MÔĐUN VÀ VÀNH ĐẾ NỘI XẠ

-Thông qua việc nghiên cứu các tính chất, đặc trưng của môđun và vành đế - nội xạ, làm rõ mối liên hệ của nó với một số lớp vành và môđun khác.. Nếu M là tổng trực tiếp các môđun con đơn

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Trương Công Quỳnh

Đà Nẵng - Năm 2014

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các sốliệu, kết qủa nêu trong luận văn này là trung thực và chưa từng được aicông bố trong bất kỳ công trình nào khác

Đà Nẵng, tháng 4 năm 2014

HV thực hiện

Trần Thị Hường

LỜI MỞ ĐẦU 1

1 Tính cấp thiết của đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

5 Bố cục đề tài 1

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 1

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 3

1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 3

1.2 MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐÃ BIẾT 13

CHƯƠNG 2 MÔĐUN ĐẾ - NỘI XẠ VÀ ĐẾ - NỘI XẠ MẠNH 22

2.1 MÔĐUN ĐẾ - NỘI XẠ 22

2.2 MÔĐUN ĐẾ - NỘI XẠ MẠNH 31

CHƯƠNG 3 VÀNH ĐẾ - NỘI XẠ VÀ CÁC LỚP VÀNH LIÊN QUAN 45

3.1 VÀNH ĐẾ - NỘI XẠ 45

3.2 VÀNH ĐẾ NỘI XẠ MẠNH 55

KẾT LUẬN 63

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO)

LỜI MỞ ĐẦU

1 TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI

Lý thuyết vành và môđun đóng một vai trò quan trọng trong đại số kếthợp Nhiều kiến thức cơ bản của lý thuyết vành và môđun đã được nghiêncứu và có nhiều ứng dụng Chúng ta đã biết đến các kết quả cơ bản trênmôđun nội xạ Một số mở rộng của nó được nhiều tác giả trong và ngoàinước quan tâm nghiên cứu Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu mộttrường hợp tổng quát của nó, đó là lớp môđun đế - nội xạ Một số áp dụngcủa vành tựa - Frobenius và giả - Frobenius cũng đã được xét đến tronglớp vành đế - nội xạ Cùng với sự định hướng của TS Trương Công Quỳnh,tôi đã chọn đề tài “MÔĐUN VÀ VÀNH ĐẾ - NỘI XẠ” làm đề tàiluận văn thạc sĩ của mình

2 MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là tìm hiểu khái niệm, tính chất, cácđịnh lý về môđun và vành đế - nội xạ cũng như các vành liên quan Qua

đó làm rõ các nghiên cứu đã có, tìm hiểu sâu hơn về môđun và vành đế nội xạ, đế - nội xạ mạnh

-Thông qua việc nghiên cứu các tính chất, đặc trưng của môđun và vành

đế - nội xạ, làm rõ mối liên hệ của nó với một số lớp vành và môđun khác

3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Đối tượng của đề tài là nghiên cứu khái niệm, các tính chất, đặc trưngcủa môđun và vành đế - nội xạ, đế - nội xạ mạnh, mối liên hệ của chúngvới các lớp môđun và vành khác

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là các vấn đề liên quan đến lớp môđun,

vành đế - nội xạ, đế - nội xạ mạnh và các áp dụng của chúng.

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Đọc các tài liệu về môđun và vành đế - nội xạ, hệ thống kiến thức

- Trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn, đồng nghiệp

- Tiến hành xêmina với nhóm nghiên cứu của TS Trương Công Quỳnh

6 Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN

- Đề tài mang tính chất lý thuyết nên những kết quả của nó đóng góp cholĩnh vực lý thuyết vành và môđun

- Làm tài liệu cho các nghiên cứu về sau

CHƯƠNG 1CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN

1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Định nghĩa 1.1.1 Cho R là vành Một R - môđun phải M là:

(iii) qui tắc unita: m1 = m

trong đó m, m1, m2 là các phần tử tùy ý của M, r1, r2 ∈ R

Lúc đó R được gọi là vành cơ sở Nếu M là một R - môđun phải thì tathường ký hiệu M = MR Tương tự ta cũng có định nghĩa khái niệm R -môđun trái

Định nghĩa 1.1.2 Cho M là một R - môđun phải Tập con A của M

được gọi là môđun con của M, ký hiệu A ≤ M hay AR ≤ MR, nếu A là

R - môđun phải với phép toán cộng và nhân hạn chế trên A

Định nghĩa 1.1.3 Môđun MR được gọi là có chiều Goldie hữu hạn nếu

M không chứa một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con Vành R đượcgọi là có chiều Goldie hữu hạn nếuRR là môđun có chiều Goldie hữu hạn.Định nghĩa 1.1.4 (1) Môđun MR được gọi là đơn nếu M 6= 0 và M chỉ

có hai môđun con là 0 và M, nghĩa là, M không chứa môđun con thực sự.(2) Vành R được gọi là đơn nếu R 6= 0 và R chỉ có hai iđêan hai phía là 0

Định nghĩa 1.1.5 (1) Cho (Tα)α∈A là một tập các môđun con đơn của

M Nếu M là tổng trực tiếp các môđun con đơn này, nghĩa là

ATα (∗)

thì (*) được gọi là một phân tích nửa đơn của M

(2) Một môđun M được gọi là nửa đơn nếu nó có một phân tích nửa đơn.(3) Vành R được gọi là nửa đơn phải (trái) nếu môđun RR(RR) là nửađơn

Ta thấy rằng môđun đơn là nửa đơn cho nên đối với mọi vành R tồntại môđun nửa đơn Ngoài ra ta cũng thấy môđun 0 là nửa đơn vì

0 = P

i∈∅Mi, Mi đơn,nhưng 0 không đơn (theo định nghĩa)

Định nghĩa 1.1.6 Cho MR và N ≤ MR Khi đó nhóm cộng aben M/N

cùng với phép nhân môđun

M/N × R −→ M/N(m + N, r) 7−→ (m + N )r = mr + N

là một R - môđun phải và được gọi là môđun thương của môđun M trênmôđun con N của nó

Định nghĩa 1.1.7 R - môđun phải F được gọi là môđun tự do nếu thỏamãn một trong các điều kiện dưới đây:

(1) F có cơ sở

(2) F = Σi∈IAi và với mọi i ∈ I, RR ∼= A

i.Định nghĩa 1.1.8 Cho MR vàN ≤ MR.N được gọi là hạng tử trực tiếpcủa M nếu tồn tại môđun con P của M sao cho M = N ⊕ P Lúc đó tanói P là môđun con phụ của N trong M

Từ định nghĩa ta suy ra ngay:

N là hạng tử trực tiếp của M ⇔ ∃P ≤ M: M = N + P và N ∩ P = 0.Định nghĩa 1.1.9 (1) Một môđun con K của M là cốt yếu (lớn) trong

M, ký hiệu: K ≤ess M, trong mọi trường hợp với mọi môđun con L ≤ M,

K ∩ L = 0 suy ra L = 0.(2) Một môđun con K của M là đối cốt yếu (nhỏ) trong M, ký hiệu:

K  M, trong mọi trường hợp với mọi môđun con L ≤ M,

K + L = M suy ra L = M

Định nghĩa 1.1.10 Cho U, M là các R - môđun phải U được gọi là xạảnh theo M (hay U là M - xạ ảnh) nếu với mọi toàn cấu g : MR −→ NR

và mỗi đồng cấu h : UR −→ NR tồn tại một R - đồng cấu ¯h : U −→ M

sao cho biểu đồ sau giao hoán:

U

¯ h

~~ h

M g //N //0

Môđun PR được gọi là xạ ảnh nếu nó là M - xạ ảnh với mọi R - môđunphải M

Định nghĩa 1.1.11 Cho U, M là các R - môđun phải U được gọi là nội

xạ theo M (hay U là M - nội xạ) nếu với mọi đơn cấu f : KR −→ MR vàmỗi đồng cấu h : KR −→ UR tồn tại một R - đồng cấu ¯h : M −→ U sao

cho biểu đồ sau giao hoán:

U

Môđun QR được gọi là nội xạ nếu nó là M - nội xạ với mọi R - môđunphải M

Định nghĩa 1.1.12 Cho M là một R - môđun phải

(1) Đơn cấu f : M −→ Q được gọi là bao nội xạ đối với M nếu Q làmôđun nội xạ và imf ≤ess Q

(2) Toàn cấu g : P −→ M được gọi là phủ xạ ảnh (hoặc bao xạ ảnh) đốivới M nếu P là môđun xạ ảnh và kerg  P

Về mặt ký hiệu đôi khi ta chỉ viết I(M ), E(M ) để chỉ bao nội xạ củamôđun M và P (M ) để chỉ phủ xạ ảnh của M.

Định nghĩa 1.1.13 Cho M và N là các R - môđun phải Khi đó:

(1) M được gọi là S - N - nội xạ nếu với mọi môđun con L của N, mọi

R - đồng cấu γ : L −→ M với γ(L) đơn, mở rộng được tới N

(2) Nếu M = N, M được gọi là tựa S - nội xạ

(3) Một vành R được gọi là S - nội xạ phải, nếu RR là tựa S- nội xạ.Cho môđun M, ta xét các điều kiện sau:

(C1) Với mọi môđun con A của M, thì tồn tại một hạng tử trực tiếp B

của M thỏa mãn A ≤ess B

(C2) Nếu môđun con A của M đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của

(C2)⇒ (C3)nội xạ ⇒ liên tục ⇒ tựa liên tục ⇒ CS

Định nghĩa 1.1.14 Cho U là lớp các môđun nào đó trong Mod - R.Môđun M gọi là được sinh (hữu hạn) bởi U (hay U sinh (hữu hạn) ra M)nếu như tồn tại tập (hữu hạn) được chỉ số hóa (Uα)α∈A trong U và mộttoàn cấu

L

α∈AUα −→ M −→ 0.Khi cho U = {U }, ta nói U sinh (hữu hạn) ra M, nghĩa là có toàn cấu

0 −→ M −→ UA

với tập (hữu hạn) A nào đó, còn UA là tích trực tiếp các |A| bản sao của

U

Nếu M là môđun bất kỳ trong Mod - R mà U đối sinh ra M thì U

được gọi là vật đối sinh ra M

Định nghĩa 1.1.16 (1) Môđun MR được gọi là hữu hạn sinh nếu trong

M tồn tại tập sinh ra M hữu hạn

(2) Môđun MR được gọi là hữu hạn đối sinh nếu trong trường hợp với mọitập A là tập nào đó các môđun con của M, nếu

A≤ ess M A = P

B≤M B = P

ϕ∈Hom R (N,M )Imϕ = U2,trong đó B là môđun con đơn của M, còn NR là môđun nửa đơn tùy ý.Định nghĩa 1.1.18 (1) Môđun con U1 của M trong Mệnh đề 1.1.17 (a)được gọi là căn của M, ký hiệu rad(M )

(2)Môđun con U2 của M trong Mệnh đề 1.1.17 (b) được gọi là đế của M,

(2) Môđun MR được gọi là Artinian nếu mỗi tập khác rỗng các môđuncon nào đó của M đều có phần tử cực tiểu.

(3) Vành R được gọi là Noetherian phải (Artinian phải) nếu môđun RR làNoetherian (Artinian)

Định nghĩa 1.1.21 Một vành R được gọi là nửa Artinian phải nếu mọi

R - môđun phải khác không đều có đế khác không

Định nghĩa 1.1.22 Một vành R được gọi là địa phương nếu R có duynhất một iđêan phải (hoặc trái) cực đại Vành R được gọi là nửa địaphương nếu vành thương R/J (R) là (Artinian) nửa đơn

Định nghĩa 1.1.23 Phần tử e ∈ R được gọi là một lũy đẳng của R nếu

e2 = e

Hai lũy đẳng e và f của vành R được gọi là trực giao với nhau nếu

ef = f e = 0 Nếu lũy đẳng e 6= 0của vành R không phân tích được thànhtổng của hai lũy đẳng khác 0 trực giao với nhau, thì e được gọi là lũy đẳngnguyên thủy

Tập {e1, e2, , en, } các lũy đẳng của vành R được gọi là trực giaonếu eiej = 0 với mọi cặp i 6= j Tập {e1, e2, , en} các lũy đẳng nguyênthủy trực giao của R được gọi là đầy đủ nếu 1 = e1 + e2 + + en

Một phần tử lũy đẳng e của vành R được gọi là lũy đẳng địa phươngnếu eRe là vành địa phương

Định nghĩa 1.1.24 Cho vành R và I là một iđêan của nó Khi đó, nếuvới mọi lũy đẳng f¯của vành thương R/I đều tồn tại lũy đẳng e của vành

R sao cho e − f ∈ I thì ta gọi các lũy đẳng nâng được modulo I (mỗi lũyđẳng f¯của vành thương R/I nâng được đến một lũy đẳng e của vành R).

Định nghĩa 1.1.25 Một vành R được gọi là nửa hoàn chỉnh nếu R làvành nửa địa phương và các lũy đẳng nâng được modulo J (R)

Định nghĩa 1.1.26 Một tập con A của vành R được gọi là T - lũy linhphải (T - lũy linh trái) nếu mọi dãya1, a2, củaAđều tồn tạin ∈ N, n ≥ 1

để cho anan−1 a2a1 = 0 (tương ứng, a1a2 an−1an = 0)

Định nghĩa 1.1.27 Một vành R được gọi là hoàn chỉnh phải (trái) nếu

R là vành nửa địa phương và J (R) là T - lũy linh phải (trái)

Định nghĩa 1.1.28 Một vành R được gọi là tựa - Frobenius (hay còn gọi

là vành QF) nếu R là vành Artinian phải (hoặc trái) và tự - nội xạ phải(hoặc trái)

Định nghĩa 1.1.29 Một vành R được gọi là giả - Frobenius (hay còn gọi

là vành PF) nếu R - môđun phải RR là vật đối sinh nội xạ

Định nghĩa 1.1.30 Một vành R được gọi là Kasch phải nếu với mỗi R môđun phải đơn S đều tồn tại một đơn cấu ι : S −→ RR Tức là, mọi R

môđun phải đơn nhúng trong RR

Định nghĩa 1.1.31 Cho R là một vành Khi đó một môđun MR đượcgọi là nội xạ đơn nếu mọi iđêan phải đơn K của M, mỗi đồng cấu γ :

K −→ MR thì tồn tại đồng cấu γ : R¯ R −→ MR sao cho γ ◦ i = γ¯ , với

i : K −→ RR là đơn cấu chính tắc Nghĩa là tồn tại m ∈ M sao cho

γ(x) = mx với mọi x ∈ K

Một vành R được gọi là nội xạ đơn phải nếu với bất kỳ iđêan phải cựctiểu K của R, mọi R - đồng cấu γ : K −→ RR mở rộng tới R, tức là

γ = c., với c ∈ R Tương đương, lr(k) = Rk, ở đây kR là một iđêan phảicực tiểu của R

Định nghĩa 1.1.32 Một iđêan phải T của vành R được gọi là mở rộngnếu mọi đồng cấu γ : T −→ RR có thể mở rộng tới γ : R¯ R −→ RR, tươngđương nếu γ = c là phép nhân trái cho bởi phần tử c ∈ R Như vậy, R lànội xạ đơn phải nếu mọi iđêan phải đơn K của R là mở rộng

Định nghĩa 1.1.33 Một vành R được gọi là minfull phải nếu nó là nửahoàn chỉnh, nội xạ đơn phải và Soc(eR) 6= 0 với mỗi lũy đẳng địa phương

a Mọi iđêan phải không chứa trongJ (R)chứa một lũy đẳng khác không

b Mọi iđêan trái không chứa trongJ (R) chứa một lũy đẳng khác không.Định nghĩa 1.1.35 Một vành R được gọi là một V - vành phải nếu mọi

R - môđun phải đơn là nội xạ

Một vành R được gọi là một GV - vành phải nếu mọi R - môđun phảisuy biến đơn là nội xạ

Định nghĩa 1.1.36 Cho MR và X ⊆ M Linh hóa tử phải của X trong

R là:

rR(X) = {r ∈ R|xr = 0, x ∈ X}.Cho A ⊆ R Linh hóa tử trái của A trong M là:

lM(A) = {x ∈ M |xa = 0, a ∈ A}.Khi X = {x} hay A = {a}, ta viết rR(x) hay lM(a) Với những linh hóa

tử trên R, nếu không có gì nhầm lẫn, người ta có thể bỏ ký hiệu R trong

lR, rR, mà chỉ viết là l, r

Định nghĩa 1.1.37 Một vành R được gọi là linh hóa tử đơn trái nếu

lr(kR) = Rk cho mọi iđêan trái cực tiểu Rk của R

1.2 MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐÃ BIẾT

Mệnh đề 1.2.1 [1] Iđêan phải I của vành R là một hạng tử trực tiếpcủa RR nếu và chỉ nếu tồn tại một lũy đẳng e ∈ R sao cho I = eR.Hơn nữa, nếu e ∈ R là một lũy đẳng thì 1 − e cũng vậy, và (1 − e)R làphần phụ của eR trong R, nghĩa là,

RR = eR ⊕ (1 − e)R.Mệnh đề 1.2.2 [1] Mọi môđun có một bao nội xạ Nó duy nhất sai khácmột phép đẳng cấu

Bổ đề 1.2.5 [1] Soc(M ) là môđun con nửa đơn lớn nhất trong M.Định lý 1.2.6 [1] Cho M và N là các R - môđun phải Khi đó:

(1) ϕ ∈ HomR(M, N ) =⇒ ϕ(Soc(M )) ≤ Soc(N )

(2) Soc(Soc(M )) = Soc(M ) và với mọi C ≤ M sao cho Soc(C) = C

thì C ≤ Soc(M ), nghĩa là Soc(M ) là môđun con lớn nhất trong sốcác môđun con của M sao cho đế của nó trùng với nó

Hệ quả 1.2.7 Cho M và N là các R - môđun phải Khi đó:

(1) Nếu ϕ : M −→ N là đơn cấu cốt yếu (nghĩa là đơn cấu và Imϕ ≤ess

rad(RR) = rad(RR)

và vì vậy ta thường ký hiệu chung là J = J (R) và được gọi là căn Jacobsoncủa R

Định lý 1.2.9 [24, Corollary 2.6] Vành R là nội xạ đơn phải và trái nếu

và chỉ nếu Sr = Sl và R là vành linh hóa tử đơn phải và trái

Định lý 1.2.10 [24, Proposition 1.14] Nếu R là một vành nội xạ đơnphải và kR là một iđêan phải cực tiểu của R, thì Rk là một iđêan trái cựctiểu

Định lý 1.2.11 [1] Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R đãcho:

đó mọi tập đầy đủ các lũy đẳng trực giao của R chứa một tập cơ sở Hơnnữa, với các lũy đẳng trực giao từng đôi e1, e2, , em ∈ R, các điều kiệnsau đây là tương đương:

(1) {e1, e2, , em} là tập cơ sở các lũy đẳng trực giao của R

(2) {e1R, e2R, , emR} là tập đại diện các R - môđun phải xạ ảnh khôngphân tích được

(3) {e1R/e1J, e2R/e2J, , emR/emJ } là tập đại diện các R - môđun phảiđơn

Định lý 1.2.13 [1] Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R đãcho:

(1) R là vành nửa hoàn chỉnh

(2) Mọi R - môđun phải (trái) hữu hạn sinh đều có phủ xạ ảnh

(3) Mọi R - môđun phải (trái) cyclic đều có phủ xạ ảnh.

(4) Mọi R - môđun phải (trái) đơn đều có phủ xạ ảnh

Định lý 1.2.14 Các điều kiện sau đây là tương đương đối với một vành

R đã cho:

(1) R là vành nửa Artinian

(2) Mọi R - môđun phải khác không có đế cốt yếu

(3) Mọi R - môđun phải khác không có môđun con đơn

(4) Mọi R - môđun phải là nửa Artinian

Chứng minh (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1) là rõ ràng

(1) ⇒ (2) Gọi M là mộtR - môđun phải khác không bất kỳ Giả sử A 6= 0

là một môđun con của M Vì A 6= 0 nên tồn tại0 6= a ∈ A, khi đó môđun

aR 6= 0 Vì R là vành nửa Artinian nên môđun aR 6= 0 có Soc(aR) 6= 0

Mà Soc(aR) ⊆ A ∩ Soc(M ), suy ra Soc(M ) ≤ess M

Định lý 1.2.15 (Matlis) Các điều kiện sau là tương đương đối với vành

R đã cho:

(1) R là vành Noetherian phải

(2) Mọi tổng trực tiếp các R - môđun phải nội xạ là nội xạ

(3) Mọi tổng trực tiếp đếm được các bao nội xạ các R - môđun phải đơn

là nội xạ

Định lý 1.2.16 (Faith - Walker) Các điều kiện sau là tương đương đốivới vành R đã cho:

(1) R là vành QF.

(2) Mọi R - môđun phải (trái) nội xạ là xạ ảnh

(3) Mọi R - môđun phải (trái) xạ ảnh là nội xạ

(4) Mọi R - môđun phải (trái) có thể nhúng vào một môđun tự do.Định lý 1.2.17 Các điều kiện sau đây là tương đương cho một vành R:(1) R là một vành PF phải

(2) R là một vành tự - nội xạ phải nửa hoàn chỉnh với đế phải cốt yếu.(3) R là một vành tự - nội xạ phải hữu hạn đối sinh phải

(4) R là một vành tự - nội xạ phải Kasch phải

Định lý 1.2.18 [1] Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R đãcho:

(1) R là vành PF phải

(2) R có đế phải cốt yếu và hữu hạn sinh, tự - nội xạ phải

(3) R là nửa hoàn chỉnh có đế phải cốt yếu, tự - nội xạ phải

(4) R là tổng trực tiếp hữu hạn R = Ln

i=1eiR, trong đó ei là lũy đẳngcủa R, eiR, i = 1, , n, nội xạ, không phân tích được với đế đơn.Mệnh đề 1.2.19 Nếu R là vành nửa hoàn chỉnh, tự - nội xạ phải với

Soc(RR) ≤ess RR thì R là vành Kasch phải và trái

Định lý 1.2.20 Cho σ : N −→ E(N ) là một bao nội xạ của môđun N.Nếu N ⊆ G, ở đây G là một môđun nội xạ bất kỳ, thì tồn tại một bản sao

E ∼= E(N ) thỏa mãn N ≤ess E ⊆⊕ G

Bổ đề 1.2.23 Các điều kiện sau đây là tương đương:

(1) rl(K) = K, với tất cả các iđêan phải nửa đơn K của R

(2) r[l(K) ∩ Ra] = K + r(a), cho tất cả các iđêan phải nửa đơn K của

R và mọi a ∈ R

Chứng minh (1) ⇒ (2) Rõ ràng ta có K + r(a) ⊆ r[l(K) ∩ Ra]

Bây giờ ta chứng minh bao hàm thức ngược lại Cho x ∈ r[l(K) ∩ Ra]

và y ∈ l(aK) Khi đó yaK = 0 và ya ∈ Ra ∩ l(K), vì vậy yax = 0 và

y ∈ l(ax) Do đó l(aK) ⊆ l(ax), và vì vậy ax ∈ rl(ax) ⊆ rl(aK) = aK,

do aK là một iđêan phải nửa đơn của R Do đó ax = ak với k ∈ K nào

đó, và vì vậy (x − k) ∈ r(a) Điều này có nghĩa là x ∈ r(a) + K Suy ra

r[l(K) ∩ Ra] ⊆ K + r(a)

(2) ⇒ (1) là rõ ràng

Bổ đề 1.2.24 Các điều kiện sau đây là tương đương:

(1) R là vành nội xạ đơn phải

(2) lr(k) = Rk, cho tất cả k ∈ R sao cho kR là một iđêan phải cực tiểucủa R

(1) và (2) ⇒ (3) Theo tính nội xạ đơn phải, mỗi Rki là một iđêan tráicực tiểu Cho Pni=1Rki = Lm

i=2r(ki))) Nếu Tm

i=2r(ki) ⊆ r(k1), thì Rk1 = lr(Rk1) ⊆l(Tm

l Tm i=1r(ki)
= Lm

i=2Rki + Rk1 = Lm

i=1Rki

(3) ⇒ (2) Trong (3) ta lấy n = 1 thì ta được (2).

Bổ đề 1.2.25 Giả sử R là vành nửa hoàn chỉnh và Sl ≤ess RR Nếu T

là một iđêan phải của R, thì rl(T ) ≤ess eR, với e là một phần tử lũy đẳngnào đó của R

Chứng minh Xem [26, Lemma 3.11]

Bổ đề 1.2.26 Cho R là một vành minfull phải Khi đó:

(1) R là một vành Kasch phải và trái

(2) Soc(eR) là thuần nhất cho mỗi lũy đẳng địa phương e ∈ R

(3) Sre là một iđêan trái đơn cho mỗi lũy đẳng địa phương e ∈ R

Ngoài ra, nếu e1, , en là các lũy đẳng địa phương, trực giao, cơ sở,thì tồn tại k1, , kn trong R và một hoán vị σ của {1, , n} thỏamãn điều kiện sau đây cho mỗi i = 1, , n:

(4) kiR ⊆ eiR và Rki ⊆ Reσi

(5) kiR ∼= eσiR/eσiJ và Rki ∼= Re

i/J ei, ở đây J = J (R) là căn Jacobsoncủa R

(6) Rki = Sreσi

(7) {k1R, , knR} và {Rk1, , Rkn}lần lượt là các tập hợp đầy đủ củacác biểu diễn phân biệt của các R - môđun phải và trái đơn

(8) Các điều kiện sau đây là tương đương:

(a) Sr = Sl

(b) lr(K) = K cho mọi iđêan trái đơn K với K ⊆ Re cho mọi lũyđẳng địa phương e ∈ R

(c) Soc(Re) = Sre cho mọi lũy đẳng địa phương e ∈ R

(d) Soc(Re) là đơn với e ∈ R là một lũy đẳng địa phương nào đó.Chứng minh Xem [24, Theorem 3.7]

CHƯƠNG 2MÔĐUN ĐẾ - NỘI XẠ VÀ

ĐẾ - NỘI XẠ MẠNH

2.1 MÔĐUN ĐẾ - NỘI XẠ

Định nghĩa 2.1.1 Cho M, N là các R - môđun phải M được gọi là đế

- N - nội xạ nếu bất kỳ R - đồng cấu f : Soc(N ) −→ M đều mở rộng tới

N Nghĩa là, tồn tại đồng cấu f : N −→ M¯ sao cho f¯

|Soc(N ) = f Tươngđương, cho bất kỳ môđun con nửa đơn K của N, bất kỳ R - đồng cấu

f : K −→ M đều mở rộng được tới N

Một môđun M được gọi là đế - tựa - nội xạ nếu M là đế - M - nội xạ.Một môđun M được gọi là đế - nội xạ, nếu M là đế - R - nội xạ

Ví dụ 2.1.2 (1) Mọi môđun nội xạ là đế - N - nội xạ, với N là một R môđun phải tùy ý

-(2) Mọi môđun tựa - nội xạ M là đế - tựa - nội xạ Trong trường hợp đặcbiệt, mọi môđun nửa đơn là đế - tựa - nội xạ

Định lý 2.1.3 (1) Cho N là một R - môđun phải và {Mi : i ∈ I} làmột họ các R - môđun phải Khi đó tích trực tiếp Qi∈IMi là đế - N

- nội xạ nếu và chỉ nếu mỗi Mi là đế - N - nội xạ với mọi i ∈ I.(2) Cho M, N và K là các R - môđun phải với K ⊆ N Nếu M là đế -

N - nội xạ, thì M là đế - K - nội xạ

(3) Cho M, N và K là các R - môđun phải với M ∼= N Nếu M là đế

-K - nội xạ, thì N là đế - K - nội xạ

(4) Cho N là một R - môđun phải và {Ai : i ∈ I} là một họ các R môđun phải Khi đó N là đế - Li∈IAi - nội xạ nếu và chỉ nếu N là

-đế - Ai - nội xạ với mọi i ∈ I

(5) Một R - môđun phải M là đế - nội xạ nếu và chỉ nếu M là đế - P nội xạ với mọi R - môđun phải xạ ảnh P

-(6) Cho M, N và K là các R - môđun phải với N ⊆⊕ M Nếu M là đế

- K - nội xạ, thì N là đế - K - nội xạ

(7) Nếu A, B và M là các R - môđun phải, AR ∼= B

R, và M là đế - A nội xạ, thì M là đế - B - nội xạ

-Chứng minh (1) Gọi ιi : Mi −→ Q

i∈IMi là phép nhúng lên thành phầnthứ i và πi : Q

i∈IMi −→ Mi là phép chiếu lên thành phần thứ i.Giả sử Q

i∈IMi là đế - N - nội xạ Gọi f : Soc(N ) −→ Mi là một đồngcấu Khi đó tồn tại đồng cấu g : N −→ Q

i∈I Mi sao cho g|Soc(N ) = ιif.Suy ra πig : N −→ Mi là mở rộng của f Vậy Mi là đế - N - nội xạ.Ngược lại, gọi f : Soc(N ) −→ Q

i∈I Mi là một đồng cấu Khi đó vớimỗi i ∈ I, vì Mi là đế - N - nội xạ nên tồn tại R - đồng cấu gi : N −→ Mi

sao cho gi|Soc(N ) = πif Đặt g : N −→ Q

i∈IMi xác định bởi g((mi)I) =(gi(mi))I Suy ra g|Soc(N ) = f Vậy Qi∈IMi là đế - N - nội xạ

(2) Vì K là R - môđun phải với K ⊆ N nên K ≤ N Do đó Soc(K) ≤Soc(N ) ≤ N Như đã biết, Soc(K) là môđun con nửa đơn lớn nhất của

K ≤ N Do đó, từ M là đế - N - nội xạ suy ra mọi R - đồng cấu

f : Soc(K) −→ M đều mở rộng được tới N, tức là tồn tại đồng cấu

h : N −→ M sao cho h|Soc(K) = f Xét đồng cấu g : K −→ M xác địnhbởi g(a) = h(a), ∀a ∈ K Khi đó, ∀b ∈ Soc(K) ≤ K, ta có g(b) = h(b) =

f (b), tức là g|Soc(K) = f Vậy g là mở rộng của f và M là đế - K - nội xạ.(3) Cho f : K −→ M là một đồng cấu và g : M −→ N là một đẳng cấu.Khi đó đồng cấu u = gf : K −→ N là mở rộng của h : Soc(K) −→ N.Thật vậy, vì M là đế - K - nội xạ nên f|Soc(K) = g−1h : Soc(K) −→

M Do đó, ∀a ∈ Soc(K), ta có u(a) = gf (a) = gg−1h(a) = h(a), hay

u|Soc(K) = h Vậy N là đế - K - nội xạ

(4) Cho N là một R - môđun phải và {Ai : i ∈ I} là một họ các R môđun phải Giả sử N là đế - L

-i∈I Ai - nội xạ, ta cần chứng minh N là

đế - Ai - nội xạ với mọi i ∈ I Thật vậy, ∀i ∈ I, Ai là R - môđun phảithỏa mãn Ai ⊆ L

i∈IAi Do đó, áp dụng (2), ta được N là đế - Ai - nội

xạ với mọi i ∈ I

Ngược lại, cho {Ai : i ∈ I}là một họ cácR - môđun phải và R - môđunphải N là đế - Ai - nội xạ với mọi i ∈ I, ta cần chứng minh N là đế -L

i∈IAi - nội xạ Thật vậy, vìN là đế -Ai- nội xạ với mọi i ∈ I nên∀i ∈ I,

R - đồng cấu fi : Soc(Ai) −→ N đều mở rộng được tới Ai Mặt khác, do

Soc(L

i∈IAi) =L

i∈I Soc(Ai) nên R - đồng cấu g : Soc(L

i∈IAi) −→ N

mở rộng được tới Li∈IAi Vậy N là đế - Li∈I Ai - nội xạ

(5) Giả sử MR là đế - nội xạ và P là một R - môđun phải xạ ảnh bất kỳ

Ta cần chứng minh M là đế - P - nội xạ Thật vậy, vì P là xạ ảnh nên

P đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của một môđun tự do Khi đó theo

(2), (3) và (4) ta có M là đế - P - nội xạ.

Ngược lại, cho MR là đế - P - nội xạ với mọi R - môđun phải xạ ảnh

P Rõ ràng MR là đế - RR - nội xạ Vậy M là đế - nội xạ

(6) Vì M là đế - K - nội xạ nên với mọi R - đồng cấu f : Soc(K) −→ M

đều tồn tại đồng cấu f : K −→ M¯ sao cho f¯

|Soc(K) = f Mặt khác, vì

N ⊆⊕ M nên π : M −→ N là một phép chiếu chính tắc Xét đồng cấu

g = πf : Soc(K) −→ N Khi đó ¯g = π ¯f : K −→ N là một mở rộng của

f Vậy N là đế - K - nội xạ

(7) Gọi h : A −→ B là một đẳng cấu Khi đó Soc(B) = h(Soc(A)).Gọi f : Soc(B) −→ M là một đồng cấu Bây giờ chúng ta xét đồng cấu

g : Soc(A) −→ M xác định bởi g(a) = f h(a) với mọi a ∈ Soc(A) Vì M

là đế - A - nội xạ, nên tồn tại đồng cấu k : A −→ M sao cho k|Soc(A) = g.Đặt u = kh−1 : B −→ M Khi đó u|Soc(B) = f Vậy M là đế - B - nộixạ

Hai hệ quả tiếp theo là các kết quả trực tiếp của Định lý 2.1.3

Hệ quả 2.1.4 (1) Nếu N là một R - môđun phải, thì một tổng trực tiếphữu hạn của các môđun đế - N - nội xạ cũng là đế - N - nội xạ.Trong trường hợp riêng, một tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun

đế - nội xạ cũng là đế - nội xạ

(2) Một hạng tử trực tiếp của môđun đế - tựa - nội xạ (đế - nội xạ) cũng

là môđun đế - tựa - nội xạ (đế - nội xạ)

Chứng minh (1) Như ta đã biết khi tập chỉ số I là hữu hạn thì

i∈IMi = Πi∈IMi

Và áp dụng (1) của Định lý 2.1.3, ta có kết qủa cần chứng minh

(2) Áp dụng (6) của Định lý 2.1.3

Hệ quả 2.1.5 (1) ChoM là một R - môđun phải và 1 = e1+e2+ +en

trong R, ở đây ei là các lũy đẳng trực giao Khi đó M là đế - nội xạnếu và chỉ nếu M là đế - eiR - nội xạ với mỗi i, 1 ≤ i ≤ n

(2) Giả sử e và f là các lũy đẳng của R, eR ∼= f R và M là đế - eR - nội

Chứng minh (1) Theo định nghĩa M là đế - tựa - nội xạ ⇔ M là đế

-M - nội xạ Vì K một hạng tử trực tiếp của R môđun phải đế tựa

-nội xạ M nên theo (2) của Hệ quả 2.1.4 thì K là đế - M - nội xạ Mặtkhác K ∼= L nên theo (3) của Định lý 2.1.3 thì L là đế - M - nội xạ Nếu

ι : L −→ M là đơn cấu chính tắc thì đồng cấu đồng nhấtidL : LR −→ LR

mở rộng được đến đồng cấu η : M −→ L, nghĩa là ι ◦ η = idL và vì vậy L

là một hạng tử trực tiếp của M

(2) Do K và L là các hạng tử trực tiếp của M và M là đế - tựa - nội xạ,nên theo (2) của Hệ quả 2.1.4 thì K và L là đế - M - nội xạ Do đó theo(1) của Hệ quả 2.1.4, môđun con nửa đơn K ⊕ L là đế - M - nội xạ và vìvậy nó là một hạng tử trực tiếp của M

Mệnh đề 2.1.7 Với một R - môđun phải M, các điều kiện sau đây làtương đương:

(1) Mọi R - môđun phải là đế - M - nội xạ

(2) Mọi R - môđun phải nửa đơn là đế - M - nội xạ

(3) Soc(M ) là một hạng tử trực tiếp của M

Chứng minh (1) ⇒ (2) Hiển nhiên

(2) ⇒ (3) Vì Soc(M ) là môđun con nửa đơn lớn nhất của M nên theo (2)suy ra Soc(M ) là đế - M - nội xạ và do đó theo cách chứng minh (2) củaMệnh đề 2.1.6 thì Soc(M ) là một hạng tử trực tiếp của M

(3) ⇒ (1) Giả sử Soc(M ) là một hạng tử trực tiếp của M Khi đó π :

M −→ Soc(M ) là một phép chiếu chính tắc Gọi N là R - môđun phảibất kỳ Xét đồng cấu f : Soc(M ) −→ N Khi đó f = f ◦ π : M −→ N¯ là

một mở rộng của f Vậy N là đế - M - nội xạ

Định lý 2.1.8 Cho M là một R - môđun phải xạ ảnh Khi đó các điềukiện sau đây là tương đương:

(1) Mọi môđun thương của một R - môđun phải đế - M nội xạ là đế

-M - nội xạ

(2) Mọi môđun thương của một R - môđun phải nội xạ là đế - M - nộixạ

(3) Soc(M ) là xạ ảnh

Chứng minh (1) ⇒ (2) Hiển nhiên

(2) ⇒ (3) Xét biểu đồ dưới đây:

với i là đơn cấu chính tắc Do Soc(M ) là xạ ảnh nên f có thể mở rộngthành một R - đồng cấu g : Soc(M ) −→ N sao cho η ◦ g(x) = f (x) vớimọi x ∈ Soc(M ) Do N là đế - M - nội xạ nên g có thể được mở rộngthành một R - đồng cấu ˜g : M −→ N Rõ ràng, η ◦ ˜g : M −→ L là mởrộng của f Vậy L là đế - M - nội xạ.

Hệ quả 2.1.9 Các điều kiện sau đây là tương đương:

(1) Mọi môđun thương của một R - môđun phải đế - nội xạ là đế - nộixạ

(2) Mọi môđun thương của một R - môđun phải nội xạ là đế - nội xạ.(3) Mọi môđun con nửa đơn của một môđun xạ ảnh là xạ ảnh

(4) Soc(RR) là xạ ảnh

Chứng minh Sự tương đương giữa (1), (2) và (4) suy ra từ Định lý 2.1.8

(3) ⇒ (4) Vì Sr là môđun con nửa đơn lớn nhất của môđun xạ ảnh RR

nên theo (3), Sr là xạ ảnh

(4) ⇒ (3) Giả sử Sr là xạ ảnh và P là một R - môđun phải xạ ảnh bất kỳ.Khi đó Soc(P ) là đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của một tổng trựctiếp các bản sao của Sr, và vì vậy Soc(P ) là xạ ảnh Do đó (4) kéo theo(3)

Định lý 2.1.10 Nếu M là một R - môđun phải hữu hạn sinh, thì cácđiều kiện dưới đây là tương đương:

(1) Tổng trực tiếp của các môđun đế - M - nội xạ là đế - M - nội xạ

(2) Soc(M ) là hữu hạn sinh.

Chứng minh (1) ⇒ (2) Viết Soc(M ) = L

i∈I Si là một tổng trực tiếpcủa các môđun con đơn của M Cho E(Si) là bao nội xạ của Si, i ∈ I,

i∈F E(Si)

Do L

i∈F E(Si) có đế hữu hạn sinh nên Soc(M ) là hữu hạn sinh

(2) ⇒ (1) Cho E = L

i∈IEi là một tổng trực tiếp của các môđun đế - M

- nội xạ và Soc(M ) là hữu hạn sinh Ta cần chứng minh E là đế - M nội xạ Thật vậy, ta xét f : Soc(M ) −→ ER là một đồng cấu của các R -môđun phải Do Soc(M ) là hữu hạn sinh nên f (Soc(M )) ⊆ L

-i∈F Ei, vớitập con hữu hạn F ⊆ I nào đó Theo (1) của Hệ quả 2.1.4, tổng trực tiếphữu hạn của các môđun đế - M - nội xạ là đế - M - nội xạ nên Li∈F Ei

là đế - M - nội xạ và do đó f có thể được mở rộng thành một đồng cấu

ˆ

f : M −→ E Vậy E là đế - M - nội xạ

Hệ quả 2.1.11 Các điều kiện sau đây trên một vành R là tương đương:(1) Tổng trực tiếp của các R - môđun phải đế - nội xạ là đế - nội xạ.(2) Soc(RR) là hữu hạn sinh

Chứng minh Đây là Hệ quả trực tiếp của Định lý 2.1.10 bằng cách thay

R - môđun phải MR bằng R - môđun phải RR

Chú ý 2.1.12 Một R - môđun phải M được gọi là q.f.d, nếu mọi môđunthương của M có chiều Goldie hữu hạn, tương đương nếu mỗi môđun

thương của M có đế cốt yếu hữu hạn sinh Như chúng ta đã biết, nếu mỗi

R - môđun phải cyclic có chiều Goldie hữu hạn thì mỗi R - môđun phảihữu hạn sinh cũng có chiều Goldie hữu hạn, xem ví dụ [5]

Kết quả tiếp theo là một hệ quả trực tiếp của Định lý 2.1.10

Hệ quả 2.1.13 Các điều kiện sau đây là tương đương:

(1) Tổng trực tiếp của các R - môđun phải đế - M - nội xạ là đế - M nội xạ, với mỗi R - môđun phải cyclic M

-(2) Các R - môđun phải hữu hạn sinh có chiều Goldie hữu hạn

Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả thiết (1) Theo Định lý 2.1.10 thì Soc(M ) làhữu hạn sinh Suy ra Soc(M/N ) cũng hữu hạn sinh với N là môđun conbất kỳ của M Tức là mọi môđun thương của M có đế hữu hạn sinh Do

đó M là R - môđun phải q.f.d Như vậy, M là R - môđun phải cyclic bất

kỳ có chiều Goldie hữu hạn và theo Chú ý 2.1.12 thì các R - môđun phảihữu hạn sinh có chiều Goldie hữu hạn

(2) ⇒ (1) Giả thiết (2) Khi đó, ta có Soc(M ) là hữu hạn sinh và áp dụngĐịnh lý 2.1.10 ta được (1)

2.2 MÔĐUN ĐẾ - NỘI XẠ MẠNH

Định nghĩa 2.2.1 Một R - môđun phải M được gọi là đế - nội xạ mạnh,nếu M là đế - N - nội xạ với mọi R - môđun phải N

Ví dụ 2.2.2 (1) Mọi môđun nội xạ là đế - nội xạ mạnh

(2) Môđun bất kỳ với đế không là đế - nội xạ mạnh