Về cấu trúc của một số lớp môđun artin trên vành giao hoán

Về cấu trúc của một số lớp môđun artin trên vành giao hoán

ViÖn to¸n häc

NguyÔn ThÞ Dung

VÒ cÊu tróc cña mét sè líp

m«®un Artin trªn vµnh giao ho¸n

Chuyªn ngµnh: §¹i sè vµ Lý thuyÕt sè M· sè: 62.46.05.01

Tãm t¾t luËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc

Hµ Néi – 2006

Vµo håi giê ngµy th¸ng n¨m 2006

Cã thÓ t×m hiÓu luËn ¸n t¹i:

- Th- viÖn Quèc gia

- Th- viÖn Viªn To¸n häc

1 N T Dung and L T Nhan (2004), "On generalized Cohen-Macaulay and Buchsbaum modules over Commutative rings", Vietnam J Math., 32(1), pp 113-

co-118.

2 N T Cuong, N T Dung and L T Nhan (2005), "On generalized Macaulay and co-Buchsbaum modules", accepted for publication in Algebra Colloquium.

co-Cohen-3 N T Dung (2005), "On sequentially co-Cohen-Macaulay modules", accepted for publication inAlgebra Colloquium.

4 N T Cuong, N T Dung and L T Nhan (2005), "Top local cohomology and the catenary of the unmixed support of a finitely generated module", accepted for publication inCommunication in Algebra.

Các kết quả trong luận án

đã đ-ợc báo cáo và thảo luận tại:

- Xemina Đại số và Lý thuyết số - Viện Toán học.

- Viện Toán Fourier - Cộng hòa Pháp.

- Hội nghị Toán học toàn quốc lần thứ 6, Huế 9/2002.

- Hội nghị Đại số - Hình học - Tô pô, Đà Lạt, 11/2003.

- Hội nghị Đại số - Hình học - Tô pô, TP Hồ Chí Minh, 11/2005.

- Hội nghị nghiên cứu sinh của Viện Toán học, 10/2003.

- Hội nghị nghiên cứu sinh của Viện Toán học, 10/2005.

- CIMPA School and International Conference on Commutative Algebra, 6/1/2005, Hanoi, Vietnam.

26/12-Mở đầu

Cho (R; m) là vành giao hoán, địa ph-ơng, Noether với iđêan cực đại duynhất m; M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d: Trongphạm trù các môđun Noether, lớp môđun Cohen-Macaulay đóng vai trò trungtâm và cấu trúc của chúng đã đ-ợc biết đến một cách khá trọn vẹn thôngqua nhiều lý thuyết quan trọng của Đại số giao hoán: Phân tích nguyên sơ,

đối đồng điều địa ph-ơng, Đặc biệt, chúng đ-ợc đặc tr-ng qua số bộinh- sau: M là môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu tồn tại một hệ tham

số x = (x1; : : : ; xd) của M sao cho I(x; M) = `(M=xM )Ă e(x; M) = 0,trong đó e(x; M) là số bội của M ứng với hệ tham số x: Chú ý rằngI(x; M ) luôn là số không âm Đã có nhiều h-ớng mở rộng lớp môđunCohen-Macaulay để cho ta những lớp môđun mới, chứa thực sự và vẫn còn

có nhiều tính chất t-ơng tự lớp môđun Cohen-Macaulay Tr-ớc tiên phải

kể đến lớp môđun Buchsbaum và lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng docác nhà toán học W Vogel và J Străuckrad, Nguyễn Tự C-ờng, P Schenzel

và Ngô Việt Trung phát hiện vào những năm 1970, liên quan tới giả thuyết

của D A Buchsbaum đ-ợc phát biểu lại nh- sau: I(x; M) là hằng số với

mọi hệ tham số x của M.

Lý thuyết môđun Buchsbaum ra đời từ câu trả lời phủ định cho giả thuyếttrên và lý thuyết môđun Cohen-Macaulay suy rộng xuất hiện từ việc nghiêncứu lớp môđun thoả mãn tính chất sup

x I(x; M) < 1; trong đó cận trênlấy trên tập tất cả các hệ tham số x của M Ngày nay, cấu trúc của balớp môđun Cohen-Macaulay, Buchsbaum, Cohen-Macaulay suy rộng đã trởthành quen biết nhờ hàng loạt các công trình nghiên cứu của các nhà toánhọc trên thế giới và Việt Nam

Một trong những h-ớng mở rộng khác của lớp môđun Cohen-Macaulay

là lớp môđun Cohen-Macaulay dãy lần đầu tiên đ-ợc đ-a ra bởi R P Stanley

cho các môđun phân bậc hữu hạn sinh, sau đó đ-ợc P Schenzel, Nguyễn

Tự C-ờng và Lê Thanh Nhàn định nghĩa cho tr-ờng hợp vành địa ph-ơng.Lớp các môđun Cohen-Macaulay dãy cũng chứa thực sự lớp các môđunCohen-Macaulay và cấu trúc của chúng đã đ-ợc nhiều nhà toán học nghiêncứu thông qua dãy, đầy đủ theo tô pô m-adic, địa ph-ơng hóa, đối đồng điều

địa ph-ơng, bội, và hiện nay, lớp môđun này vẫn đang đ-ợc quan tâmnghiên cứu

Tóm lại, trong phạm trù các môđun Noether, cùng với lớp môđunCohen-Macaulay, các lớp môđun Buchsbaum, Cohen-Macaulay suy rộng,Cohen-Macaulay dãy đã trở thành những lớp môđun quen biết, có nhiều ứngdụng trong Đại số giao hoán và Hình học Đại số

Trong phạm trù các môđun Artin, lớp môđun đóng vai trò quan trọngt-ơng tự nh- lớp môđun Cohen-Macaulay đã đ-ợc nhiều nhà toán học nghiêncứu và gọi là môđun đối Cohen-Macaulay Cấu trúc của lớp môđun này đã

đ-ợc biết đến thông qua dãy đối chính quy, bội, đồng điều địa ph-ơng Vìvậy luận án có hai mục đích: Tr-ớc hết là nghiên cứu một số lớp môđunArtin mở rộng của lớp môđun đối Cohen-Macaulay (Ch-ơng 2, Ch-ơng 3).Tiếp theo, ứng dụng những kết quả tr-ớc đó về môđun Artin vào việc nghiêncứu một lớp môđun Artin đặc biệt quan trọng là môđun đối đồng điều địaph-ơng cấp cao nhất Hd

m(M ) của R-môđun hữu hạn sinh M (Ch-ơng 4).Cần chú ý ở đây rằng các tính chất của Hd

m(M) là những thông tin rất hữuích cho phép ta biết đ-ợc rõ hơn cấu trúc của R-môđun M

Ta đã biết rằng, trên vành địa ph-ơng, đầy đủ, ph-ơng pháp đối ngẫucủa E Matlis cho ta một t-ơng đ-ơng phạm trù giữa các môđun Noether vàcác môđun Artin Do đó, R Y Sharp đã đ-a ra ph-ơng pháp để nghiên cứumôđun Artin trên vành giao hoán bất kỳ bằng việc quy về tr-ờng hợp vành

là địa ph-ơng đầy đủ để có thể dùng đối ngẫu Matlis Đây là ph-ơng pháp

đã đ-ợc nhiều tác giả sử dụng để nghiên cứu môđun Artin và ngay trong

luận án, chúng tôi cũng thu đ-ợc một số kết quả nhờ dùng ph-ơng pháp này(Định lý 3.4.3, Hệ quả 3.4.7) Tuy nhiên, không phải tất cả những tính chấtcủa môđun Noether đều đ-ợc ”bảo toàn” qua đối ngẫu Matlis Vì vậy, một

số kết quả đạt đ-ợc trong luận án theo một nghĩa nào đó đ-ợc xem là đốingẫu với một số kết quả đã biết trong phạm trù các môđun Noether, nh-ngviệc chứng minh chúng đòi hỏi phải có sự thận trọng nhất định và mangtính đặc thù của môđun Artin

Các công cụ chính đ-ợc sử dụng để nghiên cứu trong luận án, ngoàiph-ơng pháp nghiên cứu môđun Artin của R Y Sharp, còn có lý thuyếtbiểu diễn thứ cấp giới thiệu bởi I G Macdonald, chiều Noether nghiên cứubởi R N Roberts, D Kirby Đặc biệt, các kết quả gần đây của Nguyễn

Tự C-ờng, Lê Thanh Nhàn về hệ tham số, số bội cho môđun Artin, chiềuNoether của môđun đối đồng điều địa ph-ơng và lý thuyết đồng điều địaph-ơng của Nguyễn Tự C-ờng, Trần Tuấn Nam là những công cụ đ-ợc dùngnhiều trong luận án

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận án đ-ợc chia làm 4 ch-ơng

Để tiện theo dõi, chúng tôi dành Ch-ơng 1 để tóm tắt lại những kết quảchung nhất về môđun Artin đ-ợc sử dụng trong các ch-ơng tiếp theo.Ch-ơng 2, đ-ợc viết dựa theo các công trình [1] và [2], dành để nghiêncứu hai lớp môđun Artin trên vành giao hoán, địa ph-ơng, Noether đ-ợc gọi

là môđun đối Buchsbaum và môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng Hai lớp

môđun này chứa thực sự lớp môđun đối Cohen-Macaulay và cũng có nhiềutính chất t-ơng tự nh- những tính chất của môđun Buchsbaum và môđunCohen-Macaulay suy rộng Cụ thể, chúng tôi đ-a ra một số đặc tr-ng vàtính chất của hai lớp môđun này qua đối dãy yếu, hệ tham số đối chuẩn tắc

và đồng điều địa ph-ơng (Định lý 2.2.5 và Định lý 2.3.5) Ngoài ra, việcnghiên cứu hai lớp môđun đối Buchsbaum và đối Cohen-Macaulay suy rộngtrong tr-ờng hợp vành không nhất thiết địa ph-ơng cũng đ-ợc xét đến trong

ch-ơng này.

Ch-ơng 3 nghiên cứu một mở rộng khác của lớp môđun đối Macaulay đ-ợc gọi là môđun đối Cohen-Macaulay dãy Lớp môđun này

Cohen-chứa thực sự lớp môđun đối Cohen-Macaulay và cũng có nhiều tính chất

đẹp đẽ Nội dung ch-ơng này đ-ợc viết dựa theo [3], trong đó đ-a ra cáckhái niệm lọc chiều cho môđun Artin, môđun đối Cohen-Macaulay dãy vàmột số đặc tr-ng, tính chất của chúng Hơn nữa, với cấu trúc đặc biệt củamôđun Artin, ta có thể thấy rằng A là R-môđun đối Cohen-Macaulay dãykhi và chỉ khi A là bR-môđun đối Cohen-Macaulay dãy, trong khi đó lạikhông có tính chất t-ơng tự nh- vậy đối với môđun Cohen-Macaulay dãy(xem P Schenzel) Một trong những kết quả chính của Ch-ơng 3 là đặctr-ng đồng điều của môđun đối Cohen-Macaulay dãy (Định lý 3.4.3)

Ta đã biết rằng nếu x là một phần tử chính quy của M thì M là môđunCohen-Macaulay nếu và chỉ nếu M=xM cũng là môđun Cohen-Macaulay.Việc nghiên cứu một kết quả t-ơng tự nh- trên cho môđun đối Cohen-Macaulay dãy là cần thiết cho chứng minh nhiều tính chất của lớp môđunnày bằng quy nạp Kết quả chính tiếp theo của ch-ơng này là đ-a ra điềukiện cho một phần tử tham số x 2 m để đặc tr-ng đ-ợc tính đối Cohen-Macaulay dãy khi chia cho phần tử tham số (Định lý 3.4.5), qua đó chúngtôi thu lại đ-ợc một kết quả cho môđun Cohen-Macaulay dãy (Hệ quả 3.4.7)

Hệ quả này là một sự sửa sai cho một định lý đ-ợc chứng minh tr-ớc đâybởi P Schenzel

Ch-ơng 4-ch-ơng cuối cùng của luận án, đ-ợc viết từ [4], dành để nghiêncứu một lớp môđun Artin đặc biệt: môđun đối đồng điều địa ph-ơng cấp caonhất Hd

m(M ) của R-môđun hữu hạn sinh M Ta đã biết rằng Hmd(M) luônkhác không, luôn là R-môđun Artin và cho ta nhiều thông tin về cấu trúccủa môđun M Mặt khác, đối với mỗi R-môđun hữu hạn sinh M, ta luôn

có tính chất AnnRM=pM = p; với mọi iđêan nguyên tố p chứa AnnRM

Rõ ràng rằng, khi vành R là đầy đủ thì với mỗi R-môđun Artin A, theo đốingẫu Matlis, ta có

Ann(0 :A p) = p;8p 2 V (Ann A): (Ô)Tuy nhiên tính chất trên nhìn chung lại không đúng cho mọi môđun Artin Atrên vành giao hoán bất kỳ, và lớp môđun Artin thỏa mãn tính chất (*) lại liênquan tới một số câu hỏi về chiều Noether và đối địa ph-ơng hóa, chứng tỏtính chất này là quan trọng đối với việc nghiên cứu môđun Artin Mục đíchcủa ch-ơng này là nghiên cứu điều kiện để môđun đối đồng điều địa ph-ơngcấp cao nhất Hd

m(M ) thỏa mãn tính chất (*) và một số ứng dụng của nó.Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng mặc dù N-dim Hd

m(M) = dim R= AnnRHd

m(M )nh-ng nhìn chung Hd

m(M ) không thoả mãn tính chất (*) Gọi giá không

trộn lẫn UsuppRM của M là tập tất cả các iđêan nguyên tố trong Supp Mchứa các iđêan nguyên tố liên kết có chiều cao nhất của M Nội dung chínhcủa ch-ơng này là các Định lý 4.2.4 và Định lý 4.3.3, cho ta kết quả về

sự t-ơng đ-ơng giữa tính chất (*) cho môđun Hd

m(M ) với một số tính chấtquan trọng của M, mà một trong những tính chất đó là tính catenary củagiá không trộn lẫn UsuppRM

Ch-ơng 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong toàn bộ ch-ơng này, luôn ký hiệu R là vành giao hoán, Noetherkhông nhất thiết địa ph-ơng (giả thiết địa ph-ơng khi cần sẽ đ-ợc nêu trongtừng tr-ờng hợp cụ thể), A là R-môđun Artin

Ch-ơng này dành để nhắc lại các kết quả về môđun Artin dùng trong cácch-ơng tiếp theo, cụ thể là:

Tiết đầu của ch-ơng trình bày ph-ơng pháp chuyển việc nghiên cứumôđun Artin trên vành giao hoán bất kỳ về việc nghiên cứu chúng trên vành

địa ph-ơng đầy đủ thông qua đối ngẫu Matlis của R Y Sharp

Tiết tiếp theo nhắc lại lý thuyết biểu diễn thứ cấp theo thuật ngữ của I

G Macdonald

Trong tiết 3, chúng tôi hệ thống lại các kết quả về chiều Noether, hệ tham

số và số bội cho môđun Artin đ-ợc nghiên cứu bởi R N Roberts, D Kirby,Nguyễn Tự C-ờng và Lê Thanh Nhàn

Tiết 4 dành để trình bày lại các kết quả về mô đun đồng điều địa ph-ơng

đ-ợc nghiên cứu bởi Nguyễn Tự C-ờng, Trần Tuấn Nam

Cuối cùng, dãy đối chính quy, độ rộng và mô đun đối Cohen-Macaulay

đ-ợc giới thiệu ở tiết 5, theo A Ooshi, Z Tang, H Zakeri, Nguyễn TựC-ờng, Lê Thanh Nhàn, Trần Tuấn Nam, I H Denizler, R Y Sharp

Ch-ơng 2 Môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng và đối Buchsbaum

Cho (R; m) là vành địa ph-ơng, Noether với iđêan cực đại duy nhất

m và A là R-môđun Artin với chiều Noether N-dim A = d: Mục đích củach-ơng này là nghiên cứu hai lớp môđun chứa thực sự lớp môđun đối Cohen-Macaulay đ-ợc gọi là môđun đối Buchsbaum và môđun đối Cohen-Macaulaysuy rộng và mở rộng nghiên cứu chúng trên vành giao hoán không nhất thiết

địa ph-ơng

2.1 Đồng điều địa ph-ơng và đối dãy yếu

Tiết này dành để nghiên cứu một số tính chất của môđun Artin mà cácmôđun đồng điều địa ph-ơng của chúng có độ dài hữu hạn, sau đó đ-a rakhái niệm đối dãy yếu và nghiên cứu mối liên hệ của chúng với các môđun

đồng điều địa ph-ơng

Mệnh đề 2.1.2 Giả sử `R(Hm

i (A)) < 1 với mọi i < d Cho (x1; : : : ; xr)

là một phần hệ tham số của A và 0 :A (x1; : : : ; xr)R = B1 + : : : + Bn là biểu diễn thứ cấp tối thiểu của 0 :A (x1; : : : ; xr)R, trong đó Bk là pk-thứ cấp Khi đó N-dim Bk = d Ă r, với mọi số nguyên k thoả mãn pk 6= m:

Từ mệnh đề trên, ta thấy nếu các môđun đồng điều địa ph-ơng Hm

i (A)

của một R-môđun Artin A có độ dài hữu hạn, với mọi i < d, thì A là không

trộn lẫn tới thành phần m-thứ cấp, tức là tập AttRA chỉ bao gồm các iđêannguyên tố gắn kết mà thành phần thứ cấp t-ơng ứng có chiều 0 hoặc chiềubằng d

Chúng tôi cũng chặn trên đ-ợc hiệu số giữa độ dài và số bội của A thôngqua độ dài của các môđun đồng điều địa ph-ơng nh- sau

Bổ đề 2.1.5 Giả sử A là R-môđun Artin sao cho `R(Him(A)) < 1; với

mọi i < d Với mọi hệ tham số x = (x1; : : : ; xd) của A ta có

ả

`R(Him(A))

và tồn tại iđêan m-nguyên sơ q sao cho đẳng thức xảy ra với mọi hệ tham

số x chứa trong q:

Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu khái niệm q-đối dãy yếu

Định nghĩa 2.1.6 Cho q là một iđêan m-nguyên sơ của R: Một dãy các

phần tử (x1; : : : ; xr) trong m đ-ợc gọi là q-đối dãy yếu của A nếu

Định lý 2.1.8 Cho q là một iđêan m-nguyên sơ của R: Khi đó các mệnh

đề sau đây là t-ơng đ-ơng:

(i) qHm

i (A) = 0 với mọi i 6 d Ă 1:

(ii) Tồn tại một hệ tham số x = (x1; : : : ; xd) của A chứa trong q2 sao cho x là q-đối dãy yếu.

(iii) Mọi hệ tham số (y1; : : : ; yd) của A; thoả mãn yi = xni

i ; i = 1; : : : ; d;

với xi 2 q và ni á 2; là q-đối dãy yếu.

2.2 Môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng

Từ tiết này trở đi, với mỗi hệ tham số x của A trong m, ta đặt

I(x; A) = `R(0 :A xR)Ă e(x; A) và I(A) = sup

x I(x; A);

trong đó cận trên lấy trên tất cả các hệ tham số x của A:

Định nghĩa 2.2.1 Ta nói rằng A là môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng

nếu I(A) < 1:

Bổ đề sau đây cho thấy I(x; A) là hàm tăng

Bổ đề 2.2.2 Với mỗi hệ tham số x = (x1; : : : ; xd) của A và các bộ d-số

nguyên không âm n = (n1; : : : ; nd); m = (m1; : : : ; md) sao cho ni á mi;

với mọi i = 1; : : : ; d; ta có

I(x(n); A) á I(x(m); A):

Khái niệm hệ tham số chuẩn tắc đ-ợc đ-a ra bởi Ngô Việt Trung, là mộttrong những công cụ để nghiên cứu lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng

và môđun Buchsbaum D-ới đây chúng tôi giới thiệu khái niệm đối ngẫucho môđun Artin

Định nghĩa 2.2.3 Một hệ tham số x = (x1; : : : ; xd) của A đ-ợc gọi là đối

chuẩn tắc nếu I(x; A) = I(x2

1; : : : ; x2

d; A):

Để đặc tr-ng lớp môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng qua hệ tham số

đối chuẩn tắc, tr-ớc hết chúng tôi chứng minh kết quả sau đây, bằng cách

áp dụng tính chất của số bội cho môđun Artin và tính chất tăng của hàmI(x; A)

Bổ đề 2.2.4 Cho x = (x1; : : : ; xd) là một hệ tham số đối chuẩn tắc của A:Khi đó I(xn

1; : : : ; xnd; A) = I(x; A) với mọi ná 1:

Nh- đã biết, một mở rộng quen thuộc của lớp môđun Cohen-Macaulay làlớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng Lớp môđun này có những đặc tr-ng

qua đối đồng điều địa ph-ơng và qua một số dãy đặc biệt (xem J Străuckrad

và W Vogel, Ngô Việt Trung, Nguyễn Tự C-ờng, P Schenzel, Ngô ViệtTrung) Định lý sau đây là kết quả chính của tiết này, cũng cho ta đặc tr-ngcủa môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng qua đối dãy yếu, hệ tham số đốichuẩn tắc và đặc biệt là qua đồng điều địa ph-ơng

Định lý 2.2.5 Các mệnh đề sau là t-ơng đ-ơng:

(i) A là môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng.

(ii) `R(Him(A)) <1 với mọi i 6 d Ă 1:

(iii) Tồn tại một hệ tham số của A là đối chuẩn tắc.

(iv) Tồn tại một hệ tham số x = (x1; : : : ; xd) của A và một iđêan

m-nguyên sơ q sao cho (xn

1; : : : ; xnd) là q-đối dãy yếu, với mọi n > 0:

(v) Tồn tại một iđêan m-nguyên sơ q sao cho mỗi hệ tham số x của A

là q-đối dãy yếu.

(vi) Tồn tại số nguyên s và một hệ tham số x của A sao cho

I(xn1; : : : ; xnd; A) 6 s; với mọi n á 1:

Nếu A thoả mãn một trong các điều kiện trên thì

(i) Nếu M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng thì đối ngẫu Matlis

D(M ) = Hom(M ; E) của M là môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng,

trong đó E = E(R=m) là bao nội xạ của R=m:

(ii) Nếu M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng với dim M = d thì

Hmd(M ) là môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng.