Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Tổng trực tiếp các modun đều với độ dài hữu hạn" pdf

Bài báo trình bày một số kết quả về tính chất liên tục của môđun là tổng trực tiếp hữu hạn các môđun đều với độ dài hữu hạn và từ đó đưa ra một số đặc trưng về vành QF.. Cho R−môđun phải

TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 59, 2010

TỔNG TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN ĐỀU

VỚI ĐỘ DÀI HỮU HẠN

Ngô Sỹ Tùng, trường Đại học Vinh

Lê Văn An, trường THPT Phan Bội Châu, Nghệ An

Nguyễn Minh Tuấn, trường Đại học Vinh

Tóm tắt Bài báo trình bày một số kết quả về tính chất liên tục của môđun

là tổng trực tiếp hữu hạn các môđun đều với độ dài hữu hạn và từ đó đưa ra một số đặc trưng về vành QF

1 Mở đầu

Trong bài báo này các vành luôn giả thiết là vành kết hợp có đơn vị và tất cả các môđun là môđun phải unita trên vành R nào đó (nếu không nói gì thêm) Cho R−môđun phải M , chúng ta dùng các ký hiệu A ⊆ M , A ⊆e M ,

A ⊆⊕ M để chỉ A là môđun con, môđun con cốt yếu, hạng tử trực tiếp của môđun M Vành các tự đồng cấu, độ dài và chiều đều của môđun M lần lượt được ký hiệu là End(M ), l(M ), u − dim(M )

Cho R−môđun phải M , ta xét các điều kiện sau:

(C1) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M , hay nói cách khác mọi môđun con đóng trong M là hạng tử trực tiếp của M (C2) Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và A là hạng

tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M

(C3) Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M và A ∩ B = 0 thì A ⊕ B cũng là hạng tử trực tiếp của M

Môđun M được gọi là CS−môđun (tương ứng môđun liên tục, tựa liên tục), nếu M thoả mãn điều kiện (C1) (tương ứng (C1) và (C2); (C1) và (C3)) Theo [4] và [9] ta có (C2) =⇒ (C3) và sơ đồ kéo theo sau là đúng đối với một môđun:

Nội xạ =⇒ Tựa nội xạ =⇒ Liên tục =⇒ Tựa liên tục =⇒ CS

Môđun M được gọi là Σ−CS nếu môđun M(I) là CS với tập chỉ số I bất kỳ

Trong bài báo này chúng tôi đưa ra điều kiện (∗) đối với một R−môđun phải M như sau:

(∗) Nếu B là một môđun con đều của M và đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp A của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M

Nhận xét rằng nếu môđun M thoả mãn điều kiện (C2) thì M thoả mãn điều kiện (∗)

Môđun M được gọi là địa phương (local) nếu M có môđun con tối đại duy nhất Khi M là môđun địa phương thì J (M ) 6= M và J (M ) là môđun con tối đại duy nhất, tức là mọi môđun con thực sự của M cũng là môđun con của J (M ) Vành R được gọi là địa phương nếu RR (hoặc RR) là môđun địa phương Vành R được gọi là QF nếu R là vành Artin phải và trái, tựa nội xạ phải và trái

Bài viết này đưa ra một số kết quả về tính chất liên tục của tổng trực tiếp hữu hạn M = M1 ⊕ ⊕ Mn với Mi là các môđun đều có độ dài hữu hạn (i = 1, , n) Từ đó ứng dụng các kết quả về môđun để đặc trưng vành QF Các kết quả của bài bài báo này là nối tiếp những nghiên cứu của chúng tôi trong [1], [13] và của các tác giả khác trong [3], [7], [8],

2 Các kết quả

Bổ đề 1 Cho môđun M thoả mãn điều kiện (∗) Nếu N là hạng tử trực tiếp của M thì N thoả mãn điều kiện (∗)

Chứng minh Giả sử A là môđun con đều của N và đẳng cấu với một hạng

tử trực tiếp B của N , ta chứng minh A cũng là hạng tử trực tiếp của N Đặt

M = N ⊕ N0 và N = B ⊕ B0, ta có M = B ⊕ B0⊕ N0, suy ra B là hạng tử trực tiếp của M Vì A là môđun con đều của M và môđun M thoả mãn điều kiện (∗) nên A là hạng tử trực tiếp của M Đặt M = A ⊕ A0, theo luật Môđula ta

có N = N ∩ M = N ∩ (A ⊕ A0) = A ⊕ (N ∩ A0) Do đó A là hạng tử trực tiếp của N , tức là N thoả mãn điều kiện (∗)

Bổ đề 2 Cho các môđun đều U1, U2 sao cho l(U1) = l(U2) < ∞ và đặt

U = U1⊕ U2 Khi đó U thoả mãn điều kiện (C3)

Chứng minh Theo [14], vành các tự đồng cấu End(U1) và End(U2) là vành địa phương Ta chứng minh U thoả mãn điều kiện (C3), tức là với hai hạng tử trực tiếp S1, S2 của U sao cho S1∩ S2 = 0 thì S1⊕ S2 cũng là hạng tử trực tiếp của U Nhận xét rằng u−dim(U ) = 2 nên chứng minh là tầm thường trong trường hợp: Một trong hai hạng tử trực tiếp Si có chiều đều bằng 2 và hạng

tử trực tiếp còn lại là 0

Xét trường hợp cả hai hạng tử trực tiếp S1, S2 là môđun đều Đặt U =

S2 ⊕ K Theo Bổ đề Azumaya, S2 ⊕ K = S2⊕ U1, hoặc S2 ⊕ K = S2⊕ U2

Vì U1 và U2 là bình đẳng nên không mất tính tổng quát ta chỉ cần xét trường hợp U = S2⊕ K = S2⊕ U1 = U1⊕ U2 Khi đó S2 ∼= U

2 Đặt U = S1⊕ H, theo

Bổ đề Azumaya, U = S1⊕ H = S1⊕ U1 hoặc S1⊕ H = S1⊕ U2

Nếu U = S1⊕H = S1⊕U1sử dụng luật Môđula, ta có S1⊕S2 = S1⊕X trong

đó X = (S1⊕ S2) ∩ U1 Từ đó X ∼= S2 ∼= U2 Hơn nữa l(U1) = l(U2) = l(X), nên U1 = X và do đó S1⊕ S2 = S1⊕ U1 = U

Nếu U = S1⊕ H = S1⊕ U2 sử dụng luật Môđula, ta có S1⊕ S2 = S1⊕ V trong đó V = (S1⊕ S2) ∩ U2 Từ đó V ∼= S2 ∼= U

2 Hơn nữa l(U2) = l(V ), nên

U2 = V và do đó S1⊕ S2 = S1 ⊕ U2 = U Vậy môđun U thoả mãn điều kiện (C3)

Định lí 3 Cho các môđun đều với độ dài hữu hạn U1, , Un và đặt U =

U1 ⊕ ⊕ Un Khi đó các khẳng định sau tương đương:

(a) U là môđun liên tục;

(b) U là CS−môđun và thoả mãn điều kiện (∗)

Chứng minh (a) =⇒ (b) là hiển nhiên

(b) =⇒ (a) Giả sử U là CS−môđun và thoả mãn điều kiện (∗), ta cần chứng minh U là môđun liên tục Trước tiên ta chứng minh U là môđun tựa liên tục Đặt Uij = Ui ⊕ Uj với ∀i, j = 1, 2, , n, i 6= j, ta chứng minh Uij

là môđun tựa liên tục Vì Uij là hạng tử trực tiếp của U nên ta có Uij là CS−môđun Nếu l(Ui) = l(Uj) theo Bổ đề 2, ta có Uij thoả mãn điều kiện (C3) và suy ra Uij là môđun tựa liên tục Nếu l(Ui) 6= l(Uj), không mất tính tổng quát ta giả sử l(Ui) < l(Uj) Theo Bổ đề 1, ta có Uij thoả mãn điều kiện (∗) Giả sử tồn tại R−đơn cấu f : Ui −→ Uj và đặt f (Ui) = L, khi đó L là môđun con của Uj và Ui ∼= L Hiển nhiên ta có L 6= 0 Giả sử L 6= U

j Vì

Uij thoả mãn điều kiện (∗) và L là môđun con đều của Uij nên L là hạng tử trực tiếp của Uij (do Ui là hạng tử trực tiếp của Uij) Đặt Uij = L ⊕ L0, theo luật Môđula ta có Uj = Uj ∩ Uij = Uj ∩ (L ⊕ L0) = L ⊕ L00 với L00 = Uj ∩ L0

Vì Uj là môđun đều nên L00 = 0 (vì L 6= 0), suy ra L = Uj (mâu thuẫn)

Do đó Ui không nhúng thực sự vào Uj Ngược lại, giả sử tồn tại R−đơn cấu

g : Uj −→ Ui, khi đó ta có l(Uj) = l(g(Uj)) 6 l(Ui) (mâu thuẫn) Từ đó Uj cũng không nhúng được vào Ui Giả sử tồn tại R−đơn cấu h : Ui −→ Ui sao cho h(Ui) = K ⊆ Ui và K 6= Ui Ta có K ∼= Ui, suy ra l(Ui) = l(K) < l(Ui) (mâu thuẫn) Do đó Ui không nhúng thực sự vào chính nó và tương tự Uj cũng vậy

Giả sử S1 và S2 là các hạng tử trực tiếp của Uij sao cho S1∩ S2 = 0, ta sẽ chứng minh S1 ⊕ S2 cũng là hạng tử trực tiếp của Uij Nhận xét rằng chiều đều của Uij bằng 2 nên chứng minh là tầm thường trong trường hợp có một trong hai hạng tử trực tiếp là môđun 0 hoặc có chiều đều bằng 2 Xét trường hợp cả hai hạng tử trực tiếp S1 và S2 là môđun đều Đặt Uij = S2⊕ F Theo [14], vành các tự đồng cấu End(Ui) và End(Uj) là địa phương nên theo Bổ

đề Azumaya, ta có Uij = S2 ⊕ F = S2 ⊕ Ui, hoặc Uij = S2 ⊕ F = S2 ⊕ Uj (xem [2, 12.6, 12.7]) Không mất tính tổng quát, ta chỉ cần xét một trường hợp

Uij = S2⊕ F = S2⊕ Ui = Ui⊕ Uj Khi đó S2 ∼= U

j Đặt Uij = S1 ⊕ H, cũng theo Bổ đề Azumaya ta có Uij = S1⊕ H = S1⊕ Ui, hoặc S1⊕ H = S1 ⊕ Uj Nếu Uij = S1 ⊕ H = S1 ⊕ Ui, sử dụng luật Môđula ta có S1 ⊕ S2 = (S1⊕ S2) ∩ Uij = (S1⊕ S2) ∩ (S1⊕ Ui) = S1⊕ X trong đó X = (S1⊕ S2) ∩ Ui

Từ đó, X ∼= S2 ∼= U

j Vì Uj không nhúng thực sự vào Ui và X là môđun con của Ui nên X = Ui Do đó, l(Ui) = l(X) = l(S2) = l(Uj) (mâu thuẫn)

Nếu Uij = S1 ⊕ H = S1 ⊕ Uj, sử dụng luật Môđula ta có S1 ⊕ S2 = (S1⊕ S2) ∩ Uij = (S1⊕ S2) ∩ (S1⊕ Uj) = S1⊕ V trong đó V = (S1⊕ S2) ∩ Uj

Từ đó V ∼= S2 ∼= U

j Vì Uj không nhúng thực sự vào chính nó và V là môđun con của Uj nên V = Uj Do đó S1⊕ S2 = S1 ⊕ Uj = Uij Tóm lại, ta luôn có

S1 ⊕ S2 = Uij Hay Uij thoả mãn điều kiện (C3) và suy ra Uij là môđun tựa liên tục

Từ đó, Uij là môđun tựa liên tục với bất kỳ i, j = 1, , n Theo Harmanci

- Smith, ta có U là môđun tựa liên tục (xem [5, Corollary 11])

Tiếp theo ta chứng minh, U thoả mãn điều kiện (C2), tức là với các môđun đẳng cấu A, B của U , và B là hạng tử trực tiếp của U thì A cũng là hạng tử trực tiếp của U Theo [14], vành các tự đồng cấu End(Ui) là địa phương với

i = 1, , n nên theo Bổ đề Azumaya, tồn tại tập con F của {1, , n} sao cho

B ⊕ (⊕i∈FUi) = U

Nếu F = {1, , n} thì A = B = 0 Từ đó suy ra A là hạng tử trực tiếp của

U

Nếu F 6= {1, , n}, ta đặt J = {1, , n}\F Từ đó

U = B ⊕ (⊕i∈FUi) = (⊕i∈JUi) ⊕ (⊕i∈FUi)

Do đó ta suy ra

A ∼= B ∼= U/ ⊕i∈F Ui ∼= ⊕i∈JUi = C.

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử J = {1, , k} với 16 k 6 n, tức là C = U1⊕ ⊕ Uk Xét đẳng cấu ϕ : C −→ A và đặt Ai = ϕ(Ui), ta suy ra Ai ∼= Ui với bất kỳ i = 1, , k Từ đó A = ϕ(C) = ϕ(U1 ⊕ ⊕ Uk) = ϕ(U1) ⊕ ⊕ ϕ(Uk) = A1 ⊕ ⊕ Ak Mặt khác Ai là môđun con đều của U ,

Ai ∼= U

ivà U thoả mãn điều kiện (∗), ta có Ailà hạng tử trực tiếp của U với bất

kỳ i = 1, , k Từ tính chất U là môđun tựa liên tục, suy ra A = A1⊕ ⊕Aklà hạng tử trực tiếp của U Do đó U thoả mãn điều kiện (C2) Vì U là CS−môđun nên U là môđun liên tục, ta có (a)

Hệ quả 4 Đối với một vành R, các khẳng định sau là tương đương:

(a) R là vành QF;

(b) RR là môđun Σ−CS và thoả mãn điều kiện (∗)

Chứng minh (a) =⇒ (b) là hiển nhiên

(b) =⇒ (a) Giả sử RR là môđun Σ−CS và thoả mãn điều kiện (∗), ta chứng minh R là vành QF Vì RR là môđun Σ−CS nên theo [11] và [12], ta có

R là vành Artin hai phía và do đó R cũng là vành Noether hai phía Đặt

RR= R1⊕ ⊕ Rn

trong đó Ri là iđêan phải đều của R với i = 1, , n Ta có Ri là môđun Artin

và cũng là môđun Noether, do đó Ri là môđun có độ dài hữu hạn (xem [14])

Vì RR là CS−môđun và thoả mãn điều kiện (∗) nên theo Định lý 3, R là vành liên tục phải Theo [6, Theorem 4.3], ta có R là vành QF

Hệ quả 5 Nếu vành R có các tính chất sau:

(i) RR thoả mãn điều kiện (∗),

(ii) Mọi tổng trực tiếp các R−môđun phải CS cũng là CS−môđun;

thì R là vành QF

Chứng minh Giả sử vành R thoả mãn các tính chất (i) và (ii), ta chứng minh

R là vành QF Vì R thoả mãn tính chất (ii), theo [8, Corollary 3], R là vành Artin phải và mọi R−môđun phải đều có độ dài không vượt quá 2 Từ tính chất R là vành Artin phải, ta có

RR= R1⊕ ⊕ Rn trong đó Ri là iđêan phải đều của R với l(Ri) 6 2 < ∞, i = 1, , n Do Ri

là CS−môđun nên theo tính chất (ii), RR là CS−môđun Vì RR thoả mãn điều kiện (∗) nên theo Định lý 3, R là vành liên tục phải Từ điều kiện RR là CS−môđun và tính chất (ii), suy ra RR là môđun Σ−CS Theo Hệ quả 4, R

là vành QF

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] L V An and N S Tung, On direct sums of uniform modules and QF−rings, East-West J of Math, Vol 11, No 2 (2009), 241 - 251

[2] F W Anderson and K R Fuller, Ring and Categories of Modules, Springer - Verlag, NewYork - Heidelberg - Berlin, 1974

[3] H Q Dinh and D V Huynh, Some results on self - injective rings and

Σ − CS rings, Comm in Algebra 31 (2003), 6063 - 6077

[4] N V Dung, D V Huynh, P F Smith and R Wisbauer, Extending Modules, Pitman Research Notes in Mathematics series 313, Longman, Harlow,

UK, 1994

[5] A Harmanci and P F Smith, Finite direct sum of CS-Modules, Houston

J Math 19(1993),523 - 532

[6] D V Huynh, D D Tai and L V An, On the CS condition and rings with chain conditions, AMS Contem Math 480 (2009), 261 - 269

[7] D V Huynh and S T Rizvi, On countably sigma - CS rings, Algebra and its applications, Narosa publishing house, New Delhi, Chennai, Mumbai, Kolkata, 2001, 119 - 128

[8] D V Huynh, S K Jain and S R López - Permouth, Ring characterized

by direct sums of CS modules, Comm in Algebra 28(2000), 4219 - 4222

[9] S H Mohamed and B J Muller, Continuous and Discrete Modules, London Math Soc Lecture Notes Series147, Cambridge Univ Press, Cam-bridge, 1990

[10] W K Nicholson and M F Yousif, Quasi - Frobenius Rings, Cambridge Tracts No 158 Cambridge Univ Press, London, New York, 2003

[11] K Oshiro, Lifting modules, extending modules and their applications

to QF rings, Hokkaido Math J 13 (1984), 310 - 338

[12] K Oshiro, On Harada rings I, II, III, Math J Okayama Univ 31 (1989), 161 - 178

[13] N S Tung, L V An and T D Phong, Some results on direct sums of uniform modules, Contributions in Math and Applications, ICMA, December

2005, Mahidol Uni., Bangkok, Thailand, p.p 235 - 241

[14] R Wisbauer, Foundations of Rings and Modules, Gordon and Breach, Reading (1991)

ON DIRECT SUMS OF UNIFORM MODULES WITH FINITE

COMPOSITION LENGTH

Ngo Sy Tung, Vinh University

Lê Văn An, Phan Boi Chau high school, Nghe An Province

Nguyen Minh Tuan, Vinh University

Summary In this paper, we give some results on continuity of direct sums

of uniform modules with finite composition length We also obtain a charac-terization of QF−rings via CS−modules and Σ−CS−modules