Về môđun có độ dài hữu hạn trên vành giao hoán

KHOA TOÁN ====== NGUYỄN THỊ KIM ANH VỀ MÔĐUN CÓ ĐỘ DÀI HỮU HẠN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số... KHOA TOÁN ====== NGUYỄN THỊ KIM ANH VỀ MÔ

KHOA TOÁN

======

NGUYỄN THỊ KIM ANH

VỀ MÔĐUN CÓ ĐỘ DÀI HỮU HẠN

TRÊN VÀNH GIAO HOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

KHOA TOÁN

======

NGUYỄN THỊ KIM ANH

VỀ MÔĐUN CÓ ĐỘ DÀI HỮU HẠN

TRÊN VÀNH GIAO HOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học

TS Nguyễn Thị Kiều Nga

HÀ NỘI, 2019

Sau mët thíi gian d i nghi¶m tóc, mi»t m i nghi¶n cùu còng vîi sügióp ï tªn t¼nh cõa c¡c Th¦y Cæ gi¡o v  c¡c b¤n sinh vi¶n, ¸n naykhâa luªn cõa em ¢ ho n th nh Em xin b y tä láng c£m ìn ch¥n

th nh, s¥u s­c tîi c¡c Th¦y Cæ gi¡o trong tê ¤i sè, c¡c Th¦y Cætrong khoa To¡n, °c bi»t l  T.S Nguy¹n Thà Ki·u Nga - ng÷íi

¢ trüc ti¸p t¤o måi i·u ki»n, tªn t¼nh gióp ï ch¿ b£o cho em trongsuèt thíi gian nghi¶n cùu, ho n thi»n khâa luªn

M°c dò ¢ r§t cè g­ng xong do h¤n ch¸ v· thíi gian công nh÷ ki¸nthùc cõa b£n th¥n n¶n khâa luªn cõa em khæng thº tr¡nh khäi nhúngthi¸u sât K½nh mong nhªn ÷ñc sü gâp þ tø Th¦y Cæ v  c¡c b¤n sinhvi¶n º khâa luªn cõa em ÷ñc ho n thi»n hìn

Khâa luªn tèt nghi»p "V· mæun câ ë d i húu h¤n tr¶n v nh giaoho¡n" ÷ñc ho n th nh do sü cè g­ng né lüc t¼m hiºu v  nghi¶n cùucòng vîi sü gióp ï tªn t¼nh cõa cæ gi¡o - T.S Nguy¹n Thà Ki·uNga.

Trong qu¡ tr¼nh thüc hi»n em ¢ tham kh£o mët sè t i li»u nh÷

¢ vi¸t trong ph¦n t i li»u tham kh£o V¼ vªy, em xin cam oan khâaluªn n y l  k¸t qu£ nghi¶n cùu khoa håc cõa ri¶ng em, khæng tròngvîi b§t k¼ k¸t qu£ cõa t¡c gi£ n o kh¡c

H  Nëi, th¡ng 05 n«m 2019

Sinh vi¶n

Nguy¹n Thà Kim Anh

Líi mð ¦u 1

1.1 Mæun 3

1.2 Mæun con 5

1.3 Mæun th÷ìng 6

1.4 çng c§u mæun 7

1.5 Têng v  t½ch trüc ti¸p 10

1.6 D¢y khîp 13

2 ë d i mæun 19 2.1 Mæun Noether v  mæun Artin 19

2.1.1 Mæun Noether 19

2.1.2 Mæun Artin 24

2.2 ë d i mæun 30

2.2.1 Mæun ìn 30

2.2.2 D¢y hñp th nh cõa mæun 31

2.2.3 ành lþ Jordan - Holder 31

2.2.4 ành ngh¾a (ë d i cõa mæun) 35

2.3 °c tr÷ng cõa mæun câ ë d i húu h¤n 36

2.3.1 T½nh cëng t½nh cõa ë d i 362.3.2 i·u ki»n º mæun câ ë d i húu h¤n 362.3.3 Mët sè t½nh ch§t cõa mæun câ ë d i húu h¤n 38

Líi mð ¦u

¤i sè hi»n ¤i ÷ñc x¥y düng tø c¡c c§u tróc ¤i sè cì b£n:nhâm, v nh, tr÷íng, Trong â c§u tróc mæun câ vai trá r§t quantrång Nâ câ kh£ n«ng thèng nh§t mët c¡ch b£n ch§t c¡c c§u tróc

v nh, iean, nhâm Aben, khæng gian v²ctì T½nh linh ho¤t v  têngqu¡t cõa c§u tróc mæun em l¤i nhúng ùng döng to lîn trong ¤i sè

Trong c§u tróc mæun, ë d i mæun l  v§n · ÷ñc nhi·ung÷íi quan t¥m Vîi mong muèn t¼m hiºu s¥u hìn v· c§u tróc mæun

v  ÷ñc sü h÷îng d¨n cõa cæ Nguy¹n Thà Ki·u Nga em ¢ chån

· t i V· mæun tr¶n v nh giao ho¡n câ ë d i húu h¤n l m · t inghi¶n cùu trong khâa luªn cõa m¼nh

Nëi dung v  t½nh ch§t cõa khâa luªn tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m

v  t½nh ch§t cì b£n nh§t cõa mæun, °c bi»t l  kh¡i ni»m "Mæun

câ ë d i húu h¤n"

Nëi dung khâa luªn chia l m 2 ch÷ìng:

Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc chu©n bà

Tr¼nh b y nhúng kh¡i ni»m v· mæun, mæun con, mæun th÷ìng,

çng c§u mæun, têng v  t½ch trüc ti¸p, d¢y khîp, c¡c ành lþ v  h»qu£, d¢y khîp ch´ ra

Ch÷ìng 2: ë d i mæun

Tr¼nh b y mët sè mæun °c bi»t: mæun ìn, mæun Noether, mæunArtin, kh¡i ni»m v  c¡c t½nh ch§t cõa d¢y hñp th nh v  ë d i cõamæun

Do thíi gian v  tr¼nh ë câ h¤n n¶n khâa luªn khæng tr¡nhkhäi câ nhúng thi¸u sât R§t mong nhªn ÷ñc þ ki¸n âng gâp cõac¡c Th¦y Cæ v  c¡c b¤n º khâa luªn ÷ñc ho n thi»n hìn.

(i) M vîi ph²p cëng l  mët nhâm Abel.

(ii) M vîi ph²p nh¥n væ h÷îng thäa m¢n t½nh ch§t sau vîi c¡c ph¦n

tû tòy þ m, m0 ∈ M v  r, r0 ∈ R:

l  tªp c¡c tü çng c§u nhâm G Suy ra E = End(G, G) l  mët v nh

câ ìn và vîi ph²p cëng v  ph²p nh¥n x¡c ành bði:

Vîi måi f, g ∈ E, vîi måi x ∈ G th¼

(f + g)(x) = f (x) + g(x)(f g)(x) = f (g(x))

ìn và l  tü çng c§u I : G → G vîi e l  ìn và cõa nhâm G

x 7→ eKhi â, ta x¡c ành ÷ñc t½ch væ h÷îng vîi c¡c ph¦n tû cõa E nh÷sau:

E × G → G(f, a) 7→ f a = f (a)thäa m¢n i·u ki»n v· mæun n¶n G l  mët E - mæun

1.1.3 T½nh ch§t

Vîi méi R - mæun M ta luæn câ:

(i) 0R.m = r.0M = 0M, vîi måi m ∈ M, r ∈ R;

(ii) (−r)m = −rm = r(−m), vîi måi m ∈ M, r ∈ R

1.2 Mæun con

1.2.1 ành ngh¾a Mët tªp con khæng réng N cõa mët R - mæun

M ÷ñc gåi l  mët R - mæun con cõa M n¸u N còng vîi ph²p to¡ncëng v  nh¥n væ h÷îng vîi ph¦n tû cõa R trong M thu hµp v o N l mët R - mæun

1.2.2 V½ dö

V½ dö 1 Cho M l  mët R - mæun Méi R - mæun M luæn câ haimæun con t¦m th÷íng l  mæun con khæng v  ch½nh nâ Ta k½ hi»umæun con khæng l  0

Mæun M ÷ñc gåi l  mæun ìn n¸u M ch¿ câ hai mæun con t¦mth÷íng l  0 v  M

V½ dö 2 Cho N l  nhâm con b§t k¼ cõa mët nhâm Abel M Khi â

N l  mët Z - mæun con cõa M

V½ dö 3 Ta x²t R l  mët v nh câ ìn và th¼ R l  R - mæun tr¶nch½nh nâ N¸u A l  i¶an cõa v nh R th¼ A l  R - mæun con cõa R.

1.2.3 i·u ki»n t÷ìng ÷ìng

Cho M l  mët R - mæun, N l  tªp kh¡c réng v  l  tªp con cõa M.C¡c i·u ki»n sau t÷ìng ÷ìng:

(i) N l  R - mæun con cõa M;

(ii) Vîi måi r ∈ R, a, b ∈ N th¼ a + b ∈ N, ra ∈ N;

(iii) Vîi måi r, r0 ∈ R; a, b ∈ N th¼ ra + r0b ∈ N

1.2.4 M»nh · Giao cõa mët hå c¡c mæun con cõa M l  mëtmæun con cõa M

M/N gåi l  mæun th÷ìng cõa R - mæun M theo mæun con N cõa

M

1.3.2 ành ngh¾a Cho N l  mët mæun con cõa R - mæun M Khi

â R - mæun M/N nh÷ x¥y düng ð tr¶n ÷ñc gåi l  mæun th÷ìngcõa M theo N Ph¦n tû m + N cõa M/N th÷íng ÷ñc k½ hi»u l  m (

÷ñc gåi l  £nh cõa m trong M/N)

1.3.3 V½ dö

V½ dö 1 Cho M l  R - mæun Ta câ 0 v  M l  c¡c mæun con cõa

R - mæun M Khi â ta câ c¡c mæun th÷ìng:

M/M = {m + M |m ∈ M } = {M }M/0 = {m + 0|m ∈ M } = MV½ dö 2 X l  v nh A l  i¶an cõa X th¼ v nh th÷ìng X/A l  X -mæun th÷ìng cõa X vîi ph²p to¡n cëng v  nh¥n væ h÷îng ÷ñc x¡c

ành vîi måi x + A, y + A ∈ X/A, α ∈ X th¼

(x + A) + (y + A) = (x + y) + A;α(x + A) = αx + A

V½ dö 3 Tr÷íng sè húu t¿ Q l  mët Z - mæun v  Z ch½nh l  mët Z

- mæun con cõa Q Khi â Q/Z l  Z - mæun th÷ìng cõa Q, l  mëtmæun ch¿ bao gçm c¡c ph¦n l´ cõa c¡c sè húu t¿ v  Q/Z = {x + Z|x ∈Q} = {Z, x + Z vîi x ∈ Q/Z}

1.4 çng c§u mæun

1.4.1 ành ngh¾a Mët ¡nh x¤ f i tø R - mæun M v o R - mæun

M0 ÷ñc gåi l  mët çng c§u R - mæun n¸u vîi måi m, n ∈ M, a ∈ R

ta câ:

(i) f(m + n) = f(m) + f(n);

(ii) f(am) = af(m)

- Mët çng c§u f câ th¶m mët trong c¡c t½nh ch§t l  ìn ¡nh, to n

¡nh ho°c song ¡nh t÷ìng ùng gåi l  mët ìn c§u, to n c§u, ¯ng c§u

- H¤t nh¥n (hay h¤ch) cõa f, k½ hi»u

Kerf = {x ∈ M |f (x) = 0}= f−1(0).

- ƒnh cõa f l  Imf = {f(x)|x ∈ M} = f(M)

- Mët çng c§u i tø M v o ch½nh nâ ÷ñc gåi l  tü çng c§u

- Hai mæun M v  M0 ÷ñc gåi l  ¯ng c§u n¸u tçn t¤i ¯ng c§umæun tø M ¸n M0 K½ hi»u M ∼= M0

1.4.2 i·u ki»n t÷ìng ÷ìng Cho M, N l  c¡c R - mæun nhx¤ f : M → N l  çng c§u mæun khi v  ch¿ khi f(am + bn) =

af (m) + bf (n), vîi måi m, n ∈ M, vîi måi a, b ∈ R

(ii) f(−m) = −f(m), vîi måi m ∈ M;

(iii) f(a1m1 + + anmn) = a1f (m1) + + anf (mn), vîi måi

ai ∈ R, mi ∈ M, n ∈ N;

(iv) f l  ìn c§u khi v  ch¿ khi Kerf = 0;

(v) f l  to n c§u th¼ Imf = M0

1.4.5 M»nh · Cho f : M → M0 l  mët çng c§u c¡c R - mæun

Khi â:

(i) Vîi N0 l  mæun con cõa M0 th¼ f−1(N0) l  mæun con cõa M

°c bi»t Kerf l  mët mæun con cõa M;

(ii) Vîi N l  mæun con cõa M th¼ f(N) l  mæun con cõa M0 °cbi»t Imf l  mët mæun con cõa M0

1.4.6 M»nh · Cho f : M → M0 l  mët çng c§u R - mæun v 

U, V t÷ìng ùng l  nhúng mæun con cõa M, M0 Khi â:

(i) f−1(f (U )) = U + Kerf ;

(ii) f(f−1(V )) = V ∩ Imf

1.4.7 ành lþ (Cì b£n cõa R - çng c§u têng qu¡t)

Cho f : M → N l  R - çng c§u A, B l¦n l÷ñt l  c¡c mæun concõa M v  N sao cho f(A) ⊂ B, pA : M → M/A, pB : N → N/B

l  c¡c ph²p chi¸u ch½nh t­c Khi â tçn t¤i duy nh§t R - çng c§u

f : M/A → N/B sao cho f pA = pBf hay biºu ç sau giao ho¡n:

1.4.8 C¡c h» qu£

H» qu£ 1 Cho f : M → N l  c¡c R - çng c§u mæun g :

M → M/Kerf l  to n c§u ch½nh t­c Khi â tçn t¤i R - çng c§u

f : M/Kerf → N sao cho fg = f, tùc l  Imf = Imf v  biºu ç saugiao ho¡n:

H» qu£ 2 Cho çng c§u c¡c R - mæun f : M → N Khi â:

(i) M/Kerf ∼= Imf;

(ii)N¸u f l  to n c§u th¼ M/Kerf ∼= N

H» qu£ 3 Cho M, N, P l  c¡c R - mæun sao cho P l  mët mæuncon cõa N v  N l  mët mæun con cõa M Khi â ta câ

1.5.1 X¥y düng têng v  t½ch trüc ti¸p

Cho I l  tªp kh¡c réng Gi£ sû (Mi)i∈I l  mët hå c¡c R - mæun.K½ hi»u M = Q

Ta x¥y düng ph²p cëng v  ph²p nh¥n vîi væ h÷îng nh÷ sau:

• (ai)i∈I + (bi)i∈I = (ai + bi)i∈I, vîi måi ai, bi ∈ Mi, i ∈ I;

• r(ai)i∈I = (rai)i∈I, vîi måi r ∈ R, ai ∈ Mi, i ∈ I

K½ hi»u ⊕Mi = {(ai)i∈I|ai ∈ Mi v  ai = 0 h¦u h¸t } Khi â ⊕

i∈I

Micòng vîi hai ph²p to¡n cëng v  nh¥n væ h÷îng x¡c ành ð tr¶n l  R -mæun, gåi l  têng trüc ti¸p cõa hå c¡c mæun {Mi}i∈I

ành lþ 1.5.4.1 (V· t½nh phê döng cõa t½ch trüc ti¸p)

Cho hå R - mæun (Mi)i∈I X²t t½ch trüc ti¸p M = Q

i∈I

Mi vîi ph²pchi¸u ch½nh t­c g : M → Mi

Khi â vîi måi R - mæun A v  hå c¡c çng c§u mæun h : A → Mi,tçn t¤i duy nh§t çng c§u f : A → M sao cho h = gf

Ta câ biºu ç giao ho¡n sau:

Chùng minh

• Vîi måi a ∈ A, ta °t f(a) = h(a) Khi â f l  çng c§u

Thªt vªy vîi måi r, r0 ∈ R, vîi måi a, a0 ∈ A

f (ra + r0a0) = h(ra + r0a0) = rh(a) + r0h(a0) = rf (a) + r0f (a0)

Vîi måi a ∈ A ta câ (gf)(a) = g [f(a)] = g [h(a)] = h(a)

• Gi£ sû tçn t¤i çng c§u t : A → M sao cho gt = h

Khi â vîi måi a ∈ A, h(a) = (gt)(a) = g(t(a)) = t(a) = f(a)

Suy ra t = f Vªy f l  duy nh§t

ành lþ 1.5.4.2 (V· t½nh phê döng cõa têng trüc ti¸p)

Cho hå R - mæun (Mi)i∈I Ta câ têng trüc ti¸p ⊕

i∈I

Mi còng mët håc¡c çng c§u g : Mi → ⊕

i∈I

Mi

m 7→ (0, , m, 0, , 0)Khi â vîi måi R - mæun A, tçn t¤i duy nh§t çng c§u f : ⊕

i∈I

Mi → Asao cho câ çng c§u h : Mi → A thäa m¢n h = fg

Ta câ biºu ç sau giao ho¡n:

Do (mi)i∈I l  mët hå vîi gi¡ húu h¤n n¶n h(mi) công câ gi¡ húu h¤n.Suy ra P

= Pi∈I

h(rmi) + P

i∈Ih(r0m0i)

= rPi∈I

h(mi) + r0P

i∈Ih(m0i)

= rf (mi) + r0f (m0i)Vîi måi mi ∈ Mi ta câ (fg)(mi) = f (g(mi))

= f (0, , 0, mi, 0, , 0)

= h(mi)Suy ra fg = h, vîi måi i ∈ I

Ta câ t(m) = t

Pi∈Ig(mi)



= Pi∈I

(tg)(mi) = P

i∈I

h(mi) = f (m)Suy ra t = f Vªy f l  duy nh§t

1.6 D¢y khîp

1.6.1 ành ngh¾a Cho d¢y çng c§u c¡c R - mæun

σ : → Mi→ Mfi i+1f→ Mi+1 i+2→

(i) σ ÷ñc gåi l  mët phùc hay d¢y nûa khîp n¸u Imfi ⊂ Kerfi+1, vîi

måi i

(ii) σ ÷ñc gåi l  mët d¢y khîp n¸u Imfi = Kerfi+1, vîi måi i

1.6.2 ành ngh¾a Mët d¢y khîp gçm 5 mæun 0 → M → Mf 0 f

m 7→ m

g : M → M/M0 l  to n c§u ch½nh t­c

m 7→ m + M0V½ dö 2 Cho A, B l  c¡c R - mæun Vîi måi a ∈ A, b ∈ B ta câ d¢ykhîp ng­n

0 → A→ A ⊕ Bf → B → 0gVîi f : A → A ⊕ B

a 7→ (a, 0)

g : A ⊕ B → B

(a, b) 7→ b1.6.4 M»nh · D¢y c¡c çng c§u 0 → M → Mf 0→ Mg 00→ 0 l mët d¢y khîp ng­n khi v  ch¿ khi f l  ìn c§u, g l  to n c§u v Imf = Kerg

1.6.5 ành ngh¾a

a) D¢y khîp → M → Mf 0 → Mg 00→ ÷ñc gåi l  ch´ ra t¤i M0

n¸u v  ch¿ n¸u Imf = Kerg l  mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M0

tùc l 

M0 = Imf ⊕ B, B l  mæun con cõa M0

b) Mët d¢y khîp ÷ñc gåi l  ch´ ra n¸u nâ ch´ ra t¤i måi mæunkhæng ð hai ¦u cõa d¢y.

1.6.6 Nhªn x²t D¢y khîp ng­n 0 → M → Mf 0→ Mg 00→ 0 ch´ rakhi v  ch¿ khi nâ ch´ ra t¤i M0

.1.6.7 V½ dö

Cho c¡c R - mæun A v  B Ta câ d¢y khîp sau l  d¢y ch´ ra

Ta l¤i câ Kerg = Imf = A, A ∩ B = 0 Suy ra Kerh = {0}

Do â h l  ìn c§u Tø â ta suy ra B ' Imh (1)

• Gi£ sû m00 ∈ Img, m00 tòy þ cho tr÷îc Khi â tçn t¤i m0 ∈ M0 saocho g(m0) = m00

V¼ M0 = A + B n¶n tçn t¤i a ∈ A, b ∈ B sao cho m0 = a + b

Khi â câ m00 = g(m0) = g(a + b) = g(a) + g(b) (do g l  R - çng c§u)

= g(b) (do a ∈ A = Kerg n¶n g(a) = 0)

H» qu£ 2 Mët d¢y khîp tòy þ → M → Mf 0→ Mg 00→ nhúng

çng c§u cõa nhúng R - mæun ch´ ra t¤i M0 n¸u tçn t¤i çng c§u

h : M0 → M thäa m¢n hf = 1M

Khi â M0 ' Imf ⊕ Img ' M ⊕ Img

H» qu£ 3 Cho d¢y khîp tòy þ → M → Mf 0→ Mg 00→ nhúng

çng c§u cõa nhúng R - mæun ch´ ra t¤i M0 n¸u tçn t¤i çng c§u

k : M00 → M0 thäa m¢n gk = 1M 00

Khi â M0 ' Imf ⊕ Img ' Imf ⊕ M00

ành lþ d÷îi ¥y l  i·u ki»n º kiºm tra d¢y khîp ng­n l  d¢ykhîp ch´ ra

1.6.10 ành lþ

Cho d¢y khîp ng­n 0 → M→ Mf 0→ Mg 00→ 0 nhúng çng c§u cõanhúng R - mæun Ba i·u sau ¥y l  t÷ìng ÷ìng:

(i) D¢y khîp ng­n â ch´ ra;

(ii) çng c§u f câ mët nghàch £o tr¡i;

(iii) çng c§u g câ mët nghàch £o ph£i.

Chùng minh

(ii) ⇒ (i) Theo h» qu£ 2 (ph¦n 1.6.9)

(iii) ⇒ (i) Theo h» qu£ 3 (ph¦n 1.6.9)

(i) ⇒ (ii) Gi£ sû d¢y khîp ng­n ¢ cho ch´ ra °t D = Imf = KergTheo ành ngh¾a ta câ M0 = D + E trong â E l  mët R - mæun concõa M0 v  D ∩ E = 0

Do d¢y tr¶n l  d¢y khîp n¶n f l  mët R - ìn c§u Suy ra Imf ' M

Do â nâ x¡c ành mët ¯ng c§u:

i : M → D = Imf

m 7→ i(m) = f (m)Gi£ sû m0 ∈ M0, m0 tòy þ cho tr÷îc Khi â tçn t¤i duy nh§t

u ∈ D, v ∈ E sao cho m0 = u + v

X²t R - çng c§u h : M0 → M

m0 7→ h(m0) = i−1(u)Khi â hf : M → M v  vîi måi m ∈ M

(hf )(m) = h [f (m)] = h [f (m) + 0E] = i−1[f (m)] = m

Do â hf l  mët R - tü ¯ng c§u çng nh§t cõa M

Suy ra h l  mët nghàch £o tr¡i cõa f

(i) ⇒ (iii) Ta câ g : M0 → M00 l  mët to n c§u vîi D l  h¤t nh¥ncõa nâ

X²t ¡nh x¤ j = g/E : E → M00

Do D = Kerg v  D ∩ E = 0 n¶n:

(+) j l  mët to n c§u

(+) Kerj = {0M 0} n¶n j l  mët R -ìn c§u

Suy ra j l  mët R - ¯ng c§u.

X²t çng c§u k : M00 → M0

m00 7→ k(m00) = j−1(m00)

Do â gk : M00 → M00 l  mët tü ¯ng c§u çng nh§t cõa M00

Suy ra k l  mët nghàch £o ph£i cõa g

Vªy ta câ i·u ph£i chùng minh

b) V nh R ÷ñc gåi l  v nh Noether n¸u R l  R - mæun Noether.2.1.1.2 ành lþ (V· °c tr÷ng cõa mæun Noether)

Cho R - mæun M Khi â c¡c i·u ki»n sau t÷ìng ÷ìng:

(i) M l  R - mæun Noether;

(ii) Måi mæun con thüc sü cõa M ·u l  húu h¤n sinh;

(iii) Måi d¢y t«ng c¡c mæun con cõa M: M1 ⊂ M2 ⊂ ⊂ Mn ⊂

·u døng, tùc tçn t¤i n º Mn = Mn+1 =

Chùng minh

(i) ⇒ (iii) Gi£ sû M1 ⊂ M2 ⊂ ⊂ Mn ⊂ l  mët d¢y t«ng tòy þc¡c mæun con cõa M

Gåi F l  tªp t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa d¢y n y.

Do M l  mæun Noether n¶n tªp n y câ ph¦n tû cüc ¤i Mn vîi n

n o â Khi â ta câ Mn = Mn+1 =

(iii) ⇒ (ii) Gi£ sû tr¡i l¤i, tçn t¤i mët mæun con N cõa mæun Mkhæng húu h¤n sinh Khi â, trong N tçn t¤i mët d¢y væ h¤n c¡c ph¦n

tû x1, x2, , xn, sao cho n¸u °t Mn =

nPi=1

c¡c mæun con cõa M i·u n y m¥u thu¨n vîi (iii)

Vªy måi mæun con cõa M húu h¤n sinh

(ii) ⇒ (i) Gi£ sû S l  mët tªp kh¡c réng c¡c mæun con cõa M Do

â ta chån ÷ñc mët mæun con M1 ∈ S

N¸u M1 khæng ph£i l  ph¦n tû cüc ¤i trong S th¼ tçn t¤i M2⊃

6= M1.N¸u M2 khæng ph£i l  ph¦n tû cüc ¤i trong S th¼ tçn t¤i M3⊃

6= M2.L°p l¤i lªp luªn â ta suy ra n¸u trong S khæng câ ph¦n tû cüc ¤ith¼ s³ tçn t¤i mët d¢y t«ng væ h¤n

M1 ⊂ M2 ⊂ ⊂ Mn ⊂ (*)khæng døng c¡c mæun con cõa M (1)

Nh÷ th¸ d¢y (*) bà døng b­t ¦u tø và tr½ thù k ( m¥u thu¨n vîi (1))Vªy måi tªp hñp khæng réng c¡c mæun con cõa M ·u câ mët ph¦n

tû cüc ¤i Suy ra M l  mæun Noether

2.1.1.3 M»nh · Cho R l  mët v nh giao ho¡n câ ìn và v  mët d¢ykhîp ng­n c¡c R - mæun 0 → M0 f→ M → Mg 00 → 0 Khi â M l  R -mæun Noether khi v  ch¿ khi M0 v  M00 l  c¡c R - mæun Noether.Chùng minh

⇒ Gi£ sû M l  R - mæun Noether Tø d¢y khîp ng­n ¢ cho, taluæn câ thº coi M0 l  mët mæun con cõa M v  M00

= M/M0, theongh¾a sai kh¡c mët ¯ng c§u

Khi â måi d¢y t«ng c¡c mæun con cõa M0 công l  d¢y t«ng c¡cmæun con cõa M Do â nâ ph£i døng Vªy M0 l  mæun Noether.Gi£ sû N1 ⊂ N2 ⊂ ⊂ Nn ⊂ (*) l  d¢y t«ng c¡c mænun cõa M00C¡c mæun con Ni cõa M00

= M/M0 l  Mi/M0, trong â Mi l  c¡cmæun con cõa M

Suy ra tçn t¤i d¢y t«ng c¡c mæun con cõa M

M1 ⊂ M2 ⊂ ⊂ Mn ⊂ (**)

Do M l  mæun Noether n¶n d¢y (**) l  d¢y døng

Suy ra M1/M0 ⊂ M2/M0 ⊂ ⊂ Mn/M0 ⊂ l  d¢y døng

Khi â tçn t¤i n sao cho Mn/M0 = Mn+1/M0 =

Hay tçn t¤i n sao cho Nn = Nn+1 =

Suy ra d¢y (*) l  d¢y døng Vªy M00 l  mæun Noether

⇐ N¸u M0, M00 l  mæun Noether

Gi£ sû M1 ⊂ M2 ⊂ ⊂ Mk ⊂ (1) l  d¢y t«ng c¡c mæun concõa M Khi â d¢y t«ng c¡c mæun con cõa M0 l