Lý thuyết: Định nghĩa hàm số : Cho tập hợp khác rỗng D R Một hàm số f xác định trên D là một quy tắc nhờ đó với mỗi số x thuộc D luôn xác định được một số thực y duy nhất.. Số thực y đ[r]
Trang 1Mục tiêu :
Sau khi học xong chuyên đề này học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản
về đa thức với hệ số là những số thực có kỹ năng thành thạo khi thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia đa thức Từ đó vận dụng giải phương trình đa thức bậc hai, bậc ba trên cơ sở nắm được phương pháp cơ bản phân tích đa thức thành nhân tử Biết vận dụng định lý viét vào việc giải các bài toán về tính chất, mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc 2, phương trình bậc 3
Nội dung : Học sinh được học trong 11 tiết gồm các nội dung sau :
Khái niệm đa thức
Các phép toán đối với đa thức ( Cộng, trừ, nhân, chia )
Định lý viét đối với phương trình bậc 2
Định lý viét đối với phương trình bậc 3
Phân tích đa thức thành nhân tử
Trong mỗi bài giảng học sinh được tiếp cận các lý thuyết liên quan và được làm các ví dụ vận dụng Sau mỗi bài giảng, với hệ thống bài tập vận dụng theo mức độ từ
dễ đến khó học sinh sẽ có điều kiện để phát triển tư duy nghiên cứu khoa học
Nội dung của chuyên đề này được soạn ở mức độ bám sát và một phần nhỏ ở mức
độ nâng cao
1 Đa thức và hàm đa thức:
Định nghĩa :
a) Đa thức f(x) là một biểu thức có dạng :
f(x)= anxn + an-1xn-1 + + anx+ a0 Trong đó n là một số tự nhiên a0 an là những hằng số thực, ẩn x nhận những giá trị thực tuỳ ý
b) Nếu f(x) là một đa thức thì hàm số y=f(x) gọi là một hàm đa thức : với mỗi số thực
c f(c) gọi là giá trị của hàm đa thức f(x) tại điểm c
Ví dụ 1:
a) Với mỗi số thực a đã cho ta có một đa thức hằng f(x) =a Khi đó, giá trị của đa thức tại mọi điểm c đều bằng a
Đặc biệt a=0, ta có đa thức 0, gọi là đa thức không
b) g(x) = là một đa thức vì x2+4 với mọi x
4
16
2
4
x
x
0
4
) 4 )(
4
2
2 2
x x
x x
Giá trị của g(x) tại x=1 là g(1)=12-4=-3
Trang 22 Tính duy nhất của biểu diễn đa thức:
Định lý 1:
a) Nếu đa thức f(x)= anxn + an-1xn-1 + + anx+ a0 bằng không, thì tất cả các hệ số
bằng không: a n =a n-1 = =a 1 =a 0 =0.
b) Mỗi đa thức f(x) khác không có một cách viết duy nhất dưới dạng:
f(x)= anxn + an-1xn-1 + + anx+ a0 0
Ví dụ 2: Với mọi giá trị x: x 3 -4x 2 +1=a 3 +bx 2 +cx+d hãy tìm a,b,c,d.
Giải : Từ tính duy nhất của đa thức khác không, ta suy ra a=1, b=-4, c=0, d=1.
Định nghĩa 2: Cho đa thức f(x) khác không
f(x)= anxn + an-1xn-1 + + anx+ a0 0
Ta gọi:
Số tự nhiên n là bậc của f(x), ký hiệu deg f(x) =n;
Các số thực a0, ,an là các hệ số của f(x);
Anxn là hạng tử cao nhất, a0 là hạng tử bậc 0 hay hạng tử hằng; hạng tử akxk, ak 0
là hạng tử bậc k
Ta quy ước rằng đa thức 0 không có bậc
Từ định nghĩa 2 và định lý 1 , ta suy ra hệ quả sau:
Hệ quả :
Một đa thức bằng 0 khi và chỉ khi mọi hệ số của nó bằng 0.
Hai đa thức khác 0 là bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng bậc và các hệ số của mỗi hạng tử cùng bậc là bằng nhau
Bài tập
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm đa thức ? Hãy chỉ ra bậc và hạng tử cao nhất của đa thức đó
1
7
1 5 )
(
2
x
f
2
1
1 )
(
x x
x
g
3 h(x) x4 6x2 9
1
1 )
4
x
x
x
7 Tìm a,b,c biết rằng với mọi số thực x, ta có : a(x+2)2+b(x+3)2=cx
8 Tìm a,b,c biết rằng với mọi số thực x ta có :
1 1
3 2
2 2
2
x
c bx a x
x x
9 Tìm a,b,c sao cho :
2 1
) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( 2 2 x
c x
b x
a x
x x
Trang 31 Tổng và hiệu của hai đa thức :
Ví dụ 1: Tìm tổng và hiệu của hai đa thức sau :
1 2 2
) (x x2 x
f
2 4
3 ) (x x3 x2 x
g Lời giải : Ta viết :
2 4
3
1 2 2
) (
2 3
2
x x x
x x
a
f(x)+g(x) = 3x3 6x2 ( 2 1 )x 1 Bậc (f(x)+g(x)) =3=bậc g(x)
2 4
3
1 2 2
) (
2 3
2
x x x
x x
b
f(x)-g(x) = 3x3 2x2 ( 2 1 )x 3 deg ( f(x)-g(x))=3=deg g(x)
Từ các quy tắc của phép toán đại số ta rút ra kết luận :
Tổng , hiệu của hai đa thức là một đa thức
Phép cộng đa thức có tính chất giao hoán và kết hợp, nghĩa là :
f(x)+g(x)= g(x)+ f(x) f(x)+g(x)+h(x)= f(x)+( g(x)+h(x)) Nếu deg f(x)>deg g(x) thì deg (f(x)+g(x) )=deg f(x)
Nếu deg f(x)=deg g(x) thì deg (f(x)+g(x) ) deg f(x)
Các tính chất trên cho phép ta chọn một cách tính thuận lợi nhất cho tổng, hiệu của nhiều đa thức
2 Tích của hai đa thức
Ví dụ 2 : Cho p(x) = 2x 2 +x+1 và q(x) =x 2 +4 Tìm f(x)=p(x).q(x)
Như vậy p(x).q(x)=(2x2+x+1)4+(2x2+x+1)x2=2x4+x3+9x2+4 x+4
Deg p(x).q(x)=4=deg p(x)+degq(x)
Từ các quy tắc của phép toán đại số ta suy ra rằng :
Tích của hai đa thức khác không là một đa thức khác đa thức không và bậc của đa thức tích bằng tổng các bậc của mỗi đa thức
Phép nhân đa thức có tính chất giao hoán và kết hợp, nghĩa là :
f(x).g(x)= g(x) f(x) f(x).g(x).h(x)= f(x).( g(x).h(x))
3 Phép thế đa thức:
Ví dụ 3: Cho hai đa thức f(x)=2x 2 +x+1 và g(x) =x+2 Ta thay trong ẩn x bởi g(x) ta
được :
f(g(x))=f(x+2)=2(x+2) 2 +(x+2)+1=2x 2 +9x+11.
Trang 4Như vậy, phép thay thế ẩn của một đa thức bởi một đa thức khác lại cho kết quả
là một đa thức Tính chất này được sử dụng để giải các phương trình đa thức bằng cách đặt ẩn phụ
Bài tập
Xác định bậc và hạng tử bậc cao nhất của các đa thức sau :
1 f(x) ( 2 3x) 2 2 g(x) (x 3 ) 2 (x 5 ) 2
3 h(x) (x 1 ) 2 8x2 4 p(x) (x 1 )(x2 1 ) x( 1 x2 ) 2x2
5 Tìm một đa thức f(x) bậc 2 sao cho f(x+1)-f(x)=x
Viết đa thức f(g(x) trong các trường hợp sau:
6 f(x) x2 g(x)=2x3-x+1
7 f(x) =x5+x2+2; g(x)=x2
Đặt t=x+ , tìm f(t) trong các trường hợp sau:
x
1
8 f(x)= x4+5x3+6x2+5x+1
9 f(x)= x4-3x3+4x2-3x+1
1 Định lý về phép chia đa thức với dư
Định lý 1: Cho hai đa thức f(x) và g(x) khác không Tồn tại duy nhất đa thức q(x) và
r(x) sao cho :
f(x)=g(x)q(x)+r(x) Trong đó r(x)=0 hoặc r(x) 0và deg r(x) < deg g(x)
Đa thức q(x) gọi là thương và đa thức r(x) gọi là dư của phép chia f(x) cho g(x)
Ví dụ 1: Tìm thương và dư của phép chia đa thức f(x) =2x 4 -3x 3 +x+1 cho đa thức
g(x) =-x 2 +2x+2.
Lời giải : Ta thực hiện phép chia f(x) cho g(x) như trong sơ đồ sau :
44 33 2 -x2+2x+2
4 4
2
1 3
2
x x
x
x x
x
Trang 5=========================================================================
x x
x
x x x
2 2
1 4
2 3
2 3
12 12 6
1 3 6 3
2
x x
x x
r(x) 15x 13
Quá trình chia dừng lại khi ta thu được dư r(x) có deg r(x) < deg g(x) hạơc r(x) =0 Vậy ta thu được thương q(x) =-2x2 – x -6 và dư r(x)=15x+3
2 Chia cho đa thức x-c, sơ đồ hoóc-ne.
Ví dụ 2: Bằng cách chia như đã trình bày ở trên, ta thu được.
67 ) 33 16 8
6 3 )(
2 ( 1 4
3x5 x3 x x x4 x3 x2 x Các hệ số của đa thức thương q(x) =3x4 6x3 8x2 16x 33 được tính như sau :
3=3 3 là hệ số của x5 trong f(x)
6=2.3+0 0 là hệ số của x4 trong f(x)
8=2.6-4 -4 là hệ số của x3 trong f(x)
16=2.8+0 0 là hệ số của x2 trong f(x)
33=2.16+1 1 là hệ số của x trong f(x)
Một cách tổng quát khi chia đa thức :
f(x)= anxn + an-1xn-1 + + anx+ a0
cho x-c, ta thu được thương :
q(x)= bn-1xn-1 + bn-2xn-2 + + b1x+ b0
Trong đó : bn-1=a1
bn-2=cbn-1+an-1
b1=cb2+a2
b0=cb1+a1 f(c)=cb0+a0
và dư và f(c) Ta viết các kết quả trên trong sơ đồ sau, gọi là sơ đồ hoóc-ne
) (
0 2
1
0 1 1
c f b b
b c
a a a
a
n n
n n
Bằng sơ đồ hoóc-ne ta thử lại phép chia trong ví dụ 2:
67 33 16 8
6 3 2
1 1 0 4 0
Ta thu được q(x)= 3x4 6x3 8x2 16x 33, r(x)=f(2)=67
3 Nghiệm của đa thức.
Nhận xét : Khi chia đa thức f(x) cho x-c ta được dư r(x) =f(c) là một số thực
Như vậy ta có : f(c)=0 f(x) chia hết cho x-c
Điều này có nghĩa : c là một nghiệm của đa thức f(x) khi và chỉ khi f(x) chia hết cho x-c Sơ đồ Hoóc-ne cho phép ta kiểm tra được c có phải là một nghiệm của f(x) hay
Trang 6========================================================================= không Vấn đề đặt ra là chọn những số c như thế nào để thử ? Ta có một số kết quả quan trọng sau đây :
Cho đa thức f(x)= anxn + an-1xn-1 + + anx+ a0, khi đó :
Nếu a0+a1+ +an=0, thì f(1) =0
Nếu tổng các hệ số bậc lể bằng tổng các hệ số bậc chẵn thì f(-1) =0
Nếu a0, an là những số nguyên và c= là một phân số tối giản và là một nghiệm
q p
của đa thức f(x) , thì q là một ước của an, p là một ước của a0 Đặc biệt nếu an bằng 1 hoặc -1 thì mỗi nghiệm hữu tỷ là một nghiệm nguyên
Ví dụ 3: Giải phương trình f(x)= 3x 4 + 4x 3 + 2x 2 - x-2=0
Giải : Vì tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ :3+2-2=4-1=3
Do đó -1 là một nghiệm của phương trình Sử dụng sơ đồ Hoóc –ne ta được
0 2 1
1 3 1
2 1
2 4 3
vậy f(x) =(x+1)g(x), g(x) = 3x3+x2+x-2 Nghiệm hữu tỷ nếu cí của g(x) phải có dạng trong đó p và q là hai số nguyên nguyên tố cùng nhau , q=1,3; p= Lại sử
q
p
2
;
1
dụng sơ đồ Hoóc-ne, ta được
0 3 3 3 3 / 2
2 1 1
Vậy g(x) =(x- ) ( ), trong đó q(x)=3x2+3x+3 Đa thức q9x) có biệt thức âm nên
3
2
x
không có nghiệm thực Vậy phương trình có hai nghiệm -1 và
3 2
Bài tập
1 Cho đa thức f(x) x3 x2 43x 7Tìm đa thức g(x) sao cho : f(x) = ( x+7) g(x) và giải phương trình f(x) =0
2 Cho đa thức p(x) x4 2x3 2x2 2x 1
Tìm đa thức q(x) sao cho : p(x)= (x-1)(x+1).q(x) và giải phương trình p(x) =0
3 Cho đa thức f(x) ax4 ax2 bxc Tìm a,b,c biết rằng f(x) chia hết choa x-2 và khi chia f(x) cho x2-1 thì được dư là x
Tìm nghiệm hữu tỷ, sau đó giải phương trình:
4 3x2 – 7x -5=0 5 5x3+ 8x2+ 6x -4 =0 6 2x5-8x4+ 9x3- 3x2 + 4=0
7 Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, ta có đa thức :
(x+1)2n+1+ xn+2 chia hết cho đa thức x2+x+1
Tiết 4 Định lý vi-ét đối với phương trình bậc hai
Đa thức bậc hai hay thường gọi là tam thức bậc hai:
f(x)=ax2+ bx+ c với a,b,c thực và a 0
có thể viết dưới dạng chính tắc là :
ac b
a a
b x a x
4
) 2 ( )
2
2
Trang 7Do đó, phương trình f(x) =0
Có hai nghiệm phân biệt , nếu
a
b
2
0
Có một nghiệm , nếu
a
b
2
0
Vô nghiệm, nếu 0
1 Tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai.
Định lý 1: ( Định lý Vi- ét thuận ) Nếu phương trình bậc hai f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt hoặc trùng nhau thì tổng S và tích P của hai nghiệm này thoả mãn hệ thức;
a
c P a
b S
Định lý 2: ( Định lý Vi-ét đảo ) Hai số thực có tổng bằng S và tích bằng P thì chúng
là hai nghiệm của phương trình bậc 2.
X 2 +Sx+P=0
Các định lý Vi-ét có nhiều ứng dụng trong việc giải phương trình và xét các tính chất nghiệm của phương trình bậc hai
2 Giải phương trình bậc hai:
Ví dụ 1; Giải phương trình 3x 2 -5x+2=0
Giải : Vì tổng các hệ số bằng 0 nên phương trình có một nghiệm bằng 1 Theo định
lý Vi-ét, nghiệm thứ hai là
3 2
Ví dụ 2: Tìm hai số thực biết tổng của chúng bằng 6 và tích của chúng bằng 1.
Giải : Theo định lý Vi-ét đảo, hai số đó là nghiệm của phương trình bậc hai x2 -6x+1=0 Phương trình này có biệt thức 36 4 32, do đó phương trình có hai nghiệm
2 2 3 2
32 6
; 2 2 3 2
32 6
2
x
Đó là hai số thực cần tìm
3 Tính biểu thức đối xứng của hai nghiệm:
Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai: f(x)=ax2+bx+c=0
Đặt : S0= 0 2
2
0
1 x
x
S1=
a
b x
x 1
2
1 1
Sn=x1n x2n; n=0,1,2
Vấn đề đặt ra là cần biểu thị Sn qua a, b, c
Ví dụ 3: Cho x 1 ,x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 -ax+1=0 Tính S 3
Giải : Ta có :
Trang 81 1
2
1 ax
x
1 2
2
2 ax
x
Rõ ràng các nghiệm là khác không Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với
x1, phương trình thứ hai với x2, ta được
1
2 1
3
1 ax x
x
2
2 2
3
2 ax x
x
2
2 1
3 2
3 1
3 x x a(x x ) (x x ) aS S
Ta có : S1=a
2 2
2 )
1 2
1
2 2
2 1
2 x x a x x aS a
S
Do đó: S3=a(a2-2)-a=a3-3a
Ví dụ 4: Tìm một đa thức bậc ba có hệ số nguyên nhận a=3 3 là nghiệm.
2
5 5
2
Giải: Đặt x1=3 ; x 2 = , ta có;
5
2
3
2 5
x1+x2=a
x1.x2=1 Vậy x1,x2 là hai nghiệm của phương trình x2-ax+1=0 Theo ví dụ 3 ta có :
0 29 30 10
3 2
5 5
2 3 3
3 3
3 2
3 1 3
a a
a a a
a x x S
Phương trình bậc ba 10x3-30x-29=0 nhận a là nghiệm Đó là phương trình cần tìm
4 Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.
Sử dụng định lý Vi-ét ta có thể xét dấu các nghiệm mà không cần giải phương trình Ta dựa vào kết quả sau:
Định lý 3: Phương trình bậc hai f(x)=ax 2 +bx+x=0 có:
Hai nghiệm dương phân biệt
0 0 0
a
c P a
b S
Hai nghiệm âm phân biệt
0 0 0
a
c P a
b S
Hai nghiệm trái dấu 0
a
c P
Ví dụ 5: Xét phương trình x 2 -2(a-1)x+a-3=0
Trang 9Chứng minh rằng với mọi a phương trình luôn có nghiệm.
Tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào a.
Tìm a để phương trình có hai nghiệm trái dấu nhưng có giá trị tuyệt đối bằng nhau Giải:
4
7 ) 2
3 ( 4 3 )
3 ( ) 1 (
Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b.Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình, theo định lý Vi-ét ta có :
x1+x2=2(a-1)
x1.x2=a-3 Suy ra:
x1+x2-2x1.x2=4
Là một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào a
c.Điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm trái dấu bằng nhau về giá trị tuyệt đối là:
x1.x2=a-3<0
x1+x2=2(a-1)=0
Từ đó a=1 Vậy a=1 là giá trị cần tìm
Bài tập
Bằng cách đặt X=x2 và sử dụng định lý Vi-ét, hãy giải các phương trình sau :
1 x4 x7 2 6 0
2 x4 x2 56 0
3 x4 x17 2 72 0
Giải các hệ phương trình sau :
10
7
xy
y
x
10
7
xy
y x
3
6
xy
y x
16
6
xy
y x
8 Cho hai số thực p và q, tìm điều kiện cần và đủ để phương trình;
x2+ px+ q=0
Có hai nghiệm có hiệu bằng 1
9 a) Cho u,v là hai nghiệm của phương trình x2-mx+1=0, với m> 2
Hãy tính S7= u7+v7 theo m
b) Tìm một đa thức bậc 5 nhận m= 5 5 làm nghiệm
2
3 3
2
10 Chứng minh rằng nếu a1a2 2(b 1+b2 ) thì ít nhất một trong hai phương trình sau
có nghiệm :
x2+a1x+b1=0
x2+a2x+b2=0
11 Cho u,v là hai nghiệm của phương trình x2-6x+ 1 =0
Trang 10Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số Sn= un +vn là một số nguyên không chia hết cho 5
12 Cho u, v là hai nghiệm của phương trình : x2+2mx+4=0
a Hãy tính các biểu thức sau theo m:
4 4
;B u v v
u
b Xác định m sao cho u4+v4 32
c Xác định m sao cho : 3
2 2
u
v v
u
13 Tìm m để phương trình x2-mx+m2-3=0 có nghiệm x1, x2 là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 2
Tiết 5 Định lý vi-ét đối với phương trình bậc ba
Ngày dạy:
1 Định lý Vi-ét.
Định lý thuận : Nếu x 1 , x 2 , x 3 là ba nghiệm của phương trình bậc ba
ax 3 + bx 2 +cx+d=0 với a, b, c thực và a 0
thì ta có :
a
d x
x x
a
b x x x x x x
a
b x
x x
3 2 1
1 3 3 2 2 1
3 2 1
.
.
.
Định lý đảo : Nếu ba số x 1 , x 2 , x 3 thoả mãn.
3 3 2 1
2 1 3 3 2 2 1
1 3 2 1
.
.
.
S x x x
S x x x x x x
S x x x
Thì ba số này là ba nghiệm của phương trình bậc ba :
x 3 + S 1 x 2 + S 2 x+ S 3 =0
Trang 11Định lý Vi-ét đối với phương trình bậc ba có nhiều ứng dụng Sau đây ta xét một số ứng dụng cơ bản
2 Giải hệ phương trình đối xứng.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau :
1
1
3
z y x
zx yz y x
z y x
Lời giải: Theo định lý Vi-ét đảo x,y,z là x,y,z là ba nghiệm của phương trình bậc ba:
t3- 3t2 + t + 1 =0 Vì tổng các hệ số bằng 0 nếu phương trình có một nghiệm bằng 1 Vậy hệ phương trình đã cho có 6 nghiệm, đó là các hoán vị của ba nghiệm của phương trình bậc ba ở trên Cụ thể là:
) 2 1 , 2 1 , 1 ( ( 1 , 1 2 , 1 2 ) ( 1 2 , 1 , 1 2 )
; ) 1 , 2 1 , 2 1 ( ( 1 2 , 1 , 1 2 ); ( 1 2 , 1 2 , 1 )
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
1
1
3
z y x
zx yz y x
z y x
Giải: Ta có:
9= x 2 +y 2 +z 2 =(x+y+z) 2 -2(xy+yz+zx)=1-2(xy+yz+zx) Suy ra xy+yz+zx=-4
Mặt khác, ta có;
1= x 3 +y 3 + z 3 =(x+y+z)[( x 2 +y 2 + z 2 )-(xy+yz+zx)]+3xyz
Suy ra xyz=-4
Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với;
4
4
1
z y x
zx yz y x
z y x
Theo định lý Vi-ét đảo x,y,x là ba nghiệm của phương trình
t3-t2-4t+4 =0 (t-1)(t2-4)=0
Phương trình này có ba nghiệm 1,2,-2; do đó ( x,y,z) gồm sau giá trị đó là các hoán vị của 1,2,-2( giải như ví dụ 1 )
3 Chứng minh bất đẳng thức;
Ví dụ 3: Cho a,b là những số dương sao cho phương trình x 3 -x 2 +3ax-b=0 (1)
Có ba nghiệm phân biệt Chứng minh rằng 3 27 28
3
b
b a