Về tổng trực tiếp hữu hạn các môđun đều có độ dài hữu hạn

Tổng trực tiếp hữu hạn các môđun đều có độ dài hữu hạn.. Điều kiện Ci cho tổng trực tiếp hữu hạn các môđun đều.. Với cách thức như vậy nhóm Seminar "Lý thuyết vành và môđun" tại Trường Đ

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 1

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU 2

LỜI NÓI ĐẦU 3

Chương 1 Kiến thức cơ sở 5

Chương 2 Tổng trực tiếp hữu hạn các môđun đều có độ dài hữu hạn 10

§1 Điều kiện (Ci) cho tổng trực tiếp hữu hạn các môđun đều 10

§2 Đặc trưng vành QF bởi điều kiện (C2∗) 24

KẾT LUẬN 27

TÀI LIỆU THAM KHẢO 28

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU

N, Z, Q, R, C: Tương ứng là các tập hợp các số tự nhiên, các số nguyên,các số hữu tỉ, các số thực, các số phức

N ⊆ M: N là môđun con của môđun M

N ⊆e M: N là môđun con cốt yếu của môđun M

N ⊂⊕ M: N là hạng tử trực tiếp của môđun M

N ⊕ M: Tổng trực tiếp của hai môđun N và M

N ∼= M: Hai môđun N và M đẳng cấu với nhau

End(M ): Vành các tự đồng cấu của môđun M

l(M ): Độ dài của môđun M

udim(M ): Chiều đều của môđun M

M(A) = L

i∈A

Mi, trong đó Mi = M

LỜI NÓI ĐẦU

Trong lý thuyết vành và môđun, lớp môđun đều (uniform modules)được nhiều nhà toán học như D V Huynh, S K Jain, S R López -Permouth, S T Rizvi quan tâm

Trong việc nghiên cứu các lớp môđun mở rộng của môđun nội xạ, cácđiều kiện (Ci) thường được sử dụng khá nhiều Đối với điều kiện (C1),Harada đã mở rộng thành điều kiện (1 − C1) khi chỉ quan tâm đến cácmôđun con đều Với cách thức như vậy nhóm Seminar "Lý thuyết vành

và môđun" tại Trường Đại học Vinh đã đưa ra khái niệm (∗) như là một

mở rộng của điều kiện (C2), cụ thể như sau:

(∗) Nếu A là môđun con đều của môđun M và đẳng cấu với mộthạng tử trực tiếp của M thì A cũng là hạng tử trực tiếp của M.Trong luận văn này điều kiện (∗) được kí hiệu là (C2∗)

Luận văn tập trung vào nghiên cứu tính liên tục của môđun là tổngtrực tiếp hữu hạn các môđun đều với độ dài hữu hạn thông qua điều kiện(C2∗) Từ đó áp dụng các kết quả này để đặc trưng vành QF

Luận văn gồm 2 chương:

Chương 1 Trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của môđuncon cốt yếu, môđun đều, độ dài môđun cùng các khái niệm có liênquan

Chương 2 Nghiên cứu tính liên tục của môđun thỏa mãn điều kiện(C2∗), và là tổng trực tiếp hữu hạn các môđun đều có độ dài hữu hạn.Qua đó khi xét đến điều kiện (C2) chúng ta chỉ cần kiểm tra trên lớp cácmôđun con đều hoặc với một lớp khá hẹp các môđun con đẳng cấu với

những hạng tử trực tiếp đặc biệt có dạng định sẵn.

Tiếp nối một số nghiên cứu của D V Huynh, S K Jain, S R López

- Permouth, luận văn đã sử dụng những kết quả về môđun ở phần đầuChương 2 để đặc trưng vành QF

Các kết quả chính của luận văn được đăng trong bài báo

Tổng trực tiếp các môđun đều với độ dài hữu hạn, Tạp chíkhoa học Đại học Huế, số 59 (2010), 149 - 154

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướngdẫn của PGS TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơnchân thành và sâu sắc tới PGS TS Ngô Sỹ Tùng đã định hướng nghiêncứu, thường xuyên quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi, cùng với nhữnglời động viên khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu.Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số

- Khoa Toán - Trường Đại học Vinh đã động viên, giúp đỡ tác giả trongquá trình viết và chỉnh sửa luận văn này

Tác giả xin cảm ơn NCS Lê Văn An và các thành viên nhóm Seminar

"Lý thuyết vành và môđun" đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình họctập, nghiên cứu tại Trường Đại học Vinh

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi nhữngthiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của cácthầy giáo, cô giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 10 năm 2010

Tác giả

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất

cơ bản liên quan đến luận văn Các khái niệm, tính chất cơ bản và kýhiệu chúng tôi chủ yếu dựa theo F W Anderson và K R F¨uller [2]; N

V Dung, D V Huynh, P F Smith và R Wisbauer [4]; S H Mohamed

và B J M¨uller [9]

Các vành luôn được giả thiết là các vành kết hợp có đơn vị, các môđuntrên một vành luôn được hiểu là môđun phải unita (nếu không nói gì thêm).1.1 MÔĐUN CON CỐT YẾU VÀ MÔĐUN CON ĐÓNG1.1.1 Định nghĩa

Cho R là một vành và M là một R−môđun phải Xét N là môđun concủa M

(a) Môđun con N được gọi là cốt yếu (essential) trong M và ký hiệu

N ⊆e M, nếu với mọi môđun K khác không của M thì N ∩ K 6= 0 Khi

đó ta nói M là mở rộng cốt yếu (essential extension) của N

(b) Môđun con N được gọi là đóng (closed) trong M nếu N không cómột mở rộng cốt yếu thực sự Nói cách khác, N được gọi là đóng trong

M nếu với mọi môđun K của M mà N ⊆e K thì K = N

(c) Môđun con K của M được gọi là bao đóng (closure) của môđun

N trong M nếu K là môđun tối đại trong M sao cho N cốt yếu trong K

1.1.2 Tính chất

Cho M, N là các R−môđun phải với N ⊆ M

(a) Bao đóng của một môđun conN trong môđunM luôn tồn tại (xem

(b) Môđun M được gọi là có chiều đều (chiều uniform) hữu hạn nếu

nó không chứa một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con của M nào.Nếu môđun M chứa môđun con cốt yếu là tổng trực tiếp của n môđuncon đều của M thì khi đó ta có chiều đều của môđun M là n, ký hiệu làudim(M ) = n

Nhận xét: udim(M ) = 0 ⇔ M = 0

(c) Cho vành R, ta nói R có chiều đều phải (trái) hữu hạn nếu môđun

RR (tương ứng RR) có chiều đều hữu hạn

1.2.2 Tính chất

Cho N là môđun con của R−môđun M

(a) Nếu N ⊆e M thì M có chiều đều hữu hạn khi và chỉ khiN có chiềuđều hữu hạn và trong trường hợp này udim(N ) = udim(M ) Ngược lại,nếu M có chiều đều hữu hạn và udim(N ) = udim(M ) thì N ⊆e M.(b) Nếu M = M1 ⊕ M2 ⊕ ⊕ Mn thì udim(M ) = udim(M1) +udim(M2) + + udim(Mn)

(c) Giả sử N và M/N có chiều đều hữu hạn Khi đó M cũng có chiềuđều hữu hạn và udim(M ) ≤ udim(N ) + udim(M/N ).

(d) Nếu M có chiều đều hữu hạn, thì khi đó với mọi đơn cấu

f : M −→ M ta có Im(f ) ⊆e M

1.3 ĐỘ DÀI CỦA MÔĐUN

Cho R−môđun phải M Một dãy n + 1 môđun con của M:

M = M0 ⊇ M1 ⊇ ⊇ Mn = 0,được gọi là dãy hợp thành độ dài n của môđun M nếu Mi−1/Mi(i = 1, 2, , n) là các môđun đơn Khi đó, độ dài của dãy hợp thànhđược gọi là độ dài của môđun M và ký hiệu là l(M ) = n

Môđun M 6= 0 có độ dài hữu hạn khi và chỉ khiM vừa là môđun Artinvừa là môđun Noether

1.4 CÁC ĐIỀU KIỆN (Ci)

Cho M là một R−môđun phải Ta xét các điều kiện sau:

(C1) Mỗi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của

M Nói cách khác, mọi môđun con đóng trong M đều là hạng tửtrực tiếp của M

(C2) Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và A làhạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M

(C3) Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M và A ∩ B = 0 thì

A ⊕ B cũng là hạng tử trực tiếp của M

(1 − C1) Mỗi môđun con đều của M là cốt yếu trong một hạng tửtrực tiếp của M Nói cách khác, mọi môđun con đóng đều trong Mđều là hạng tử trực tiếp của M

(d) Môđun M được gọi là môđun Σ − CS (tương ứng Σ − (1 − C1))nếu môđun M(I) là CS−môđun (tương ứng (1 − C1)) với tập chỉ số Ibất kì.

(e) Môđun M được gọi là môđun đếm được Σ − CS (tương ứng đếmđược Σ−(1−C1)) nếu môđunM(N) làCS−môđun (tương ứng (1−C1)).1.4.2 Tính chất

(a) Một môđun thỏa mãn điều kiện(C2)thì cũng thỏa mãn điều kiện(C3).(b) Ta có sơ đồ kéo theo sau đây là đúng:

Nội xạ =⇒ Tựa nội xạ =⇒ Liên tục =⇒ Tựa liên tục =⇒ CS =⇒ (1 − C1)Chiều ngược lại của các điều kiện trên nói chung không còn đúng

Cho vành R, các khẳng định sau tương đương:

(a) R là vành địa phương;

(b) R có một iđêan trái tối đại duy nhất;

(c) J (R) là iđêan trái tối đại;

(d) Tập hợp các phần tử không khả nghịch trái của R đóng kín đối vớiphép cộng;

CHƯƠNG 2

TỔNG TRỰC TIẾP HỮU HẠN CÁC MÔĐUN ĐỀU CÓ ĐỘ DÀI HỮU HẠN

§1 Điều kiện (Ci) cho tổng trực tiếp hữu hạn

các môđun đều có độ dài hữu hạn

2.1.1 Bổ đề

Hạng tử trực tiếp của CS−môđun cũng là CS−môđun

Chứng minh Giả sửM làCS−môđun,N là hạng tử trực tiếp củaM

Ta chứng minh N là CS−môđun Thật vậy, xét T là môđun con đóngcủa N Khi đó bởi [9, Lemma 2.6],T đóng trong M VìM là CS−môđunnên T ⊂⊕ M, nghĩa là: M = T ⊕ X, với môđun con X nào đó của M.Theo luật Môđula ta có: N = N ∩ M = N ∩ (T ⊕ X) = T ⊕ (N ∩ X)

2.1.2 Bổ đề

Cho M là môđun khác không, M không chứa tổng trực tiếp vô hạncác môđun con khác không của M Khi đó M chứa ít nhất một môđuncon đều

Chứng minh Giả sử M không chứa môđun con đều nào cả

Khi đó M cũng không phải là môđun đều, suy ra tồn tại hai môđuncon khác không K1, L1 của M sao cho K1 ∩ L1 6= 0

Do L1 không phải là môđun đều, nên tồn tại hai môđun con kháckhông K2, L2 của L1 sao cho K2 ∩ L2 6= 0

Nhận xét rằng L2 cũng không phải là môđun đều, nên tiếp tục quá

trình như trên chúng ta xây dựng được một tổng trực tiếp vô hạn cácmôđun con khác không của M : K1 ⊕ K2 ⊕ nằm trong M, điều nàymâu thuẫn với giả thiết.

Do U đều nên hoặc Ker(f ) = 0 hoặc Ker(1 − f ) = 0, do đó hoặc fđơn cấu hoặc (1-f) đơn cấu

Vì l(U ) < ∞, nên theo [2, Proposition 11.1] U là môđun Artin

Theo [14, Proposition 31.13] hoặc f hoặc (1-f) khả nghịch trong End(U)

2.1.4 Định nghĩa

Cho môđun M Sự phân tích M = L

α∈A

Mα của M thành tổng trựctiếp các môđun con khác không của M được gọi là bù hạng tử trực tiếp(complement direct summands), nếu với mọi hạng tử trực tiếp K của

M đều tồn tại tập chỉ số B ⊆ A sao cho M = (L

Chứng minh Giả sử K là hạng tử trực tiếp của M, M = K ⊕ N,trong đó N là môđun con khác không của M Khi đó bởi [2, Theorem12.6], tồn tại chỉ số i1, 1 ≤ i1 ≤ n, sao cho M = Mi1⊕ N1 ⊕ K, N1 ⊆ N.Nếu N1 = 0 thì chứng minh được hoàn tất.

Nếu N1 6= 0, khi đó tiếp tục áp dụng [2, Theorem 12.6], tồn tại chỉ số

i2, 1 ≤ i2 ≤ n, sao cho M = Mi1 ⊕ Mi2 ⊕ N2 ⊕ K, N2 ⊆ N1, và rõ ràng

i1 6= i2

Tiếp tục quy nạp như vậy, chúng ta chú ý rằng quá trình này chỉ diễn

ra tối đa n bước Do đó tồn tại i1, i2, , ik, với 1 ≤ k ≤ n, sao cho

M = Mi1 ⊕ Mi2 ⊕ ⊕ Mik ⊕ K 2.1.6 Bổ đề

Cho các môđun đều U1, U2 sao cho l(U1) = l(U2) < ∞ và đặt U =

U1 ⊕ U2 Khi đó U thoả mãn điều kiện (C3)

Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.3, vành các tự đồng cấu End(U1) vàEnd(U2) là vành địa phương Ta chứng minh U thoả mãn điều kiện (C3),tức là với hai hạng tử trực tiếp S1, S2 của U thỏa mãn S1 ∩ S2 = 0 thì

S1⊕ S2 cũng là hạng tử trực tiếp của U

Nhận xét rằng udim(U ) = 2 nên trong trường hợp: Một trong hai hạng

tử trực tiếp Si có chiều đều bằng 2 hoặc bằng 0 thì hiển nhiên ta có đượcđiều cần chứng minh

Xét trường hợp cả hai hạng tử trực tiếp S1, S2 là môđun đều

2 Hơn nữa l(U2) = l(V ),nên U2 = V và do đó S1 ⊕ S2 = S1 ⊕ U2 = U.

2.1.7 Hệ quả

Cho các môđun đều U1, U2 sao cho l(U1) = l(U2) < ∞ và đặt U =

U1 ⊕ U2 Giả sử U thỏa mãn (C1), khi đó U1 và U2 nội xạ lẫn nhau.Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.6 U thỏa mãn (C3), mặt khác U thỏamãn (C1), nên U là môđun tựa liên tục Theo [9, Proposition 2.10] ta có

2.1.8 Mệnh đề

Cho {Ui, i ∈ I} là họ hữu hạn các môđun đều có độ dài hữu hạn.Đặt U = Li∈I Ui Nếu U là (1 − C1)−môđun, thì với mọi môđun conđóng X của M tồn tại tập con F của I sao cho

X ⊕ (M

i∈F

Ui) = U

Chứng minh Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: X = U Ta chọn F = ∅, khi đó bổ đề hiển nhiên đúng

Trường hợp 2: X 6= U Ta sẽ chỉ ra X là hạng tử trực tiếp của U Ta

có udim(X) ≤ udim(U ) < ∞, giả sử udim(X) = m < ∞

Ta chứng minh bằng quy nạp theo m

Nếu m = 0 hoặc m = 1 ta có X ⊆e U

Giả sử điều cần chứng minh đúng tớim−1, ta chứng minh đúng với m.Gọi Y là môđun con đóng đều của X, theo [9, Lemma 2.6] Y cũng làmôđun con đóng đều của U Do đó U = Y ⊕ Y0, với Y0 là môđun connào đó của U Theo luật Môđula ta có X = X ∩ U = X ∩ (Y ⊕ Y0) =

Môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện (C2∗) khi và chỉ khi mọimôđun con đều của M nếu đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của M thìcũng là hạng tử trực tiếp Nói cách khác, nếu B là một môđun con đềucủa M, B ∼= A, A ⊂⊕ M, thì B ⊂⊕ M

(a) U là môđun liên tục ;

(b) U là CS−môđun và thoả mãn điều kiện (C2∗);

(c) U là (1 − C1)−môđun và nếu môđun con X của U thỏa mãn

X ∼= Li∈IUi, (I ⊆ {1,2, , n}) thì X là hạng tử trực tiếp của U.Chứng minh (a) =⇒ (b) là hiển nhiên

(b) =⇒ (a) Giả sử U là CS−môđun và thoả mãn điều kiện (C2∗), tacần chứng minh U là môđun liên tục

Trước tiên ta chứng minh U là môđun tựa liên tục

Đặt Uij = Ui ⊕ Uj với ∀i, j = 1, 2, , n, i 6= j, ta chứng minh Uij làmôđun tựa liên tục

Vì Uij là hạng tử trực tiếp của U nên ta có Uij là CS−môđun

Nếu l(Ui) = l(Uj) theo Bổ đề 2.1.6, ta có Uij thoả mãn điều kiện (C3)

và suy ra Uij là môđun tựa liên tục.

Nếu l(Ui) 6= l(Uj), không mất tính tổng quát ta giả sử l(Ui) < l(Uj).Theo Bổ đề 2.1.10, ta có Uij thoả mãn điều kiện (C2∗)

Giả sử tồn tại R−đơn cấu f : Ui −→ Uj và đặt f (Ui) = L, khi đó L

là môđun con của Uj và Ui ∼= L Hiển nhiên ta có L 6= 0.

Giả sử L 6= Uj Vì Uij thoả mãn điều kiện (C2∗) và L là môđun conđều của Uij nên L là hạng tử trực tiếp của Uij (do Ui là hạng tử trực tiếpcủa Uij)

ĐặtUij = L⊕L0, theo luật Môđula ta cóUj = Uj∩Uij = Uj∩(L⊕L0) =

L ⊕ L00 với L00 = Uj∩ L0 Vì Uj là môđun đều nên L00 = 0 (vì L 6= 0), suy

ra L = Uj (mâu thuẫn) Do đó Ui không nhúng thực sự vào Uj

Ngược lại, giả sử tồn tại R−đơn cấu g : Uj −→ Ui, khi đó ta cól(Uj) = l(g(Uj)) 6 l(Ui) (mâu thuẫn) Từ đó Uj cũng không nhúng đượcvào Ui

Giả sử tồn tại R−đơn cấu h : Ui −→ Ui sao cho h(Ui) = K ⊆ Ui và

K 6= Ui Ta có K ∼= Ui, suy ra l(Ui) = l(K) < l(Ui) (mâu thuẫn)

Do đó Ui không nhúng thực sự vào chính nó và tương tự Uj cũng vậy.Giả sử S1 và S2 là các hạng tử trực tiếp của Uij sao cho S1∩ S2 = 0,

ta sẽ chứng minh S1⊕ S2 cũng là hạng tử trực tiếp của Uij

Nhận xét rằng chiều đều của Uij bằng 2 nên trong trường hợp có mộttrong hai hạng tử trực tiếp là môđun 0 hoặc có chiều đều bằng 2 ta dễdàng có được điều cần chứng minh

Xét trường hợp cả hai hạng tử trực tiếp S1 và S2 là môđun đều.Đặt Uij = S2⊕ F Theo Bổ đề 2.1.3, vành các tự đồng cấu End(Ui) vàEnd(Uj)là địa phương nên theo Bổ đề 2.1.5, ta cóUij = S2⊕F = S2⊕Ui,hoặc Uij = S2 ⊕ F = S2 ⊕ Uj

Không mất tính tổng quát ta chỉ cần xét một trường hợp Uij = S2 ⊕

F = S2⊕ Ui = Ui⊕ Uj Khi đó S2 ∼= U

j.Đặt Uij = S1⊕ H, cũng theo Bổ đề 2.1.5 ta cóUij = S1⊕ H = S1⊕ Ui,hoặc S1 ⊕ H = S1⊕ Uj

Nếu Uij = S1 ⊕ H = S1 ⊕ Ui, sử dụng luật Môđula ta có S1 ⊕ S2 =(S1⊕S2)∩Uij = (S1⊕S2)∩(S1⊕Ui) = S1⊕X trong đóX = (S1⊕S2)∩Ui

Từ đó X ∼= S2 ∼= U

j Vì Uj không nhúng thực sự vào Ui và X là môđuncon của Ui nên X = Ui

Do đó l(Ui) = l(X) = l(S2) = l(Uj) (mâu thuẫn)

Nếu Uij = S1 ⊕ H = S1 ⊕ Uj, sử dụng luật Môđula ta có S1 ⊕ S2 =(S1⊕S2)∩Uij = (S1⊕S2)∩(S1⊕Uj) = S1⊕V trong đóV = (S1⊕S2)∩Uj

Từ đó, Uij là môđun tựa liên tục với bất kỳ i, j = 1, , n

Theo Harmanci - Smith, ta có U là môđun tựa liên tục (xem [5, lary 11])

Corol-Tiếp theo ta chứng minh, U thoả mãn điều kiện (C2)

Xét hai môđun con A, B của U đẳng cấu với nhau, B là hạng tử trựctiếp của U, ta sẽ chứng minh A cũng là hạng tử trực tiếp của U

Thật vậy, theo 2.1.3, vành các tự đồng cấu End(Ui) là địa phương với

i = 1, , n nên theo Bổ đề 2.1.5, tồn tại tập con F của {1, , n} sao cho

B ⊕ (M

i∈F

Ui) = U

Nếu F = {1, , n} thì A = B = 0 Từ đó suy ra A là hạng tử trựctiếp của U

Từ đóA = ϕ(C) = ϕ(U1⊕ ⊕Uk) = ϕ(U1)⊕ ⊕ϕ(Uk) = A1⊕ ⊕Ak.Mặt khác Ai là môđun con đều của U, Ai ∼= U

i và U thoả mãn điềukiện (C2∗), ta có Ai là hạng tử trực tiếp của U với bất kỳ i = 1, , k

Từ tính chất U là môđun tựa liên tục, suy ra A = A1 ⊕ ⊕ Ak làhạng tử trực tiếp của U

Do đóU thoả mãn điều kiện(C2) VìU là CS−môđun nênU là môđunliên tục, ta có (a)

(a) =⇒ (c) Hiển nhiên U là CS−môđun

Giả sử X là môđun con của U, X ∼= Li∈IUi, (I ⊆ {1, 2, , n}

i∈I Ui ⊆⊕ U và U thỏa mãn (C2), nên X ⊆⊕ U