[r]
Trang 1Phßng GD&§T HuyÖn Lôc Ng¹n
Trêng THCS Mü An §Ò thi chän häc sinh giái cÊp huyÖnN¨m häc: 2010-2011
M«n :To¸n - Líp : 8
(Thêi gian lµm bµi: 120 phót)
Bµi 1 (2®):
T×m nghiÖm nguyªn d¬ng x, y, z sao cho:
x
1
+ 1y +
z
1
=1
Bµi 2 (1®):
So s¸nh 23 100
vµ 32 100
Bµi 3 (2®):
T×m sè nguyªn d¬ng nhá nhÊt tho¶ m·n ®iÒu kiÖn:Chia cho 2 d 1,chia cho 3 d 2,chia cho 4 d 3 vµ chia cho 5 d 4
Bµi 4 (2®):
Cho tam gi¸c AHM vu«ng t¹i H KÎ ph©n gi¸c MN ( NAH).VÏ tia AE MN t¹i E AE c¾t MH t¹i B
TÝnh SABM , SABH biÕt AM= p, AN= q
Bµi 5 (1®):
T×m sè tù nhiªn n nhá nhÊt sao cho sè a= 28+211+2n lµ sè chÝnh ph¬ng
Bµi 6 (2®):
T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh : x2 + y2 + z2 = x2y2
híng dÉn chÊm thi Häc kú II
M«n: To¸n 8 N¨m häc:2010- 2011
®iÓm Bµi 1
(2®) Gi¶ sö x y z > 0 x
1
+ 1y +
z
1
z
3
z
3
0< z3 + Nªu z= 1
x
1
+
y
1
=0 Kh«ng cã gi¸ trÞ x, y tho¶ m·n
(0,25®) ( 0.25®)
Trang 2+ NÕu z = 2
x
1
+ 1y =
2 1
Cã x y
x
1
+ 1y 2y
2
1
2y 0< y 4 y=
{1,2,3,4}
• y=1 th×
x
1
+ 1 =
2
1
Kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x tho¶
m·n
• y= 2 th×
x
1
+
2
1
=
2
1
Kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x tho¶
m·n
• y= 3 th×
x
1
+
3
1
=
2
1
x=6 (6,3,2) lµ 1 nghiÖm
• y= 4 th×
x
1
+
4
1
=
2
1
x=4 (4,4,2) lµ 1 nghiÖm + NÕu z = 3
x
1
+ 1y =
3 2
Cã x y
x
1
+ 1y 2y
3
2
2y 0< y 3 y= {1,2,3 }
• y=1 th×
x
1
+ 1 =
3
2
Kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x tho¶
m·n
• y= 2 th×
x
1
+
2
1
=
3
2
x=6 (6,2,3) lµ 1 nghiÖm
• y= 3 th×
x
1
+
3
1
=
3
2
x=3 (3, 3, 3) lµ 1 nghiÖm VËy (x, y, z) = { (6,3,2) , ( 4, 4, 2), (3, 3, 3)}= (y, x, z) = (z, y,x)
(0,25®)
(0,25®)
(0,25®)
(0,25®)
(0,25®) (0,25®)
Bµi 2
(1®) Ta cã (32 )2> 2 (32 )100> 2
3100> 2 2100
3 2.2 2 2
2 2 4 3
VËy 2 3 100 3 2 100
(0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25®)
Bµi 3
(2®)
Ta cã: a1(mod 2) ; a2(mod3) ; a3(mod 4) ; a4(mod 5)
20a40(mod 60)
15a45(mod 60)
12a48(mod 60)
47a133(mod 60)13(mod 60)
47a=60t+13
a t
3 1
v u v
p v p
q p q
2
q
l q l
(víi t,k,u,v,p,q,lZ+)
(0,25®)
(0,25®)
(0,25®)
(0,25®) (0,25®)
Trang 3 p=2l+l=3l v=3l+2l=5l u=5l+3l=8l
k=8l+5l=13l t=3.13l-1+8l=47l-1 a=47l-1+13l=60l-1
Vì a là số nguyên dơng nhỏ nhất Chọn l=1 a=59
Đáp số:a=59
(0,25đ) (0,25đ)
(0,25đ) Bài 4
(2đ)
Ta có:AME BME BAH và EA = EB; MA = MB = p
*AHB đồng dạng AEN ( g.g)
AE
AH =
AN
AB
AH = AE
AN
AB =
q
AB
2
2
* AHB đồng dạng MEA (g.g)
EA
BH =
AM
AB
BH = AE
AM
AB =
p
AB
2
2
* Xét ABH vuông tại H AB2 = BH2+AH2
4
4 p
AB
4
4q
AB
2
2 4
q p
q p
AH = 2 2
2 2
q p
q p
; BH = 2 2
2 2
q p
p q
* Diện tích ABM : S =
2
1
AH MB = 2 2
3
.
q p
q p
(đvdt)
* Diện tích ABH : S =
2
1
AH HB = 2 2 2
3 3
) (
2
q p
q p
(đvdt)
(0,25đ) (0,25đ)
(0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ)
Bài 5
(1đ) + Nếu n = 8 a = 2
8+211+28 = 29 (1+4) = 5 29 (loại) + Nếu n< 8 a = 28 ( 9 + 2n-8) n = { 1,2 7} a không phải là số
chính phơng
+ Nếu n > 8 a =28 ( 9 + 2n-8)
a là số chính phơng ( 9 + 2n-8) = p2 2n-8 = (p-3).(p+3)
Có (p+3)-(p-3) =6 2n-8 là tích của hai số có hiệu bằng 6 và mỗi số phải là
luỹ thừa của 2
p - 3 = 2
p + 3 = 8
p = 5 Với p =5 2n-8 = 2.8 = 24 n - 8 = 4 n = 12
KL : n = 12
(0,25đ) (0,25đ)
(0,25đ) (0,25đ) Bài 6
(2đ)
Vì x , y có vai trò nh nhau ta có:
VP = x2y2 = (xy)2
) 4 (mod 1
) 4 (mod 0
TH1:x chẵn ,y lẻ :Suy ra VP 0 (mod 4)
Từ (*) suy ra z lẻ
Đặt x = 2a, y = 2b+1 , z = 2c +1 (a,b,c thuộc Z)
Khi đó VT có dạng (4d +2) ,d Z
VT 2 (mod 4)
Vô lý
TH2:x lẻ ,y lẻ :Suy ra VP 1 (mod 4)
Từ (*) suy ra chẵn
Đặt x = 2a+1, y = 2b+1 , z = 2c (a,b,c thuộc Z)
Khi đó VT có dạng (4d +2) , d Z
VT 2 (mod 4)
(0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ)
(0,25đ)
Trang 4Vô lý.
TH3:x chẵn ,y chẵn : VP 0 (mod 4)
Từ (*) suy ra z chẵn Đặt x = 2a, y = 2b, z = 2c
PT (*) 4a2 + 4b2 + 4c2 = 16a2b2
a2 + b2 + c2 = 4a2b2
Dễ dàng chỉ ra đợc a,b,c chẵn Đặt a = 2A, b = 2B, c= 2C
PT (*) 4A2 +4B2 + 4C2 = 64A2B2
A2 + B2 + C2 = 16A2B2
Lập luận tơng tự nh trên,nếu( x0 , y0 , z0 ) là nghiệm của phơng trình (*) thì
0 ; 0 ; 0
2k 2k 2k
, k N*
Do đó : x0 = y0 = z0 = 0
Ngợc lại :( 0 , 0, 0 ) là nghiệm của phơng trình
KL:PT đã cho có nghiệm là ( 0 , 0 , 0 )
(0,25đ)
(0,25đ) (0,25đ)