LUẬN VĂN THẠC SĨ MÔĐUN VÀ VÀNH C2

Một vành được gọi là I-hữu hạn nếu nó không chứatập vô hạn các lũy đẳng trực giao... 1 Tập L các môđun con nào đó của M được gọi là thỏa điều kiện dãytăng ACC trong trường hợp với mọi dã

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH

Đà Nẵng - 2014

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được

ai công bố trong bất kì công trình nào khác

Đà Nẵng, ngày 27 tháng 05 năm 2014

Người thực hiện

Nguyễn Phương Thảo

Kí hiệu Tên gọi

A ≤ M A là môđun con của môđun M

A ≤e M A là môđun con cốt yếu của môđun M

A ≤⊕ M A là hạng tử trực tiếp của môđun M

A ⊂ M A là tập hợp con của M

End(M ) Vành các tự đồng cấu của môđun M

Hom(N, M ) Tập tất cả các đồng cấu môđun từ N đến M.Kerf Hạt nhân của đồng cấu f

⊕IMi Tổng trực tiếp của các môđun {Mi}I

N ∼= M Môđun N đẳng cấu tới M

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Tính cấp thiết của đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

5 Bố cục đề tài 1

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA 3

1.2 MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐÃ BIẾT 9

CHƯƠNG 2 MÔĐUN VÀ VÀNH VỚI ĐIỀU KIỆN C2 12

2.1 MÔĐUN VÀ VÀNH C2 12

2.2 MÔĐUN GC2 VÀ CÁC VÀNH TỰ ĐỒNG CẤU CỦA NÓ 20

CHƯƠNG 3 MÔĐUN C2 MẠNH 27

3.1 MÔĐUN C2 MẠNH 27

3.2 VÀNH C2 MẠNH 31

KẾT LUẬN 37

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO)

LỜI MỞ ĐẦU

Ta đã biết các giả thuyết về vành F GF và vành CF; đó là một vành

F GF có phải là vànhQF hay không và một vànhCF phải có phải là vànhArtin phải hay không Liên quan đến giả thuyết CF, năm 1989, Faith vàMenal đã đưa ra một phản ví dụ chứng tỏ một vành CF phải không làArtin phải Tuy nhiên giả thuyết F GF đến bây giờ vẫn chưa trả lời được.Năm 1999, Li và Chen đã trả lời được giả thuyết F GF trong trường hợpvành đã cho là vành C2 mạnh Có thể nói lớp vành, môđun C2 và trả lờigiả thuyết F GF là một trong những đề tài thu hút nhiều tác giả trong vàngoài nước quan tâm Hơn nữa các trường hợp tổng quát và đối ngẫu của

nó cũng cần được nghiên cứu Ngoài ra, một số áp dụng của chúng vào cáclớp vành cổ điển như vành Artin, Nơte, vành nửa đơn cũng đã đượcxét đến Chính vì vậy và cùng với sự định hướng của TS Trương CôngQuỳnh tôi đã chọn đề tài: “MÔĐUN VÀ VÀNH C2” làm đề tài luậnvăn thạc sĩ của mình

Thông qua luận văn chúng tôi sẽ nêu ra các khái niệm, tính chất, cácđịnh lý về môđun và vành C2 cũng như các vành liên quan Qua đó làm

rõ các nghiên cứu đã có, tìm hiểu sâu hơn về môđun và vành C2, n-C2,vành C2 mạnh

Bố cục của luận văn bao gồm 3 chương:

• Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi sẽ đưa

ra một số khái niệm cơ bản về lý thuyết môđun, vành và đưa ra một

số kết quả đã biết phục vụ cho chương 2 và chương 3 của luận văn

• Chương 2 Môđun và vành với điều kiện C2 Trong chương nàychúng tôi đưa ra định nghĩa, ví dụ tiêu biểu, các tính chất đặc trưngcủa môđun và vành C2 Đồng thời cũng đưa ra định nghĩa, tính chấtcủa môđun GC2 và các vành tự đồng cấu của nó

• Chương 3 Môđun C2 mạnh Trong chương này chúng tôi đưa rađịnh nghĩa và các tính chất đặc trưng của môđun và vành C2 mạnh.

Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế nênmặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng vẫn không thể tránh khỏi những saisót trong quá trình hoàn thiện đề tài Rất mong được sự nhận xét, đánhgiá của quí thầy cô và các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn

Trước hết ta nhắc lại khái niệm về môđun:

Định nghĩa 1.1.1 Cho R là vành Một R-môđun phải M là:

(1) Nhóm cộng aben M cùng với

(2) Ánh xạ M × R −→ M

(m, r) 7−→ mrđược gọi là phép nhân môđun, thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) Qui tắc kết hợp: (mr1)r2 = m(r1r2)

(ii) Qui tắc phân phối: (m1 + m2)r = m1r + m2r

m(r1 + r2) = mr1 + mr2(iii) Qui tắc unita: m1 = m

trong đó m, m1, m2 là các phần tử tùy ý của M, r1, r2 ∈ R.Lúc đó R được gọi là vành cơ sở Nếu M là một R-môđun phải ta thường

kí hiệu M = MR Tương tự ta cũng định nghĩa khái niệm R-môđun trái

(3) VànhR có thể được xem như là môđun phải (trái) trên chính nó Nhờtrường hợp này người ta có thể nghiên cứu nhiều tính chất của vànhthông qua môđun trên vành đó.

(4) Xét R là vành giao hoán có đơn vị Lúc đó vành R[x] các đa thức ẩn

x là hệ tử trong R Xét R[x] với phép cộng thông thường cùng vớiphép nhân môđun xác định như sau:

r(ao + a1x + · · · + anxn) = rao+ ra1x + · · · + ranxnVới mọi r ∈ R, mọi ao, · · · , an ∈ R Lúc đó có thể dễ dàng kiểm chứngđược R[x] là một R-môđun

Định nghĩa 1.1.3 Cho M là R-môđun phải Tập con A của M được gọi

là môđun con của M (kí hiệu A ≤ M hay AR ≤ MR), nếu A là R-môđunphải với phép toán cộng và nhân môđun hạn chế trên A

Định nghĩa 1.1.4

(1) Môđun MR được gọi là đơn nếu M 6= 0 và với mọi A ≤ M [A = 0hay A = M ], nghĩa là M 6= 0 và M chỉ có hai môđun con là 0 và M.(2) Vành R được gọi là đơn nếu R 6= 0 và với mọi A ≤R RR[A = 0 hay

A = R], nghĩa là R 6= 0 và R chỉ có hai iđêan hai phía là 0 và R.(3) Môđun con A 6= M được gọi là môđun con cực tiểu của môđun Mnếu như A 6= 0 và với mọi B ≤ M [B < A ⇒ B = 0]

(4) Tương tự, môđun con A 6= M được gọi là môđun con cực đại củamôđun M nếu như A 6= M và với mọi B ≤ M [A < B ⇒ B = M ].Định nghĩa 1.1.5 Cho MR và N ≤ M N được gọi là hạng tử trực tiếpcủa M nếu tồn tại môđun con P của M sao cho M = N ⊕ P Lúc đó tanói P là môđun con phụ của N trong M

Từ đó ta suy ra:

N là hạng tử trực tiếp của M ⇐⇒ ∃P ≤ M [M = N + P và N ∩ P = 0]

Định nghĩa 1.1.6 Cho A và B là hai R-môđun phải Đồng cấu α từ Avào B là ánh xạ α : A −→ B thỏa mãn:

Với mọi a1, a2 ∈ A, mọi r1, r2 ∈ R[α(a1r1 + a2r2)] = α(a1)r1 + α(a2)r2.lúc đó ta viết α : AR −→ BR

Định nghĩa 1.1.7 Đồng cấu α : AR −→ BR được gọi là đơn cấu nếu nó

là đơn ánh, được gọi là toàn cấu nến nó là toàn ánh, và được gọi là đẳngcấu nếu α là song ánh, nghĩa là nó toàn cấu và đơn cấu

Ví dụ 1.1.8

(1) Đồng cấu không từ AR vào BR đó là 0 : a −→ 0 ∈ B

(2) Phép nhúng môđun con A vào BR đó là:

i : A −→ B

a 7−→ aĐịnh nghĩa 1.1.9 Cho môđun MR

(1) Môđun M được gọi là hữu hạn sinh nếu đối với M tồn tại hệ sinhgồm hữu hạn phần tử

(2) Môđun M được gọi là cyclic nếu nó được sinh bởi một phần tử

Ví dụ 1.1.10

(1) Mỗi môđun M có hệ sinh tầm thường chính là M

(2) Cho R là một vành Khi đó 1 là cơ sở của RR hay RR

Định nghĩa 1.1.11 Một môđun MR được gọi là phẳng nếu cho mỗi đơncấu f : RA −→ RB, thì 1M ⊗ f : M ⊗RA −→ M ⊗RB cũng là đơn cấu(của các nhóm aben)

Mệnh đề 1.1.12 Nếu M ∼= M0 và M phẳng, thì M0 cũng là phẳng

Định nghĩa 1.1.13 Một vành R được gọi là vành chính quy (von mann) nếu cho mỗi phần tử r ∈ R thì tồn tại r0 ∈ R sao cho r = rr0r.Định lý 1.1.14 Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R:

Neu-(1) R là vành chính quy

(2) Mỗi iđêan trái cyclic là hạng tử trực tiếp của RR

(3) Mỗi iđêan phải cyclic là hạng tử trực tiếp của RR

(4) Mỗi iđêan trái hữu hạn sinh là hạng tử trực tiếp của RR

(5) Mỗi iđêan phải hữu hạn sinh là hạng tử trực tiếp của RR

(6) Mỗi môđun MR là phẳng

(7) Mỗi môđun RR là phẳng

Định nghĩa 1.1.15 Một vành R được gọi là địa phương nếu R có duynhất một iđêan phải (hoặc trái) cực đại Vành R được gọi là nửa địaphương nếu vành thương R/J (R) là Artin nửa đơn

Định nghĩa 1.1.16 Một vành được gọi là I-hữu hạn nếu nó không chứatập vô hạn các lũy đẳng trực giao

Định nghĩa 1.1.17

(1) Một môđun con K của M là cốt yếu (lớn) trong M, kí hiệu: K ≤e M,trong trường hợp với mọi môđun con L ≤ M,

K ∩ L = 0 ⇒ L = 0

(2) Đối ngẫu, một môđun con K của M gọi là đối cốt yếu (nhỏ) trong M,

kí hiệu: K  M, trong trường hợp với mọi môđun con L ≤ M,

K + L = M ⇒ L = M

Định nghĩa 1.1.18 Đơn cấu f : K −→ M được gọi là cốt yếu nếuImf ≤e M.

Toàn cấu g : M −→ N được gọi là đối cốt yếu nếu Kerg  M

Định nghĩa 1.1.19 Cho PR là một môđun Lúc đó P được gọi là B−xạảnh nếu với mọi toàn cấu β : B −→ C và mỗi đồng cấu ψ : P −→ C tồntại một đồng cấu λ : P −→ B sao cho ψ = βλ, nghĩa là, giản đồ sau giaohoán:

Định nghĩa 1.1.20 Cho Q là một môđun Lúc đó Q được gọi là M-nội

xạ nếu với mọi đơn cấu f : K −→ M, với mọi K, M và mỗi đồng cấu

ν : K −→ Q tồn tại một R- đồng cấu ν : M −→ Q¯ sao cho νf = ν¯ , nghĩa

là, giản đồ sau giao hoán:

Môđun Qđược gọi là nội xạ nếu nó là M-nội xạ với mọi R-môđun phải

M Nếu M là M-nội xạ Nếu M là M-nội xạ thì M được gọi là môđuntựa nội xạ

Định nghĩa 1.1.21

(1) Tập L các môđun con nào đó của M được gọi là thỏa điều kiện dãytăng (ACC) trong trường hợp với mọi dãy các môđun con của M

L1 ≤ L2 ≤ · · · ≤ Ln ≤ · · ·trong L, tồn tại n ∈ N để cho Ln+1 = Ln(i = 1, 2, · · · ).

(2) Tập L các môđun con nào đó của M được gọi là thỏa điều kiện dãygiảm (DCC) trong trường hợp với mọi dãy các môđun con của M

L1 ≥ L2 ≥ · · · ≥ Ln ≥ · · ·trong L, tồn tại n ∈ N để cho Ln+1 = Ln(i = 1, 2, · · · )

(3) Môđun MR được gọi là Nơte nếu mỗi tập khác rỗng các môđun connào đó của M đều có phần tử cực đại

(4) Môđun MR được gọi là Artin nếu mỗi tập khác rỗng các môđun connào đó của M đều có phần tử cực tiểu

(5) Vành R được gọi là Nơte phải (Artin phải) nếu môđun RR là Nơte(Artin)

Định nghĩa 1.1.22 Một vành là vành Kasch phải nếu và chỉ nếu linhhóa tử trái của mỗi iđêan phải lớn nhất khác không Hoặc tương đương,mỗi R-môđun phải đơn được nhúng trong RR

Định lý 1.1.23 Vành R được gọi là nửa đơn khi và chỉ khi với R-môđunphải (trái) cyclic là nội xạ

Định nghĩa 1.1.24 Đơn cấu µ : M −→ Q được gọi là bao nội xạ đối với

M nếu Q là môđun nội xạ còn µ là đơn cấu cốt yếu

Toàn cấu ψ : P −→ M được gọi là bao xạ ảnh đối với M nếu P là môđun

xạ ảnh còn ψ là toàn cấu đối cốt yếu

Định lý 1.1.25 Nếu M Artin thì mỗi môđun con C ≤ M đều có phần

bù cộng tính

Định lý 1.1.26 Cho MR Lúc đó:

M Artin và rad(M) = 0 khi và chỉ khi M nửa đơn và hữu hạn sinh

Định nghĩa 1.1.27 Môđun U được gọi là môđun đều (unif orm) nếubất kì môđun con A và B 6= 0 của U thì A ∩ B 6= 0 hay mọi môđun conkhác không của U là môđun cốt yếu trong U

1.2 MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐÃ BIẾT

Định nghĩa 1.2.1 Cho MR và X ≤ M Linh hóa tử phải của X trong

R là:

rR(X) = {r ∈ R|xr = 0, x ∈ X}

Cho A ≤ R Linh hóa tử trái của A trong M là:

lM(A) = {x ∈ M |xa = 0, a ∈ A}

Khi X = {x} hay A = {a}, ta viết rR(x) hay lR(a) Với những linh hóa

tử trên R, nếu không có gì nhầm lẫn, người ta có thể bỏ ký hiệu R trong

lR, rR, mà chỉ viết là l, r

Định lý 1.2.2 Các điều kiện sau đây là tương đương với vành R đã cho:(1) Môđun RR là Artin và nội xạ

(2) Môđun RR là Artin và đối sinh

(3) Môđun RR là Artin và môđun RR là nội xạ

(4) Môđun RR là Artin và môđun RR là đối sinh

(5) Môđun RR là Artin và rl(A) = A, ∀A ≤ RR, lr(B) = B, ∀B ≤ RR.(6) Vành RR là Artin (hai phía) và rl(A) = A, ∀A ≤ RR, lr(B) =

B, ∀B ≤ RR

(7) Vành RR là Artin hai phía và tự nội xạ hai phía.

Định nghĩa 1.2.3 Vành R thỏa mãn một trong những điều kiện tươngđương trong Định lý 1.2.2 được gọi là vành tựa Frobenius, viết tắt là QF.Định lý 1.2.4 (Định lý [Wedderburn - Artin]) Một vành R là nửa đơnphải nếu và chỉ nếu nó là tổng trực tiếp vành của một số hữu hạn các vànhArtin đơn

Định lý 1.2.5 Cho R là vành bất kì Nếu R là vành Kasch trái thì R làmột vành C2 khi đó ZR ≤ J

Ví dụ 1.2.6 (Faith–Menal) Cho D là một vành chưa đếm được và đóngtrên một trường F, và đặt R = D ⊗F F (x) Thì T (R, D) không phải làmột vành Artin

Định lý 1.2.7 (Camps–Dicks Theorem) Các điều sau tương đương vớimột vành R:

(4) Tồn tại một song môđun SMR sao cho các điều sau là đúng:

(a) lM(a)|a ∈ R có các hạng tử thỏa mãn ACC

(b) lM(a) = 0 suy ra a khả nghịch của R

(5) Tồn tại một số nguyên n ≥ 0 và một hàm d : R −→ 0, 1, 2, · · · , nsao cho các điều sau là đúng:

(a) d(a − aba) = d(a) + d(1 − ab) với mọi a và b trong R

(b) d(a) = 0 suy ra a khả nghịch của R.

(6) Tồn tại một bậc ≤ trong R sao cho các điều sau là đúng:

(a) (R, ≤) thỏa mãn DCC

(b) Nếu 1 − ab không khả nghịch thì a > a − aba

Định lý 1.2.8 Các điều sau tương đương với một vành R:

(1) R là một F P-nội xạ phải

(2) Nếu ¯1, ¯a2, · · · , ¯am và ¯b trong Rn thỏa mãn ∩irRn(¯ai) ≤ rRn(¯b), thì

¯b ∈ P

iR¯ai.(3) Nếu n ≥ 1 và RK ≤ Rn là hữu hạn sinh, thì K = lRn(X) với

X ≤ Mn(R)

(4) Mn(R) là một vành P-nội xạ phải với n ≥ 1

Bổ đề 1.2.9 Nếu PR là một môđun hữu hạn sinh là xạ ảnh và suy biến,thì P = 0

Hệ quả 1.2.10 Nếu một môđun SM có chiều Goldie và đơn cấu trongEndSM là toàn cấu, thì EndSM là địa phương

Bổ đề 1.2.11 Cho MR là một môđun tựa xạ ảnh, và đặt E = End(M).Khi đó các điều kiện sau tương đương:

(1) E là một vành nửa chính qui

(2) Với mọi α ∈ E, M = P ⊕ K với P ≤ αM và αM ∩ K  K

Định nghĩa 2.1.1 Cho M là R-môđun Khi đó:

(1) M thỏa mãn điều kiện C1 nếu mọi môđun con của M là cốt yếutrong một hạng tử trực tiếp của M

(2) M thỏa mãn điều kiện C2 nếu mọi môđun con đẳng cấu với hạng tửtrực tiếp của M cũng là hạng tử trực tiếp của M

(3) M thỏa mãn điều kiện C3 nếu với N, K là các hạng tử trực tiếp của

M và N ∩ K = 0 thì N ⊕ K ≤⊕ M

Một vành R được gọi là vành C1 phải (tương ứng, vành C2 phải, C3phải) nếu R-môđun phảiRR thỏa mãn điều kiện C1 (tương ứng, C2, C3).Nhận xét 2.1.2 Khi xem vành R là môđun trên chính nó, khái niệmvành C2 còn được hiểu như sau: vành R được gọi là vành C2 phải nếumọi iđêan phải của R đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của RR là hạng tửtrực tiếp của RR

Định lý 2.1.3 Nếu M là một môđun không phân tích được thì M làmột môđun C3; M là một môđun C1 nếu và chỉ nếu nó đều (có nghĩa là

X ∩ Y 6= 0 với môđun con X 6= 0 và Y 6= 0) và M là một môđun C2 nếu

và chỉ nếu mọi đơn cấu trong End(M ) là đẳng cấu

Ví dụ 2.1.4 Z−môđun Z2 và Z8 đều thỏa mãn các điều kiệnC1, C2, C3nhưng tổng trực tiếp của chúng N = Z2 ⊕Z8 không phải là một môđun

C1 bởi vì nếu ta đặt S =Z2 ⊕ 0 và K = Z(1 + 2Z, 2 + 8Z), khi đó K chỉchứa trong hai hạng tử trực tiếp N và S ⊕ K và nó không phải là cốt yếu.Hơn nữa, N không phải là môđun C2 bởi vì hạng tử không 0 ⊕Z(4 + 8Z)

là đẳng cấu tới hạng tử Z2 ⊕ 0 Do đó một tổng trực tiếp của các môđunC1 hoặc các môđun C2 có thể không thỏa mãn được các tính chất tươngtự

Ví dụ 2.1.5 Trong một nhóm aben, Z thỏa mãn cả hai điều kiện C1

và C3 nhưng nó không phải là một môđun C2 Tuy nhiên, với F là mộttrường và R =

Các vành F GF phải có mối liên hệ mật thiết tới các vànhC2, và trongphần tiếp theo chúng ta sẽ nghiên cứu về vành C2

Ví dụ 2.1.6 Mọi vành chính qui là một vành C2 phải và trái, và mọivành liên tục phải là một vành C2 phải

Ví dụ 2.1.7 Cho R là một vành I-hữu hạn Nếu R là một vành C2 phảithì mỗi đơn cấu RR −→ RR là toàn cấu Điều ngược lại cũng hoàn toànđúng nếu R chỉ có hai lũy đẳng duy nhất là 0 và 1

Chứng minh Giả sử rằng r(a) = 0, a ∈ R và xét R ≥ aR ≥ a2R ≥

a3R ≥ · · · Vì akR ∼= R, ta có akR = ekR với e2k = ek Vì I-hữu hạn nên

ta có akR = ak+1R, với mọi k Ta có được R = aR do r(a) = 0 Điều nàychỉ ra rằng mọi đơn cấu RR −→ RR là toàn cấu Ngược lại, giả thiết rằngmọi đơn cấu là toàn cấu, và R chỉ có duy nhất hai lũy đẳng là 0 và 1 Cho

aR ∼= P ở đây P là một hạng tử của R Khi đó, hoặc P = 0 (vì aR = 0

là một hạng tử) hoặc P = R Khi P = R, nếu σ : R −→ aR là một đẳng

cấu cho bởi σ(1) = ab Khi đó r(b) = 0 và theo giả thiết b khả nghịch, do

đó a khả nghịch, đồng thời ta cũng có được aR = R là một hạng tử Vìvậy R là một vành C2 phải

Nếu F là một trường, thì vành R xác định bởi R =

Trước khi đưa thêm ví dụ về các vành C2 ta có thể đưa ra một vài tínhchất cơ bản của các vành C2 sẽ được sử dụng sau này

Bổ đề 2.1.9 Cho R là một vành Khi đó các điều kiện sau là tương đươngvới nhau:

(6) Nếu aR là xạ ảnh, a ∈ R thì aR là một hạng tử trực tiếp của RR.Chứng minh (6) =⇒ (1) =⇒ (2) =⇒ (3) =⇒ (4) =⇒ (5) là hiểnnhiên.

(5) =⇒ (6) Cho giả thiết (5) Nếu aR là xạ ảnh thì r(a) là một hạng

tử trực tiếp của R khi đó r(a) = r(e) với e2 = e Vì vậy a = ae, do đó

Ra ≤ Re Nhưnge ∈ lr(a)[bởi vì r(a) ≤ r(e)] nên ta cóRa ≤ Re ≤ lr(a).Theo giả thiết (5) nên Ra = Re, vì vậy Ra là một hạng tử trực tiếp của

R, dĩ nhiên aR là một hạng tử trực tiếp Hay nói cách khác (6) đúng

Hệ quả 2.1.10 Tích trực tiếp của các vành Ri(i ∈ I) là C2 phải nếu vàchỉ nếu mỗi vành Ri là vành C2 phải

Hệ quả 2.1.11 Với R là một vành địa phương, khi đó các điều kiện sautương đương:

Chứng minh Ở Ví dụ 2.1.7 ta đã có được (1) =⇒ (2) với bất kì vành

mà chỉ có hai phần tử lũy đẳng duy nhất là 0 và 1

Cho (2) thì rõ ràng ta có J ≤ {a ∈ R|r(a) 6= 0} dấu ” = ” xảy ra khi

R là vành địa phương Vậy (2) =⇒ (3)

Cuối cùng, nếu cho (3), giả sử r(a) = r(e), a ∈ R, e2 = e ∈ R Theo

Bổ đề 2.1.9 ta phải chỉ ra rằng e ∈ Ra Điều này hiển nhiên nếu e = 0

Và nếu như e = 1 vì a /∈ J theo (3) nên r(a) = 0 Vì R là địa phương nên

Ra = R và do đó e ∈ Ra Do đó (3) =⇒ (1) Khẳng định cuối cùng đượcsuy ra từ (3), bởi vì R là địa phương

Hệ quả 2.1.12 Mọi vành P-nội xạ phải là một vành C2 phải.

Nhận xét 2.1.13 Điều ngược lại của hệ quả này là sai Thực vậy, nếu

V là một không gian vectơ 2 chiều trên một trường F Khi đó ta xét mởrộng R = T (F, V ) = F ⊕ V Đây là vành Artin, địa phương, giao hoánvới J2 = 0, vì vậy R là một vành C2 (theo Hệ quả 2.1.11) Tuy nhiên, Rkhông phải là P-nội xạ Vì nếu V = vF ⊕ wF, cho θ : V −→ V là mộttrường giao hoán tuyến tính với θ(v) = w Khi đó (0, x) 7−→ [0, θ(x)] làmột R-ánh xạ tuyến tính R −→ R không thể mở rộng tới R −→ R bởi vì

P-nội xạ trái nên vành C2 trái Giả sử rằngR là một vành C2 phải Vì R

là I-hữu hạn nên đơn cấu RR −→ RR là toàn cấu (như ví dụ 2.1.7) do đótheo Định lý 1.2.7 R là địa phương bởi vì nó là chiều Goldie phải Mà J

là nhóm lũy linh nên R là vành Artin phải theo định lý Hopkins-Levitzki.Điều này vô lí nên R không phải là một vành C2 phải

Mệnh đề 2.1.15 Nếu R là một vành C2 phải thì với e2 = e ∈ R thỏamãn ReR = R, thì vành eRe cũng là vành C2 phải

Chứng minh Đặt S = eRe, giả sử rằng rs(a) = rs(f), a ∈ S, f2 =

f ∈ S Ta phải chứng minh f ∈ Sa Ta có theo Bổ đề 2.1.9 với f ∈ Rathì ta được rR(a) = rR(f) Nếu r ∈ rR(a) khi đó với mọi x ∈ R thìa(erxe) = arxe = 0 suy ra erxe ∈ rs(f ) Từ đó f rxe = 0, với mọi x ∈ R,

vì ReR = R nên f r = 0 Do đó rR(a) ≤ rR(f ) Các đồng cấu bao hàmkhác cũng được chứng minh theo cách tương tự

Mệnh đề này là một phần của chứng minh "vành C2 phải là một bấtbiến Morita".

Định lý 2.1.16 MR là một môđun với E = End(MR), khi đó các điềukiện sau là tương đương:

(1) MR là một môđun C2

(2) Nếu σ : N −→ P là một R-đẳng cấu với N ≤ M và P là một hạng

tử trực tiếp của M thì σ mở rộng tới β ∈ E

(3) Nếu α : P −→ M là R-đơn cấu với P là một hạng tử trực tiếp của

M, khi đó tồn tại β ∈ E thỏa mãn β ◦ α = ι, với ι : P −→ M là đồngcấu bao hàm

(4) Nếu α : P −→ M là R-đơn cấu, với P là một hạng tử trực tiếp của

M và nếu π2 = π ∈ E thỏa mãn π(M ) = P, khi đó tồn tại β ∈ Esao cho π ◦ β ◦ α = 1P

Chứng minh

(1) =⇒ (2) Giả sử cho σ như ở (2), khi đó từ (1) ta đặt M = N ⊕ N0.Thì ta được (n + n0) 7−→ σ(n) mở rộng của σ

(2) =⇒ (3) Giả sử cho α như ở (3) khi đó σ : α(P ) −→ P là một

R-đẳng cấu nếu ta xem σ[α(p)] = p, với mọi p ∈ P Theo (2) thì σ mởrộng tới β ∈ E Do đó β ◦ α = ι

(3) =⇒ (4) Giả sử cho α như ở (4), đặt β ◦ α = ι, và β ∈ E Thì ta cóđược π ◦ β ◦ α = 1P

(4) =⇒ (1) Giả sử một môđun con N ≤ M đẳng cấu tới P, trong đó

P là một hạng tử trực tiếp của M khi đó α : P −→ N là một R-đẳngcấu Ta phải chứng minh rằng N là một hạng tử trực tiếp của M Nếu

π2 = π ∈ E thỏa mãn π(M ) = P, và với β ∈ E thì π ◦ β ◦ α = 1P Cho

θ = α ◦ π ◦ β ∈ E Thì θ2 = θ và θ(M ) ≤ N, ta chứng minh N ≤ θ(M )