Đề&Đáp án HSG Toán 8

Phòng giáo dục Bỉm sơn Đề thi học sinh giỏi lớp 8

(Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề)

Câu1:( 5điểm)

1.Chứng minh rằng: (a+b+c)3 -(a3+b3+c3) Chia hết cho 24 nếu a,b,c cùng tính chẵn lẻ.

2.So sánh :

1 100

1 100

1 4

1 4 1 3

1 3 1 2

1 2

3 3

3 3

3 3

3

















2 3

Câu 2:(3điểm) Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác và a+b+c=2.

Chứng minh : a2+b2+c2+2abc<2.

Câu 3: (4điểm)Tìm x,y,z  Z+ thỏa mãn các phơng trình sau:

1/ xy-4x=35-5y

2/ x+y+z=xyz

Câu 4:(4điểm)

1/ Biết : 4x-3y=7 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=2x2+5y2

2/ Cho a+b=1 Chứng minh:

3 b a

) 2 ab ( 2 1 a

b 1 b

a

2 2 3

3













Câu 5: (4điểm) Trên đờng chéo BD của hình vuông ABCD lấy điểm M Từ M kẻ đờng thảng

ME vuông góc với AB; MF vông góc với AD (E AB ; F  AD).

Chứng minh : Các đờng thẳng BF,CMvà DE đồng quy.

……… Hết ……

đáp án

* a,b,c chẵn thi a+b; b+c ;c+a đều là các số chẵn nên B8

* a,b,c lẻ thì a+b; b+c; c+a đều là các số chẵn nên B8

Mà (3;8)=1 B 24

2: Ta có:

1 100

1 100

1 4

1 4 1 3

1 3 1 2

1 2

3 3

3 3

3 3

3

















10101

99

9901 101

21 3

13 5 13 2

7 4 7 1

3 3

A=

10101

21 13 7

9001

13 7 3 99

4

.

3

.

2

.

1

101

5

.

4

.

3

=

10101

10100

2

3 10101

3 2

101 100

2 3

Câu2: a+b+c=2 mà a,b,c là các cạnh của tam giác nên a,b,c >0 a<1,b<1,c<1

 (1-a) (1-b)(1-c)>0  1-(a+b+c)+ab+ac+bc-abc>0

2

c b a bc ac ab 2

c b





















0 abc 2

c b a 2

c b















2

c b









 Hay : a2+b2+c2+2abc<2

Câu 3:1/ Biến đổi phơng trình về dạng (x+5)(y-4)=15 xét các trờng hợp và loại ta có các cặp (x,y) cần tìm là

(10;5); (0;7)

2/ Không mất tính tổng quát ta giả sử 0<x y  z

Suy ra : xyz=x+y+z 3 z  xy  3 (*)

Nếu x=y=z x x 3 x 0 ; x 2 3









 Không thỏa mãn suy ra ít nhất hai trong ba

Sốkhông bằng nhau

Từ (*) xy  3  xy  1hoặc xy=2 Nếu xy=1 x  y  1(vì x,y 

Z ) zz2 (vô lí ) Nếu xy=2 x  1 ; y  2(vì x<y) Khi đó :2z=z+3 z 3

Vây bộ (1;2;3) là cần tìm và các hoán vị của nó

Câu 4: 1/Có x=

4

y

7 

khi đó M=

8

49 y 42 y





=  5 5

8

3







Vậy Mmin =5 khi y=

7 3 2/Có a=1-b

Vế trái :

1 1

b b

1 1

b 1

b 1

b

b 1 1 a

b 1

b

a

2 2

3 3

3 3































=    

3 b a

2 ab 2 3 b

1

b

2

b

1

b

2

2 2 2

2















Suy ra ddpcm

Câu 5:Goi giao điểm của EM và DC ; FM

và BC ; BF và DE lần lợt là E/ ;F/ và O

Ta có các hình chũ nhật MEAF và ME/CF/

bằng nhau EFM CE / M MCE / MEF

















EF

CM 

Mặt khác hình chữ nhật AE E/D bằng hình chữ nhật

CF/FD AEDDFC ADEDCF CFDE.Tơng tự có:FBCE  0là trực tâm tam giác CEF

EF

CO 

 (2).Từ (1)và(2) C,M,O thẳng hàng, hay DE,CM,BF đồng quy

C D

M

O F

/ /

E

/

F E