SKKN phân tích đa thức thành nhân tử

Nhng đôi khi việc phân tích đa thức thành nhân tử có những khókhăn đối với học sinh, đó là trong trờng hợp đa thức cần phân tích có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp, do đó nếu áp dụng những

Đặc biệt kỹ năng phân tích đa thức thành phân tử là một kỹ năng cơ bảnquan trọng, nếu nắm vững và thành thạo kỹ năng này thì học sinh mới có khảnăng giải quyết đợc nhiều vấn đề trong chơng trình Đại số lớp 8 và lớp 9 cũng

nh nhiều vấn đề toán học khác có liên quan, tìm đ ợc lời giải và lời giải tối u chomột bài toán Nhng đôi khi việc phân tích đa thức thành nhân tử có những khókhăn đối với học sinh, đó là trong trờng hợp đa thức cần phân tích có bậc cao,

hệ số lớn, phức tạp, do đó nếu áp dụng những ph ơng pháp thông thờng đã đợchọc nh trong sách giáo khoa thì học sinh không thể phân tích đợc thành nhân tử.Ngoài ra còn có những đa thức không có nghiệm thực thì học sinh không thểphân tích đợc thành nhân tử Vì vậy một câu hỏi thờng đợc đặt ra trong trờnghợp này là: Những đa thức nào thì không thể phân tích đợc thành nhân tử ? Nếutrả lời đợc câu hỏi trên, học sinh sẽ có khả năng giải đ ợc một cách nhanh gọnmột số bài tập cụ thể

Ví dụ: Khi xét một phơng trình bậc hai, học sinh có thể kết luận đợc

ph-ơng trình đó có hay không có nghiệm thực mà không cần giải p hph-ơng trình Bêncạnh đó ngoài những phơng pháp thông thờng còn có thể sử dụng một số phơngpháp để phân tích một đa thức thành nhân tử trong những tr ờng hợp nhất định,những phơng pháp này trong trơng trình của sách giáo khoa cha có điều kiện

để đề cập đến nhng nếu đợc giáo viên cung cấp thêm thì học sinh có thể có hiểu

đợc một cách toàn diện hơn về lý thuyết có kỹ năng giải các bài toán tổng hợpmột cách nhanh chóng Để có thể cung cấp cho học sinh một cách hệthống đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần phải hiểu và nắmvững các kiến thức về vành đa thức, đa thức bất khả quy, nghiệm của đa thức ….một cách chính xác, có hệ thống, hiểu đợc gốc của mọi vấn đề Từ đó giáo viênbiết đợc phải cho và chỉ cần cho học sinh biết những điều gì và đến chừng mựcnào để có thể vận dụng hợp lý, đa vào bài giảng của mình những nội dung kiếnthức phù hợp với trình độ của học sinh, đa ra những bài tập thích hợp

2 Mục đích nghiên cứu :

- Vận dụng những kiến thức về cấu trúc đại số, về lý thuyết tr ờng vào giảngdạy phần đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử ở chơng trình đại số ở cáclớp THCS nhằm cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản về phân tích đathức thành nhân tử ở mức độ phù hợp

3 Nhiêm vụ nghiên cứu:

3.1 Về lý thuyết:

- Nghiên cứu lý thuyết để nắm vững các nội dung kiến thức cơ bản :

+ Các cấu trúc đại số : Nhóm, vành,Trờng, vành đa thức…

+ Các khái niệm về đa thức, nghiệm của da thức, đa thức bất khả quy

+Một số định lý về nghiệm của đa thức

+Một số định lý, mệnh đề về phân tích đa thức thành tích của các đa thức bấtkhả quy

3.2 Về thực tiễn giảng dạy:

- Nghiên cứu nội dung, chơng trình sách giáo khoa để nắm đợc mức độ, giớihạn nộidung kiến thức có thể cung cấp cho học sinh

- Vận dụng các nội dung lý thuyết ở mức độ phù hợp vào giảng dạy phần đathức và phân tích đa thức thành nhân tử ở chơng trình đại số THCS

- Thực tế vận dụng vào một bài giảng cụ thể trong phần phân tích đa thức

thành nhân tử.

4 Ph ơng pháp nghiên cứu:

- Phơng pháp nghiên cứu lý thuyết

- Phơng pháp thử nghiệm s phạm

- Phơng pháp điều tra thực tiễn

5.Giới hạn phạm vi nghiên cứu

- Đề tài chỉ tâp trung nghiên cứu việc vận dụng một số kiến thức về đathức một ẩn, nghiệm của đa thức một ẩn vào giảng dạy phần phân tích đa thức( một ẩn ) thành nhân tử ở chơng trình đại số lớp 8 và ứng dụng của việc phântích đa thức thành nhân tử vào giải các ph ơng trình bậc cao cho học sinh trongviệc mở rộng kiến thức

1.1.Định nghĩa nhóm, nhóm giao hoán, nhóm:

- Một vị nhóm A đợc gọi là một nhóm nếu với mỗi phần tử a  A sao choaa’ = e = a’a

a’ đợc gọi là phần tử nghịch đảo của a và đợc ký hiệu bởi a-1

- Một vị nhóm cộng A đợc gọi là một nhóm nếu vời mỗi phần tử a  A đều tồntại một phần tử a’ Asao cho a + a’ = 0 = a’+ a

a’ đợc gọi là phần tử đối của a và đợc ký hiệu bởi – a

- Nếu phép toán trong nhóm có tính chất giao hoán thì ta nói đó là một nhómgiao hoán hay một nhóm aben

- Một tập hợp con B của nhóm A đợc gọi là một nhóm con của nhóm A nếu Bcũng là nhóm đối với phép toán trong A

1.2 Định nghĩa vành, vành giao hoán, vành con.

-Tập hợp A đợc gọi là một vành nếu trên A có phép cộng và phép nhân soacho:

+ A với phép cộng là một nhóm giao hoán

+ A với phép nhân là một vị nhóm

+ Phép nhân phân phối đối với phép cộng.

- Vành A đợc gọi là giao hoán nếu phép nhân giao hoán Một tập con B củavành A đợc gọi là một vành con củaA nếu B là một vành đối với phép toántrong A

1.3Định nghĩa trờng, trờng con.

- Một trờng là một vành giao hoán có đơn vị khác 0 và mọi phần tử kháckhông đều có nghịch đảo

- Một tập con B có ít nhất là hai phần tử của tr ờng A đợc gọi là một trờng concủa A nếu B cũng là một trờng đối với các phép toán trong A

2.Nhắc lại về đa thức :

2.1 Định nghĩa vành đa thức một ẩn:

- Giả sử A là một vành của E giao hoán có đơn vị ,u  E Phần tử : a0+a1u+a2u2++a

… nu n+….(1)-trong đó ai A, (với mọi i=0,1,… ….n, ) và chỉ có một số hữu hạn

ai ≠ 0 đợc gọi là một đa thức của phần tử u trên vành A

Tập hợp các đa thức của u trên vành A đợc kí hiệu là [u].

- Khi coi u là môt phần tử tuỳ ý thì ta gọi u là một ẩn , mỗi đa thức

của u đợc ký hiệu là f(u),g(u)….và đợc gọi là đa thức của ẩn u.

- Nếu tồn tại một đa thức dạng (1) với các ai không đồng thời bằng 0 mà a 0+a1u+a2u2+….+an u n = 0  E thì ta nói u là một phần tử đại số trên A.

Trái lại ta nói u là một phần tử siêu viêt trên A.

Định nghĩa giá trị của đa thức tại một giá trị của ẩn:

Giả sử f(x) =a0+a1x +a2x2+….+anx n K x và  k Nếu trong đa thứcf(x) ta thay x = thì f  =a0+a1  +a2  2+….+an  n  K f  đợc gọi là giátrị của đa thức f(x) tại x = 

2.2 Định lý về phép chia đa thức (phép chia hết ,phép chia có d ) và hệ quả :

- Định lý :

Giả sử K[ x] là vành đa thức trên trờng K Khi đó với hai đa thức bất kỳ f

(x), g(x) và g(x) ≠ 0 tồn tại duy nhất hai đa thức q (x) và r (x) sao cho f(x)

= g(x) q(x) +r(x); r(x) = 0 hoặc bậc r(x) < bậc g(x)

q(x) đợc gọi là thơng , r(x) đợc gọi là d trong phép chia đa thức đa thức f(x) cho

đa thức g(x)

Nếu r(x) = 0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) và ký hiệu f(x) g(x)

Nếu f(x)  0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) còn d

- Hệ quả :

Giả sử K là một trờng , f(x) K (x) và   K Khi đó f( ) là d trongphép chia f(x) cho x- 

2.3 Định nghĩa nghiệm của một đa thức một ẩn

- Giả sử A là một vành Phần tử  A đợc gọi là nghiệm của đa thức f(x)   x nếu f( ) = 0

2.4 Định lý Bơ du về nghiệm của một đa thức :

Giả sử K là một trờng Phần tử  K là nghiệm của đa thức f(x)  K [x]khi và chỉ khi f(x) chia hết cho nhị thức x-

3 Nhắc lại về phân tích đa thức thành nhân tử :

3.1, Định nghĩa đa thức bất khả quy :

- Đa thức f (x) 0 và khác ớc của 1 đợc gọi là đa thức bất khả quy nếu từ

đẳng thức f(x) =g(x) h(x)suy ra g(x) lả ớc của đơn vị

3.2 Tiêu chẩn Aidenxtainơ về đa thức bất khả quy :

-Giả sử f(x) =a0+a1x+a2x2+….+an x n,vứi các a1 Z

Nếu có một số nguyên tố p thỏa mãn các điều kiện sau:

i) p không phải là ớc của an

ii) p là ớc của a1với i = 0,1,2,….,n-1

iii) p2không phải là ớc của a0

thì f(x) là đa thức bất khả quy trong Q(x)

3.3.Một số mệnh đề về đa thức bất khả quy :

3.3.1 Giả sử R là trờng số thực Trong R(x) mọi đa thức bậc nhất ax+b và mọi

đa thức bậc hai ax2+bx +c với biệt thức  = b2- 4ac < 0 đều là đa thức bất khảquy

Ngợc lại mọi đa thức bất khả quy trong R x đều là đa thức bậc nhất hoặc là

đa thức bậc hai ax2+bx+c với biệt thức  < 0

3.3.2 Giả sử K là một trờng Nếu p(x) là một đa thức bất khả quy thuộc K x

còn f(x) là một đa thức tùy ý thuộc k x thì f(x) chia hết cho p(x) hoặc f(x)nguyên tố với p(x)

3.3.3.Giả sử K là một trờng Trong vành K x , nếu đa thức bất khả quy p(x) là

-ớc của tích f(x) g(x) thì p(x) là -ớc của f(x) hoặc g(x)

3.3.4 Giả sử K là một trờng Trong vành K x , nếu tích f(x) g(x) chia hết choh(x) đa thức bất khả quy p(x) và ( h(x), g(x)) = 1 thì f(x) chia hết cho h(x)

3.3.5 Giả sử K là một trờng Trong vành K x ,nếu f(x) chia hết cho hai đa thứcnguyên tố cùng nhau thì f(x) chia hết cho tích của chúng

3.4 Định lý về sự phân tích một đa thức ( có bậc n 1) thành tích các đa thứcbất khả quy

- Giả sử K là một trờng Mỗi đa thức f(x) K x có bậc lớn hơn 1 đều có thểphân tích đợc thành tích của các đa thức bất khả quy

II Vận dụng các nội dung lý thuyết trên vào giảng dạy:

1 Tìm hiểu giới hạn của nội dung, chơng trình sách giáo khoa :

- Trong chơng trình đại số lớp 7, ở chơng IV, học sinh đã đợc học khái niệm

đa thức, bậc của đa thức, cách tìm giá trị của đa thức tại một giá trị của ẩn, địnhnghĩa nghiệm của một đa thức và bớc đầu học sinh đã biết cách tìm nghiệm củamột đa thức đơn giản ( bậc nhất, bậc hai)

- ở chơng I của sách giáo khoa môn đại số lớp 8, học sinh đã đ ợc học vềcác phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, về phép chia đa thức ( phépchia hết và phép chia có d ) nhng học sinh mới chỉ biết cách phân tích thành

nhân tử các đa thức tơng đói đơn giản, có bậc thấp bằng một số cách thông ờng, cha có sự liên hệ kết nối giữa các kiến thức về nghiệm của đa thức đóthành nhân tử, về giá trị của đa thức,d trong phép chia của đa thức với việc tìmnhiệm của đa thức ….nên học sinh cha có sự hiểu biết một cách toàn diện và có

áp dụng phơng pháp cơ bản để phân tích là rất khó khăn hoặc không thể thựchiện đợc, đôi khi có thể gặp những đa thức không có nghiệm (thực) nên khôngthể phân tích đợc thành nhân tử

2 những nội dung kiến thức cần cung cấp và làm rõ cho học sinh trong quá trình giảng dạy về đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử :

Biểu thức: f(x) = 2x3- 5x2 + 2x + 4 là một đa thức của biến (ẩn) x

Biểu thức: g(y) = 3y2+ 7y - 1 là một đa thức của biến (ẩn) y

Biểu thức: h(x,y) = 2x3y - x2y2- y3 + 1 là một đa thức của hai biến (ẩn)x

và y

2.1.2.Giá trị của một đa thức tại một giá trị của ẩn:

Xét đa thức f(x), nếu thay x = a là một giá trị số cụ thể ta sẽ tính đ ợc mộtgiá trị cụ thể của f(x) = f(a) gọi là giá trị của đa thức f(x) tại x = a

Ví dụ:

Xét biểu thức : f(x) = x3- 4x2 + 2x + 4

Nếu thay x=1 vào đa thức ta sẽ có f(1) =13 – 4.12 + 2.1 + 4 = 3 là giá trịcủa đa thức f(x) tại x = 1

2.1.3 Nghiệm của một đa thức:

- Định nghĩa : Số a đợc gọi là nghiệm của đa thức f(x)(hay là nghiệm của ph ơngtrình f(x) = 0) nếu f(a) = 0

Ví dụ:

i) Xét đa thức f(x) = x3 - 4x2 + 2x + 4

Nếu thay x = 2 vào đa thức, ta có: f(2) =23 - 4.22 + 2.2 + 4 = 0

Vậy x = 2 là nghiệm của đa thức f(x) đã cho

ii) Xét đa thức h(x,y) = x3y - x2y - y3 +1

Nếu thay x = 1, y = 1 vào đa thức thì ta có

Thay x = a vào 2 vế của (2) ta đợc

Pn(a) = r = 0 => Pn(x) chia hết cho x – a

Trờng hợp Pn(x) có bậc là 0 (Pn(x) = an = const), thì nó bằng 0 với mọi x nếu an = 0 vàkhác 0 với mọi x nếu an  0

a) Cả hạng tử của đa thức đều chứa thừa số chung 5xy, ta có

5x2y – 10xy2 = 5xy(x -2y)

b) Đổi dấu hạng tử 7y(z – 2y) = - 7y(2y – z), ta có :

4x(2y – z) + 7y(z – 2y) = 4x(2y – z) - 7y(2y - z)

= (2y – z)( 4x – 7y)

3xy + x + 15y + 5 = 3xy + x + 15 y + 5 = ( 3xy + 15 y) + (x + 5)

= 3y(x+ 5) + (x + 5)

= (x + 5)(3y + 1)

Nhận xét : Trong ví dụ trên ta đã nhóm các hạng tử thích hợp để sử dụng phơng pháp

đặt nhân t chung Đối với một đa thức có thể có nhiều cách nhóm những hạng tửthích hợp

c) 9 – x2 + 2xy – y2 = 9 – (x2 – 2xy + y2 )

= 32 – (x – y2)

=(3 +x – y)( 3 – x + y)

Nhận xét : Trong cách giải trên, ta đã nhóm 3 hạng tử cuối của đa thức và đ a vào

trong dấu ngoặc đằng trớc có dấu “ – ” để phân tích đa thức bằng phơng pháp dùnghằng đẳng thức

b n m

q(x) đợc gọi là thơng, r(x) đợc gọi là d trong phép chia đa thức f(x) cho đathức g(x).

Nếu r(x) = 0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) và ký hiệu f(x)  g(x)

Nếu r(x) 0 thì ta nói f(x) chia cho g(x) còn d

2.3.2 Liên hệ giữa tính chất chia hết của đa thức với việc viết đa thức d ới dạngtích của hai hay nhiều đa thức

Định lý Bơdu (Bezout) về nghiệm của một đa thức

Nếu đa thức f(x) có thể phân tích thành nhân tử có nghĩa là có thể viết d ớidạng f(x) = g(x) h(x) thì ta cũng có thể nói f(x) chia hết cho đa thức g(x)(hoặc đa thức h(x)) và khi đó nghiệm của g(x) hoặc h(x) cũng chính là nghiệmcủa f(x)

- Định lý (Bezout): D trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a đúngbằng f(a) (là giá trị của đa thức f(x) tại x = a.)

Từ định lý Bơdu, ta có thể suy ra một số mệnh đề về sự liên hệ giữa tính chấtchia hết và nghiệm của đa thức sau:

Đa thức f(x) chia hết cho nhị thức x - a khi và chỉ khi f(a) = 0 hay a chính là mộtnghiệm của đa thức f(x) (Dựa vào định nghĩa nghiệm của một đa thức )

Nh trên ta đã nêu, nếu f(x) chia hết cho nhị thức x – a thì f(x) có thể phân tíchthành tích của hai đa thức trong đó có một đa thức là x – a Vậy nếu đa thứcf(x) có một nghiệm là a thì nó có thể phân tích thành tích có dạng: (x – a) h(x)

Ta có thể biểu thị mối liên quan giữa tính chất chia hết, nghiệm của đa thức vàkhả năng phân tích thành nhân tử của một đa thức nh sau:

f(x) phân tích thành tích (x – a).h(x) f(x) chia hết cho x - a

ii) Nếu một đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức,

do đó đa thức chia hết cho x – 1

Ví dụ: đa thức f(x) = 2x2 – 3x +1 có tổng các hệ số bằng 0 nên nó có mộtnghiệm là 1 Khi phân tích thành nhân tử, đa thức này có thể viết đợc thành tích: (x – 1).q(x), tức là có chứa thừa số x – 1:

iii) Nếu một đa thức có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ

số của số hạng bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức, do đó đa thức này chia hếtcho nhị thức x + 1

Ví dụ: Đa thức g(x) = x3 – x2+ 2x + 4 có tổng các hệ số của số hạng bậc lẻbằng tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng 3 nên đa thức này

có một nghiệm là -, khi phân tích thành nhân tử đa thức g(x)có thể viết d ới dạngtích (x+1).k(x), tức là có chứa thừa số (x+1)

iiii)Xét đa thức f(x)=anxn + an-1xn-1 + … + a1x 1 + a0

Nếu f(x) có nghiệm nguyên a thì nghiệm nguyên đó phải là ớc của hệ số tự doa0 Vì vậy ta có thể tìm nghiệm của f(x) một cách nhanh chóng bằng cách xétcác ớc của a0 Để nhanh chóng loại trừ các ớc tự do của a0 không phải là nghiệmcủa f(x) ta có thể dùng nhận xét :

+ Nếu a là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(1), f(-1) đều khác 0 thì f(1)

(a+1)

+ Đa thức f(x) với các hệ số nguyên a n….a0, nếu không có nghiệm nguyên mà

có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm hữu tỉ đó phải có dạng q p với p là ớc của hệ số tự

do a0 còn q là ớc dơng của hệ số của số hạng bậc cao nhất an

* áp dụng : Khi thực hiện việc phân tích đa thức thành nhân tử, trong tr ờng hợp

đa thức cần phân tích là đa thức có bậc cao, phức tạp, khó phân tích, ta có thể

vận dụng các mệnh đề lý thuyết trên để làm đơn giản bớt bằng cách nhẩmnghiệm rồi thực hiện phép chia đa thức hoặc sử dụng ph ơng pháp tách các hạng

tử của đa thức một cách thích hợp để phân tích đa thức đó thành phân tử

Ví dụ : Với đa thức g(x) = x3- x2 + 2x + 4, ta đã biết nếu phân tích thành nhân

tử nó sẽ chứa nhân tử x + 1 do đó ta có thể thực hiện phép chia đa thức g(x)cho nhị thức x+1 và tìm đợc đa thức k(x) = x2- 2x+4 Khi đó :g(x) = (x+1).(x2-2x +4) Đến đây không thể phân tích tiếp đa thức k(x) thành phân tử đ ợc vì x2-2x + 4 đa thức này là một đa thức bậc hai nh ng không có nghiệm nên khôngthể tách thành tích của hai đa thức bậc nhất