Tìm một phân số tối giản, biết rằng khi cộng mẫu số vào tử số và cộng mẫu số vào mẫu số của phân số ấy thì được một phân số mới, lớn gấp 2 lần phân số ban đầu.. Gọi phân số tối giản lúc[r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ7 PHÂN SỐ- phân số tối giản Dạng 1 Tìm điều kiện để phân số là phân số tối giản VD1 Cho phân số A 3
1
n
n
( n z; n 3) Tìm n để A là phân số tối giản
Giải Muốn cho 3
1
n
n
là phân số tối giản thì ƯCLN ( n+1; n-3) phải bằng một
Ta có : ( n+1; n-3) = 1 ( n-3; 4 ) = 1 n-3 2 n là số chẵn
VD2 Tìm số tự nhiên n để 4 3
193 8
n
n A
a Có giá trị là số tự nhiên ; b Là phân số tối giản
c Với giá trị nào của n trong khoảng từ 150 đến 170 thì phân số A rút gọn được
187 2
3 4
187 ) 3 4 ( 2 3 4
193 8
n n
n n
n A
Để A N thì 187 4n + 3 => 4n +3 17;11;187 + 4n + 3 = 11 -> n = 2 ; + 4n +3 = 187 > n = 46
+ 4n + 3 = 17 -> 4n = 14 -> không có n N Vậy n = 2; 46
b.A là tối giản khi 187 và 4n + 3 có UCLN bằng 1
-> n 11k + 2 (k N) -> n 17m + 12 (m N)
c) n = 156 -> 19;
77
A
n = 165 -> 39
89
A
; n = 167 -> 61
139
A
VD3 Cho a, b là hai số nguyên tố cùng nhau Chứng minh rằng
8 3
a b
a b
là phân số tối giản
Giải Gọi d là ước chung lớn nhất của 8a + 3b và 5a + 2b
Ta có:
8 3
5 2
a b d
a b d
5 8 3
8 5 2
a b d
a b d
Ta lại có:
8 3
a b d
a b d
2 8 3
3 5 2
a b d
a b d
Từ (1) và (2) dƯC(a,b) Mà a, b là hai số nguyên tố cùng nhau, nên (a,b) = 1 d = 1
8 3
a b
a b
là phân số tối giản
* Bài tập.1 Cmr phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n
1
2 3
n n
2 Tìm tất cả các giá trị của số tự nhiên n để phân số sau tối giản: , n N, n >3
3 Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n phân số sau tối giản:
16 3
12 2
n n
4 Chứng minh : 12 n+1 30 n+2 (n∈Z) tối giản
5 Chứng minh rằng với mọi n thì phân số
7 10
5 7
n n
là phân số tối giản
Dạng 2 Bài toán có cách giải đặc biệt về phân số
Trang 21 Tìm phân số có tử là 5, biết rằng phân số đó lớn hơn
11 12
và nhỏ hơn
11 15
1 Gọi mẫu phân số cần tìm là x
Ta có:
75 11x 60 6
5 6
2 Hãy viết phân số 15
11 dưới dạng tổng của 3 phân số có tử số đều bằng 1 và có mẫu số khác nhau
11 44
(60) 1;2;3;4;5;6;10;1215;20;30;60
44 10 30 4 11 1 1 1
30 10 4 44
60 60 60 60 15 6 2 15
3 Tìm phân số tối giản
a
b nhỏ nhất (với
a
b 0) biết khi chia
a
b cho
7
15và
12
25 được thương là các
số nguyên
3 Ta có
a
btối giản nên ƯCLN(a;b) =1 và
.15 25
; 7 12
b b là các số nguyên nên a chia hết cho 7 và 12 còn 15 và 25 chia hết cho b
Do đó a BC(7;12) và bƯC(15;25) Vì
a
blà phân số tối giản nhỏ nhất lớn hơn 0 nên a=BCNN(7;12) và b = ƯCLN(15;25) nên a=84 ; b= 5 Phân số cần tìm là
84 5
4 Cho các phân số
35
396 và
28
297 Tìm phân số nhỏ nhất mà khi chia cho mỗi phân số đó ta được một số nguyên ?
4 Gọi phân số phải tìm là
x
y (x, y và (x, y) = 1) Ta có:
35 396 :
396 35
y y ;
28 297 :
297 28
Vì kết quả là một số nguyên nên 396x 35y và 297x 28y
Mà (396; 35) = 1 ; (297; 28) = 1 và (x; y) = 1 396 y và 297 y; x35 và x 28
Để
x
y nhỏ nhất khi x nhỏ nhất và y lớn nhất Do đó:
x = BCNN(35; 28) = 140 ; y = ƯCLN(396; 297) = 99 Vậy phân số phải tìm là
140
99
5 Tìm phân số bằng phân số
20
39, biết ƯCLN của cả tử và mẫu của phân số đó là 36
5 Ta thấy ƯCLN(20,39)=1=> phân số
20
39 là phân số tối giản Mà ƯCLN của cả tử và mẫu của phân số cần tìm là 36 Nên phân số cần tìm đã được rút gọn thành
20
39 bằng cách chia cả tử và mẫu cho 36 Vậy phân số cần tìm là:
20.36 720 39.36 1404
Trang 36 Tìm phân số bằng phân số 200520 biết tổng của tử và mẫu là 306.
6 Ta có 200520= 5
13 là phân số tối giản nên phân số bằng 200520 có dạng tổng quát 13 m 5 m ( m∈Z , m 0) => 5m + 13m = 306 = > m = 17=> phân số cần tìm là 85221
7 Tìm một phân số tối giản, biết rằng khi cộng mẫu số vào tử số và cộng mẫu số vào mẫu số của phân số ấy thì được một phân số mới, lớn gấp 2 lần phân số ban đầu ?
7 Gọi phân số tối giản lúc đầu là a b Nếu chỉ cộng mẫu số vào mẫu số ta được phân số b+b a = a
2 b; phân số này nhỏ hơn phân số a b 2 lần
Để a+b 2b gấp 2 lần phân số lúc đầu thì a + b phải bằng 4 lần a
Mẫu số b phải gấp 3 lần tử số a Phân số tối giản thoả mãn điều kiện trên là 13
8 Tìm phân số a b thoả mãn điều kiện: 47<a
b<
2
3 và 7 a+4 b=1994
8 Ta có:
b
4
k
a b b k k N b b N k l l N b l
231 7 5 249
9 Tìm phân số b
a
thoả mãn các điều kiện: 21
10 9
4
b
a
và 5a - 2b = 3
9 Từ 5a - 2b =3 a=( 3+ 2b )/5
Có a, b N 2b : 5 dư 2 2b = 5k +2 k 2 k=2n => b= 5n +1 nên a= 2n + 1 ta có
4 2 1 10
9 5 1 21
n
n
1 2 9
4
n
n
20n + 4 <18n + 9 2n < 5 n 0;1;2
10 1
5
1
2
n
n
42n+12 < 50n+10 9n >11 n=2 Vậy n = 2 11
5
b a
10 Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số 18 n+3 21 n+7 có thể rút gọn được
10 Giả sử 18n + 3 và 21n + 7 cùng chia hết cho số nguyên tố d => 18 n + 3 d, 21n + 7 d
=> 6( 21n + 7) – 7(18n + 3) d => 21 d => d ∈Ư(21) = { 3 ; 7}
Mà 21n + 7 Không chia hết cho 3 => d ≠ 3
Ta lại có 21n + 7 7 => 18n + 3 7 => 18n + 3 – 21 7
=> 18(n - 1) 7 mà (18; 7) = 1 => n – 1 7 = > n = 7k + 1(k∈N)
Trang 4Vậy để phân số 18 n+3 21 n+7 có thể rút gọn được thì n = 7k + 1(k∈N)
11 Tìm số nguyên n để phân số
2 1
3 2
n n
rút gọn được
11 Gọi d là ước chung của 2n-1 và 3n+2 Ta có: 3( 2n-1 ) - 2( 3n+2 ) d nên -7 d
Để phân số
2 1
3 2
n n
rút gọn được, ta phải có 2n - 17 2n-1+77 2(n+3)7 n+37
Vậy với n = 7k - 3 ( k Z ) thì phân số
2 1
3 2
n n
rút gọn được