[r]
Trang 1đề thi học sinh giỏi Toán 8 1
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1 : (2đ)
Chứng minh đẳng thức sau:
P=(a+b+c)2 + (b+c-a)2(c+a-b)2(a+b-c)2= 4(a2+b2+c2)
Bài 2: (1,5đ)
Chứng minh rằng:
a Nếu m là một số nguyên thì (2m+1)-1 chia hết cho 8;
b Hiệu các bình phơng hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 4;
c Hiệu bình phơng hai số lẻ liên tiếp chia hết cho 8
Bài 3: (2đ)
Phân tích thành nhân tử:
A=(x+y+z)3-x3-y3-z3
Bài 4: (2đ)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
B = x2-2xy+2y2-4y+5
Bài 5: (2,5đ)
Cho hình thang ABCD (BC//CD), các đờng phân giác trong của A❑ và B❑
giao nhau ở E, của C❑ và D❑ giao nhau ở F.
1 Chứng minh EF đi qua trung điểm của AB và CD
2 Nếu đờng phân giác trên gặp nhau tại 1 điểm thì hình thang ABCD C
có gỉ đặc biệt
-Hết đề
thi -Đáp án đề Toán 8 1 Bài 1 : (2đ)
Viết vế trái của đẳng thức dới dạng:
[(b+c)+a]2 + [(b+c)-a)]2+[a+(b-c)]2+[(a-(b-c)]2 0,5đ
Ta nhận xét rằng:
(A+B)2+(A-B)2=2(A2+B2) 0,5đ
Ta có (áp dụng 2 cặp tơng ứng):
P=2[(b+c)2+a2] + 2[a2+(b-c)2] 0,5đ
=4a2+2[(b+c)2+(b-c)2]
=4a2+2.2(b2+c2)
Trang 2=4(a2+b2+c2) (đpcm) 0,5đ
Bài 2: (1,5đ)
a 0,5đ
Ta có:
(2m+1)2-1=(2m+1+1)(2m+1-1) 0,25đ
=4m(m+1)
m(m+1) là hai số nguyên liên tiếp nên chắc chắn có một số chẵn Do vậy tích m(m+1) chia hết cho 2
Vậy 4m(m+1) chia hết cho 8 0,25đ
b 0,5đ
Lấy một số chẵn là 2n thì số chẵn liền sau nó là 2n+2 Hiệu:
(2n+2)2-(2n)2=4(n+2), chia hết cho 4 0,5đ c.0,5đ
Lấy một số lẻ là 2n+1 thì số lẻ liền trớc là 2n-1
Ta xét hiệu;
(2n+1)2- (2n-1)2
= [(2n+1)+ (2n-1)][ (2n+1)- (2n-1)] 0,25đ
= 8n, chia hết cho 8 0,25đ
Bài 3: (2đ)
A=(x+y+z)3-x3-y3-z3
0,5đ
= (x+y+z-x)[( x+y+z)2 + (x+y+z)x+x2]- (y+z)( y2-yz+z2)
= (y+z)[( x+y+z)2 + (x+y+z)x+x2]- (y+z)( y2-yz+z2)
= (y+z)( x2+y2+z2 +2xy+2xz +2yz +x2+xy+xz+x2-y2+yz-z2) 0,5đ
= (y+z)( 3x2+3xy+3xz +3yz)
= (y+z)( 3x2+3xy+3xz +3yz) 0,5đ
= 3(y+z)[(x2+xy)+(xz +yz)]
= 3(y+z)[x(x+y)+z(x +y)]
= 3 (x+y) (y+z)(x +z) 0,5đ
Bài 4: (2đ)
B = x2-2xy+2y2-4y+5
Tách các số hạng ta đợc:
B = x2- 2xy+y2+y2- 4y +4 + 1 0,5đ
= (x2- 2xy+y2)+(y2- 4y +4) + 1
= (x-y)2 + (y - 2)2 + 1 0,5đ
0,5đ
Nên B = (x-y)2 + (y - 2)2 + 1 1
Khi x = y v y = 2 thì B=1à
Vậy giá trị nhỏ nhất B = x2-2xy+2y2-4y+5 là 1 0,5đ
Bài 5: (2,5đ) Vẽ hình 0.5 đ
P
F E
Q
2
1
Trang 3Nếu E và F trùng nhau ta có 4 đờng phân giác trong của hình thang đồng quy, lúc đó PE+EF+FQ= AD+BC
2 , trong đó EF=0 nên PQ=
AD+BC
2 (2)
Kết hợp với (1) và (2) ta có: BC+AD
AD+BC
2 , nghĩa là
AB+CD=AD+BC
Vậy nếu các đờng phân giác trong hình thang này đồng quy thì có tổng hai
đáy bằng tổng hai cạnh bên
-Hết đáp
án -Không phải là đáp án:
Đề thi trên có 2 trang tự động cập nhật (tác giả không đa trực tiếp), nếu có lỗi trong quá trình biên soạn thầy (cô) báo giúp tại trang
http://yuio.violet.vn
Cám ơn thầy (cô)!
Biên soạn: Nguyễn Văn Yên THCS Phong Khê – TP Bắc Ninh
1 0,5đ
Giả sử đờng phân giác của B❑ và C❑ gặp AD ở M và N Vì tứ giác
ABCD là hình thang cân nên A❑ + B❑ =2V
Mà A❑1 = A❑2 , B❑1 = B❑2 A❑2 nên A❑2 + B❑1 =1V
Từ đó suy ra BE AE Tơng tự ta có cf DF
Ta lại có AMB❑ = B❑2 (slt) và B❑1 = B❑2 suy ra AMB❑ = B❑1 nên
Δ MAB cân đỉnh A
Tơng tự Δ MDC cân đỉnh D
Từ đó suy ra AE và DF 2 trung tuyến của 2 tam giác tơng ứng, dẫn đến EF
là đờng trung bình của hình thang BMNC
Suy ra EF//AD EF gặp AB và CD ở P và Q
Δ ABM có EF//AM và EB=EM nên PE là đờng trung bình, suy ra
PA=PB Tơng tự ta chứng minh đợc QC=QD
2 0,5đ
Từ chứng minh trên ta có PQ = BC+AD
2 (1) , xét tam giác AEB vuông
ở E, EP là trung tuyến thuộc cạnh huyền AB nên EP= AB
2 , tơng tự ta có
FQ= CD
2