ma trận, định thức và môđun trên vành giao hoán có đơn vị có ước của không

HỒ CHÍ MINH Lê Thị Thu Huyền MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ MÔĐUN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ CÓ ƯỚC CỦA KHÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Tp... BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Lê Thị Thu Huyền

MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ MÔĐUN TRÊN

VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ

CÓ ƯỚC CỦA KHÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Tp Hồ Chí Minh, tháng 10/2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒ CHÍ MINH

Lê Thị Thu Huyền

MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ MODULE TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ

CÓ ƯỚC CỦA KHÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số

Mã số: 60 46 05

Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN HUYÊN

Tp, Hồ Chí Minh, tháng 10/2011

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô khoa Toán trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh về sự tận tình giảng dạy chúng tôi trong suốt khóa học vừa qua Đặc biệt, tôi xin được chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Huyên, người thầy

đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình hoàn thành luận văn này

Cuối cùng tôi xin cảm ơn đến các bạn, những học viên cao học khóa 19, đã cùng tôi đồng hành

và giúp đỡ tôi trong thời gian qua

Hồ Chí Minh, ngày 19 tháng 9 năm 2011

Lê Thị Thu Huyền

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG TRONG LÍ THUYẾT MODULE0 37

3.1 HẠNG CỦA HỆ HỮU HẠN PHẦN TỬ TRÊN MODULE TỰ DO 37

MỞ ĐẦU

Đại số tuyến tính nói chung và lí thuyết ma trận nói riêng được xây dựng trên trường số thực Trường là cấu trúc đại số trọn vẹn nhất nên việc xây dựng ma trận trên đó có nhiều kết

thể ở đây là trên vành giao hoán có đơn vị, có ước của không thì các kết quả đã biết có còn đúng, hay được thay đổi và biến dạng như thế nào? Những kết quả nào vẫn giữ nguyên, tính chất nào không còn bảo toàn và vì sao? Những biến đổi đó có ảnh hưởng và liên hệ như thế nào

đó tìm hiểu những tính chất khác biệt của ma trận, định thức và môđun trên vành giao hoán có đơn vị, có ước của không

Bố cục luận văn được chia thành ba chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Ma trân trân và định thức trên vành giao hoán có đơn vị

Chương 3: Ứng dụng trong lí thuyết môđun

Tuy đã có nhiều cô gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót, mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn Xin chân thành cảm ơn

1.1.1 Vành giao hoán có đơn vị:

 Một vành R gọi là giao hoán nếu phép nhân của nó là giao hoán, tức ∀a,b∈R, ta có

ba

ab=

 Một vành R được gọi là có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị, kí hiệu là 1, tức là

Rb,

a ∈

∀ , ta có a.1=1.a=a

2

1.1.2 Ideal của vành giao hoán R:

Một ideal của vành giao hoán R là một vành con A của R có tính chất hấp thụ đối với phép nhân bên trái và bên phải Tức là:

Aa.r,A

r

a ∈ ∈ với ∀r∈R,∀a∈A

2

1.1.3.Ideal sinh bởi tập X

Cho X là tập con bất kì của vành R

Giao của tất cả các ideal của R chứa X được gọi là ideal sinh bởi tập X

Đó chính là ideal nhỏ nhất chứa X trong R

1

1.2 Ước của 0 và miền nguyên

2

1.2.1 Ước của 0 trong vành giao hoán có đơn vị:

Cho R là vành giao hoán có đơn vị, phần tử a≠0của R được gọi là ước của 0 nếu tồn tại phần

tử b≠ 0 của R sao cho ab=0 Khi đó ta nói R là vành có ước của 0

0a

M2 là vành giao hoán có đơn vị và có ước của 0,

00,00

07

Trong miền nguyên có luật giản ước cho các phần tử khác 0 Thật vậy:

(b c) 0 b c 0 b ca

bcac:0a,Rc

 Vớim∈M,AnnR( )m ={x∈R xm=0}gọi là linh tử hóa của phần tử m trong R

 AnnR( )M ={x∈R xm=0,∀m∈M} gọi là linh tử hóa của M

Nhận xét:

o AnnR( )m ,AnnR( )M là các ideal của R

o AnnR( )M =∩{AnnR( )m ,∀m∈M}

o Với m∈M\{ }0 , H=∪AnnR( )m là tập tất cả ước của 0 của M

o Nếu A ⊂ B thì AnnR( ) B ⊂ AnnR( ) A với A, B là R- module

)

4

bxaxab

)

3

bxaxxba

)

2

ayaxyx

+

=+

1.4.3 Ví dụ :

1) Mỗi nhóm abel là một module trên vành Z

2) Nhóm cộng chỉ gồm một phần tử 0 là một module trên một vành bất kì, được gọi là module 0

3) Mỗi không gian vectơ trên một trường K là một module trên K và ngược lại

4) Module con của Z-module M chính là nhóm con của nhóm abel M (đối với cộng)

5) Nếu A là một ideal của vành R và M là một R-module thì

Nếu với r1,r2, ,rn ∈ và R s1,s2, ,sn∈ S thỏa 0=r1s1+r2s2 + +rnsnthì

0r

Định lí 2: R-module M là tự do khi và chỉ khi M đẳng cấu với tổng trự tiếp của họ nào đó các

bản sao của vành hệ tử R

Cho m, n là hai số nguyên dương

Ma trận A cấp m× trên R là một hệ gồm n m× hệ tử an R ij Rthuộc R với i=1,n, j=1,m và được sắp xếp thành hình chữ nhật gồm m dòng và n cột

m 1 m

n 22

21

n 12

11

a

aa

aa

a

aa

Ma trận A cấp m×ntrên R được gọi là ma trận vuông nếu m=n

Khi đó ma trận A được gọi là ma trận vuông cấp n trên R Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n trên R kí hiệu là M(n,R)

3) Ma trận tam giác: Cho ma trận A cấp n trên R Ma trận A được gọi là ma trận tam giác

trên (dưới) nếu aR ij R=0 với mọi i> j(i< j) 4) Ma trận đường chéo: Ma trận A cấpm×ntrên R được gọi là ma trận đường chéo nếu aR ij R

=0 với mọi i ≠ j

5) Ma trận đơn vị : Ma trận vuông A cấp n trên R được gọi là ma trận đơn vị nếu tất cả

các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1 và các phần tử còn lại đều bằng 0 Ma trận đơn vị cấp n trên R kí hiệu là IR n R

 Tính chất:

Cho A∈M(n,R), B∈M(m×n,R), IR n Rlà ma trận đơn vị cấp n trên R

Ta có A.In =In.A =A, B.In =B 6) Hai ma trận bằng nhau :ChoA=( )aij ,B=( )bij là hai ma trận cấp m×n trên R Hai

ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu các phần tử ở cùng vị trí tương ứng bằng nhau Kí hiệu A=B hay B=A

3) Phép nhân hai ma trận :

Cho hai ma trận A=( )aij cấpm×nvà B=( )bij cấp n× trên R p

Tích của ma trận A và B là ma trận C=( )cij cấpm× với p

nk in k

2 i k 1 i

A+ = +

 ( )At t = A

 ( )t t t

A.C

AC =

 ( )t t

A.k

2.1.5 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

Cho ma trận A=( )aij cấpm× trên R Gọi n di(i=1,m) là dòng thứ i của ma trận A

Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận A :

1) Đổi chỗ hai dòng i, l(i =1,m,i≠l) của ma trận A

aa

aa

i 1 i

ln 2

l 1 l k i

ln 2

l 1

l

in 2

i 1

kaka

i 1 i i i

in 2

i 1

kaakaa

aa

l 2 i 1 l 1 i

ln 2

l 1

l l

i i

ln 2

l 1

l

in 2

i 1

Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận giúp ta chuyển được ma trận tới dạng như mong

muốn Một trong những dạng ma trận mà ta thu được sau một số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp là ma trận bậc thang

b) a ,a , ,a 0

r 2

Cho A là ma trận khác không cấp m× (n m,n≥2) trên miền nguyên R

Qua một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ta luôn đưa được A về dạng ma trận bậc thang dòng

3) Hệ quả 2.1.6:

Mọi ma trận vuông khác không cấp n (n≥ ) 2 trên miền nguyên R đều có thể đưa về dạng

ma trận tam giác trên (dưới) nhờ một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột)

1

2.2 ĐỊNH THỨC

Trước hết, ta nhắc lại khái niệm phép thế

Cho tập hợp S={1,2, ,n}(n>0) Mỗi song ánhσ:S→S được gọi là phép thế bậc n

Tập hợp tất cả các phép thế bậc n được kí hiệu SR n R

 Với n= : S1 R 1 Rcó một phần tử nên ta có ánh xạsign:S1 →Rđồng nhất biến 1S → 1

 Với n=2:∀σ∈Sn ta xét ánh xạ sign:Sn →Rbiến ∏

σ

−σ

→σ

j

)j()i(

Cho A=( )aij là ma trận vuông cấp n trên R

Định thức của ma trận A trên R được cho bởi công thức .an ( )n

1

n 22

21

n 12

11

a

aa

aa

a

aa

A =

2.2.2 Cá c tính chất cơ bản của định thức:

Các tính chất của định thức trên trường mà việc chứng minh chúng không phụ thuộc vào tính riêng biệt của trường (mọi phần tử khác không đều khả nghịch) vẫn hoàn toàn đúng cho định thức trên vành giao hoán có đơn vị

1) Cho ma trận vuông A cấp n trên R và AP

t

P là ma trận chuyển vị của ma trận A Khi đó

t

Adet

A

det =

2) Nếu ma trận vuông A cấp n trên R có ít nhất một dòng không thì thì detA=0

3) Nếu đổi chỗ hai dòng bất kì của một ma trận vuông thì định thức của nó đổi dấu

4) Nếu ma trận vuông A có hai dòng bằng nhau thì detA=0

5) Cho ma trận vuông A=( )aij cấp n trên R Nếu nhân vào dòng thứ i của ma trận A với hệ tử k thuộc R (k≠0) thì định thức của ma trận nhận được bằng định thức của A nhân với k, tức là

Adet.k

i 1

Nếu nhân k vào ma trận vuông A cấp n thì ta có det( )k.A =kn det( )A

Nếu ma trận vuông A có một dòng bằng bội k∈ của một dòng khác thì det A=0 R

6) Nếu cộng vào một dòng nào đó của ma trận vuông A một bội k∈ của một dòng khác thì định Rthức của nó không đổi

Cho ma trận vuông A=( )aij cấp n trên R và giả sử dòng thứ i (i=1,n) của A có tính chất

Rc,b,n,1j,

cc

bb

cbcb

đã nói ở trên theo thứ tự đó lập thành ma trận vuông cấp k, ma trận đó được gọi là ma trận vuông

con cấp k của A và được kí hiệu là M i2 ik j2 jkTa có

k 2 k

2 i j j i

1

n 2

1

k 2

1

j j

j i

j j

j

j j

j

a

aa

aa

a

aa

Định thức của ma trận con M i2 ikđược gọi là định thức con cấp k của ma trận A và kí hiệu là

j i

i ( j

j j i

i i j

ij

ijAaA

det (Công thức khai triển định thức tho cột thứ j)

=

= n

1 j

ij

ijA a A

det (Công thức khai triển định thức theo dòng thứ i )

Hệ quả 2.2.4.1:

ChoA=( )aij là ma trận vuông cấp n (n≥ trên R Nếu tồn tại hai chỉ số 2) i j=1,n sao cho aik ≠0với k= và j aik =0với k≠ thì j detA =aik.Aik

Hệ quả 2.2.4.2: ChoA=( )aij là ma trận tam giác trên (dưới ) vuông cấp n(n≥ trên R Khi đó det 2)

A bằng tích những phần tử nằm trên đường chéo chính của A

Định lí 2.2.4.2: (Định lí Laplace)

Cho A=( )aij là ma trận vuông cấp n(n≥ trên R và trong ma trận A ta chọn ra tùy ý k dòng (hay 2)

k cột) (2≤k≤n) i1 i2,, ,ik(hay j1 j2, ,jk) Khi đó ta có detA=∑DkAk , trong đó DR k R chạy khắp tất cả các định thức cấp k của A trên k dòng (hay k cột ) đã chọn, AR k Rlà phần bù đại số của DR k R

Từ định lí trên ta có hệ quả sau :

Hệ quả 2.2.4.3: Với mỗi ma trận vuôngA=( )aij cấp n trên R, ta có:

ikkhi0

ikkhiA

detA

detA

jkkhiA

detA

detA

=

∑

=

Định lý 2.2.4.3:

Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n trên R

Khi đó det( )AB =detA.detB

4

2.2 5 Ma trận khả nghịch

Cho A là ma trận vuông cấp n trên R Ma trận A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông cấp n trên R sao cho AB=BA=In Khi đó ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của A, kí hiệu là 1

AB − = − −

3) Nếu A là ma trận vuông cấp n khả nghịch thì 1 t

A,

A− cũng là ma trận vuông cấp n khả nghịch và

AA

,A

A− − = − = −

Định lý 2.2.5: Cho A=( )aij là ma trận vuông cấp n trên R Gọi B=( )bij sao cho ( ) ( )ji

j i

2 k 2 i 1 1

k 1

i

nk in k

2 i k 1

i

ik

Adet1

a

Adet1

aAdet1a

ba

baba

c

+ +

−

=

+++

a

Adet1

aAdet1a

c

in n

i in 2

i 2

i 2 i 1 i 1

i 1

i

kn n

k in 2

2 k 2 i 1 1

k 1

i

ik

=

−++

−+

−

=

−++

−+

−

=

+ +

+

+ +

+

Nếu i≠ thì ta thay dòng thứ k trong ma trận A bằng dòng thứ i, ta nhận được ma trận 'k A Trong

ma trận 'A nếu ta bỏ đi dòng k cột j thì ta nhận được ma trận bằng với ma trận thu được từ A bằng cách bỏ đi dòng k cột j, nghĩa làA'kj=Akj.Thay vào biểu thức của( )cik ta được

( )cik =ai1( )−1k+1det(A'1)+ai2( )−1k+2det(A' 2)+ +ain( )−1 k+n det(A'kn)=detA'=0

Từ đó, ta có:

( ) ( ) ,k 1,n

kikhi0

kikhiA

Khi đó tồn tại ma trận B∈M(n,R) sao cho AB=BA=det( )A In

Ta có det( )AB =det( ) ( )A det B =det( ) ( )B.det A =1 Suy ra det A khả nghịch

Nếu det A khả nghịch thì theo 1) ta có:

( ) ( ( ( ) ) ) ( ( ) ) n

1 1

n A det A B det A BA II

.AdetBA

Vậy ma trận A khả nghịch

Chú ý: Nếu detA≠ trong vành giao hoán 0 có đơn vị R thì ta không thể kết luận ma trận A khả nghịch

12

141

252

Ta có det( )A =3≠0 nên theo định nghĩa 1, rk( )A = 3

Dựa trên ý tưởng trong lí thuyết trường, A là ma trận cấp 3 có rk( )A = nên A là ma trận khả nghịch, 3suy ra detA khả nghịch Nhưng điều này vô lí vì 3 không là phần tử khả nghịch trong Z 6

Vậy, định nghĩa 1 không cho ta kết quả tương tự như trên trường về mối quan hệ giữa tính khả nghịch

và hạng của ma trận vuông

Mâu thuẫu này xuất phát từ đâu? Mọi phần tử khác không trên trường đều khả nghịch, còn trên vành phần tử khác không chưa chắc đã khả nghịch Như vậy, nếu ta bỏ qua các ma trận con của A có định thức là 0 hoặc là ước của 0 thì hạng của ma trận và các tính chất đã có của ma trận trên trường có sự biến hóa như thế nào?

Định nghĩa 2.3.2:

Cho t∈1,r với r=min{ }m,n , ideal của R sinh ra bởi tất cả các định thức của ma trận con cấp t× t của

A được kí hiệu It( )A

Dựa vào cách tính định thức của định lí Laplace, ta có It+1( )A là ideal con của It( )A

Khi đó ta có dãy sau:

n,mmint

khi0

Gọi C=(δ1δ2 δn) (δilà cột thứ i của ma trận) suy ra BC=(Bδ1Bδ2 Bδn)

∆ là phần tử sinh của It( )BC xác định bởi định thức của ma trận con cấp t gồm các cột

t 2

1 j , ,j

j của BC

Ta có It( j j j ) It( )C

t 2

j ij

i BC b Row C

Row với i=1,m Ta có

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

(Row C; ;Row C )

detc

CRowb

; ;

CRowb

det

BCRow

; ;

BCRow

det

n ,,2,1

;i ,

,

i

i

n 1

n

1

n 1

n 1

n 1

j j j

n 2

1

α α

 Nếu AnnR(It( )A ) ( )≠ 0 thì với ∀k≥ ,AnnR(Ik( )A ) ( )≠ 0

 Nếu Ann (I ( )A ) ( )= 0 thì phần tử thuộc I ( )A không là ước của 0 trên R

( )AQ I ( )A I ( ( )AQQ ) I ( )AQ

It ⊆ t = t −1 ⊆ t

 Nếu AnnR(It( )A ) ( )= 0 thì với ∀k≤ , AnnR(Ik( )A ) ( )= 0

Như vậy, nếu AnnR(It( )A ) ( )= 0 thì với mọi k≤ ta có: ,

o phần tử của Ik( )A không là ước của 0 trên R và khác 0

o các ma trận con cấp k của A có định thức không là ước của 0 và khác 0

Nếu ta gọi q là giá trị lớn nhất của số nguyên t sao cho AnnR(It( )A ) ( )= 0 thì các ma trận con của A có cấp nhỏ hơn q chắc chắn sẽ không là ước của 0 và khác 0 Vấn đề lo ngại của ta ban đầu, định thức của

ma trận con của A là ước của 0 sẽ làm thay đổi hạng của ma trận A, đã được giải quyết

4

Định nghĩa 2.3.3 (Định nghĩa 2):

Cho A là ma trận cấpm× trên R n

Hạng của ma trận A được định nghĩa là số nguyên dương t lớn nhất thỏa AnnR(It( )A ) ( )= 0

Ta phân biệt với hạng của ma trận theo định nghĩa 1 và kí hiệu hạng của ma trận A là rk( )A

Khi đó: rank( )A =max{t AnnR(It( )A ) ( )= 0}

rank =

3) rank( )A =rank(PAQ) với P∈Gl(m,R),Q∈Gl(n,R)

4) rank( )A = khi chỉ khi 0 AnnR(I1( )A ) ( )≠ 0 , tức là hạng của ma trận A bằng 0 khi chỉ khi mọi phần tử của A đều bằng 0 hoặc là ước của 0

5) Nếu m= thì n rank( )A < nếu chỉ nếu định thức của ma trận A là ước của 0 n

6) Nếu tồn tại định thức con cấp r của A khác 0 và không là ước của 0 thì rank( )A ≥ r

Chứng minh:

1) Do I0( )A = và R AnnR( )R = nên 0 rank( )A ≥ 0

Mà nếu t >min{ }m,n thì I0( )A = suy ra 0 AnnR( )0 = nên R rank( )A ≤min{ }m,n

2)do ( ) ( )t

AIA

Iα = α nên ( ) ( )t

ArkA

3) do I (PAQ)=I ( )A nên rank( )A =rank(PAQ)

4), 5), 6): theo định nghĩa 2) của hạng ma trận

22

A trên vành Z 6

Ta có I1( )A = 2 nên AnnR(I1( )A ) ( )≠ 0 Do đó rank( )A = 0

Trong lý thuyết ma trận trên trường, ma trận có hạng là 0 khi ma trận đó là ma trận (0) Tuy nhiên trong vành ma trận khác (0) vẫn có thể có hạng bằng 0 như trong ví dụ 1 trên

Ta có thể dễ dàng chỉ ra rằng A=( )aij ∈Mm×n( )R có rank( )A = nếu và chỉ nếu tồn tại 0

0x

02

B trên vành Z 6

Ta có I1( )B = 2,3 = 1 nên AnnR(I1( )B ) ( )= 0 Suy ra rank( )B ≥ 1

Lại có det( )B = nên 0 rank( )B < Vậy 2 rank( )B = 1

21

C trên vành Z 6

Ta có det( )C = khả nghịch trên 5 Z 6 nên ma trận C là ma trận khả nghịch

Vậy rank( )C = 2

Nhận xét:

Nếu F là trường thì AnnF(It( )A ) ( )= 0 ⇔It( ) ( )A ≠ 0 nên hạng A là số nguyên t lớn nhất thỏa A

có ma trận con cấpt× t có định thức khác 0 Nói cách khác nếu R là trường thì định nghĩa 2) về

hạng trùng với định nghĩa quen thuộc về hạng mà ta đã biết trong đại số tuyến tính

 Một trong những phương pháp để tính hạng của ma trận trên trường phổ biến được dùng là sử dụng phép biến đổi sơ cấp Ba phép biến đổi sơ cấp:

1) Đổi chỗ hai dòng của ma trận

2) Nhân một dòng của A với một hệ tử khác 0

3) Cộng vào một dòng tích của hệ tử k với một dòng khác