Chương II. §1. Hàm số

b/ Khảo sát tính đơn điệu c/ Vẽ đồ thị hàm số trên.[r]

+ x gọi là biến số (hay đối số) của hàm số và y gọi là hàm số của x;

+ D gọi là tập xác định (hay miền xác định);

+ f( x ) là giá trị của hàm số tại x.

2 Cách cho hàm số

+ Hàm số cho bằng bảng.

+ Hàm số cho bằng biểu đồ.

+ Hàm số cho bằng công thức: y=f( x )

Chú ý: Khi hàm số cho bởi công thức mà không chỉ rõ tập xác định thì : “ Tập

xác định của hàm số y=f( x ) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f( x )

có nghĩa”.

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số

a) y=f( x )= x  3 b) y=

32

Đồ thị của hàm số y=f( x ) xác định trên D là tập hợp các điểm M(x;f(x)) trên mặt phẳng tọa độ với mọi x D.

II Sự biến thiên của hàm số

Cho f(x) xác định trên khoảng K Khi đó:

f đồng biến ( tăng) trên K x 1 ;x 2K ; x 1 < x 2  f(x 1 ) < f(x 2 )

f nghịch biến ( giảm) trên K x 1 ;x 2K ; x 1 < x 2  f(x 1 ) > f(x 2 )

Bảng biến thiên: là bảng tổng kết chiều biến thiên của hàm số (xem SGK) III Tính chẵn lẻ của hàm số

+ f gọi là chẵn trên D nếu xD  x D và f(x) = f(x), đồ thị nhận Oy làm

Đối xứng qua trục hoành thì x không đổi y’= -y

Đối xứng qua trục tung thì y không đổi x’= - x

* Tịnh tiến điểm A(x;y) song song với trục tọa độ Oxy :

+ Lên trên q đơn vị được A 1 (x ; y+q)

+ Xuống dưới q đơn vị được A 1 (x ; yq)

+ Sang trái p đơn vị được A 1 (xp ; y)

+ Sang phải p đơn vị được A 1 (x+p ; y)

+ Cho u(x), v(x) là các đa thức theo x , khi ta xét một số trường hợp sau :

a) Miền xác định của hàm số dạng đẳng thức : y=u(x) ; y = u(x)+v(x) ; y=| u(x) | ;

y = √ | u( x)| … là D = 

(không chứa căn bậc chẵn, không có phân số, chỉ có căn bậc lẻ,…)

b) Miền xác định hàm số y =

u( x) v( x) là D = { x ¿  | v(x) ¿ 0 }

c) Miền xác định hàm số y = √ u( x) là D = { x ¿  | u(x) ¿0 } d) Miền xác định hàm số y =

u( x)

√ v( x) là D = { x ¿  | u(x) > 0 } e) Miền xác định hàm số y = √ u( x)+ √ v( x) là

D= {x ¿  | u(x) ¿0 } ¿ {x ¿  | v(x) ¿0 } tức là nghiệm của hệ u( x )≥0

+ Viết D về dạng hợp của nhiều khoảng xác định ( nếu có )

+ Xét sự biến thiên của hàm số trên từng khoảng xác định K= (a;b) như sau:

Nếu T < 0 thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên (a;b)

BÀI TẬP §1-C2 1.1 Tìm tập xác định của các hàm số sau

3 1

x y

1.3 Cho hàm số y= 2

01

x

khi x x

x x

1.5 Xét sự biến thiên của hàm số sau trên khoảng được chỉ ra

a) y=f( x )= 2x 27 trên khoảng (4;0) và trên khoảng (3;10)

b) y=f( x )= 7

x

x  trên khoảng (;7) và trên khoảng (7;+) 1.6 Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau

a) y=f( x )= 2x 3 b) y=f( x )=

x x

c) y =

x +3

x2−3 x+2 d) y =

2 ( x+2) √ x+1

12

x

1

12

1.9 Xét sự biến thiên của hàm số trong khoảng đã chi ra

a) y= 2 x +3 trên 

b) y= x 2 +10 x +9 trên (5;+)

c) y=

11

x



 trên (3;2) và (2;3) 1.10 Xét sự biến thiên của hàm số trong khoảng đã chi ra

3 x+1

x2−9 D=\{3;3}

g) y=

x 1−x2−√−x D=(;0]\{1} h) y= x−3 √ 2−x

Bài tập 3: Trong các điểm sau M(-1;6), N(1;1), P(0;1),

điểm nào thuộc đồ thị hàm số y=3x 2 -2x+1.

Bài tập 4: Trong các điểm A(-2;8), B(4;12), C(2;8), D(5;25+ √ 2 ), điểm nào thuộc



e) y= x 2 -6x+5 trên mỗi khoảng (-;3) và (3;+)

T= x 2 +x 16 f) y= x 2005 +1 trên khoảng (-;+)

x 1 <x 2 => x12005 < x22005 => f(x

1 )= x12005 +1< x22005 +1=f(x

2 ) đồng biến

Bài tập 6 : Dựa vào đồ thị của hàm số, hãy lập bảng biến thiên

a) Lên trên 3 đơn vị b) Xuống dưới 1 đơn vị

c) Sang phải 2 đơn vị d) Sang trái 6 đơn vị.

Bài 9: Gọi (d) là đường thẳng y= 2x=f(x) và (d’) là đường thẳng y= 2x-3 Ta có thể

coi (d’) có được là do tịnh tiến (d):

a) Lên trên hay xuống dưới bao nhiêu đơn vị?

(d’): y=2x3= f(x)3 b) Sang trái hay sang phải bao nhiêu đơn vị?

b) Tịnh tiến (H) sang trái 3 đơn vị, ta được đồ thị hàm số nào?

c) Tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị, sau đó tịnh tiến đồ thị nhận được sang trái

3 đơn vị, ta được đồ thị hàm số nào?

Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ, cho các điểm A(-1;3), B(2;-5), C(a;b) Hãy tính

tọa độ các điểm có được khi tịnh tiến các điểm đã cho:

a) Lên trên 5 đơn vị

b) Xuống dưới 3 đơn vị

c) Sang phải 1 đơn vị

d) Sang trái 4 đơn vị.

k)y = √ 6−x+2 x √ 2x+1 D=[

12

d) y =

x+3 x−2 trên (2; + ∞ ) T= 2 1

5(x 2)(x 2)

f(-x) = x 2mx+m 2

để f(x) chẵn khi m=m = m=0

6 Gọi (G) là đồ thị của hàm số y=2|x|, ta được đồ thị hàm số nào khi tịnh tiến (G):

a) lên trên 3 đơn vị;

b) sang trái 1 đơn vị;

c) sang phải 2 đơn vị rồi xuống dưới 1 đơn vị.

BÀI TẬP THÊM 3

1/ Tìm tập xác định của các hàm số sau :

a/ y = x 1

3x





b/ y = x 3

1x

i/ y = x  + 3 4 x

1

 j/ y = (x 3) x 1

1x

2 1 2

) x )(

x (

p)y = (3x4)(3 x) q) y = 2 1

2



 ) x x

m x m

1 1 0

1 1

2

2

x

; x

x

;

x

; x

1 1 0

x

;

x

; x

Đồ thị hàm số: là một đường thẳng Đồ thị không song song và trùng với các

trục tọa độ, cắt trục tung tại điểm (0;b) và cắt trục hoành tại (-b/a;0).

2

* Cho hai đường thẳng (d):y= ax+b và (d’)= a’x+b’, ta có:

x O

D C B A

4

4 2

y

x O

(d) song song (d’) a=a’ và b≠b’

3 Hàm số bậc nhất trên từng khoảng, hàm số y= |ax+b|

Muốn vẽ đồ thị hàm số y=|ax+b| ta làm như sau:

+ Vẽ hai đường thẳng y = ax + b, y = - ax – b + Xóa đi hai phần đường thẳng nằm phía dưới trục hoành

Đồ thị (hình)

Ví dụ 4: Tìm hàm số bậc nhất y=f(x) biết đồ thị của nó đi qua 2 điểm A(0 ; 4) , B

(-1;2).Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên của hàm số

2xneáu 4

2

42

3

với xvới x<1

x y

1

2.5 Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

2.8 xác định a và b sao cho đồ thị hàm số y = ax +b , biết

a) đi qua hai diểm (-1;-20) và (3;8)

b) đi qua (4;-3) và song song với đường thẳng y= +1.

2.9 vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) y = f(x) = b) y = f(x) =

§3 HÀM SỐ BẬC HAI

45

0xneáu2x, ,

0xneáu1,x

1 Hàm số bậc hai là hàm số được cho bởi công thức y= ax 2 + bx + c với a ; b; c R và a ≠ 0

y

-



2

b a



2

b a



2

b a



2

b a



2

b a

b4

4

b ac

y= -x 2 +4x-3

A

( Sau khi tính x I = 2

b a



 y I = ax I2bx I c Khi đó I(x I ; y I )

-Vẽ trục đối xứng

- Xác định các điểm đặc biệt (thường là giao điểm của parabol với các trục tọa

độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục đối xứng)

- Căn cứ vào tính đối xứng , bề lõm và hình dáng parabol để nối các điểm đó lại (Đồ thị hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c cũng là một parapol)

Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : y = -x 2 +4x-3







Ví dụ 3: Xác định hàm số bậc hai biết đồ thị của nó

1) Có trục đối xứng là x=1 và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 4 2) Có đỉnh là (-1;-2)

3) Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua điểm (1;-2).

Tìm tọa độ giao điểm

Cho hai đồ thị (C 1 ) : y = f(x); (C 2 ) y = g(x).Tọa độ giao điểm của (C 1 ) và (C 2 )

là ngiệm của hệ phương trình Phương trình f(x) = g(x) (*) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ) Ta có:

+ Nếu (*) vô nghiệm thì (C 1 ) và (C 2 ) không có giao điểm

+ Nếu (*) có n nghiệm thì (C 1 ) và (C 2 ) có n giao điểm.

+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau

BÀI TẬP §3-C2

22

)(

x g y

x f y

a) y= x 2 + 2 x2 b) y= 2x 2 + 6 x +3 c) y = x 22x

d) y = x 2 +2x+3 e) y = x 2 +2x2 f) y =  2

1

x 2 +2x-2

3.2 Xác định parapol y=2x 2 +bx+c, biết nó:

a) Có trục đối xứng x=1 vá cắt trục tung tại điểm (0;4); Đáp số: b=

3.3 Xác định parapol y=ax 24x+c, biết nó:

a) Đi qua hai điểm A(1;2) và B(2;3); Đáp số: a= 3, c= 1

3.4 Tìm parapol y = ax 2 +bx+2 biết rằng parapol đó:

a) đi qua hai điểm M(1;5) và N(-2;8) Đáp số: a=2, b=1

b) đi qua điểm A(3;-4) và có trục đối xứng x= 4

d) đi qua điểm B(-1;6), đỉnh có tung độ 4

1

Đáp số: a=16, b=12 hoặc a=1, b=3

3.5 Xác định parapol y=a x 2 +bx+c, biết nó:

a) Đi qua ba điểm A(0;1), B(1;1), C(1;1); Đáp số: a=1, b=1, c=

1

b) Đi qua điểm D(3;0) và có đỉnh là I(1;4) Đáp số: a=1, b=2, c=3 c) Đi qua A(8;0) và có đỉnh I(6;12) Đáp số: a=3, b=36, c=96 d) Đạt cực tiểu bằng 4 tại x=2 và đi qua A(0;6) Đáp số: a=1/2, b=2, c=6

3.6 Viết phương trình của y=ax 2 +bx+c ứng với các hình sau:

3.7 Tìm toạ độ giao điểm của các hàm số cho sau đây Trong mỗi trường hợp vẽ đồ

thị các hàm số này trên cùng hệ trục toạ độ:

1  

c/ y = x x x 1

xx

2

2 4







b/ y = x  2c/ y = 3x  3 x d/ y = x(x 2 + 2|x|)

e/ y = x 1 x 1

1x1x

2 3

6.Cho hàm số y = 5x  5 x

a/ Tìm tập xác định của hàm số.

b/ Khảo sát tính chẵn lẻ.

7.Cho Parabol (P) : y = ax 2 + bx + c

a/ Xác định a, b, c biết (P) qua A(0; 2) và có đỉnh S(1; 1)

b/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) với a, b, c tìm được.

c/ Gọi (d) là đường thẳng có phương trình : y = 2x + m Định m để (d) tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm.