§iÓm M chuyÓn ®éng trªn c¹nh AB... TRƯỜNG THCS VINH THANH[r]
Trang 1Sở GD&ĐT Thanh Hoá Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn 2006 Đề thi chính thức Môn thi: Toán (Dùng cho thí sinh thi chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (2,5 điểm):
1 Giải phơng trình 2
3 5
3 ) 3 ( 5 ) 5 (
x x
x x
x x
2 Cho x0 là nghiệm dơng của phơng trình 2 2 2 1 0
x
x Tính
2 0 0
4
0 x 1 x
x
Giải :
1 Điều kiện 3 5
03
0
5
x x
x
phơng trình tơng đơng với 2
3 5
3
x x
x x
5 x x 3 0x=5hoặc x=3
2.Từ phơng trình đã cho suy ra
2 2
1 0 2
0
x
x , suy ra
8
0 4
0
x
x , vậy
2 2
1 8
8 8 2
1 x0 x02 x0 x0
A , suy ra 2
2 2
1 2 2
0
A
Câu 2 (2 điểm):
1 Giải hệ phơng trình:
x y x
x y x y
2 2 20 3
2 20
2
2 Cho hệ phơng trình:
0 )1 ( 2
0 )1 (5 )1
(2
2 2
2 2 2
2
m x x
m x m x
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
Giải :
1 Điều kiện: y>0, x<20, x<2y
Hệ đã cho tơng đơng với:
x y y
x y x
2 5 2 3
2 2 20
3
, bình phơng 2 vế các phơng trình ta đợc hệ
) 2(
25
)
2(
9
) 2(
4
)
20
(9
x y y
x y
x
, giải hệ này ta đợc nghiệm là x=16,
2
25
2 Từ phơng trình thứ nhất có ’=-4(m2-1)2<0,
vậy phơng trinh có nghiệm khi ’=0, suy ra m=1 hoăc m=-1
Trang 2- Với m=1, phơng trình thứ nhất có nghiệm x=0, phơng trình thứ 2 có dạng x2-2x+4=0 vô nghiệm, vậy m=1 bị loại
- Với m=-1, phơng trình thứ nhất có nghiệm x=0, phơng trình thứ 2 có dạng x2-2x=0 có 2 nghiệm x=0, x=2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x=0 khi m=-1
Câu 3 (2 điểm):
1 Cho a, b, c là ba số thực bất kỳ Chứng minh rằng:
2
3 1
1
2 4
2 4
2
c b
b a a
2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
2
2
x
x
P với x>1
Giải :
1 Đặt x=a2, y=b2,z=c2, vậy x, y, z không âm Ta CM
2
3 1
1
z y
y x
x
Vì (1-x)2>0, suy ra
2
1
1 2
x
x
, tơng tự ta có
2
1
1 2
y
y
và
2
1
z
z
Cộng các bất đẳng thức trên lại ta có điều cần CM
2 Theo giả thiết x-1>0, biểu thức
2
5 1
2 2
1 2 2
1 1
2 2
1 2
1
x
x x
x
vậy PMin=
2
5
khi x=3
Câu 4 (2,5 điểm):
Cho hình thang vuông ABCD, đờng cao AB=2a, cạnh đáy nhỏ AD=a, đáy lớn BC=4a, O là giao điểm của AC và BD Đờng phân giác trong của góc C và góc D cắt nhau tại I
1 Chứng minh bốn điểm C, I, O, D nằm trên một đờng tròn
2 Điểm M chuyển động trên cạnh AB Xác định vị trí của M để tam giác MCD có chu vi nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất ấy
Giải :
M
D'
O
I
C B
A
D
1 Ta có tam giác ABD đồng dạng với tam giac BCA vì hai tam giác đó vuông và có á 21
BC
AB B A
AD
, vậy
ABD=BCA Lại có
ABD+OBC=900, nên
BCO+OBC=900, do đó BDAC Mặt khác DIC=1800
-2 1
(ADC+DCB) mà DI và CI là hai
đờng phân giác trong của các góc D
và C, đồng thời
ADC+DCB=1800, nên
DIC=900 Từ đó suy ra 4 điểm C, I,
O, D nằm trên một đờng tròn
2 Gọi D’ làđiểm
đôí xứng với D qua
AB
Vậy MD=MD’, chu
vi tam giác MCD bằng
MC+CD+MD=CD+MC+MD’
Vậy chu vi tam giác nhỏ nhất
Khi MC+MD’ nhỏ nhất, khi ba điểm C, M, D’ thẳng hàng,
Trang 3Tức là M là giao của AB và CD’ và AB Lại có AD’MBCM, suy ra
4
1 '
BC
AD MB
MA
, suy ra
5
2a
5
29
a
MD ,
5
29
4a
MC và CD a 13 Vậy chu vi tam giác MCD nhỏ nhất bằng a 29 13
Câu 5 (1 điểm):
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 1 M là điểm bất kỳ trên cạnh BC, P và Q lần
l-ợt là hình chiếu của M trên AB và AC Xác định vị trí điểm M sao cho PQ ngắn nhất
Giải :
Q' P'
Q P
A
Diện tích tam giác ABC bằng
4 dt AMB dt AMC 2 MP MQ .
Vậy MP+MQ=
2 3
Gọi P’, Q’ lần lợt là hình chiếu của P và Q trên cạnh BC Tam giác MPP’ là nửa tam giác đều cạnh MP Vậy MP’ = MP
2
3 ,
tơng tự MQ’= MQ
2
3 , suy ra P’Q’=
4
3
, vậy PQ>P’Q’=
4 3
nên PQ ngắn nhất bằng
4
3
khi PQ//BC, lúc đó M là trung
điểm của BC