Môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán

LỜI CẢM ƠNTrong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận Môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán cùng với sự cố gắng của bản thân, em đã nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của c

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận Môđun hữu hạn sinh trên

vành giao hoán cùng với sự cố gắng của bản thân, em đã nhận được sự hướng

dẫn và giúp đỡ tận tình của cô giáo Th.s Nguyễn Thị Kiều Nga Đồng thời, em

cũng nhận được sự giúp đỡ động viên của các thầy, cô giáo và của các bạn sinh viên trong khoa Toán

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới cô giáo Th.s Nguyễn Thị Kiều Nga đã

giúp đỡ và hướng dẫn tận tình để em hoàn thành khóa luận của mình

Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo và các bạn sinh viên trong khoa đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này

Hà Nội, ngày… tháng… năm… Sinh viên

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và nghiên cứu Bên cạnh đó, em được sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong

khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Th.s Nguyễn Thị Kiều

Nga.

Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em có tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Vì vậy, em xin khẳng định đề tài Môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán

không có sự trùng lặp với các đề tài của các tác giả khác

Sinh viên

Lê Thị Thu Hiền

MỤC LỤC

Trang

Lời nói đầu 4

Chương 1 Vành – Môđun 5

1.1 Vành 8

1.2 Môđun 10

1.3 Môđun con 14

1.4 Môđun thương 16

1.5 Tổng trực tiếp, tích trực tiếp, hạng tử trực tiếp của môđun 17

1.6 Đồng cấu môđun 19

Chương 2 Môđun tự do 23

2.1 Môđun sinh bởi một tập, tập sinh, tập độc lập và phụ thuộc tuyến tính Cơ sở của môđun 23

2.2 Môđun tự do 24

2.3 Điều kiện tương đương 25

2.4 Một số tính chất cơ bản 27

2.5 Bài tập 30

Chương 3 Môđun hữu hạn sinh 34

3.1 Định nghĩa môđun hữu hạn sinh 34

3.2 Điều kiện tương đương với môđun hữu hạn sinh 34

3.3 Môđun Noether 35

3.4 Môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán 39

3.5 Môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương 43

3.6 Môđun hữu hạn sinh trên vành chính

3.7 Bài tập

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

LỜI NÓI ĐẦU

Đại số là một ngành chiếm vị trí quan trọng trong khoa học Toán học Nó góp phần thúc đẩy sự phát triển của Toán học hiện đại Ngày nay, nhu cầu học hỏi của sinh viên khoa Toán, các thầy cô giáo dạy Toán và nhiều người khác

quan tâm đến toán học nói chung và môn Đại số nói riêng, ngày càng tăng Tuy nhiên, để đi sâu nghiên cứu môn Đại số thì cần có sự hiểu biết một cách sâu sắc

về cấu trúc đại số

Ngày nay, người ta coi đối tượng chủ yếu của Đại số là các cấu trúc đại sốnhư: nhóm, vành, trường, môđun… Trong đó, môđun là một trong những khái niệm quan trọng nhất của Đại số hiện đại

Chính vì thế, em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu Môđun hữu hạn sinh

trên vành giao hoán với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về

bộ môn Đại số và bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học

Nội dung khóa luận gồm:

Chương 1: Vành – Môđun Chương này em trình bày một số khái niệm: vành, vành giao hoán,

môđun, tính chất của môđun, môđun con, môđun thương, tổng trực tiếp, tích trựctiếp và hạng tử trực tiếp của môđun

Chương 2: Môđun tự doTrình bày một số nội dung: tập sinh, tập độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính, khái niệm và tính chất của môđun tự do và điều kiện tương đương của môđun tự do

Chương 3: Môđun hữu hạn sinhTrình bày một số nội dung: khái niệm về môđun hữu hạn sinh và điều kiện tương đương, Môđun Noether và điều kiện tương đương Môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán và trên vành địa phương

Trong quá trình thực hiện đề tài ngoài sự nỗ lực của bản thân, em còn

nhận được sự chỉ bảo hướng dẫn tận tình của cô giáo Th.s Nguyễn Thị Kiều

Nga và sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô giáo trong khoa Toán Em xin gửi

lời cảm ơn chân thành đến các thầy, các cô Mặc dù có cố gắng song do điều kiện thời gian và khả , năng của bản thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận khôngthể tránh khỏi thiếu xót Vì vậy, em kính mong các thầy cô giáo và các bạn sinh viên đóng góp ý kiến để em hoàn thiện và phát triển khóa luận sau này.

CHƯƠNG 1 : VÀNH – MÔĐUN 1.1 Vành.

1.1.1 Định nghĩa:

Một tập hợp R ≠ ∅ được gọi là một vành nếu R cùng với hai phép toán hai ngôi gọi là phép cộng và phép nhân thỏa mãn các điều kiện sau đây:

(i) R là một nhóm Abel đối với phép cộng.

(ii) Phép nhân có tính chất kết hợp

(iii) Phép nhân phân phối về hai phía đối với phép cộng,

tức là: (x + y)z = xz + yz ; z(x + y) = zx + zy; ∀ x, y, z ∈ R.Nhóm (R, +) được gọi là nhóm cộng của vành Phần tử trung lập của

nó được kí hiệu bởi 0, phần tử đối của x ∈ R được kí hiệu (-x)

Kí hiệu x – y := x + (-y)

1.1.2 Định nghĩa.

Vành R được gọi là giao hoán nếu phép nhân của nó giao hoán

Vành R được gọi là có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị, tức là

có phần tử 1 ∈ R sao cho 1x = x1 = x, ∀ x ∈ R

Chú ý : Phần tử đơn vị của một vành nếu tồn tại thì duy nhất

Thật vậy : Nếu 1 và 1’ đều là đơn vị của R, ta có 1 = 1.1’ = 1’

S là tập tùy ý, X – vành.

M(S, X) = {f : S → X / f là ánh xạ} là một vành với phép cộng và phép nhân xác định như sau :

(f + g)(x) = f(x) + g(x) , ∀ x ∈ S

(f.g)(x) = f(x).g(x), ∀ x ∈ S

Phần tử không là ánh xạ f : S → X

x a 0Nếu vành X giao hoán thì M(S, X) là giao hoán

x y

∑∑ , ∀ xi, yj ∈ R

Tính chất 5: (nx)y = x(ny) = n(xy) , ∀ x, y ∈ R ; n ∈ Z

Tính chất 6 : Nếu R là vành giao hoán thì

Khi đó vành R gọi là vành cơ sở, các phần tử của R gọi là các vô hướng, các phần tử của R – môđun gọi là các vectơ, các ánh xạ xạ

R × M → M và M × R → M (a, x) a ax (x, a) a xa gọi là phép nhân vô hướng

Nhận xét :

Nếu R là vành giao hoán thì khái niệm về môđun trái, môđun phải trên R là trùng nhau

Sau đây ta xét các R – môđun trái gọi tắt là các R – môđun

Nếu R là một trường thì một R – môđun gọi là một không gian vectơtrên R hay R – không gian vectơ

1.2.2 Ví dụ.

Ví dụ 1 : Các véctơ trong mặt phẳng xuất phát từ gốc O cố định lập thành

một môđun trên trường số thực ¡

Thật vậy :

Gọi M = { véctơ trong mặt phẳng xuất phát từ một gốc tọa độ O cố định}

Ta biểu diễn mỗi véctơ như một đoạn thẳng định hướng Ta định nghĩa tổng của 2 véctơ bằng quy tắc hình bình hành : OA + OB = OC uuur uuur uuur

Khi đó (M, +) là một nhóm Abel với phần tử không là véctơ 0 r

, phần tử đối của véctơ OA uuur

là véctơ đối xứng của OA uuur

qua O, kí hiệu là: − OAuuur, ∀ OA uuur

∈

M

∀ α∈ R, OA uuur

∈ M, suy ra αOA uuur

được xác định như sau:

• Là véctơ cùng chiều với OA uuur

và có độ dài bằng tích của α với độ dài véctơ

OA uuur

nếu α > 0

• Là véctơ ngược chiều với OA uuur

và có độ dài bằng tích của α với độ dài véctơ

Nhận xét: Ví dụ này là một trong những ví dụ sinh ra khái niệm không gian

véctơ và từ đó dẫn đến khái niệm môđun Nó giải thích việc gọi các phần tử của một môđun là những véctơ

Ví dụ 2: Nhóm cộng chỉ gồm một phần tử 0 là một môđun trên một vành bất kì,

được gọi là môđun 0

Ví dụ 3: Mỗi không gian vectơ trên trường K là một môđun trên K và ngược lại.

nx được xác định như sau:

Khi đó nhóm Abel X là một Z – môđun

Nhận xét: Ví dụ này chứng tỏ lý thuyết môđun bao gồm cả lý thuyết nhóm

Nhận xét: Nếu R là một trường thì mỗi R – môđun con của một R – không

gian vectơ là một R – không gian vectơ con

1.3.2 Điều kiện tương đương với định nghĩa môđun con.

Giả sử M là một R – môđun Nếu N là tập con khác rỗng của M thì các điều kiện sau là tương đương:

i) N là R - môđun con trong M

1.3.3 Ví dụ.

Ví dụ 1: Mỗi môđun M đều có các môđun tầm thường là 0 và M

Ví dụ 2: Giả sử A, B là hai môđun con của một R – môđun M Khi đó A ∩ B

sẽ là một môđun con của M và A + B là một môđun con của M

Ví dụ 3: Giả sử M là một R – môđun tùy ý và m  M

Khi đó tập con Rm = {rm rR} là một môđun con của M, được gọi là môđun con xiclic sinh bởi phần tử m

Ví dụ 4: M là nhóm Abel cộng, M xem như một ¢- môđun thì các môđun con của M chính là các nhóm của M

Ví dụ 5: Nếu vành R được xem như là R – môđun, N là ideal trái R, khi đó N

là môđun con của R

1.3.4 Tính chất:

Tính chất 1: Giao của một họ bất kì những môđun con của R – môđun M là

môđun con của M

Tính chất 2: Cho M là R – môđun S là tập con của R – môđun M Giao của

tất cả các môđun con của M chứa S là môđun con bé nhất của M chứa S, gọi là môđun con của M sinh bởi tập S, kí hiệu 〈S〉

1.4 Môđun thương.

1.4.1 Xây dựng môđun thương :

Giả sử M là một R – môđun và N là môđun con của M

Khi đó M/N = {x = x + N / x ∈ M} là nhóm thương của M trên nhóm con N

Trên M/N trang bị phép toán cộng xác định như sau:

(x + N) + (y + N) = (x + y) + N, ∀ x, y ∈ M

Trên M/N trang bị phép nhân vô hướng xác định như sau :

α(x + N) = αx + N, ∀x, y ∈ M, ∀ α∈ R

Khi đó M/N cùng với phép cộng và phép nhân vô hướng là một R – môđun gọi

là môđun thương của R – môđun M theo R – môđun con N của M

1.4.2 Ví dụ :

Ví dụ 1 : Trường số hữu tỉ ¤ là một ¢ - môđun và ¢ chính là một ¢ - môđun con của ¤ Khi đó, ¢ - môđun thương ¤ /¢ là một môđun chỉ bao gồm các phần lẻ của các số hữu tỉ

Ví dụ 2: Cho M là một R – môđun, M và {0} là 2 môđun con của M Khi đó

ta có các môđun thương:

M/{0} = {x + {0} / x ∈ M} = {x / x ∈ M} = M

M/M = {x + M / ∀ x ∈ M} = {M}

Ví dụ 3: Cho R là vành có đơn vị, coi như R – môđun Các môđun con của R

là các ideal trái của R Khi đó ta có các môđun thương:

R/I = {x + I / ∀ x ∈ R}

với phép nhân vô hướng được xác định như sau: α(x + I) = αx + I

Ví dụ 4: Nếu M là R – không gian véctơ, N là không gian véctơ con của M, suy

ra môđun thương M/N là R – không gian véctơ thương

1.5 Tổng trực tiếp, tích trực tiếp, hạng tử trực tiếp của các môđun.

1.5.1 Tích trực tiếp.

Cho Mi là một R – môđun, ∀ i ∈ I Kí hiệu i

nghĩa 2 phép toán cộng và nhân với vô hướng như sau:

(xi)iI + (yi)iI = (xi + yi)iI

a(xi)iI = (axi)iI

gọi là tích trực tiếp của họ môđun {Mi}iI

1.5.2 Tổng trực tiếp.

Cho {Mi / i  I} là một họ những R – môđun Dãy (xi)i ∈ I (xi∈ Mi) gọi là có giá hữu hạn nếu xi = 0 hầu hết trừ ra một số hữu hạn chỉ số

Gọi ⊕∈ i

i I M là tập hợp gồm các dãy (xi)i ∈ I có giá hữu hạn

Khi đó ⊕i I∈ M i cùng với 2 phép toán cộng và nhân vô hướng là một R –

môđun Ta gọi ⊕∈ i

i I M là tổng trực tiếp của họ môđun {Mi}i ∈ I

Nhận xét:

- Tổng trực tiếp là môđun con của tích trực tiếp

Khi I là tập chỉ số hữu hạn tức là I = {1,2, ,n} thì tổng trực tiếp và tích trực tiếp là trùng nhau

1.5.3 Hạng tử trực tiếp.

Giả sử N là một R – môđun con của R – môđun M Ta nói rằng N là một hạng tử trực tiếp của M khi và chỉ khi tồn tại một R – môđun con P của M sao cho M = N ⊕P Khi đó ta nói rằng P là môđun con phụ của N trong M.

Môđun M ≠ 0 được gọi là không phân tích được nếu 0 và M là những hạng

tử trực tiếp duy nhất trong M

Vậy nZ không có môđun con phụ trong ¢

+ Môđun con phụ của môđun con N của R – môđun M (nếu có) là duy nhất, sai khác nhau một đẳng cấu

Cho M, N là các R – môđun Ánh xạ f : M → N gọi là đồng cấu môđun khi và chỉ khi ∀ x, y ∈ M; α∈ R:

- Nếu M ≡ N thì ta gọi f là tự đồng cấu của M

- Hai R – môđun M và N được gọi là đẳng cấu, và viết là M ≅ N, nếu tồn tại một R - đẳng cấu môđun từ M đến N

Định nghĩa:

Giả sử f: M → N là R – đồng cấu Khi đó:

i) f được gọi là R – đơn cấu nếu f là đơn ánh

ii) f được gọi là R – toàn cấu nếu f là toàn ánh

iii) f được gọi là R – đẳng cấu nếu f là R – đơn cấu và R – toàn cấu hay

f là song ánh

1.6.2 Điều kiện tương đương.

Cho M, N là các R – môđun, ánh xạ f : M → N là R - đồng cấu môđun khi và chỉkhi f(ax + by) = af(x) + bf(y), ∀ x, y ∈ M, ∀ a, b ∈ R

Nhận xét :

Nếu f là R – đồng cấu từ môđun M tới môđun N thì trước hết nó là đồng cấu nhóm cộng Abel M đến nhóm cộng Abel N

Vì vậy f(0) = 0 ; f(-x) = -f(x) ; f(x – y) = f(x) – f(y), ∀ x, y ∈ M

Nếu f là R – đồng cấu từ môđun M tới môđun N thì ∀ n ≥ 1, ∀ x1, x2, …, xn∈

a f(x )

Thật vậy: Ta chứng minh (*) bằng phương pháp quy nạp toán học

Với n = 1 ta có f(a1x1) = a1f(x1) ⇒ (*) đúng với n = 1

a f(x )

∑ + ak+1f(xk+1) =

k+1

i i i=1

Cho M là R – môđun, N là R – môđun con của M Tồn tại môđun thương M/N.

Ánh xạ f: M → M/N là toàn cấu môđun gọi là toàn cấu chính tắc

x a x + N

1.6.4 Hạt nhân Ảnh.

Giả sử f: M → N là R – đồng cấu Khi đó:

Kerf = f-1(0M) = {x ∈ M / f(x) = 0M} là hạt nhân của f

Imf = {f(x) / x ∈ M} = f(M) là ảnh của f

CHƯƠNG II: MÔĐUN TƯ DO2.1 Môđun sinh bởi một tập, tập sinh Tập độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính Cơ sơ của môđun.

2.1.1 Môđun sinh bởi một tập, tập sinh.

Định nghĩa: Giả sử M là R – môđun, S ⊂ M Giao của tất cả các môđun con của M chứa S được gọi là môđun con của M sinh bởi tập S, kí hiệu là 〈S〉 Tanói S là tập sinh của 〈S〉, hay S sinh ra 〈S〉, 〈S〉 chính là môđun con nhỏ nhất của môđun M chứa S Nếu 〈S〉 = M thì S là tập sinh của M.

2.1.2 Tập độc lập tuyến tính và tập phụ thuộc tuyến tính.

+) x biểu thị tuyến tính qua các phần tử của S là duy nhất

+) S là một tập sinh của M khi và chỉ khi mọi phần tử của M đều biểu thị tuyến tính qua các phần tử của S

2.1.2.2 Tập sinh cực tiểu:

Tập sinh S của môđun M được gọi là cực tiểu nếu mọi tập con thực sự của nó đều không phải là một tập sinh của M

2.1.2.3 Tập độc lập tuyến tính:

Cho M là R – môđun Một họ X = {xi / i  I} những phần tử của M gọi là độc lập

tuyến tính nếu và chỉ nếu mọi hệ thức tuyến tính i i

i J I

α x

∈ ⊂∑ = 0 (J hữu hạn) kéo theo αi = 0, ∀ i  J

2.1.3 Cơ sở của môđun.

Giả sử M là một R – môđun và họ X = {xi}iI là một tập con của M Ta nói rằng

X là một cơ sở của M nếu X sinh ra M và X độc lập tuyến tính

Nếu không gian đó vô hạn chiều thì nó không phải là môđun hữu hạn sinh vì cơ

sở của nó có lực lượng vô hạn

Ví dụ 2 R – môđun Rn có một cơ sở gồm n – phần tử ei = (0, ,0,1,0, 0) với

1 ở vị trí thứ i (1≤ i≤ n) Vậy Rn là một R – môđun tự do, và cơ sở vừa nêu được gọi là cơ sơ tự nhiên hay cơ sở chính tắc của nó

Ví dụ 3 0 là R – môđun tự do với cơ sở rỗng.

Ví dụ 4 Cho R là một vành có đơn vị Khi đó R là R – môđun tự do trên chính

Nếu n = m = 0 suy ra (1) = 0 (vô lí)

Nếu n ≠ 0, m ≠ 0 nên từ (1) suy ra α = m

n

− β suy ra {α, β} phụ thuộc tuyến tính

Do đó nếu trong ¤ có một cơ sở thì cơ sở là tập hợp có một phần tử Nhưng tập hợp có một phần tử {α} không sinh ra ¤

Suy ra ¤ không là ¢ - môđun tự do

Ví dụ 6 Vành đa thức A[x] trên vành giao hoán A là một A – môđun tự do với

thì ϕ i là toàn ánh, ϕ i là R – đồng cấu, ϕ i là đơn cấu Thật vậy :

Do U = {ui/ i ∈ I} là cơ sở của M nên xui = 0 ⇔ x = 0

Suy ra Ker ϕ =i {0} hay ϕ i là đơn cấu.

Khi đó {ϕ i(1)/ i∈ I} là cơ sở của M Thật vậy:

Do ϕ i là đẳng cấu nên ϕ ilà toàn cấu nên ϕ i(R) = Mi mà M = i IM i

Do ϕ i là đẳng cấu nên ϕ i là đơn cấu, do đó ϕ i(xi) = 0 nên xi = 0

Cho U là tập con của R – môđun F Hơn nữa U và F thỏa mãn : mọi ánh

xạ f : U → Y, Y là R – môđun, đều mở rộng thành đồng cấu duy nhất φ : F →

Y Khi đó F là môđun tự do với cơ sở U

Giả sử U = {bi /i ∈ I} Xét môđun tự do RI với cơ sở chính tắc {ei / i ∈ I}.

Khi đó ánh xạ f: U → RI được mở rộng duy nhất thành đồng cấu φ: F → RI

Khi đó S ⊂ F(S) vì ∀ s ∈ S ta có s = 1s ∈ F(S), ∀ s ∈ S, 1 là đơn vị của R.

Vậy F(S) là R – môđun tự do với cơ sở S