Luận văn thạc sĩ về môđun đối đồng điều địa phương artin

Mục đích của luận -văn là trình bày lại một số kết quả gần đây trong các bài báo [3], [24], [20], [22] về mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết, đặc trưng tính bão hòa nguyên tố và xây dựng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————–o0o——————–

LÊ THỊ PHƯƠNG NGA

VỀ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ARTIN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, NĂM 2018

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————–o0o——————–

LÊ THỊ PHƯƠNG NGA

VỀ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ARTIN

Mục lục

1.1 Vành catenary phổ dụng 4

1.2 Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin 6

1.3 Chiều, số bội và tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin 8

1.4 Môđun đối đồng điều địa phương Artin 12

Chương 2 Môđun đối đồng điều địa phương Artin trong

trường hợp thương của vành Cohen-Macaulay 17

2.1 Trường hợp thương của vành Gorenstein địa phương 17

2.2 Trường hợp thương của vành Cohen-Macaulay 21

2.3 Chuyển qua đồng cấu phẳng 26

Chương 3 Môđun đối đồng điều địa phương Artin thỏa mãn

3.1 Trường hợp môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại 37

3.2 Trường hợp môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với

giá tùy ý 44

LỜI CẢM ƠN

Luận văn "Về môđun đối đồng điều địa phương Artin" được thực

hiện tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành

dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, tận tụy của TS Trần Đỗ Minh Châu Tác

giả xin bảy tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn

khoa học của mình Đồng thời, tác giả xin trân trọng cảm ơn tới GS TS

Lê Thị Thanh Nhàn với những góp ý quý báu của cô để luận văn được

hoàn thiện hơn

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư

phạm - Đại học Thái nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Toán cùng các thầy

cô khoa Toán đã tham gia giảng dạy và tạo điều kiện tốt nhất để tác giả

học tập và nghiên cứu

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám đốc và các đồng nghiệp

Trung tâm HN và GDTX Tỉnh Quảng Ninh đã tạo điều kiện cho tôi hoàn

thành nhiệm vụ học tập của mình

Nhân dịp này, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã động

viên giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập

MỞ ĐẦU

Lý thuyết đối đồng điều địa phương được A Grothendieck giới thiệu

vào năm 1960 Sau đó lý thuyết này nhanh chóng phát triển và thu hút sự

quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới, trở thành công cụ nghiên

cứu không thể thiếu trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học như Đại

số giao hoán, Hình học đại số, Đại số tổ hợp,

Một trong những tính chất quan trọng của môđun đối đồng điều địa

phương là tính Artin Cho (R,m) là vành giáo hoán Noether địa phương,

M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều d và I là iđêan của R Năm 1971,

I G Macdonald và R Y Sharp [16] đã chứng minh được môđun đối dồng

điều địa phương với giá cực đại Hmi(M ) luôn là Artin với mọi i ≥ 0 Sau

đó R Y Sharp [28] phát hiện ra lớp môđun đối đồng điều địa phương

Artin thứ hai là HId(M ) Nhiều thông tin về hai lớp môđun đối đồng điềuđịa phương Artin này đã được phản ánh trong các công trình của R Y

Sharp [27], M Brodmann-Sharp [3], N T Cường, L T Nhàn

Theo I G Macdonald [15], tập iđêan nguyên tố gắn kết của Rmôđun Artin, kí hiệu là AttRA, có vai trò quan trọng tương tự như tậpiđêan nguyên tố liên kết đối với môđun hữu hạn sinh Mục đích của luận

-văn là trình bày lại một số kết quả gần đây trong các bài báo [3], [24],

[20], [22] về mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết, đặc trưng tính bão hòa

nguyên tố và xây dựng công thức số bội của Hmi (M ) và HId(M ) khi R làthương của vành Cohen-Macaulay và các môđun này thỏa mãn tính bão

hòa nguyên tố Nhắc lại rằng một R-môđun Artin A được gọi là thỏa mãntính bão hòa nguyên tố nếu AnnR(0 :A p) = p với mỗi iđêan nguyên tố pchứa AnnRA (xem [8])

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung luận

văn được trình bày thành ba chương:

Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị về vành catenary phổ

dụng, tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin, chiều, số bội, tính

bão hòa nguyên tố của môđun Artin và môđun đối đồng điều địa phương

Artin Những kiến thức này liên quan đến các kết quả và chứng minh ở

chương 2 và 3

Chương 2 trình bày các kết quả về tập iđêan nguyên tố gắn kết và

số bội của môđun đối đồng địa phương Hmi (M ) trong trường hợp vành cơ

sở là thương của vành Cohen-Macaulay

Chương 3 trình bày đặc trưng tính bão hòa nguyên tố của hai lớp

môđun đối đồng điều địa phương Artin thông qua tính catenary của vành,

từ đó mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết và xây dựng công thức bội liên

kết cho hai lớp môđun này khi chúng thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2018

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong suốt luận văn này, nếu không nói gì thêm, luôn giả thiết(R,m)

là vành giao hoán Noether địa phương, bR là vành đầy đủ m-adic của R, I

là iđêan tùy ý củaR.Ta cũng ký hiệuAlàR-môđun Artin, M là R-môđunhữu hạn sinh có dim(M ) = d và N, L là các môđun tùy ý của R

Mục tiêu của chương này là giới thiệu những khái niệm và các tính

chất cơ bản về vành catenary phổ dụng, tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều,

số bội, tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin và môđun đối đồng điều

địa phương Artin sẽ được sử dụng trong luận văn

1.1 Vành catenary phổ dụng

Trong tiết này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kết quả của

vành catenary phổ dụng Chú ý rằng, do R là vành Noether địa phươngnên với mọi cặp iđêan nguyên tố p ⊂ q của R luôn tồn tại dãy các iđêannguyên tố bão hòa giữa p và q có độ dài n

Rõ ràng nếu R là catenary thì Rp là catenary với mọi p ∈ Spec(R).

Ngoài ra vành catenary còn có tính chất sau

Mệnh đề 1.1.2 (Xem [30]) Các mệnh đề sau là đúng:

(i) Nếu R là catenary thì vành thương của R cũng là catenary.(ii) R là catenary khi và chỉ khi dim(R/q) = dim(R/p) + ht(p/q)

với mọi iđêan nguyên tố p,q thỏa mãn q ⊆ p

Một trong những loại vành catenary đặc biệt có tính chất quan trọng

lý sau đây chỉ ra điều kiện để một vành là vành catenary phổ dụng thông

qua tính không trộn lẫn và tính Cohen-Macaulay của vành

Định lý 1.1.4 (Xem [29, Định lý 17.9,31.6])R là vành catenary phổ dụngnếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

(i) R là tựa không trộn lẫn;

(ii) R là thương của một vành Cohen-Macaulay

Định lý sau đưa ra một số đặc trưng của vành catenary phổ dụng

Định lý 1.1.5 Các điều kiện sau là tương đương:

(i) R là catenary phổ dụng;

(ii) Vành đa thức một biến R[x] là catenary;

(iii) R/p là tựa không trộn lẫn với mọi p ∈ Spec(R)

1.2 Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin

Lý thuyết biểu diễn thứ cấp cho các môđun được giới thiệu bởi I G

Macdonald [15] có thể xem là đối ngẫu của lý thuyết phân tích nguyên sơ

Từ biểu diễn thứ cấp, tập iđêan nguyên tố gắn kết của một môđun được

định nghĩa Khái niệm này theo một nghĩa nào đó là tương tự với khái

niệm iđêan nguyên tố liên kết của môđun hữu hạn sinh

Định nghĩa 1.2.1 (i) Một R-môđun N được gọi là thứ cấp nếu N 6= 0

và với mỗi r ∈ R ta có rN = N hoặc tồn tại n ∈ N sao cho rnN = 0

Trong trường hợp này, tập hợp các phần tử r ∈ R sao cho phép nhân bởi

r trên N là lũy linh làm thành một iđêan nguyên tố chẳng hạn là p, và

ta gọi N là p-thứ cấp

(ii) ChoN là R-môđun Biểu diễnN = N1+ + Nn, trong đó mỗi

Ni là môđun con pi-thứ cấp N, được gọi là một biểu diễn thứ cấp của N

Nếu N = 0 hoặc N có biểu diễn thứ cấp thì ta nói N là biểu diễn được.Biểu diễn này gọi là tối tiểu nếu các iđêan nguyên tố pi là đôi một khácnhau và mỗi Ni là không thừa với mọi i = 1, , n

Chú ý rằng, nếu N1, N2 là các môđun con p-thứ cấp của N thì

N1 + N2 cũng là môđun con p-thứ cấp của N Vì thế mọi biểu diễn thứcấp của N đều có thể đưa được về dạng tối tiểu bằng cách bỏ đi nhữngthành phần thừa và gộp lại những thành phần cùng chung một iđêan

nguyên tố Tập hợp p1, ,pn là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấptối tiểu của N và được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của N, kíhiệu là AttRN Các hạng tử Ni, với i = 1, , n, được gọi là các thànhphần thứ cấp của N Nếu pi là tối tiểu trong tập AttRN thì pi được gọi

là iđêan nguyên tố gắn kết cô lập của N và Ni được gọi là thành phần thứcấp cô lập của N

Định lý sau đây cho ta một lớp các môđun biểu diễn được.

Định lý 1.2.2 [15, Định lý 5.2] Mọi môđun Artin đều biểu diễn được

Mệnh đề 1.2.3 (Xem [16]) Giả sử A là R-môđun Artin Khi đó các phátbiểu sau là đúng:

(i) AttRA 6= ∅ khi và chỉ khi A 6= 0

(ii) min AttRA = min Var(AnnRA) Đặc biệt,

dim(R/ AnnRA) = maxdim(R/p) | p ∈ AttRA

(iii) AttRA = {m} khi và chỉ khi A 6= 0 và `R(A) < ∞

Cho A là R-môđun Artin và r ∈b R, x ∈ A.b Gọi (rn)n∈N là dãy Côsitrong R đại điện cho lớp br Vì Rx có độ dài hữu hạn nên tồn tại số tựnhiên k sao cho mkx = 0 Chú ý rằng tồn tại n0 sao cho rn− rm ∈ mk vớimọi m, n ≥ n0 Suy ra rnx = rn0x với mọi n ≥ n0 Khi đó A có cấu trúc

tự nhiên như bR-môđun với tích vô hướng brx = rn0x Do đó, một môđuncon củaA xét nhưR-môđun khi và chỉ khi nó là môđun con của Axét nhưb

R-môđun Vì thế A là bR-môđun Artin Ta cũng có thể xác định được cấutrúc R-môđun ban đầu trên A nếu xem bR-môđun A này như R-môđunxác định bởi đồng cấu tự nhiên R →R.b Như vậy, tập iđêan nguyên tố gắnkết của A trên R và bR luôn xác định và ta có mối liên hệ giữa các tậpiđêan nguyên tố gắn kết này như sau

Mệnh đề 1.2.4 [28, Bổ đề 2.1]

AttRA = P∩ R | P ∈ Att

b

RA

Tổng quát hơn, tính chất chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kết của

một môđun Artin qua đồng cấu phẳng địa phương được phát biểu trong

mệnh đề sau

Mệnh đề 1.2.5 [23, Mệnh đề 2.3] Cho môđun A là R-môđun Artin và

ϕ : (R,m) → (S,n) là đồng cấu địa phương phẳng giữa các vành Noetherđịa phương Giả sử rằng dim(S/mS) = 0 Khi đó A ⊗R S là S-môđunArtin và

AttRA = {ϕ−1(S) | S ∈ AttS(A ⊗R S)}

1.3 Chiều, số bội và tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin

Phần này dành để trình bày tính chất bão hòa nguyên tố môđun

Artin và các bất biến quan trọng của nó bao gồm chiều Noether và số bội

Trong [25], R N Roberts đã giới thiệu khái niệm chiều Krull cho

môđun tùy ý và đưa ra một số kết quả về chiều Krull này cho các môđun

Artin Để tránh nhầm lẫn với khái niệm chiều Krull của các môđun hữu

hạn sinh, D Kirby [14] đã đổi thuật ngữ của Roberts thành chiều Noether

Khái niệm chiều Noether cho môđun Artin theo thuật ngữ của D Kirby

được định nghĩa như sau

Định nghĩa 1.3.1 Cho R-môđun Artin A, chiều Noether của A, kí hiệubởi N-dimRA, được định nghĩa như sau: khi A = 0, đặt N-dimRA = −1

Bằng quy nạp, cho số nguyênd ≥ 0,đặtN-dimRA = d nếuN-dimRA < d

là sai và với mỗi dãy tăng các môđun con A0 ⊆ A1 ⊆ của A, tồn tạimột số tự nhiên n0 sao cho N-dimR(An+1/An) < d với mọi n > n0

Như vậy N-dimRA = 0 khi và chỉ khi A 6= 0và A là Noether Trongtrường hợp này, A có độ dài hữu hạn Khi N-dimRA > 0, nếu chỉ dùngĐịnh nghĩa 1.3.1 thì rất khó có thể xác định được N-dimRA Hơn nữa, vớimỗi R-môđun Artin A và mỗi iđêan q của R thỏa mãn `R(0 :A q) < ∞,

D Kirby [14] đã chỉ ra rằng tồn tại một đa thức ΘqA(n) với hệ số hữu tỷsao cho `R(0 :A qn+1) = ΘqA(n) khi n đủ lớn Đa thức này, theo một nghĩanào đó, là đối ngẫu với đa thức Hilbert - Samuel của môđun hữu hạn sinh

và được gọi là đa thức Hilbert - Samuel của môđun Artin tương ứng với

q Trong [25], R N Roberts đã đưa ra kết quả quan trọng sau về chiềuNoether của môđun Artin

N-dimR(A) = deg(`R(0 :A qn+1))

= inf{t | ∃x1, xt ∈ m : `R(0 :A (x1, , xt)R) < ∞}

Kết quả này cho phép chúng ta có thể tính toán được chiều Noether, có

thể định nghĩa các khái niệm hệ bội, hệ tham số, phần hệ tham số một

cách tự nhiên và từ đó nghiên cứu số bội của môđun Artin Kết quả này

cũng cho ta thấy khái niệm chiều Noether trong nhiều khía cạnh có vai

trò quan trọng đối với môđun Artin như vai trò của chiều Krull đối với

môđun hữu hạn sinh

Kết quả sau đây chỉ ra mối liên hệ giữa chiều Noether của môđun

A và chiều Krull của vành R/ AnnRA

Mệnh đề 1.3.2 [8, Mệnh đề 2.5, Hệ quả 2.6] Các phát biểu sau là đúng:

(i) N-dimR(A) = 0 nếu và chỉ nếu dim(R/ AnnRA) = 0 Trongtrường hợp này A có độ dài hữu hạn và R/ AnnRA là vành Artin

(ii) N-dimR(A) ≤ dim(R/ AnnRA)

Chú ý rằng, theo [8, Ví dụ 4.1], luôn tồn tạiR-môđun ArtinAsao cho

N-dimRA < dim(R/ AnnRA).Vì vậy một câu hỏi tự nhiên là với điều kiệnnào của vành R hoặc của môđun A ta có N-dimRA = dim(R/ AnnRA)?Mệnh đề 1.3.3 [8, Hệ quả 2.6] Nếu R đầy đủ thì

N-dimR(A) = dim(R/ AnnRA)

Chú ý rằng, A có cấu trúc tự nhiên như bR-môđun Với cấu trúc này,mối quan hệ giữa chiều Noether của A trên R và bR như sau

Định nghĩa 1.3.5 ChoM là R-môđun hữu hạn sinh và q là iđêan của R

sao cho`R(M/qM ) < ∞ Khi đó, với n đủ lớn, hàm `R(M/qn+1M ) theobiến nguyên dươngn là một đa thức bậc d với hệ số hữu tỷ và được gọi là

đa thức Hilbert-Samuel của M ứng với q và được biểu diễn dưới dạng

Lí thuyết bội có vai trò quan trọng trong nghiên cứu cấu trúc của

môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Công thức sau đây là một

trong những tính chất cơ bản của số bội, được gọi là công thức liên kết

của số bội (Xem [5, Hệ quả 4.6.8]):

e(q, M ) = X

p∈SuppRM dim(R/ p)=d

`Rp(Mp)e(q, R/p) (1)

Với mỗi R-môđun Artin A, theo suy nghĩ đối ngẫu, chúng ta cũngđịnh nghĩa được số bội thông qua đa thức Hilbert-Samuel của A Cụ thể,theo D.Kirby [14], nếu q là iđêan của R sao cho `R(0 :A q) < ∞ thì khi n

đủ lớn `R(0 :A qn+1) là một đa thức bậc N-dimR(A) với hệ số hữu tỷ Ta

ký hiệu đa thức này là ΘqA(n) Đặt N-dimR(A) = s Ta có biểu diễn

ΘqA(n) := `R(0 :A qn+1) = e

0(q, A)s! n

s

+đa thức có bậc nhỏ hơn s

khi n đủ lớn, trong đó e0(q, A) là một số nguyên dương, được gọi là số bộicủa A ứng với q (xem [3])

Phần cuối cùng của tiết này dành để trình bày tính chất bão hòa

nguyên tố của môđun Artin Cho M là R-môđun hữu hạn sinh Với mỗi

iđêan I của R, ký hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố chứa I Khi đó,

AnnR(M/pM ) = p với mọi p ∈ Var(AnnRM )

Thật vậy, giả sử p∈ Var(AnnR(M )).Hiển nhiên, ta có p ⊆ AnnR(M/pM )

Vì Var(AnnR(M )) = SuppR(M ) nên Mp 6= 0 Theo Bổ đề Nakayama,

Mp 6= pRpMp Do đó (M/pM )p 6= 0 Suy ra

p ∈ SuppR(M/pM ) = Var(AnnR(M/pM ))

Vì thế p⊇ AnnR(M/pM )

Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là tính chất đối ngẫu sau đây có

đúng cho mọi môđun Artin A không?

AnnR(0 :A p) = p với mọi p∈ Var(AnnRA) (*)NếuR là đầy đủ tương ứng với tôpô m-adic thì sử dụng đối ngẫu Matlis tachứng minh được tính chất (*) thỏa mãn cho mọi R-môđun Artin Nhắclại rằng, ký hiệu E = ER(R/m) là bao nội xạ của môđun R-môđun R/m

và D là hàm tử khớp, phản biến, tuyến tính HomR(•, E) từ phạm trùcác R-môđun C(R) vào chính nó D(N ) được gọi là đối ngẫu Matlis của

R-môđun N Vì R là đầy đủ nên theo đối ngẫu Matlis, D(A) là R-môđunhữu hạn sinh Kéo theo

AnnR(0 :A p) = AnnR(D(0 :A p))

= AnnR(D(A)/pD(A)) = p

Tuy nhiên, tồn tại các môđun Artin không thỏa mãn tính chất (*) Chẳng

hạn, theo [8, Ví dụ 4.4],R-môđun Artin Hm1(R)không thỏa mãn tính chất(*) nếu R là miền nguyên Noether địa phương chiều 2 được xây dựng bởi

M Ferrand và D Raynaud (Xem [19, App Ex 2]) sao cho vành đầy đủ

m-adic bR có iđêan nguyên tố liên kết q chiều 1 Từ đây ta có định nghĩasau [19, Định nghĩa 4.3].

Định nghĩa 1.3.6 Một R-môđun Artin A được gọi là thỏa mãn tính bãohòa nguyên tố nếuAnnR(0 :A p) =p với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ AnnRA

Rõ ràng AnnR(0 :A p) ⊇ p Do đó A thỏa mãn tính bão hòa nguyên

tố khi và chỉ khi AnnR(0 :A p) là bé nhất có thể, với mỗi iđêan nguyên tố

p ⊇ AnnRA Những môđun Artin thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố cónhững tính chất khá đẹp về cấu trúc Chẳng hạn chiều của môđun Artin

có tính bão hòa nguyên tố được thể hiện rõ trong các Bổ đề và Định lý

sau

Bổ đề 1.3.7 (Xem [8, Nhận xét 2.3, Hệ quả 4.8]) Cho R-môđun Artin A

Khi đó, N-dimR(A) ≤ dim(R/ AnnRA) và đẳng thức xảy ra nếu A thỏamãn tính bão hòa nguyên tố Hơn nữa, ta có

N-dimR(A) = N-dim

1.4 Môđun đối đồng điều địa phương Artin

Lý thuyết đối đồng điều địa phương được giới thiệu vào những năm

1960 và nhanh chóng phát triển, trở thành công cụ không thể thiếu trong

nhiễu lĩnh vực khác nhau của toán học như Đại số giao hoán, Hình học đại

số, Khoảng những năm 1970, I G Macdonald và R Y Sharp đã phát

hiện ra các lớp môđun đối đồng địa phương Artin và sử dụng lý thuyết

biểu diễn thứ cấp để nghiên cứu các môđun này Trong tiết này sẽ nhắc

lại một số khái niệm và tính chất của môđun đối đồng điều địa phương

Định nghĩa 1.4.1 Cho I là iđêan của R Với mỗi R-môđun M, đặt

Khi đó ΓI(•) là hàm tử hiệp biến, khớp trái trên phạm trù các R-môđun

và được gọi là hàm tử I-xoắn

Định nghĩa 1.4.2 Với mỗi số nguyên i ≥ 0, hàm tử dẫn xuất phải thứ

i của hàm tử I-xoắn được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i

đối với I và kí hiệu bởi HIi(•) Với mỗi R-môđun M, HIi(M ) được gọi làmôđun đối đồng điều địa phương thứ i ứng với giá I

Chú ý rằng nếuf : R → R0 là một đồng cấu vành và N là R0-môđunthìN cũng là R-môđun cảm sinh bởi f với phép nhân vô hướng được địnhnghĩa bởi rn := f (r)n, trong đó r ∈ R, n ∈ N Với phép nhân vô hướngnày, ta luôn xác định được cácR-môđunHIRi 0(N )và HIi(N ), trong đó IR0

là iđêan của R0 sinh bởi f (I) Khi đó việc tính môđun đối đồng điều địaphương thứ i của N trên R và trên R0 là như nhau Tính chất này đượcgọi là tính độc lập với vành cơ sở

Một trong những tính chất quan trọng có nhiều ứng dụng là tính

triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương (Xem [8, 6.1.2,6.1.4].)

Định lý 1.4.5 (Định lý triệt tiêu và không triệt tiêu của A Grothendieck)Các khẳng định sau là tương đương:

(i) Hmi(M ) = 0 với mọi i > dim(M )

(ii) Nếu M 6= 0 thì Hmd(M ) 6= 0

(iii) Nếu M 6= 0 thì depth(I, M ) = min{i | HIi(M ) 6= 0}

Trong trường hợp môđun đối đồng điều địa phương với giá là iđêan

tùy ý, Định lý triệt tiêu Lichtenbaum-Hartshorne cho ta tính triệt tiêu của

môđun đối đồng điều của vành tại cấp cao nhất với giá tùy ý

Định lý 1.4.6 Giả sử dim(R) = n và I là một iđêan của R Các mệnh

đề sau là tương đương:

(i) HIn(R) = 0;

(ii) Với mỗi iđêan nguyên tố P của bR thỏa mãn dim(R/b P) = n ta

có dim(R/(Ib R +b P)) > 0

Chú ý rằng môđun đối đồng điều địa phương của môđun hữu hạn

sinh nhìn chung không hữu hạn sinh và cũng không Artin (xem [8, Hệ quả

7.3.3]) Vì thế, hai kết quả sau về tính Artin của môđun đối đồng điều địa

phương chứng minh bởi I G Macdonald và R Y Sharp rất được quan

tâm

Định lý 1.4.7 Các phát biểu sau luôn đúng:

(i) Hmi(M ) là R-môđun Artin với mọi số nguyên i ≥ 0;

(ii) HId(M ) là R-môđun Artin với mọi iđêan I của R

Tiếp theo là một số kết quả về tập iđêan nguyên tố gắn kết của các

môđun đối đồng điều địa phương Artin Trước hết là tập các iđêan nguyên

tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại được cho

bởi công thức sau

Định lý 1.4.8 [16, Định lý 2.2] Cho M là R-môđun hữu hạn sinh kháckhông với dim(M ) = d Khi đó Hmd(M ) 6= 0 và

AttR(Hmd(M )) = {p ∈ AssRM | dim(R/p) = d}

Định lý sau đây được chứng minh bởi R Y Sharp [27, Định lý 4.8]

và được gọi là tính chất dịch chuyển địa phương yếu

Định lý 1.4.9 Cho M là R-môđun hữu hạn sinh, p ∈ SuppR(M ) sao cho

dim(R/p) = t Giả sử i ≥ 0 là một số nguyên và q là iđêan nguyên tố với

q ⊆p sao cho qRp ∈ AttRp(HpiR

p(Mp)) Khi đó q ∈ AttR(Hmi+t(M ))

Gần đây, L T Nhàn và P H Quý đã mở rộng kết quả trên cho

trường hợp vành thương của vành Cohen-Macaulay địa phương

Mệnh đề 1.4.10 [23, Mệnh đề 2.7] Giả sử p ∈ Spec(R) Cho số nguyên

i ≥ 0 Giả sử R là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương Khi đó

(i) AttRp(Hpi−dim(R/ p)R

Theo Định lý 1.4.7, các môđun đối đồng điều địa phương với giá cực

đại Hmi (M ) là Artin với mọi số nguyên i Vì thế chiều của các môđun nàycũng luôn xác định và có tính chất đã nêu Hơn nữa, chiều của các môđun

đối đồng điều địa phương với giá cực đại Hmi (M ) còn có mối liên hệ vớicấp của môđun này

Định lý 1.4.12 (Xem[8, Định lý 3.1, Hệ quả 3.6])

(i) N-dimR(Hmi (M )) ≤ i.

(ii) N-dimR(Hmd(M )) = dim(R/ AnnR(Hmd(M ))) = d

Định lý sau đây cho ta mối liên hệ giữa tính bão hòa nguyên tố của

môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá cực đại và tính

catenary của vành cơ sở

Định lý 1.4.13 (Xem [7]) Các mệnh đề sau là tương đương:

(i) Hmd(M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố;

(ii) Vành R/ AnnR(Hmd(M )) là catenary

Chương 2

Môđun đối đồng điều địa phương Artin trong trường hợp thương của vành Cohen-Macaulay

Chương 2 dành để trình bày các kết quả gần đây về tập iđêan nguyên

tố gắn kết và số bội của môđun đối đồng điều địa phương trong trường

hợp thương của vành Cohen-Macaulay và khi chuyển qua đồng cấu phẳng

Các kết quả này được trình bày trong các bài báo [3], [24]

2.1 Trường hợp thương của vành Gorenstein địa phương

Trong suốt mục này, ta luôn giả sử R là ảnh đồng cấu của vànhGorenstein địa phương (R0,m0) chiều n0 qua toàn cấu vành f : R0 → R

Nhắc lại rằng, vành R được gọi là vành Gorenstein địa phương nếu R cóchiều nội xạ hữu hạn, tức là R có một giải nội xạ trong đó chỉ có hữu hạnmôđun nội xạ khác 0

Khi R là thương của vành Gorenstein, Định lý đối ngẫu địa phương

là một công cụ hữu hiệu để ta nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phương

với giá cực đại Ký hiệu E là bao nội xạ ER(R/m) của trường thặng dư

R/m và D là hàm tử đối ngẫu Matlis HomR(•, E) Với mỗi số nguyên i,

ta ký hiệu ExtnR0−i(M, R0) là KMi Định lý đối ngẫu địa phương được phátbiểu như sau.

Định lý 2.1.1 (Xem [27, Hệ quả 3.5]) ExtiR0(M, R0) là R-môđun hữu hạnsinh và ta có R-đẳng cấu

Hmi(M ) ∼= HomR(KMi , E) = D(KMi ) với mọi i ≥ 0

Công cụ chủ yếu được sử dụng để chứng minh kết quả chính của tiết

này là khái niệm giả giá và giả chiều thứ i của M Khái niệm này đượcđịnh nghĩa như sau

Định nghĩa 2.1.2 Cho i 6= 0 là một số nguyên

(i) Giả giá thứ i của M, ký hiệu là PsuppiR(M ), được cho bởi côngthức

PsuppiR(M ) = np ∈ Spec(R) | Hpi−dim(R/ p)R

p (Mp) 6= 0o

(ii) Giả chiều thứ i của M, ký hiệu là psdi(M ), được cho bởi côngthức

psdi(M ) = supndim(R/p) : p ∈ PsuppiR(M )o

Nhắc lại rằng, nếu q là một iđêan m-nguyên sơ thì đa thức

Hilbert-Samuel của M ứng với q là đa thức Pq

M ∈ Q[X] có bậc là dim(M ), saocho

Xq

M(n) = `R(M/qn+1M ) với mọi n  0

Mệnh đề sau cho ta kết quả về số bội của môđun đối đồng điều địa phương

với giá cực đại

Mệnh đề 2.1.3 Cho i là một số nguyên không âm Các phát biểu sau làđúng

(i) ΘqHi

m (M ) = Pq

K i M

.(ii) Hmi (M ) 6= 0 khi và chỉ khi KMi 6= 0, và trong trường hợp này

e0(q, Hmi(M )) = e(q, KMi )

(iii) PsuppiR(M ) = Supp(KMi ), và vì vậy PsuppiR(M ) là tập conđóng của Spec(R) đối với tôpô Zariski.

(iv) Mỗi iđêan nguyên tố p ∈ Spec(R) là thành phần tối tiểu của

PsuppiR(M ) = Supp(KMi ) khi và chỉ khi Rp-môđun Hpi−dim(R/ p)R

(ii) Vì`D(KMi ) = `(KMi ) nênHmi(M ) 6= 0khi và chỉ khiKMi 6= 0

Ký hiệu d là bậc của đa thức Pq

K i M

và ad là hệ số cao nhất của đa thứcnày Theo chứng minh ở phần (i), trong trường hợp này ta cũng có d làbậc của ΘqHi

m (M ) Suy ra

e0(q, Hmi (M )) = ad.d! = e(q, KMi )

(iii) Cho p ∈ Spec(R) và đặt t = dim(R/p) Giả sử R0 là vànhGorenstein địa phương có chiềun0 vàf : R0 → Rlà toàn cấu vành Ký hiệu

p0 = f−1(p) Khi đóRp00 là vành Gorenstein địa phương và dim(R0/p0) = t

Do R0 là vành Gorenstein địa phương nên R0 là vành Cohen-Macaulay địaphương Theo [17, Trang 31], ta có

dim(R0p0) = dim(R0) − dim(R0/p0) = n0− t

Gọi f0 : R0p0 → Rp là toàn cấu vành cảm sinh từ toàn cấu f sao cho

f (r0/s0) = f (r0)/f (s0) với mọi r0 ∈ R0, s0 ∈ R0\p0 Chú ý rằng R0p0 là vànhGorenstein và ta có Rp-đẳng cấu

ExtnR00−ip0

đó PsuppiR(M ) = Supp(KMi ) Vì Supp(KMi ) = Var(AnnR(KMi )) nên

PsuppiR(M ) là một tập đóng của Spec(R) đối với tôpô Zariski

(iv) Với mỗi p ∈ Spec(R), p là iđêan nguyên tố tối tiểu củaPsuppiR(M )

nếu và chỉ nếu p là phần tử tối tiểu của Supp(KMi ), nghĩa là nếu và chỉnếu Rp-môđun (KMi )p là khác không và có độ dài hữu hạn Vì đối ngẫuMatlis của (KMi )p trên vành Rp đẳng cấu với Hpi−tR

p(Mp) nên theo đối ngẫuMatlis, điều này tương đương với độ dài của Hpi−tR

p(Mp) là hữu hạn và tacó

`Rp(KMi )pe(q, R/p)

p∈PsuppiR(M ) dim(R/ p)=psdi(M )

2.2 Trường hợp thương của vành Cohen-Macaulay

Mục tiêu của phần này là chỉ ra công thức (2) cũng đúng cho trường

hợp khi R là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của R làCohen-Macaulay Chú ý rằng trong [13, Hệ quả 1.2], Kawasaki đã chứng

minh được R là thương của vành Cohen-Macaulay khi và chỉ khi R làcatenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay Trước hết ta

có bổ đề quan trọng sau Nhắc lại rằng, một tập con của Spec(R) đượcgọi là tập đóng dưới phép đặc biệt hóa nếu với hai iđêan nguyên tố bất kì

p,q của R thỏa mãn p ⊆q và p ∈ T ta luôn có q ∈ T

Bổ đề 2.2.1 [3, Bổ đề 2.2] Giả sử R là vành catenary và i là số nguyênkhông âm Khi đó, PsuppiR(M ) là đóng với phép đặc biệt hóa

Chứng minh Cho p,q ∈ Spec(R) với p ⊆ q và p ∈ PsuppiR(M ) Khi đó

Hpi−dim(R/ p)R

p (Mp) 6= 0 Chú ý rằng ta luôn có Rp-đẳng cấu

Rp ∼= (R

q)pRq

Vì Rp-môđun Artin Hpi−dim(R/ p)R

p (Mp) 6= 0 nên theo Mệnh đề 1.2.3(i), ta có

Với mỗi p ∈ Spec(R) và P∈ Spec(R)b sao cho P∩ R = p, đồng cấu

tự nhiên R → Rb cảm sinh ra đồng cấu địa phương h0 : Rp →RbP Khi đóvành thớ bRP⊗ (Rp/pRp) ∼= RbP/p bRP của đồng cấu h0 trên iđêan cực đại

pRp của Rp được gọi là thớ hình thức của R ứng với p và P

Mệnh đề 2.2.3 [3, Mệnh đề 2.3] Cho i ∈ Z với i ≥ 0,p ∈ Spec(R)

và P ∈ Spec(R)b sao cho P ∩ R = p Giả sử h0 : Rp → RbP là đồngcấu phẳng địa phương cảm sinh từ đơn cấu R → R.b Giả sử rằng R làcatenary phổ dụng với các thớ hình thức bRP/p bRP là Cohen-Macaulay.Khi đó P ∈ Psuppi

Định lý 2.2.4 [3, Định lý 2.4] Giả sử vành địa phương R là catenary phổdụng và mọi thớ hình thức của R là Cohen-Macaulay Cho i ∈ Z với i ≥ 0

và q là iđêan m-nguyên sơ của R

(i) Giả sử p ∈ Spec(R) và P là iđêan nguyên tố tối tiểu của p bR

Khi đó, những khẳng định sau là tương đương:

(a) p là phần tử tối tiểu của PsuppiR(M );

(b) P là phần tử tối tiểu của Psuppi

b

R(M ⊗R R);b(c) `RpHpi−dim(R/ p)R

(ii) Tập con PsuppiR(M ) của Spec(R) là đóng và chiều của nó

psdi(M ) bằng chiều của R-môđun Artin Hmi(M )

(iii) Giả sử rằngHmi(M ) 6= 0.Khi đó số bội e0(q, Hmi (M ))của môđunArtin Hmi(M ) tương ứng với q thỏa mãn

e0(q, Hmi(M )) = X

p∈PsuppiR(M ) dim(R/ p)=psdi(M )

và Q ⊂ P Khi đó Q ∩ R ∈ PsuppiR(M ) theo Định lý 2.2.3 Hơn nữa,

Q∩ R ⊆ P∩ R = p Nếu Q∩ R = p thì p bR ⊆ Q trái với giả thiết P làphần tử tối tiểu của p bR Vì thế Q∩ R ⊂ p Điều này mâu thuẫn với tínhchất tối tiểu của p Do đó P là phần tử tối tiểu của Psuppi

b

R(M ⊗R R).bNgược lại, giả sử P là phần tử tối tiểu củaPsuppi

b

R(M ⊗RR)b và tồntại q ∈ PsuppiR(M ) với q ⊂ p Vì đồng cấu cảm sinh R →Rb là hoàn toànphẳng nên tồn tại Q ∈ Spec(R)b sao cho Q ⊆ P và Q∩ R = q Hơn nữa,

q ⊂ p nên ta có Q ⊂ P Mặt khác, Q ∈ Psuppi

b

R(M ⊗R R)b theo Định lý2.2.3 Điều này dẫn đến mâu thuẫn với tính chất tối tiểu của P Do đó p

là phần tử tối tiểu của PsuppiR(M )

Mặt khác, theo [17, Định lý 29.4(ii)], ta có bR là ảnh đồng cấu củamột vành chính quy địa phương, do đó bR là ảnh đồng cấu của một vànhGorenstein địa phương Vì thế, theo Mệnh đề 2.1.3(iv), ta có P là phần tửtối tiểu củaPsuppi

p (Mp) là khác không và hữu hạn vàtrong trường hợp này

tử tối tiểu của PsuppiR(M ) Giả sử P là iđêan nguyên tố tối tiểu của p bR

Khi đó, P ∈ Ass(R/b p bR) Vì bR/p bR ∼= (R/\p) nên P ∩ R ∈ Ass(R/p)

Do Ass(R/p) = {p} nên P∩ R = p Theo phần (i), P là một phần tử tốitiểu của Psuppi

b

R(M ⊗R R).b Chú ý rằng, bR là ảnh đồng cấu của một vànhchính quy địa phương, theo [17, Định lý 29.4], do đó bR cũng là ảnh đồngcấu của vành Gorenstein Theo Mệnh đề 2.1.3(iii), ta cóPsuppi

b

R(M ⊗RR)b

là tập con đóng của Spec(R),b vì thế nó chỉ có hữu hạn phần tử tối tiểu.Vậy PsuppiR(M ) có hữu hạn phần tử tối tiểu theo khẳng định (i) ở trên.



(N/qnN ) ⊗R Rb = `

b R



(N ⊗R R)/(b q bR)n(N ⊗R R)b 

Kéo theo e(q, N ) = e(q bR, N ⊗R R).b Vì vậy e(q, R/p) = e(q bR,R/b p bR)

với mọi p ∈ Spec(R) Áp dụng công thức liên kết của số bội, ta suy ra

e(q bR,R/b p bR) = X

P∈Supp

b

R ( b R/ p b R) dim( b R/P)=dim(R/ p)

Đặt s := psdi(M ) Khi đó, theo chứng minh ở phần (ii), ta cũng có

`RpHpi−dim(R/ p)R

p (Mp)e(q, R/p)

2.3 Chuyển qua đồng cấu phẳng

Mục tiêu chính của tiết này là trình bày mối liên hệ giữa tập iđêan

nguyên tố gắn kết và số bội của HpiR

p(Mp) và Hi+rP

P b R P

(McP)

Ký hiệu 2.3.1 [24, Ký hiệu 3.1] Với mỗi P∈ Spec(R)b sao cho p = P∩R,

(McP) Tuy nhiên, ta có đẳng cấu sau

Bổ đề 2.3.2 Cho P ∈ Spec(R)b với p = P ∩ R Nếu R là thương củavành Cohen-Macaulay địa phương thì

Định lý sau đây cho ta mối liên hệ giữa tập iđêan nguyên tố gắn kết

của HpiRp(Mp) với tập iđêan nguyên tố gắn kết của Hi+rP

P b R P

(McP)