MÔĐUN BAER VÀ MÔĐUN TỰABAER

Kể từ năm 1980, sự phát triển của lớp môđun mở rộng hay còn gọi là môđunCS là một phần quan trọng của lý thuyết vành.. Nghiên cứu về tính chất của vành Baer vàvành tựa-Baer cung cấp một

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Trương Công Quỳnh

Đà Nẵng - Năm 2014

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệukết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bốtrong bất kỳ công trình nào khác.

Đà Nẵng, ngày 20 tháng 06 năm 2014

Học viên

Nguyễn Thế Việt

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Tổng quan tài liệu nghiên cứu 2

MỘT SỐ KÍ HIỆU 3

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐÃ BIẾT 4

1.2 MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN QUAN 11

CHƯƠNG 2 MÔĐUN BAER 14

2.1 ĐỊNH NGHĨA 14

2.2 MÔĐUN BAER VÀ MỞ RỘNG CỦA MÔĐUN BAER 17

2.3 HẠNG TỬ TRỰC TIẾP CỦA MÔĐUN BAER 20

2.4 TỔNG TRỰC TIẾP CỦA MÔĐUN BAER 24

CHƯƠNG 3 MÔĐUN TỰA-BAER 32

3.1 ĐỊNH NGHĨA 32

3.2 MÔĐUN TỰA-BAER VÀ FI MỞ RỘNG CỦA MÔĐUN TỰA-BAER 35 3.3 HẠNG TỬ TRỰC TIẾP VÀ TỔNG TRỰC TIẾP CỦA MÔĐUN TỰA-BAER 36

KẾT LUẬN 43

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (Bản sao)

Kí hiệu Tên gọi

N ≤e M N là môđun con cốt yếu trong M

N ≤c M N là môđun con đóng trong M

N ≤⊕ M N là hạng tử trực tiếp của M

N E M N là môđun con bất biến hoàn toàn trong M

(tức là: ∀ϕ ∈ End(M ), ϕ(N ) ⊆ M )

N Ee M N là môđun con bất biến hoàn toàn và cốt yếu trong M

N Ec M N là môđun con bất biến hoàn toàn và đóng trongM

N E⊕ M N là hạng tử trực tiếp của môđun con bất biến

hoàn toàn trong M

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Lý thuyết vành Baer và vành tựa-Baer được Kaplansky nghiên cứu vàphát triển từ những năm 1951, nhờ nghiên cứu trước đó của ReinholdBaer Kế tiếp sau đó là sự đóng góp của các nhà nghiên cứu A.W.Chatter, S.M Khuri, F Birkenmeier, S.K Berberian, Kể từ năm

1980, sự phát triển của lớp môđun mở rộng (hay còn gọi là môđunCS) là một phần quan trọng của lý thuyết vành

Những nghiên cứu, đóng góp của M Harada, B M¨uller, B Osofsky,P.F Smith, D.V Huynh, N.V Dung, R Wisbauer , và có nhiều bàibáo được công bố trên thế giới liên quan tới lý thuyết này Nhiều côngviệc đã được thực hiện trong việc tìm kiếm các điều kiện cần và đủ

để chứng tỏ tổng trực tiếp của các môđun mở rộng là mở rộng, nhưngkết quả vẫn còn hạn chế Nghiên cứu về tính chất của vành Baer vàvành tựa-Baer cung cấp một cách tiếp cận mới có thể kiểm tra về tínhchất mở rộng, hay mối quan hệ của lớp môđun khác với lớp môđun

mở rộng Vì vậy, trong đề tài này chúng tôi tổng quan các tính chấtcủa lớp môđun Baer và môđun tựa-Baer

Được sự định hướng của TS Trương Công Quỳnh, tôi đã chọn

đề tài : "MÔĐUN BAER VÀ MÔĐUN TỰA-BAER" làm đềtài luận văn thạc sĩ của mình

2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Thông qua luận văn, chúng tôi sẽ tổng quan một số đặc trưng củamôđun Baer và môđun tựa-Baer, qua đó làm rõ các nghiên cứu đã cótrước đây Chỉ ra mối quan hệ giữa môđun Baer và mở rộng củamôđun Bear, mối quan hệ giữa môđun tựa-Baer và mở rộng củamôđun tựa-Baer

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Giới thiệu các khái niệm môđun Baer và môđun tựa-Baer Với nhữngkiến thức của mình, tôi trình bày một số lý thuyết cho phép chúng

ta chứng minh lý thuyết về môđun Baer và phần mở rộng của nó

4 Phương pháp nghiên cứu

• Đọc sách và tài liệu tham khảo

5 Bố cục đề tài

Trong luận văn này,

• Chương 1 : Giới thiệu các kiến thức chuẩn bị về môđun Baer vàmôđun tựa-Baer

• Chương 2 : Môđun Baer

• Chương 3 : Môđun tựa-Baer và mở rộng của nó

6 Tổng quan tài liệu nghiên cứu

• Chứng minh các khái niệm hữu ích trong việc cung cấp câu trảlời cho một trong những vấn đề lý thuyết của lớp môđun mở rộnghay cho kết quả chứng minh một cách tổng quát hơn

• Đề tài mang ý nghĩa về mặt lý thuyết, sẽ là tài liệu tham khảocho các sinh viên

• Ngoài ra đề tài còn ứng dụng trong vành các số nguyên Z, vànhnày là một trong những ví dụ quan trọng của vành Baer

CHƯƠNG 1KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐÃ BIẾT

Trong toàn bộ luận văn R luôn được kí hiệu là vành (không nhấtthiết là vành giao hoán) có đơn vị 1 6= 0

Trước hết chúng ta nhắc lại một số khái niệm về môđun:

Định nghĩa 1.1.1 Cho R là vành Một R-môđun phải M là:

(1) Nhóm cộng aben M cùng với

(2) Ánh xạ

M × R −→ M(m, r) 7−→ mr

được gọi là phép nhân môđun thoả mãn các điều kiện sau:

(i) Qui tắc kết hợp: (mr1)r2 = m(r1r2)

(ii) Qui tắc phân phối: (m1 + m2)r = m1r + m2r

m(r1 + r2) = mr1 + mr2

(iii) Qui tắc unita: m1 = m

trong đó m, m1, m2 là các phần tử tuỳ ý của M, r1, r2 ∈ R

Trong đó R được gọi là vành cơ sở Nếu M là một R-môđun phải ta thường

kí hiệu M = MR Tương tự ta cũng định nghĩa khái niệm R-môđun trái

Ví dụ 1.1.1 (1) Không gian véctơ trên một trường R chính là một môđuntrên trường R

(2) Mọi nhóm aben cộng đều có thể xem như một Z-môđun Ngược lại, mọiZ-môđun đều thu từ nhóm aben cộng

(3) Vành R có thể được xem như vành môđun phải (trái) trên chính nó

Nhờ trường hợp này người ta có thể nghiên cứu nhiều tính chất của vànhthông qua môđun trên vành đó.

(4) Xét R là vành giao hoán có đơn vị Lúc đó vànhR [x] là các đa thức ẩn xlấy hệ tử trong R XétR [x] với phép cộng thông thường cùng với phép nhânmôđun xác định như sau: R(a0+a1x+ .+anxn) = ra0+ra1x+ .+ranxn

với mọi r ∈ R, mọi a0, a1, , an ∈ R Thì khi đó dễ dàng chứng minhđược R [x]

Định nghĩa 1.1.2 Cho M là R-môđun phải Tập con A khác rỗng của

M được gọi là môđun con của M (ký hiệu A 6 M hay AR 6 MR) nếu A

là R-môđun phải với phép toán cộng và nhân môđun hạn chế trên A.Định nghĩa 1.1.3 (1) Môđun MR được gọi là đơn nếu M 6= 0 và M chỉ

có hai môđun con là 0 và M

(2) Môđun con A của M được gọi là đơn nếu R 6= 0 và R chỉ có iđêan haiphía là 0 và M

(3) Môđun con A của M được gọi là môđun con cực tiểu của môđun Mnếu A 6= 0 và mọi B 6 M [B  A ⇒ B = 0]

(4) Tương tự, môđun A 6 M được gọi là môđun con cực đại của môđun

M nếu như A 6= M và mọi B 6 M [A  B ⇒ B = M ]

Bổ đề 1.1.1 Môđun MR là đơn khi và chỉ khi M 6= 0 và với mọi m ∈

M, m 6= 0, M = mR

Chứng minh Môđun MR là đơn và m 6= 0 Lúc đó mR 6= 0 suy ra mR =

M Đảo lại, cho A 6= 0, A 6 M và a ∈ A, a 6= 0 Ta có aR = M Từ đó

thì (∗) được gọi là một phân tích nửa đơn của M.

(b) Một môđun M được gọi là nửa đơn nếu nó có một phân tích nửa đơn.(c) Vành R được gọi là nửa đơn phải (trái) nếu môđun RR (RR) nửa đơn

Ta thấy rằng môđun đơn là nửa đơn cho nên đối với mọi vành R tồn tạimôđun nửa đơn Ngoài ra, ta cũng thấy môđun 0 là nửa đơn vì

0 = P

i∈∅Mi, Mi đơn,nhưng 0 không đơn (theo định nghĩa)

Định nghĩa 1.1.5 Cho họ cácR-môđun phải(Ai|i ∈ i) Lúc đó R-môđunphải Q

i∈IAi được gọi là tích trực tiếp của họ đó (2) Môđun con gồm tất

cả các phần tử có giá hữu hạn của Q

i∈IAi được gọi là tổng trực tiếp(ngoài) của họ (Ai, i ∈ I) Ta kí hiệu nó là Li∈IAi

Định lý 1.1.1 Giả sử M là một R-môđun phải và(Mi)i∈I là họ các môđuncon của M Xét ánh xạ

(3) M = P

i∈IMi và mọi hệ thức có dạng Pi∈Ixi = 0, trong đó phần tử

(xi) có giá trị hữu hạn đều suy ra (xi) = 0 với mọi i ∈ I

nếu các điều kiện tương đương của Định lý 1.1.1 được thoả mãn Lúc đó

Khi I hữu hạn ta viết M = M1 + + Mn

Định nghĩa 1.1.7 Cho R-môđun phải M 6= 0 được gọi là không phântích được nếu M không thể viết được thành tổng trực tiếp của hai R-môđun con thật sự Điều kiện sau dẫn đến vành End(MR) không có phần

tử luỹ đẳng không tầm thường

Định nghĩa 1.1.8 Cho MR và N ≤ M N được gọi là hạng tử trực tiếpcủa M nếu tồn tại môđun con P của M sao cho M = N ⊕ P Lúc đó tanói P là môđun con phụ của N trong M

Từ định nghĩa ta suy ra:

N là hạng tử trực tiếp của M ⇔ ∃P ≤ M [M = N + P và N ∩ P = 0].Định nghĩa 1.1.9 Cho A và B là hai R-môđun phải Đồng cấu α từ Avào B là ánh xạ α : A → B thoả mãn:

Với mọi α1, α2 ∈ A, mọi r1, r2 ∈ R [α(α1r1 + α2r2)] = α(α1)r1α(α2)r2.Lúc đó ta viết AR → BR

Đồng cấu α : AR → BR được gọi là đơn cấu nếu nó là đơn ánh, đượcgọi là toàn cấu nếu nó là toàn ánh, và được gọi là đẳng cấu nếu α là songánh (nghĩa là nó toàn cấu và đơn cấu)

Ví dụ 1.1.2 (1) Đồng cấu không từ AR vào BR đó là 0 : α → 0 ∈ B.(2) Phép nhúng môđun con A vào BR đó là:

i : A −→ B

a 7−→ a

Định nghĩa 1.1.10 R-môđun trái HomR(A, R) được gọi là môđun đốingẫu của AR và kí hiệu là A

Ví dụ 1.1.3 (1) Vành R-môđun phải (trái) tự do với cơ sở là {1}.

(2) Mọi không gian véctơ đều là môđun con tự do vì chúng luôn có cơ sở

là {1}

Định nghĩa 1.1.11 Cho MR

(1) Môđun M được gọi là hữu hạn sinh nếu đối với M tồn tại hệ sinh gồmhữu hạn phần tử

(2) Môđun M được gọi là cyclic nếu nó được sinh bởi một phần tử

Ví dụ 1.1.4 (1) Mỗi môđun M có hệ sinh tầm thường chính là M

(2) Cho R là một vành Khi đó {1} là cơ sở của RR (hay RR)

Định nghĩa 1.1.12 Một vành R được gọi là địa phương nếu R có duynhất một iđêan phải (hoặc trái) cực đại Vành R được gọi là nửa địaphương nếu vành thương R/J (R) là Artin nửa đơn

Định nghĩa 1.1.13 Một vành R được gọi là nửa hoàn chỉnh nếu R làvành nửa địa phương và các luỹ đẳng nâng được modulo J(R)

Một iđêan A của vành R được gọi là T -luỹ tinh phải nếu mọi dãya1, a2,

của A đều tồn tại n ∈ N, n ≥ 1 để cho anan−1 a2a1 = 0

Định nghĩa 1.1.14 Một vành R được gọi là hoàn chỉnh phải nếu R làvành nửa hoàn chỉnh và J(R) là T -luỹ tinh phải

Định nghĩa 1.1.15 Môđun UR được gọi là nội xạ theo MR (hay UR

là M -nội xạ) nếu với mọi R-đơn cấu i : NR → MR và mọi R-đồng cấu

f : NR → UR đều tồn tại một đồng cấu g : MR → UR sao cho f = g · i.MôđunUR được gọi là nội xạ nếuUR là M -nội xạ, với mọi M ∈ M od − R.Định nghĩa 1.1.16 Một môđun con K của M là cốt yếu (lớn) trong M,

ký hiệu K ≤e M, trong trường hợp với mọi môđun con L ≤ M

K ∩ L = 0 suy ra L = 0

Đối ngẫu, một môđun con K của M gọi là đối cốt yếu (nhỏ) trong M, kýhiệu: K  M, trong trường hợp với mọi môđun con L ≤ M,

K + L = M suy ra L = M.Định nghĩa 1.1.17 Đơn cấu f : K → M được gọi là cốt yếu nếu

Imf ≤e M

Toàn cấu g : M → N được gọi là cốt yếu nếu Kerf  M

Định nghĩa 1.1.18 ChoUR, MR là các môđun Khi đó, U được gọi là xạảnh theo M ( hay U là M -xạ ảnh), trong đó với mọi toàn cấug : MR → NR

và mỗi đồng cấu v : UR → NR tồn tại một R-đồng cấu v : U → M saocho biểu đồ sau giao hoán

f : KR → MR và mỗi đồng cấu v : KR → UR tồn tại một R-đồng cấu

v : M → U sao cho biểu đồ sau giao hoán:

Định nghĩa 1.1.20 Đơn cấu µ : M → Q được gọi là bao nội xạ đối với

M nếu Q là môđun nội xạ còn µ là đơn cấu đối cốt yếu

Định nghĩa 1.1.21 IđêanP của vành R được gọi là iđêan nguyên tố nếuvới mọi a, b ∈ R sao cho ab ∈ P thì suy ra a ∈ P hoặc b ∈ P.

Iđêan C của vành R được gọi là iđêan nửa nguyên tố nếu với mọi iđêan

Định nghĩa 1.1.24 Cho MR và X ⊆ M Linh hoá tử phải của X trong

R là:

rR(X) = {r ∈ R | xr = 0, x ∈ X}.Cho A ⊆ R Linh hoá tử trái của A trong M là:

lM = {x ∈ M | xa = 0, a ∈ A}.Khi X = {x} hay A = {a}, ta viết rR(x) hay lM(a) Với những linh hoá

tử trên R, nếu không có gì nhầm lẫn, người ta có thể bỏ kí hiệu R trong

Định nghĩa 1.1.27 Một môđun M được gọi là môđun FI-mở rộng nếutất cả N  M, khi đó tồn tại một hạng tử trực tiếp N0 của M sao cho

Định nghĩa 1.1.29 Một vành R được gọi là vành tựa-Baer nếu linh hoá

tử phải trong R của tất cả iđêan được sinh bởi một phần tử luỹ đẳng thuộc

R (tức là ∀I R, rR(I) = eRtrong đó e2 = e ∈ R) như là R-môđun phải.Định nghĩa 1.1.30 Một vành R được gọi là không suy biến phải nếukhông có phần tử khác 0 với linh hoá tử phải là cốt yếu trong RR

Định nghĩa 1.1.31 Một vành R được gọi là đối không suy biến phải nếubất kì iđêan phải với linh hoá tử trái 0 là cốt yếu trong RR

Định nghĩa 1.1.32 Một phần tử luỹ đẳng e2 = e ∈ R được gọi là luỹđẳng nửa tâm trái nếu eR là iđêan hai phía của R

Một phần tử luỹ đẳng e2 = e ∈ R được gọi là luỹ đẳng nửa tâm phải nếu

Re là iđêan hai phía của R

1.2 MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN QUAN

Các bổ đề sau đây sẽ hữu ích cho việc sử dụng cho các chương sau

lM(J ) M.

Các khẳng định 6, 7, 8 sẽ được chứng minh tương tự

Tiếp theo, chúng tôi đưa ra một vài kết quả liên quan tới môđun conhoàn toàn bất biến, sẽ được sử dụng sau này

Bổ đề 1.2.2 Cho M là môđun và M = M1 ⊕ M2 Nếu N  M thì

N = N1 ⊕ N2, trong đó Ni = N ∩ Mi  Mi với mỗi i = 1, 2

Chứng minh Lấy πi là phép chiếu chính tắc của M lên Mi với mỗi i =

1, 2 Khi N  M, πi(N ) = N ∩ Mi = Ni với mỗi i = 1, 2, ta có N ⊆

π1(N ) + π2(N ) = N1 + N2 Mặt khác, khi Ni ⊆ N với mỗi i = 1, 2,

ta có N1 + N2 ⊆ N Như vậy, N1 ∩ N2 = N ∩ M1 ∩ M2 = 0 Khi đó,

nghĩa của F2 Đối với ϕ ∈ Hom(N1, N2); χ12ϕ ∈ End(N1) chỉ ra rằng

Điều kiện cần: Giả sử tồn tại X ⊆ R sao cho Y ≤c RR, rR(X) ≤e Y Cho

y ∈ Y, đặt P = {r ∈ R|yr ∈ rR(X)} là cốt yếu trong RR, chứng minh

dễ dàng X(yE) = 0 ⇒ (Xy)E = 0 ⇒ Xy = 0 theo tính chất không suybiến của R Do đó y ∈ rR(X) ⇒ rR(X) = Y ≤c R

Mối quan hệ giữa tính chất mở rộng và tính chất của Baer trong một

số hình thức của tính không suy biến là hiển nhiên trong Bổ đề 1.2.4 Khi

R mở rộng, tất cả các iđêan đóng được sinh bởi phép luỹ đẳng Như vậylinh hoá tử phải của bất kì tập con của R được sinh bởi phép luỹ đẳngbiến R thành Baer

CHƯƠNG 2MÔĐUN BAER

2.1 ĐỊNH NGHĨA

Định nghĩa 2.1.1 Một R-môđun phải M được gọi là môđun Baer nếu

∀N ≤ M, lS(N ) = Se với e2 = e ∈ S nào đó Tương đương ∀I ≤ SS,

rM = eM với mỗi e2 = e ∈ S nào đó

Ví dụ 2.1.1 Rõ ràng, tất cả các môđun nửa đơn là môđun Baer Z(N) làZ-môđun Baer, ∀n ∈ N.

Tính chất giao các hạng tử (SIP) của môđun đã được giới thiệu trong [14].Định nghĩa 2.1.2 Môđun M được gọi là thoả mãn tính chất giao củahai hạng tử trực tiếp (viết tắt SIP ) nếu giao hai hạng tử trực tiếp bất kìcủa M là hạng tử trực tiếp

Một môđun gọi là thoả mãn tính chất giao của các hạng tử trực tiếp mạnh(viết tắt SSIP ) nếu giao của một bất kỳ các họ hạng tử trực tiếp bất kìcủa M là hạng tử trực tiếp của M

Chúng tôi đưa ra tính chất của môđun Baer dựa trên tính chất SSIP.Mệnh đề 2.1.1 Một môđun M là Baer nếu và chỉ nếu M thoả mãn tínhchất SSIP và Ker(ϕ) ≤⊕ M, ∀ϕ ∈ S

Chứng minh Điều kiện cần là rõ ràng

Khi tập iđêan chính là tập con của tập tất cả iđêan trái

Ta chứng minh M thoả mãn tính chất SSIP

Ngược lại: Cho m ∈ M \ N Khi đó, tồn tại i0 sao cho (1 − ei)m 6= 0 suy

ra m /∈ rM(I) Vậy rM(I) = N Vì M là Baer ta có T

i∈IeiM = N =

rM(I) ≤⊕ M Do đó M thoả mãn SSIP

Điều kiện đủ: LấyI ≤SS tuỳ ý Theo giả thiết, vớiϕ ∈ I ta có:Ker(ϕ) ≤⊕

M Mặt khác rM(I) = T

ϕ∈IKer(ϕ) ≤⊕ M, theo tính chất SSIP

Vậy M là môđun Baer

Trong [3] ta thấy rằng một vành không suy biến phải mở rộng phảitrùng với vành Baer đối không suy biến phải Chúng ta đưa ra một kếtquả về tính đối không suy biến và cũng là điều kiện yếu hơn vì tính khôngsuy biến của môđun

Định nghĩa 2.1.3 Một môđun M làK-không suy biến nếu với mọiϕ ∈ S,

rM(ϕ) = Kerϕ ≤e M suy ra ϕ = 0

Định nghĩa 2.1.4 Một môđun M là K-đối không suy biến nếu với mọi

N ≤ M, lS(N ) = 0 suy ra N ≤e M (tương đương ϕ(N ) 6= 0 với mọi

Khi đó, ∃0 6= ϕ ∈ S sao cho Ker(ϕ) ≤e M vì ϕ 6= 0, ∃0 6= m ∈

M \Ker(ϕ) Tập I = {r ∈ R\mr ∈ Ker(ϕ)} là iđêan phải thuộc R

Ta có I ≤e R : r /∈ I ⇒ mr /∈ Ker(ϕ) ⇒ ∃r0 sao cho 0 6= mrr0 ∈Ker(ϕ) ⇒ 0 6= rr0 ∈ I Mặt khác, 0 6= ϕ(m), ϕ(m)I = 0 (mâu thuẫn vớitính chất không suy biến của M ) Vậy M là K-không suy biến

Ví dụ 2.1.3 Z-môđun Zp là K-không suy biến với p là số nguyên tố (nó

là một môđun đơn vì vậy tất cả tự đồng cấu khác không là tự đẳng cấu)

Dễ dàng kiểm tra được môđun Zp không thoả mãn tính không suy biến (với mọi x ∈ˆ Zp, ˆx · pZ = 0 và pZ ≤e

-Chứng minh Theo định nghĩa ta có ∀K ≤ M và ∀ϕ : K → M, thì

Kerϕ ≤e K ⇒ ϕ = 0 Khi K = M ta có ∀ϕ : M → M, thì Kerϕ ≤e

M ⇒ ϕ = 0

Do đó, M là K-không suy biến

Chúng tôi chứng minh tính chất của K-không suy biến và K-đối khôngsuy biến (sẽ được áp dụng sau này)

Mệnh đề 2.1.3 Cho M là một R-môđun Khi đó:

(i) M làK-không suy biến nếu và chỉ nếu với mọiI ≤ SS, thìrM(I) ≤e eM

với e2 = e ∈ S nào đó, nghĩa là I ∩ Se = 0;

(ii) M là K-đối không suy biến nếu và chỉ nếu với mọi N ≤ M, thì

rM(lS(N )) ≤⊕ M nghĩa là N ≤e rM(lS(N ))

Chứng minh (i) Chọn I ≤ S sao cho rM(I) ≤e eM, ta có rM(I ∩ Se) =

rM(I) ⊕ (1 − e)M ≤e M (vì M là K-không suy biến) suy ra I ∩ Se = 0.Ngược lại, ta chứng minh M là K-không suy biến

Lấy I ≤ SS ta có r(M ) ≤e M = 1M.M, khi đó theo giả thuyết ta có

I ∩ S.1M = 0 suy ra I = 0

(ii) rM(lS(N )) = eM với e2 = e ∈ S nào đó, suy ra lS(N ) ⊆ S(1 − e) Vì

N ≤ rM(lS(N )) = eM nên lS(N ⊕ (1 − e)M ) = 0 Theo tính chất của

K-đối không suy biến, N ⊕ (1 − e)M ≤e M ⇒ N ≤e eM = rM(ls(N ))

Ngược lại, chọn N ≤ M với lS(N ) = 0 ⇒ rM(lS(N )) = M Khi đó

N ≤e rM(lS(N )) = M

Ví dụ 2.1.4 Nếu MR = RR hoặc nếu MR là môđun trung thành trên vànhgiao hoán R, khi đó tính K-không suy biến của M trùng với tính không suybiến của M

Với điều kiện của tính không suy biến được biết, chúng ta có tính duynhất của bao đóng Đối với khái niệm tổng quát của K-không suy biếnchúng ta có kết quả tương tự

Định lý 2.1.2 Cho môđun M là K-không suy biến và M ≤ N Nếu

N ≤e Ni ≤⊕ M với i = 1, 2, thì N1 = N2

Chứng minh Lấy tự đồng cấu (1 − π1)π2, trong đó πi là phép chiếu chínhtắc của M lên Ni, với i = 1, 2 Khi đó, ((1 − π1)π2)N = (1 − π1)(π2N ) =(1 − π1)(π1N ) = ((1 − π1)π1)N = 0 Lấy N20 sao cho N2⊕ N20 = M, ((1 −

π1)π2)N20 = (1 − π1)(π2N20) = (1 − π1)(0) = 0

Do đó,N ⊕ N20 ⊆ Ker((1 − π1)π2) Mặt khác,N ⊕ N20 ≤e N2⊕ N20 = M ⇒Ker((1 − π1)π2) ≤e M ⇒ ((1 − π1)π2) = 0 ⇒ π2 = π1π2 ⇒ N2 ⊆ N1.Tương tự, bằng cách lấy tự đồng cấu (1 − π2)π1 và chỉ ra nó là phần tử 0

Ta có N2 ⊆ N1

2.2 MÔĐUN BAER VÀ MỞ RỘNG CỦA MÔĐUN BAERTrong [3], Chatters và Khuri đã đưa ra mối quan hệ giữa tính chất mởrộng của vành và tính chất mở rộng của vành Baer cho chúng ta các tínhchất sau

Định lý 2.2.1 ([3, Định lý 2.1]; [5, Định lý 12.2]) Cho R là một vành.Khi đó R là không suy biến phải và là vành mở rộng phải nếu và chỉ nếu

R là vành Baer đối không suy biến phải

Một trong những định lí của chương này là thêm vào các tính chất vềmôđun mở rộng và tính chất tương tự với môđun Baer Kết quả tiếp theo

là mở rộng từ kết quả của Chatters và Khuri

Định lý 2.2.2 Một môđun M được gọi là K-không suy biến nếu và chỉnếu M là Baer và K-đối không suy biến

Để chứng Định lý 2.2.2 ta cần 4 Bổ đề sau:

Bổ đề 2.2.1 Mọi mở rộng môđun M mở rộng là K-đối không suy biến.Chứng minh Lấy N ≤ M sao cho ϕ(N ) 6= 0, ∀0 6= ϕ ∈ S Nếu N e M,theo tính chất mở rộng ta có N ≤e eM với phần tử e ∈ S nào đó sao cho

e 6= 1 Từ đó, (1 − e) 6= 0; mặt khác, (1 − e)N = 0 Điều này mâu thuẫn.Vậy M là K-đối không suy biến

Bổ đề 2.2.2 Mọi môđun mở rộng K-không suy biến M là một môđunBaer

Chứng minh Giả sử M là một môđun mở rộng K-không suy biến Cho

N ≤ M Theo các tính chất mở rộng, tồn tạie2 = e ∈ S sao choN ≤e eM.Khi đó, lS(N ) ⊇ lS(eM ) = S(1 − e) Giả sử lS(N ) 6= lS(eM )thì tồn tại

ϕ ∈ lS(N ) \ S(1 − e)

Vì S = Se ⊕ S(1 − e), ta có ϕ = s1e + s2(1 − e), với s1, s2 ∈ S và s1e 6= 0;Thay ϕ bằng ϕ − s2(1 − e) ∈ lS(N ), ta giả sử rằng 0 6= ϕ ∈ Se Ta có

ϕ(N ) = 0 và ϕ((1 − e)M ) = 0 và ϕ(N ⊕ (1 − e)M = 0

Mặt khác: N ⊕ (1 − e)M ≤e M, do đó theo tính chất K-không suy biếncủa M ta có ϕ = 0, điều này mâu thuẫn với giả thiết

Vậy lS(N ) = S(1 − e) và M là môđun Baer

Bổ đề 2.2.3 Mọi M môđun Baer là K-không suy biến

Chứng minh Cho M là môđun Baer và ϕ ∈ S là tự đồng cấu bất kìcủa M với Kerϕ ≤e M Vì M là Baer, ta có Kerϕ = rM(Sϕ) = f M

với f2 = f ∈ S là hạng tử và là môđun con cốt yếu trong M suy ra

Kerϕ = M Do đó ϕ = 0 Điều này chứng tỏ M là K-không suy biến

Bổ đề 2.2.4 Mọi môđun Baer K-đối không suy biến là một môđun mởrộng

Chứng minh Giả sử M là K-đối không suy biến và M là môđun Baer.Theo Bổ đề 2.2.3 ta có M là K-không suy biến Chúng ta cần chứng minh

Kết quả sau đây cho chúng ta những ví dụ của Baer

Hệ quả 2.2.1 Cho M là một môđun mở rộng Khi đó,M/Z2(M ) là môđunBaer trong đó Z2(M ) là môđun con suy biến thứ 2 của M

Chứng minh Vì M là môđun mở rộngM = M0⊕Z2(M )trong đóM0, Z2(M )

là các mở rộng, nhưng M0 ∼= M/Z

2(M ) là không suy biến, do đó K-khôngsuy biến

Theo Bổ để 2.2.4 thì M/Z2 ∼= M0 là môđun Baer

Ví dụ 2.2.1 Cho R là miền không phải Ore thì RR là môđun Baer không

mở rộng Do đó RR là môđun K-không suy biến phải nhưng không là K-đốikhông suy biến

Ví dụ 2.2.2 Lấy M = Zpn trong đó p ∈ Z là số nguyên tố và n ∈N, n >

1 Khi đó M là mở rộng (nó là đều) nhưng không phải là môđun Baer, vì

ϕ : M → M, ϕ(ˆa) = pˆa là hạt nhân khác 0, cốt yếu trong M Do đó môđun

M là K-đối không suy biến nhưng không là K-không suy biến

2.3 HẠNG TỬ TRỰC TIẾP CỦA MÔĐUN BAER

Một câu hỏi thường gặp trong tính chất đại số là tồn tại tính kế thừabởi tổng trực tiếp hoặc hạng tử trực tiếp hay không Và kết quả chỉ rarằng hạng tử trực tiếp của môđun Baer có tính kế thừa

Định lý 2.3.1 Cho M là môđun Baer Khi đó với mỗi hạng tử trực tiếp

N của M cũng là môđun Baer

Chứng minh Theo Mệnh đề 2.1.1, ta có M thoả mãn tính chất SSIP và

Kerϕ ≤⊕ M, ∀ϕ ∈ S Vì ∀P ≤⊕ N trong đó N ≤⊕ M, P ≤⊕ M, thì rõràng N thoả mãn tính chất SSIP

Với ψ ∈ End(N ) có thể mở rộng ψ thành một tự đồng cấu của M, bằngcách lấy ψ = ψπN : M → N ⊆ M với πN là phép chiếu chính tắc lên N

Ta có Kerψ ≤⊕ M mặt khác Kerψ = N0⊕ Kerψ, dễ dàng kiểm tra điềunày (cho M = N ⊕ N0) Điều này cho thấy Kerψ ≤⊕ N (sử dụng tínhchất SSIP ) Như vậy, N thoả mãn các điều kiện của Mệnh đề 2.1.1, do đó

N là môđun Baer

Chúng ta thấy rằng hạng tử trực tiếp của bất kì vành Baer là môđunBaer giống như R-môđun phải

Hệ quả 2.3.1 Cho R là vành Baer với e2 = e ∈ R là luỹ đẳng bất kì của

R Khi đó M = eR là một môđun Baer

Từ đây cho chúng ta nhiều ví dụ về môđun Baer

Dựa vào kết quả trên, chúng ta có thể mô tả tất cả các môđun Baer trongmột lớp Z-môđun hữu hạn sinh