3 điểm Cho tam giác ABC.. Lấy một điểm O bất kì trong tam giác... Lấy một điểm O bất kì trong tam giác.
Trang 1Phòng giáo dục và đào tạo thanh ba
đề thi học sinh năng khiếu môn toán lớp 8
năm học 2009 – 2010
(Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2điểm)
Cho biểu thức
x
x x x
x x
x
x A
3
1 3 1
4 2 : 3 1
2 3
+
−
+ +
+
= a) Rút gọn A
b)Tìm A với x = 2010
c)Tìm x để A < 0
Bài 2 (2điểm)
a) Chứng minh hằng đẳng thức
a3 +b3 +c3 − 3abc=(a+b+c).(a2 +b2 +c2 −ab−bc−ac)
b) Chứng minh rằng a2+b2+c2 ≥ab+bc+ac với mọi a;b;c
Bài 3 (2điểm)
a) Chứng minh (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) +y4 là số chính phơng với mọi số nguyên x;y
b) Cho a,b,c thỏa mãn
= + +
= + +
20102010
1 1 1 1
c b
a b c a
Chứng minh rằng có một số bằng 2010
Bài 4 (3 điểm)
Cho tam giác ABC Lấy một điểm O bất kì trong tam giác Các đờng thẳng OA;OB;OC cắt BC;CA;AB tại M;N;P Chứng minh rằng:
a) = 1
NA
CN MC
BM
PB
AP
b) Tổng OM ON OP
AM +BN +CPkhông phụ thuộc vị trí điểm O
Bài 5 (1điểm)
Giải phơng trình sau: y−32009+ −y 42011=1
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2Phòng giáo dục và đào tạo thanh ba
Hớng dẫn chấm thi học sinh năng khiếu môn toán lớp 8
năm học 2009 – 2010
Bài 1 (2điểm)
Cho
x
x x x
x x
x
x
A
3
1 3 1
4 2 : 3 1
2 3
+
−
+ + +
=
a)Rút gọn A
b)Tìm A với x =2010
c)Tìm x để A < 0
ĐKXĐ x≠ 0; -1; 1
2
x
x x x
x x
x
x
A
3
1 3 1
4 2 : 3 1
2 3
+
−
+ +
+
=
x x x
x x
x
x x x x
x
3
1 3 4 2
1 1
3
1 9 6 1
−
+ +
+
− + +
+
=
−
b) giá trị của A = 2009
3 c) A < 0 1
3
x−
⇔ < 0 ⇔ x < 1
0,25đ
0,75đ
0,5đ 0,5đ
Bài 2.(2điểm)
a) Chứng minh hằng đẳng thức
a3 +b3 +c3 − 3abc=(a+b+c).(a2 +b2 +c2 −ab−bc−ac)
biến đổi vế phải nhân phá ngoặc, rút gọn cho kết quả bằng vế trái
b) Chứng minh rằng a2+b2+c2 ≥ab+bc+ac với mọi a;b;c
chuyển vế nhân hai vế với 2 ta đợc 2a2+2b2+2c2 -2ab-2bc-2ac ≥0
⇔ (a-b)2+ (b-c)2+(c-a)2 ≥0 ( luôn đúng)
dấu bằng xảy ra khi a=b=c
1đ
0,75đ 0,25đ
Bài 3.(2điểm)
a) Chứng minh A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y 4 là số chính phơng với mọi số
nguyên x;y
Nhân phá ngoặc đợc A= (x2+5xy+4y2)( x2+5xy+6y2) +y4
đặt x2+5xy+5y2= m => A= (m-y2)(m+y2)+y4 = m2= (x2+5xy+5y2)2
vậy A luôn chính phơng với mọi số nguyên x;y
b) Cho a,b,c thỏa mãn
= + +
= + +
20102010
1 1 1 1
c b
a b c a
Chứng minh rằng có một số bằng 2010
0,5Đ 0,5Đ
Trang 3Biến đổi
= + +
= + +
20102010
1 1 1 1
c b
a b c
a
Thành
c b a c b
a+ + = + +
1 1
1
1
=> (ab+bc+ac)(a+b+c)=abc
⇔a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2+2abc =0
⇔ (a+b)(b+c)(c+a) =0
xét các trờng hợp
nếu a+b =0 => c=2010
tơng tự với các trờng hợp còn lại
0,5đ 0,25đ
0,25đ
Bài 4.(2điểm)
Cho tam giác ABC Lấy một điểm O bất kì trong tam giác Các đờng thẳng OA;OB;OC
cắt BC;CA;AB tại M;N;P Chứng minh rằng:
a) = 1
NA
CN MC
BM
PB
AP
b) Tổng OM ON OP
AM + BN +CP không phụ thuộc vị trí điểm O
O
N P
A
I
M
H
a) vẽ qua A đờng thẳng song song với BC cắt BN; CP tại H;I
ấp dụng định lí Ta lét
AH
BC NA
CN AI
AH MC
BM
BC
AI
PB
AP
=
=
thay vào ta có = 1
NA
CN MC
BM PB AP
b)
0,5đ
1đ
0,5đ
Trang 4O A
M
N P
D
E
Kẻ OD; OE song song với AB; AC
Ta có
AB
OD AM
OM = ; do tam giác ODE đồng dạng với tam giác ABC nên
BC
DE AM
OM BC
DE
AB
OD
=
=>
=
BC
BD CP
OP
BC
EC
BN
Thay vào hệ thức đợc OM ON OP DE EC BD 1
AM + BN +CP = BC +BC +BC =
0,5đ
0,5đ
Bài 5.(1điểm) Giải phơng trình sau: y−32009+ −y 42011=1
Nhận thấy: y=3 hoặc y=4 là nghiệm của phơng trình
- Nếu y < 3 thì y−4 = 4- y >1 => Phơng trình vô nghiệm
- Nếu 3 < y < 4 thì 0 < y−3< 1 và 0 < y−4 < 1
Do đó y−32009 2009
3
y− < y−3 = y – 3 và y−42011 2011
4
y− < y−4 = 4-y Suy ra y−32009+ −y 42011 2009 2011
y− + −y < y – 3 + 4 – y =1 phơng trình vô
nghiệm
- Nếu y > 4 thì y−3 = y – 3 > 1 Phơng trình vô nghiệm
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm y = 3 hoặc y = 4
0,25đ 0,25đ
0,25đ
0,25đ
Lu ý:
- Trên đây chỉ là một phơng án nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn
cho điểm tối đa
-Trong quá trình chấm giám khảo có thể chia nhỏ thang điểm cho phù hợp
với bài làm của học sinh.