Bài tập Hàm số luỹ thừa - Logarit

Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ: a.. Đơn giản các biểu thức sau:.[r]

CHƯƠNG II HÀM SỐ LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

I LUỸ THỪA

1 Định nghĩa luỹ thừa

*

N

n



 a  R aa n a a .a (n thừa số a)

0



) (n N*





a a

a     1 )

, (m Z n N*

n

m







m













) ,

(

limr n r nQ nN*



a

a  lim

2 Tính chất của luỹ thừa

 Với mọi a > 0, b > 0 ta có:





































b

a b

a b

a ab a

a a

a

a a

a

















; )

(

; )

(

;

;

 a > 1 : a  a    ; 0 < a < 1 : a  a    

 Với 0 < a < b ta có:

;

0

m m

a b  m a m b m  m 0

Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.

+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.

3 Định nghĩa và tính chất của căn thức

 Căn bậc n của a là số b sao cho b n a

 Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có:

n ab n a b n ( 0)

n n n

b

b  b  n a p  n a p(a0) m n a mn a

; Đặc biệt

( 0)

n p m q

 Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n an b

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n an b

Chú ý:

+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n Kí hiệu n a

+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.

4 Công thức lãi kép

Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì.

Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là: C A(1r)N

a)  3 7 3 2 2   7 b)

        

   

   

2

3 15 8

9 5 6



 

4 8

3 5 2 32

D





     

18 2 50

25 4 27



   

 

6

4 2 3

125 16 2

25 5



  

 

 

2

2 2 5 5 0,01 10

10 :10 0,25 10 0,01

G







4 3

5 4

3

4 64 2

32

I

2

81 3 9 12

3 18 27 6

K 

Bài 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:

a) 4 x2 3x ,x0 b) 5 b a3 ,a b, 0 c)

3 2 3

4 3 8a

5 2 3

b b

Bài 3. Đơn giản các biểu thức sau:

1,5 1,5

0,5 0,5

0,5 0,5 0,5

0,5 0,5 2

a b

b

1

a



2

xy x y xy x y

2

2

x y

x y





e)  1 2  2 1 2 4 f)

3 3 3 3 3 3

a b a a b b  1 1  1 1  1 1

a b a b a b

1

2 1

2

a b c bc

a b c











1

a





Bài 4. Đơn giản các biểu thức sau:





4 :

ab

a b





4

2 4

2

a x ax

6

2

a x



e) f)

3

x x x

3

3 2 3

2

:

a

2



Bài 5. So sánh các cặp số sau:

0,01  và 10 

và

5 và 5

d) 5300 và 8200 e)   0,3 3 f)

4 và 0,125 

2  và 2 

5 và 4



0,02 và50

k)  3 1 14 và 3 1  22 l) m)

và

và

Bài 6. So sánh hai số m, n nếu:

   



   

   



     5 1  m  5 1 n  2 1  m 2 1 n

Bài 7. Có thể kết luận gì về số a nếu:

a) a123 a113 b)   3   1 c)

2a1   2a1 

0,2 2 1

a a



 



 

  d) 1a13  1 a12 e)  3  2 f)

4

2a  2a



   



   

   

a a a0,25a 3

Bài 8. Giải các phương trình sau:

1

x

  

 

 

8

32

x

3 3

9

x

 

  

 

x x

    

 

   

 

3

1 2

x  x

 

 

x x



  

x 

x x

  

  k) 5 2x x 0,001 l)     1 m)

12 3

6

7 4

28

x x

Bài 9. Giải các bất phương trình sau:

0,04 5

x

 



 

 

100 0,3

9

x 

d) 7x2 49 343 e) f)

2

9

x

 



 

 

1 3

9 3

x 

3 3

27

x

27 3

3

2 1 64

x

 

 

Bài 10.Giải các phương trình sau:

a) 2x2x2 20 b) 3x3x112 c) 5x5x130 d) 4x14x4x184 e) 42x 24.4x 128 0 f) 4x122x148 g) 3.9x2.9x 5 0 h) 3x2 5x 6 1 i) 4x2x124 0

II LOGARIT

1 Định nghĩa

 Với a > 0, a  1, b > 0 ta có: log a b  a  b

Chú ý: loga b có nghĩa khi 0, 1

0

b

 



 Logarit thập phân: lgblogblog10b

 Logarit tự nhiên (logarit Nepe): lnbloge b (với lim 1 1 2,718281)

n

e

n

    

2 Tính chất

 log 1 0a  ; loga a1; loga a b b; loga b ( 0)

a b b

 Cho a > 0, a  1, b, c > 0 Khi đó:

+ Nếu a > 1 thì log a bloga c b c + Nếu 0 < a < 1 thì log a bloga c b c

3 Các qui tắc tính logarit

Với a > 0, a  1, b, c > 0, ta có:

 log ( ) loga bc  a bloga c  loga b loga b loga c 

c

 

 

  loga b  loga b

4 Đổi cơ số

Với a, b, c > 0 và a, b  1, ta có:

 log log hay

log

a b

a

c c

b

 loga b.logb cloga c

log

a

b

b

a

a  c c  



Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:

4

log 4.log 2 log5 1 log 927

25

3

loga a

27 4

1/3 7 1

log log

log

a

a log 6.log 9.log 23 8 6

2 log 2 4 log 5

k) 81log 5 3 27log 36 9 34 log 7 9 l) 25log 6 5 49log 8 7 m) 53 2 log 4 5

log 3 log 2

9 4 31 log 4 9 42 log 3 2 5log 125 27 3

6 log 3.log 36 q) lg(tan1 ) lg(tan 2 ) lg(tan 89 )0  0   0

r) log log (log 16) log8 4 2  2log (log 64)3 4 

HD: Xét A = log 1( 2) log 1 log 1( 2) log 1 log 1( 2)=

a

a



=

2

log ( 2) log ( 1)

1

a a a a a

Bài 3. So sánh các cặp số sau:

3

3

log 2 và log 0,34 3 5

log và log

80 và 15 2 log 15013 vàlog 29017

6 6

1 log

2 và 3

g) log 107 vàlog 1311 h) log 32 vàlog 43 i) log 109 vàlog 1110

log 4 log

80  15 2



e) Chứng minh: log 150 2 log 29013   17

7

log 10.log 11 log 13 log 10 log 13

log 11



7



h, i) Sử dụng bài 2.

Bài 4. Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:

a) Cho log 14 a2  Tính log 3249 theo a.

b) Cho log 3 a15  Tính log 1525 theo a.

c) Cho lg3 0,477 Tính lg 9000 lg 0,000027; ;

81

1 log 100 d) Cho log 2 a7  Tính 1 theo a.

2

log 28

Bài 5. Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:

a) Cho log 7 a25  ; log 5 b2  Tính 3 5 theo a, b

49 log 8 b) Cho log 3 a30  ; log 5 b30  Tính log 135030 theo a, b

c) Cho log 7 a14  ; log 5 b14  Tính log 2835 theo a, b.

d) Cho log 3 a2  ; log 5 b3  ; log 2 c7  Tính log14063 theo a, b, c.

Bài 6. Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghĩa):

1 log

ax

a

bx

x







log

1 log log

a

a ab

c

b

c  d) log 1(log log ), với .

a b

7

a b  ab

e) log ( 2 ) 2 log 2 1(log log ), với

2

a x y  a  a x a y x24y2 12xy

f) logb c alogc b a2 logc b a.logc b a, với a2b2 c2

g) .

loga loga loga loga loga k 2 loga

k k



h) log log log log log log log .log .log .

log

abc

N

1

1 lg

10 z

x 

y  và z 

log N log N  log N log N

l) log log log , với các số a, b, c lập thành một cấp số nhân







III HÀM SỐ LUỸ THỪA

HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

1 Khái niệm

a) Hàm số luỹ thừa yx  ( là hằng số)

Số mũ  Hàm số yx  Tập xác định D

 = n (n nguyên âm hoặc n = 0) yx n D = R \ {0}

 là số thực không nguyên yx  D = (0; +)

Chú ý: Hàm số không đồng nhất với hàm số

1

n

b) Hàm số mũ y a x (a > 0, a  1)

 Tập xác định: D = R

 Tập giá trị: T = (0; +)

 Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến

 Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

 Đồ thị:

a>1

y=ax

y

x

1

0<a<1

x

1

c) Hàm số logarit yloga x (a > 0, a  1)

 Tập xác định: D = (0; +)

 Tập giá trị: T = R

 Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến

 Nhận trục tung làm tiệm cận đứng

 Đồ thị:

a>1

y=logax

1

y

x O

0<a<1

y=logax

y

O

2 Giới hạn đặc biệt

1 0

1 lim (1 ) lim 1

x x

x

ln(1 )

x

x x



 

0

1

x

x

e x



 

3 Đạo hàm

  x  x 1 (x 0);



n n

với x nếu n chẵn x

với x nếu n lẻ

n x 1

0





1

n

n n

u u

n u 



  a x  a xlna;

  a u  a uln a u

;

 e x  e x  e u  e u u. 

log

ln

a x

x a

ln

a

u u

u a



  (x > 0);

  1

ln x

x

u



 

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

1

x

x

x x



  

1 1 lim 1

x x







2 1 1 lim

2

x

x

x x





  

  

1 3

3 4 lim

3 2

x

x

x x





  

  

1 lim

2 1

x

x

x x



  

  

2 1 lim

1

x

x

x x



  

  

x e

x

x e







2 0

1 lim

3

x x

e x





1

lim

1

x x

x







0

lim

sin

x x

x

x





0 lim

x

x



lim x 1

x x e

Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1

x y x







2 5 2

2 1

y

x

 



 d) y3sin(2x1) e) ycot 13 x2 f) 3

3

1 2

1 2

x y

x







sin

4

x

2

1 1

y

 



 

Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y(x22x2)e x b) y(x22 )x ex c) y e 2x.sinx

1 3 x x

2

x x

x x

y







2

3 1

x

y



 

x

ycos x ecot

Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) yln(2x2 x 3) b) ylog (cos )2 x c) y e x.ln(cos )x

d) y(2x1) ln(3x2x) e) y 1 x3 x f)

2

log ( cos )

  ylog (cos )3 x

x

ln(2 1)

2 1







x y

x

ln(2 1) 1





 ylnx 1x2

Bài 5. Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra:

x

2

2 2

 ; (1 )

    y(x1) ;e x y  y e x

c) y e 4x2ex; y13y 12y0 d) y a e xb e 2x; y  3y 2y0 g) y e x.sin ;x y2y2y0 h)  4

.cos ; 4 0

x

y e  x y  y i) y e sinx; ycosx y sinx y    k) y e 2x.sin 5 ;x y   4y 29y0

2

y x e y    y y e y e 4x 2ex; y13y 12y0

x

2

2

1



Bài 6. Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra:

1

y

x



1

1 ln

  c) ysin(ln ) cos(ln );x  x y xy  x y2  0 d) y x x y x y

1 ln

(1 ln )



 e)

2

1

2 2

x

y  x x   x x  y xy  y

Bài 7. Giải phương trình, bất phương trình sau với hàm số được chỉ ra:

a) f x'( ) 2 ( ); f x f x( )e x x( 23x1)

b) f x'( ) 1 f x( ) 0; f x( ) x3lnx

x

c) f x'( ) 0; f x( )e2x12.e1 2 x7x5

d) '( )f x g x'( ); ( )f x  x ln(x5); ( ) ln(g x  x1)

e) '( ) '( ); ( ) 1.52 1; ( ) 5 4 ln 5

2

f x g x f x   g x   x