Chuyên Đề Hàm Số Lũy Thừa, Hàm Số Mũ, Hàm Số Lôgarit - Toán học

Câu 8: Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 6,8% năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn, hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu?. A..[r]

CHUYÊN ĐỀ II:

Ch ủ đề 2.1:Lũy thừa, mũ, logarit

A Ki ến thức cơ bản

I Lũy thừa

1 Định nghĩa lũy thừa

),

α α β

α β α β

α β

α β

α β

α

b

a b

a b

a ab a

a a

a

a a

(

;)

Chú ý: + Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0

+ Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương

3 Định nghĩa và tính chất của căn bậc n

• Căn bậc n (n ∈ N*, ) của a là số b sao cho b n = a

• nếu n là số nguyên dương lẻ thì n a xác định ∀a , nếu n là số nguyên dương chẵn thì n a xác định ∀ ≥a 0

• n là số nguyên dương lẻ n n a =a a , n là số nguyên dương chẵn ∀ n n a = a = − ∀ ∀ ≥a a a<0a 0

• Với a, b ≥ 0, m, n ∈ N*, p, q ∈ Z ta có :

• Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n a<n b

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n a <n b

II. LƠGARIT

1.Định nghĩa

• Với a > 0, a ≠ 1, b > 0 ta cĩ : loga b= ⇔α aα =b

chú ý : loga b cĩ nghĩa khi  > >a b 0,0 a≠1

• Loogarit tự nhiên (logarit Nepe): lnb=loge b (với e lim 1 1 n 2,718281

+ Nếu a > 1 thì loga b>loga c⇔ >b c

+ Nếu 0 < a < 1 thì loga b>loga c⇔ <b c

- Tìm điều kiện và rút gọn biểu thức

- Đưa biểu thức về dạng lũy thừa

0,5 0,52

Bài 6: Tính giá trị biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho :

a) Cho log 14 a2 = Tính log 32 theo a 49

b) Cho log 3 a15 = Tính log 15 theo a 25

a) Cho log 7 a25 = ; log 5 b2 = Tính 35

49log

8 theo a, b

b) Cho log 3 a30 = ; log 5 b30 = Tính log 135030 theo a, b

Bài 7: Chứng minh các biểu thức sau (với giả thuyết các biểu thức đều có nghĩa ) :

c a b+ = c a+ c b , với a2+b2=7ab

D Bài t ập TNKQ

Câu 1: Cho a > 0 và a ≠ 1 Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau :

A log x có nghĩa ∀x a B logR a R1 = a và logR a Ra = 0

C logR a Rxy = logR a Rx.logR a Ry D. log xa n =n log xa (x > 0,n ≠ 0)

Câu 2: Cho a > 0 và a ≠ 1, x và y là hai số dương Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau :

a

log xx

6 5

11 6a

Câu 15: Biểu thức a43: a vi3 2 ết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ là:

5 8

7 3a

Câu 16: Biểu thức x x x (x > 0) viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ là: 3 6 5

2 3

5 3

x − = 1 0

Câu18: Cho K =

1 2

Ch ủ đề 2.2: Hàm số lũy thừa, mũ, logarit

A Ki ến thức cơ bản

I HÀM S Ố LŨY THỪA

a) ĐN: Hàm số có dạng y xα= với α ∈ R

b) Tập xác định:

• D = R với α nguyên dương

• D R \ 0= { } với α nguyên âm hoặc bằng 0

• D = (0;+∞) với αkhông nguyên

c) Đạo hàm

Hàm số y xα= (α∈R) có đạo hàm với mọi x > 0 và ( )xα '=αxα−1

d) Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng (0;+∞)

Đồ thị luôn đi qua điểm (1; 1)

Khi α > 0 hàm số luôn đồng biến, khi α < 0 hàm số luôn nghịch Biến

Đồ thị hàm số không có tiệm cận khi α > 0 khi α < 0 đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là trục Ox,

e) Đồ thị: đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là trục Ox và luôn đi qua các điểm (0; 1), (1; a) và nằm về

phía trên trục hoành

f) Lãi kép: tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho

- Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa ,hàm số logarit

- Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa , hàm số mũ , hàm số logarit

- Tính tiền lãi , thời gian giửi tiết kiệm và tăng trưởng … , lãi suất hay % tăng trưởng trong bài toán lãi suất

- Khảo sát hàm số lũy thừa , hàm số mũ , hàm số logarit

3

x

= 44

3

x

1 2

)1

2 2

)1(3

3 2 2

)1(3

Bài 5: Chú Việt gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi kép 5%/năm

a) Tính số tiền cả gốc lẫn lãi chú Việt nhận được sau khi gửi ngân hàng 10 năm

b) Với số tiền 10 triệu đó, nếu chú Việt gửi ngân hàng với lãi kép 5 %

12 /tháng thì sau 10 năm chú Việt

nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi nhiều hơn hay ít hơn?

HD

a) Số tiền cả gốc lẫn lãi nhận được sau 10 năm với lãi kép 5%/năm là

Vậy số tiền nhận được với lãi suất 5 %

12 /tháng nhiều hơn

Bài 6: Bạn An gửi tiết kiệm một số tiền ban đầu là 1000000 đồng với lãi suất 0,58%/tháng (không kỳ

hạn) Hỏi bạn An phải gửi bao nhiêu tháng thì được cả vốn lẫn lãi bằng hoặc vượt quá 1300000 đồng ?

quá 1300000 đồng thì bạn An phải gửi ít nhất là 46 tháng

B ài 7: Một người có 58 000 000đ gửi tiết kiệm ngân hàng (theo hình thức lãi kép ) trong 8 tháng thì

lĩnh về được 61 329 000đ Tìm lãi suất hàng tháng?

a, (ln x)’ =

x

x )'

( =

)

b, [logR 2 R(3xP

2

P - 5)]’ =

2ln)

53(

)'3

53(

6

2 −

x x

Câu 7: Đạo hàm của hàm số 2 3

Câu 9: Một khu rừng có trữ lượng gỗ 4.105 mét khối Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu rừng

đó là 4% mỗi năm Tìm khối lượng gỗ của khu rừng đó sau 5 năm

B Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 1)

C Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận

A y = x 1

2

π+ UB.U y = x 1

Câu 24: Trong các hình sau hình nào là dạng đồ thị của hàm số y=a a x, > 1

Câu 25: Cho đồ thị hai hàm số x

y=a x

-1

4 2

a a a

Khi sử dụng phương pháp này ta nên thực hiện theo các bước sau:

B1: Đưa pt, bpt về dạng ẩn phụ quen thuộc

B2: Đặt ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện cho ẩn phụ

B3: Giải pt, bpt với ẩn phụ mới và tìm nghiệm thỏa điều kiện

B4: Thay giá trị t tìm được vào ⇒ giải PT, bpt mũ cơ bản

B5: Kết luận

USau đây là một số dấu hiệu

Lo ại 1: Các số hạng trong pt, bpt có thể biểu diễn qua f x( )

Lo ại 3: Trong phương trình có chứa 2 cơ số nghịch đảo

3 Phương pháp logarit hóa

Đôi khi ta không thể giải một PT, BPT mũ bằng cách đưa về cùng một cơ số hay dùng ấn phụ được, khi đó ta thể lấy logarit hai vế theo cùng một sơ số thích hợp nào đó ⇒ PT, BPT mũ cơ bản (phương pháp này g ọi là logarit hóa)

UD ấu hiệu nhận biết:U PT loại này thường có dạng ( ) ( ) ( )

f x g x h x

có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau) ⇒ khi đó ta có thể lấy logarit 2 vế theo cơ số

Nếu a > 1 thì nghiệm của bất PT là x > logR a Rb

Nếu 0 <a < 1 thì nghiệm của bất PT là x < logR a Rb

2 Gi ải bất phương trình bằng phương pháp đưa về cùng một cơ số

3 Gi ải bất phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

C Bài t ập luyện tập

1 Phương pháp đưa về cùng cơ số

Ví d ụ: Giải các phương trình sau:

Ví d ụ: Giải các phương trình sau : 2 3 2 1

Ví d ụ: Giải các phương trình sau :

2 3 1

1

33

Vậy phương trình có nghiệm: x=1,x= 2

Ví d ụ: Giải phương trình sau : 1 2

Vậy phương trình có nghiệm: x= −2,x= − 3

Ví d ụ: Giải các phương trình sau : 25 2.5 15 0x− x− =

Vậy phương trình có nghiệm: x=1

Ví d ụ: Giải các phương trình sau : 2 2

Đặt t=3x > Pt (*)0 2

3

( loai)3

t t

Vậy phương trình có nghiệm: x= 1

3 Phương pháp logarit hóa

Ví d ụ: Giải các phương trình sau:

- Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là:S= −∞ − +( ; 2 log0,37)

UBài 2:U Giải bất phương trình : 2 3 4 1

UBài 3:U Giải bất phương trình: 1 2 1

- Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: S=( )0; 2

UBài 7:U Giải bất phương trình: 2x+1

- Vậy bất phương trình có tập nghiệm là:S = −[ 1;1]

UBài 8:U Giải bất phương trình: 5.4 2.25 7.10 x+ x− x >0 (1)

8) 9x−4.3x+ = 3 0

9) 9x−3.6x+2.4x = 0

10) 5x− +6 51−x = 011) 25x−6.5x+ = 5 0

12) 36x−3.30x+2.25x > 0

13) 6.5x−51−x− >1 0

D BÀI T ẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Câu 12: Tập nghiệm của bất phương trình:

4 1

U1 Phương trình lôgarit cơ bảnU:

PT logR a Rx = b ( a > 0, a≠ ) luôn có nghiệm duy nhất x = a1 P

c M ũ hóa

Đôi khi ta không thể giải một PT, BPT logarit bằng cách đưa về cùng một cơ số hay dùng ấn phụ được, khi đó ta thể đặt x = aP

t

PR⇒R PT, BPT cơ bản (phương pháp này gọi là mũ hóa)

UDấu hiệu nhận biết:U PT loại này thường chứa nhiều cơ số khác nhau

UII B ất phương trình lôgarit

U1 B ất phương trình lôgarit cơ bản

Xét bất phương trình logR a Rx > b : - Nếu a > 1 thì log b

a x> ⇔ >b x a

- Nếu 0 <a < 1 thì loga x> ⇔ < <b 0 x a b

U2.cách gi ải một số bất phương trình loogarit đơn giản U:

22

x

⇔ >

Với điều kiện trên thì PT (*) log 1 log 2

x x

Vậy BPT đã cho có hai nhghiệm làx=3 và x= 3

=15+log x 1+log x

Vậy logR 3 Rx = 2, logR 3 Rx = 3 Phương trình đã cho có nghiệm : xR 1 R = 9, xR 2 R = 27

UVí d ụU: Giải các phương trình sau : 2

t t





Kết hợp với đk (*) ta thấy PT đã cho chỉ cố một nghiệm duy nhất là x= 6

VD: Giải phương trình sau: logR 2 R(5 – 2P

P= 4, nên phương trình đã cho có nghiệm : x = 0, x = 2

U* B ất phương trình lôgarit cơ bản

UBài giải:

a) log (2 x−2)> ⇔ − >3 x 2 23 ⇔ >x 10

bất phương trình có tập nghiệm: S =(10;+∞)

b)

2 1

U2 Gi ải BPT PP đưa về cùng cơ số:

UBài 1U: Giải bất phương trình sau: 2 1

- Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm: S= −[ 1;3)

UBài 2:U Giải bất phương trình: log0,5(x+ ≤1) log (22 − x)

x x

Bài 3:Giải bất phương trình:

a)

2 2

−

≤+

2 0,7 6

4

x x x

− < < −



⇔  >



D BÀI T ẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Câu 1: Phương trình: l go x+l go (x−9)=1 có nghiệm là:

Câu 2: Phương trình: ( 3)

lg 54−x = 3lgx có nghiệm là:

log (− −x 2x m− + = để phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt trái 5) 2

dấu thì điều kiện của m là:

log ( − −x 2x− + =m 5) 2 để phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt trái

dấu thì điều kiện của m là:

A.m> 1 B.m> 2 C m< 1 D.m< 2

Câu 28 Nghi ệm của phương trình log 3(x+ = 1) 2.là:

A x= 5. B x= 8. C x= 7. D x= 10.

I M ỤC TIÊU KIỂM TRA

1 Ki ến thức: Kiểm tra kiến thức về luỹ thừa, logarit, hàm số mũ, hàm số logarits, hàm số luỹ thừa,

phương trình bất PT mũ và logarit

2 Kĩ năng: Kiểm tra kỹ năng: Tìm tập xác định của hàm số logarit, ĐK xác định của lũy thừa, kỹ

năng tính đạo hàm của HS mũ và HS logarit kỹ năng giải PT, bất PT mũ và logarit

3 Thái độ: Nghiêm túc trong kiểm tra

II HÌNH TH ỨC KIỂM TRA

- Hình thức: Trắc nghiệm khách quan

- Học sinh làm bài trên lớp

III MA TR ẬN ĐỀ KIỂM TRA

Tổng 10 10 3 2 25

B ẢNG MÔ TẢ TIÊU CHÍ LỰA CHỌN CÂU HỎI, BÀI TẬP

Câu 1.Tı́nh chất lũy thừa

Câu 2: Tìm tập xác định của và hàm số lũy thừa

Câu 3: Tı́nh chát của hà số mũ và HS logarit

Câu 4: tı́nh giá tri ̣ logarit

Câu 5 Tı́nh đa ̣o hàm của một tı́ch : Hàm sốy= lnx và y=x

Câu 6: Giải PT mũ bằng PP đă ̣t ẩn phụ

Câu 7: Tâ ̣p xác đi ̣nh của hàm số logarit

Câu 8 Giải Pt logarit : PP đưa về cùng cơ số

Câu 9 Giải BPT logarit cùng cơ số và có cơ số 0<a<1

Câu 10 Quan hê ̣ giữa hàm số mũ và logarit

Câu 11 Đa ̣o hàm của hàm số căn thức

Câu 12.Biểu diễn logarit theo mô ̣t logarit khác

Câu 13.Tı̀m TXĐ của hàm số logarit

Câu14 So sánh 2 logarit và 2 lũy thừa

Câu 15 ĐK có nghı̃a của biểu thức gồm có chứa căn thức và lũy thừa

Câu 16 So sánh 2 logarti

Câu 17.Tı́nh đồng biến nghi ̣ch biến của hàm số lũy thừa

Câu 18 Giải PT mũ đẳng cấp

Câu 19.Giải PT mũ bằng logarit hóa 2 vế

Câu 20 Giải bất PT logarit phối hợp 2 cơ số a<1 và 0<a<1

Câu 21.Bài toán thục tế về Pt mũ

Câu 22 Kết hợp đa ̣o hàm của hàm số và giải PT

Câu 23 Tı̀m ĐK của tham số m để PT có mũ có nghiê ̣m trong (a;b)

Câu 24.Tı̀m ĐK của tham số m để PT có logarit có nghiê ̣m trong (a;b)

Câu 25.Tı̀m điều kiê ̣n có nghı̃a của biểu thức phối hợp giữa că bâ ̣c chẵn và lũy thừa

IV ĐỀ KIỂM TRA

Câu 1 Cho a là một số thực dương Rút gọn biểu thức ( 1 2 ) 2 ( 1 2 )

Câu 9: T â ̣p nghiê ̣m của bất phương trı̀nh log0,2(x+1)>log0,2(3−x) là:

Câu 10:Đồ thi ̣ hàm số x

y= v3 à y=log3x nhâ ̣n đường thẳng nào sau đây làm trục đối xứng:

Câu 11: Đạo hàm của hàm số 5 3

8

y= x + là:

B

5 3

3'

x y

x

=

3'

x y

x y

17

Câu 13: T â ̣p xác đi ̣nh của hàm số

23

10log3 2

a

a > và

3

2log2

1logb < b thı̀:

A a>1; b>1 B 0<a<1; b>1 C a>1; 0<b<1 D 0<a<1; 0<b<1

log > B.loga b>−loga b C

b

a

1log

Câu 17: Hàm số nào sau đây chỉ đồng biến trên khoảng (0;+∞ ? )

Câu 21:Dân số tı̉nh A năm 2014 là khoảng 15 triê ̣u người với mức độ tăng hàng năm là 1,3%/năm Hỏi

nếu với mức độ tăng như vâ ̣y thı̀ vào năm nào dân số tı̉nh A khoảng 20 triê ̣u người:

4 | | 1 có đúng 2 nghiê ̣m là:

11

11

x x