 2t − 1¢ + ¡t2− 2t − 1¢ +³2t − 1 −p2t2+ 3´= 0
⇔¡t2
− 2t − 1¢h¡t2
− 4¢2+ 1i+ 2t
2
− 4t − 2 2t − 1 +p2t2+ 3= 0
⇔
¡t2
− 4¢2+ 1 + 2
2t − 1 +p2t2+ 3= 0
³
2t − 1 +p2t2+ 3 ≥ −1 +p3 > 0´ ⇔ t = 1 +
p 2
Vậy Pt có 1 nghiệm :x = −1 + 2p2
Câu 4 Tính tích phân :I =
Z 0
−1
x +px2+ 2
(x2+ 2)2 d x.
Lời giải :
Ta để ý rằng :
x +px2+ 2
¡x2+ 2¢2 =
x +px2+ 2 p
x2+ 2 ·
1
¡x2+ 2¢ px2+ 2=
µ x
p
x2+ 2+ 1
¶
¡x2+ 2¢ px2+ 2
Lại có :
Trang 3Do đó đặt
t =p x
x2+ 2⇒
1
¡x2+ 2¢ px2+ 2d x
Đổi cận :
x = −1 ⇒ t = −
p 3
3 ; x = 0 ⇒ t = 0
Khi đó tích phân đã cho trở thành :
I =1
2
Z 0
−
p
3(t + 1)d t = 1
2
µt2
2 + t
¶¯
¯
¯
0
−
p
3 =2
p
3 − 1 12
Câu 5 Cho hình chópS.ABC D có đáyABC Dlà hình bình hành với AD = ap3, AC = AB = a
Hình chiếu vuông góc củaSxuống mặt phẳng(ABC D)trùng với trọng tâmGcủa tam giác
AC D Gọi M , N lần lượt là trung điểm củaS A, BC Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng
AC , SDbằng 3a
p 95
38 Tính thể tích của khối chópM AB NG theoa
Lời giải :
Trong mặt phẳng(ABC D)kẻDE //AC sao cho tứ giácAC E Dlà hình bình hành
⇒ AC //(SDE) ⇒ d(AC , SD) = d(AC ; (SDE))
TừGkẻ đường vuông góc với AC cắtAC , DEtạiF, K ⇒ GF
GK =G A
GE =1
2⇒F K
2
⇒ d(AC , (SDE)) = d(F, (SDE)) =3
2d (G, (SDE )) ⇒ d(G,(SDE)) = 2a
p 95
38 = d ⇒ 1
SG2 = 1
d2− 1
GK2
GK =2
3
2S ∆ACD
p 3
3 ⇒ SH = a
p 5 2
Ta cóS ABC D=a
2p 3
2 VàS AB NG = S − (S ∆AGP − S ∆GPC − S ∆GBC) =S ABC D
2 =a
2p 3 4
⇒ V M AB NG=1
3
SH
2
S ABC D
2 =a
3p 15 48
Câu 6 Choa, b, clà các số thực thoả mãna2+ b2+ c2− 1 = ab + bc + ca Chứng minh rằng:
(a + b + c)4+ 54abc + 5 ≥ 9(ab + bc + ca) − 2(a + b + c)
Lời giải :
Đặtt = a + b + c từ đó suy raab + bc + ca = t
2
− 1
3 vàa2+ b2+ c2=t
2
+ 2
3 Để ý rằng
a3+ b3+ c3− 3abc = (a + b + c) ¡a2
+ b2+ c2− ab − bc − ca¢ ⇒ 3abc = a3
+ b3+ c3− t
Bất đẳng thức đã cho viết lại thành
t4+ 18¡a3
+ b3+ c3− t ¢ + 5 ≥ 3¡t2− 1¢ − 2t ⇔ t4
− 3t2− 16t + 8 + 18 ¡a3
+ b3+ c3¢ ≥ 0
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
t2+ 2
3 = a2+ b2+ c2≥ a2+(b + c)
2
2 = a + (t − a)
2
2 ⇒ a ≥ t − 2
3
tương tự ta cũng cób, c ≥ t − 2
3 Từ đó ta có thể viết
a3+ b3+ c3= a2
µ
a − t − 2
3
¶
+ b2
µ
b − t − 2
3
¶
+ c2
µ
c − t − 2
3
¶ +t − 2
3 ¡a2
+ b2+ c2¢
= a2
µ
a − t − 2
3
¶
+ b2
µ
b − t − 2
3
¶
+ c2
µ
c − t − 2
3
¶ +t − 2
3
t2+ 2 3
Trang 4Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
·
a2
µ
a − t − 2
3
¶
+ b2
µ
b − t − 2
3
¶
+ c2
µ
c − t − 2
3
¶¸ ·
a − t − 2
3 + b − t − 2
3 + c − t − 2
3
¸
≥
·
a
µ
a − t − 2
3
¶
+ b
µ
b − t − 2
3
¶
+ c
µ
c − t − 2
3
¶¸2
=4
9(t + 1)2
Từ đó ta có
t4− 3t2− 16t + 8 + 18 ¡a3
+ b3+ c3¢ ≥ t4
− 3t2− 16t + 8 + 18
à 2
9(t + 1)2+(t − 2) ¡t2
+ 2¢ 9
!
= t4− 3t2− 16t + 8 + 2 ¡t3
+ 6t − 2¢
= t4− 3t2− 4t + 2t3+ 4 =¡t2
+ t − 2¢2≥ 0
Suy ra điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi
·
t = 1
t = −2 ⇔
( a + b + c = 1
ab + bc + ca = 0 abc = −274
( a + b + c = −2
ab + bc + ca = 1 abc = −274
⇔
½
a = −13
b = c =23
½
a = −43
b = c = −13
Haya = −1
3; b = c =2
3v a = −4
3; b = c = −1
3.và các hoán vị
II PHẦN RIÊNG
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y , trên tiaOxlấy điểmA, trên tiaO y lấy điểmB
và trên tiaO Alấy điểmC sao choAC = 2OB GọiM là một điểm trong tam giácABCsao cho tam giác AB Mđều Tìm tọa độ các đỉnh A, B,C của tam giácABCbiết rằngABO = 15 ovà bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằngp2 +p3
Lời giải :
Câu 8.a Trong không gian với hệ tọa độOx y zgọiMlà điểm cố định của họ mặt phẳng(P a)
đi qua với mọia, biết rằng(P a ) : (a2+2a)x +(a2− a)y +(a2+1)z −6a2−3 = 0 Viết phương trình mặt phẳng đi quaMvà chứa trụcO y
Lời giải :
Viết lại phương trình:¡x + y + z − 6¢ a2+¡2x − y¢ a + z − 3 = 0mọianên
⇐⇒
(x + y + z = 6
2x − y = 0
(x = 1
y = 2
Trang 5Câu 9 a GọiX là biến cố ngẫu nhiên có phân bố nhị thứcT (x − 2;0;4) Lập bảng phân bố xác suất của biến cốX, biếtxlà nghiệm của phương trình3x−3.7x−12 = 441
Lời giải :
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho tam giácABC vuông tạiA có đường cao
AO Gọi(C )là đường tròn tâmA, đường kínhOD Tiếp tuyến của(C )tạiD cắtC AtạiE (−8;8)
Đường thẳng vuông góc vớiE D tạiEvà đường thẳng đi qua A, vuông góc vớiE Bcắt nhau tạiM (−8;−2) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giácABCbiết đường thẳngE Bcó phương trình4x + 3y + 8 = 0
Lời giải :
Ta có tam giácBC E cân tạiB, EC là phân giác gócB E D Hai tam giác vuông ADEvà AK E bằng nhau, ta thấy ngayB Elà tiếp tuyến của đường tròn tâmA,từ đâyABlà đường trung trựcOK
Phương trìnhAM có dạng :3x − 4y + c = 0mà đi quaM (−8;−2)nênc = 16
AM : 3x − 4y + 16 = 0suy ra:K¡−16
5;85¢
GọiI là trung điểmOK thìI¡−8
5;45¢
Phương trìnhAB : 10x − 5y + 20 = 0suy ra toạ độB (−2;0), A (0;4)
OB : y = 0;E Acó phương trình :x + 2y − 8 = 0suy toạ độC (8; 0)
gọiJ trung điểmBCthìJ (3; 0)vàBC = 10Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:(x − 3)2+ y2= 25
Câu 8.b Trong không gian với hệ tọa độOx y zcho ba điểmA(4; −1;1);B(3;1;−1)vàC (1; 2; −4)
Gọi(α)là mặt phẳng đi qua hai điểmA, Bvà cùng phương vớiOx Tìm tọa độ điểm đối xứng củaC qua mặt phẳng(α)
Lời giải :
(α)cùng phương Ox⇒ (α) : by + cz + d = 0 (α) 3 A, B ⇒ ½−b + c + d = 0
b − c + d = 0 ⇒ d = 0, b = c
Phương trình(α) : y + z = 0
Đường thẳng d qua C vuông góc với(α)nhận véc tơ chỉ phương−→u = (0;1;1)có phương trình tham
số đường thẳng d :
y = 2 + t
z = −4 + t
gọiI = d ∩ (α) ⇒ 2 + t − 4 + t = 0 ⇒ t = 1 ⇒ I (1;3;−3)
GọiC0¡x0; y0; z0¢
là điểm đối xứng với C qua(α)ta có toạ độC0(1; 4; −2)
Câu 9 b Giải hệ phương trình:½1 + log6y4= 9.5−x
5x+ 2 log6y log6(y2+ 6) = 21
Lời giải :