Chøng minh r»ng tam gi¸c HBO c©n... TRƯỜ NG THCS VINH THANH.[r]
Trang 1Sở GD&ĐT Thanh Hoá Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn 2006 Đề thi chính thức Môn thi: Toán
Ngày thi: 21 tháng 6 năm 2006 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (2 điểm):
Cho biểu thức:
2 3
20 2 3 1
2 10 2
1
4 2
a a
a a
a
a a
a
a
1 Tìm điều kiện của a để A có nghĩa
2 Rút gọn biểu thức A
Giải :
1 Để A có nghĩa thì (a+1)(a+2)(a+3)0a-1, a-2 và a-3
2 Rút gọn A: Ta có
2
A
1 2 3 4
6 11 6
a a a
a a a
Câu 2 (2 điểm):
Cho phơng trình bậc 2: 2 4 0
1 Giải phơng trình khi m= -60
2 Xác định các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm x1, x2 (x1<x2); thoả mãn điều kiện x22 x12 8
Giải :
1 Khi m=-60, ta có phơng trình: x2-4x-60=0
'=4+60=64 ' 64 8
x1=-6, x2=10 Vậy phơng trình có hai nghiệm x1=-6, x2=10
2 Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm xl, x2 (xl<x2) là '>0 Ta có '=4-m>0 m<4 Theo định lý Viet thì x1+x2=4, x1x2=m
Mặt khác, ta có x22 x12 8 x2 x1x1x2 8
2
4
2 1 1 2
2 1
x
x x x
x
x
Thay vào trên ta có m=3 thoả mãn điều kiện '>0 Vậy giá trị cần
tìm là m=3
Câu 3 (2 điểm):
Cho hệ phơng trình:
2
3 2 2
2
y x
y m x
1 Giải hệ phơng trình khi m=2
Trang 22 Tìm tất cả các giá trị của m để hệ có nghiệm (x0,y0) sao cho y0=1.
Giải :
1 Khi m=2, hệ đã cho trở thành:
2 2
1 3
4
2
2 y x
y
x
Từ (1) ta có x=3-4y, thay vào (2) ta đợc 17y2-24y+7=0
Phơng trình thu đợc thoả mãn a+b+c=0, suy ra
17
7
;
1 2
1 y
y , suy ra hệ có hai nghiệm
1
1
y
x
và
17 7 17 23
y
x
2 Vì y0=1, hệ đã cho trở thành
)2 (1
)1
(3
2
2
x
m x
với (2), ta có x=1 hoặc x=-1
Với x=1 m2=2 m 2
Với x=-1 m2=4 m 2, cả 4 giá trị của m thoả mãn điều kiện
Câu 4 (3 điểm):
Cho ABC có ba góc nhọn; AD và CE là hai đờng cao cắt nhau tại H; O là
điểm cách đều ba đỉnh tam giác ABC Gọi M là điểm đối xứng của B qua O; I là giao điểm của BM và DE; K là giao điểm của AC và HM
a Chứng minh rằng các tứ giác AEDC và CMID là các tứ giác nội tiếp đợc trong đờng tròn
b Chứng minh rằng OKAC
c Cho số đo góc AOK bằng 600 Chứng minh rằng tam giác HBO cân
Giải :
K
I
M
O H
D
E
A
a - Do
DC AD
DC
CE
suy ra E,D cùng
nhìn AC dới một góc vuông, tức là tứ giác AEDC nội tiếp
- Từ câu trên suy ra góc BAC bằng góc EDB, mà gócBMC=gócBAC (chắn cung BC), suy ra
góc EDB=góc IMC, suy ra tứ giác IMCD
có tổng hai góc đối bằng 1800, vậy nó là tứ giác nội tiếp
b Vì O cách đều ba đỉnh tam giác ABC nên O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác đó, suy ra BM lầ đờng kính., suy ra các góc BCM và BAM là các góc vuông, suy ra AM song song với CH, CM song song với AH, suy ra AHCM là hình bình hành Từ đó suy
ra K là trung điểm của AC, vậy OKAC
Trang 3c AOK vuông, có góc AOK=600, góc OAK=300, suy ra OK OABO
2
1
, mà OK là đòng trung bình của tam giác BMH nên OK BH
2
1
, vậy tam giác HBO cân đỉnh B
Câu 5 (1 điểm):
Cho ba số x,y,z khác không và thoả mãn: 11 1 0
z y
2 2 y2
zx x
yz z
xy
A
Giải :
Từ giả thiết suy ra 1x 1y 1z
3
1 1
1
z y
x
xyz y
x y x z
y x
3 1 1 1 1 3 1 1 1
3 3
Vậy 2 2 2 13 13 13 3 3
xyz
xyz y
x z
xyz y
zx x
yz z
xy
A
Vậy A=3