Một số PP phan tích đa thức thành nhân tử

Trong chơng trình Đai số ở THCS đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những nội dung cơ bản, nó là cơ sở để xây dựng nhiều nội dung kiến thức, nhiều dạng bài tập khác n

Phần thứ nhất

mở đầu

Nh chúng ta đã biết môn toán là nền tảng của các môn khoa học tự nhiên nó chiếm một vai trò quan trọng trong các lĩnh vực khoa học Ước

ao học giỏi toán là niềm mơ ớc của bao thế hệ học sinh và các bậc phụ huynh, các thầy cô giáo cho con em và học sinh mình

Toán học là môn khoa học có từ lâu đời nó nghiên cứu rất nhiều thể loại

đa dạng và phong phú Trong chơng trình Đai số ở THCS đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những nội dung cơ bản, nó

là cơ sở để xây dựng nhiều nội dung kiến thức, nhiều dạng bài tập khác nhau nh: Quy đồng mẫu các phân thức,rút gọn phân thức, giải phơng trình, bất phơng trình, tìm cực trị Đặc biệt kỹ năng phân tích đa thức thành phân tử là một kỹ năng cơ bản quan trọng, nếu nắm vững và thành thạo kỹ năng này thì học sinh mới có khả năng giải quyết đợc nhiều vấn

đề trong chơng trình đại số lớp 8 và lớp 9 cũng nh nhiều vấn đề toán học khác có liên quan

Nhng đôi khi việc phân tích đa thức thành nhân tử có những khó khăn

đối với học sinh trong trờng hợp đa thức có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp Nếu áp dụng những phơng pháp thông thờng đã đợc học trong sách giáo khoa thì học sinh không thể phân tích đợc Có những đa thức không có nghiệm thực thì học sinh không thể phân tích đợc thành nhân tử Vì vậy câu hỏi thờng đặt ra trong trờng hợp này là: Những đa thức nào thì không thể phân tích đợc thành nhân tử ? Nếu trả lời đợc câu hỏi trên, học sinh

sẽ có khả năng giải đợc bằng cách nhanh gọn một số bài tập cụ thể Bên cạnh đó ngoài những phơng pháp thông thờng, còn có thể sử dụng một

số phơng pháp khác để phân tích một đa thức thành nhân tử trong những trờng hợp nhất định , những phơng pháp này trong chơng trình sách giáo khoa cha có điều kiện đề cập đến nhng nếu đợc giáo viên cung cấp thêm thì học sinh có thể hiểu đợc một cách toàn diện hơn về lý thuyết và có kỹ năng giải các bài toán tổng hợp một cách nhanh chóng

Để cung cấp cho học sinh một cách có hệ thống về đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử Giáo viên cần phải hiểu và nắm vững các kiến thức

về vành đa thức, đa thức bất khả quy, nghiệm của đa thức một cách chính xác có hệ thống, hiểu đợc gốc của mọi vấn đề Từ đó giáo viên cho học sinh biết những điều gì và đến chừng mực nào để có đợc những vận dụng hợp lí, đa vào bài giảng của mình những nội dung kiến thức phù hợp với trình độ của học sinh và đa ra những dạng bài tập thích hợp

II mục đích nghiên cứu:

Vận dụng những kiến thức về cấu trúc đại số, về lý thuyết trờng vào giảng dạy phần đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử trong chơng trình Đại số ở các lớp THCS nhằm cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử ở mức độ phù hợp

III Nhiệm vụ nghiên cứu:

 Về lý thuyết:

Nghiên cứu lý thuyết để nắm vững các nội dung kiến thức cơ bản

- Cấu trúc đại số : Nhóm, vành, trờng, vành đa thức

- Các khái niệm về đa thức, nghiệm của đa thức, đa thức bất khả quy

- Một số định lý về nghiệm của đa thức

- Một số định lý về phân tích đa thức thành nhân tử của các đa thức bất khả quy

 Về thực tiễn giảng dạy:

- Nghiên cứu nội dung, chơng trình sách giáo khoa để nắm đợc mức độ, giới hạn nội dung kiến thức có thể cung cấp cho học sinh

- Vận dụng các nội dung lý thuyết ở mức độ phù hợp vào giảng dạy phân đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử ở chơng trình Đại số cấp THCS

- Thực tế vận dụng vào một bài giảng cụ thể trong phần phân tích đa thức thành nhân tử

IV Phơng pháp nghiên cứu:

- Phơng pháp nghiên cứu lý thuyết

- Phơng pháp thử nghiệm s phạm

- Phơng pháp điều tra thực tiễn

V Giới hạn, phạm vi nghiên cứu:

- Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu việc vận dụng một số kiến thức về đa thức một ẩn, nghiệm của đa thức một ẩn vào giảng dạy phần phân tích

đa thức (một ẩn) thành nhân tử của chơng trình đại số lớp 8

Phần hai

I Các nội dung lý thuyết cơ sở:

1 Nhắc lại các cấu trúc Đại số:

 Định nghĩa phép toán hai ngôi:

Giả sử A là một tập không rỗng

Một ánh xạ: f : AA  A đợc gọi là một phép toán hai ngôi trên A Với mỗi cặp (x,y)  AA, ảnh f (x,y) đợc gọi là hợp thành của cặp (x,y)

và còn đợc viết gọn là f(x,y)

Nếu ký hiệu ánh xạ f bởi dấu “+” thì đợc ký hiệu bởi x+y và phép toán

đã cho đợc gọi là phép cộng, x+y đợc gọi là tổng của x và y

Nếu ký hiệu ánh xạ f bởi dấu "." thì f(x,y) đợc ký hiệu bởi x.y và phép toán đợc gọi là phép nhân, x.y đợc gọi là tích của x và y

 Định nghĩa nửa nhóm, nửa nhóm giao hoán, vị nhóm:

Phép toán hai ngôi f trên tập hợp A có tính chất kết hợp nếu

f [f(x,y),z] = f [x,f(y,z)]

với mọi x,yA

Nếu phép toán là phép cộng thì tính chất kết hợp có nghĩa là:

(x+y)+z = x+(y+z) với x,y,zA

Nếu phép toán là phép nhân thì tính chất kết hợp có nghĩa là:

(x.y).z = x.(y.z) với x,y,zA

+ Phép toán hai ngôi f đợc gọi là giao hoán nếu f(x,y) = f(y,x) với

x,yA

+ Một tập hợp A cùng với một phép toán hai ngôi kết hợp đợc gọi là một nửa nhóm

+ Một nửa nhóm đợc gọi là nửa nhóm giao hoán nếu phép toán có tính chất giao hoán

+ Một nửa nhóm nhân đợc gọi là một vị nhóm nếu nó có một phần tử eA sao cho xe = ex = x với xA., e đợc gọi là phần tử đơn vị

Nửa nhóm cộng A đợc gọi là một vị nhóm nếu mỗi phần tử aA đều tồn tại một phần tử a’A sao cho a+a’ = 0 = a’+a

a’ đợc gọi là phần tử đối của a và đợc ký hiệu là -a

Nếu phép toán trong nhóm có tính chất giao hoán thì ta nói đó là một nhóm giao hoán hay nhóm Aben

- Một tập con B của nhóm A đợc gọi là một nhóm con của nhóm A nếu

B cũng là một nhóm đối với phép toán trong A

 Định nghĩa vành, vành giao hoán, vành con:

- Tập hợp A đợc gọi là một vành nếu trên A có phép cộng và phép nhân sao cho:

iii Phép nhân phân phối đối với phép cộng, nghĩa là với ba phần tử tuỳ

ý là x,y,zA Ta có:

x(y+z) = xy+xz (y+z)x = yx+zx

- Vành A đợc gọi là vành giao hoán nếu phép nhân giao hoán

- Một tập con B của vành A đợc gọi là một vành con của nhóm A nếu b cũng là một vành con đối với phép toán trong A

 Định nghĩa trờng, trờng con:

- Một trờng là một vành giao hoán có đơn vị khác không và mọi phần

tử khác 0 đều có nghịch đảo

- Tập con B có ít nhất hai phần tử của trờng A đợc gọi là một trờng con của trờng A nếu B cũng là một trờng đối với các phép toán trong A

2 Nhắc lại về đa thức:

 Vành đa thức một ẩn:

Giả sử A là một vành con của vành E giao hoán có đơn vị, uE Phần tử

a0+a1u+a2u2+ +anun+ trong đó aiA với mọi i = 0,1, ,n, và chỉ có một số hữu hạn ai0 (1)

đợc gọi là một vành đa thức của phần tử u trên vành A

Tập hợp các đa thức của u trên A đợc ký hiệu bởi A[u].

Nếu tồn tại một đa thức dạng (1) với các ai không đồng thời bằng 0 mà:

a0+a1u+a2u2+ +anun = 0

Kéo theo mọi ai = 0

* Định lý về phép chia đa thức (phép chia hết và chia có d), hệ quả:

-Giả sử K[x] là vành đa thức trên trờng K

- Khi đó với hai đa thức bất kỳ f(x), g(x) và g(x) 0 tồn tại duy nhất hai đa thức q(x) và r(x)sao cho:

f(x) = g(x).q(x) + r(x), r(x) = 0, hoặc bậc r(x) < bậc g(x)

q(x) đợc gọi là thơng, r(x) đợc gọi là d

Nếu r(x) = 0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) và ký hiệu f(x):g(x)

Nếu r(x) 0 thì ta nói f(x) chia cho g(x) có d

-Hệ quả: Giả sử K là một trờng f(x)  K[x]và aK, khi đó f(a) là d trong phép chia f(x) cho x-a

*Định nghĩa nghiệm của một đa thức một ẩn:

Giả sử A là một vành Phần tử A đợc gọi là nghiệm của đa thức f(x)A[x] nếu f() = 0

 Định lý Bơdu về nghiệm của một đa thức:

Giả sử K là một trờng Phần tử K là nghiệm của đa thức f(xa0+a1u+a2u2+ +anun)=0[x] khi và chỉ khi f(x) chia hết chi nhị thức x-a

3 Nhắc lại về phân tích đa thức thành nhân tử

 Định nghĩa đa thức bất khả quy:

Đa thức f(x)  0 và khác ớc của 1 đợc gọi là đa thức bất khả quy nếu từ

đẳng thức f(x) = g(x).h(x) suy ra g(x) hoặc h(x) là ớc của đơn vị

 Tiêu chuẩn Aidenxtainơ:

Giả sử f(x) = a0+a1x+a2x2+ +anxn = 0 với các aiZ

Nếu có một số nguyên P thoả mãn các điều kiện sau:

i P không phải là ớc của an

ii P là ớc của ai, với i = 0,1, ,n-1

iii P2 không phải là ớc của a0

thì là đa thức bất khả quy trong Q[x]

 Một số mệnh đề về đa thức bất khả quy:

- Mệnh đề 1: Giả sử K là một trờng Nếu P(x) là một đa thức bất khả quy thuộc K[x] còn f(x) là một đa thức tuỳ ý thuộc K[x] thì f(x) chia hết cho P(x) hoặc nguyên tố với P(x)

- Mệnh đề 2: Giả sử K là một trờng Trong vành K[x] nếu đa thức bất khả quy Q(x) là ớc của tích f(x).g(x), thì P(x) là ớc của f(x) hoặc g(x)

- Mệnh đề 3: Giả sử K là một trờng Trong vành K[x] nếu tích f(x).g(x) chia hết cho h(x) và [g(x), h(x)] = 1 thì f(x) chia hết cho h(x)

- Mệnh đề 4: Giả sử K là một trờng Trong vành K[x] nếu f(x) chia hết cho hai đa thức nguyên tố cùng nhau thì f(x) chia hết cho tích của chúng

 Định lý về sự phân tích một đa thức (có bậc n1) thành tích các

đa thức bất khả quy.

Giả sử K là một trờng Mỗi đa thức f(x))K[x] có bậc n1 đều phân tích đợc thành những đa thức bất khả quy

II Vận dụng các nội dung lý thuyết trên vào

thực tiễn giảng dạy.

1 Tìm hiểu giới hạn của nội dung, chơng trình sách giáo khoa:

- Trong chơng trình Đại số 7 chơng IV học sinh đã đợc học khái niệm

đa thức, bậc của đa thức, cách tìm giá trị của đa thức tại một giá trị của ẩn, định nghĩa nghiệm cuả một đa thức, bớc đầu học sinh đã biết cách tìm nghiệm của một đa thức, một số đa thức đơn giản (bậc nhất

và bậc hai)

- Trong chơng I của sách giáo khoa Đại số 8 học sinh đã đợc học về các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, về phép chia đa thức (phép chia hết và phép chia có d) Nhng học sinh mới chỉ biết cách phân tích đa thức thành nhân tử ở các đa thức tơng đối đơn giản, có bậc thấp bằng một số cách thông thờng, cha có sự liên hệ kết nối giữa các kiến thức về nghiệm của đa thức với việc phân tích các đa thức thành nhân tử, về giá trị của đa thức, d trong phép chia của đa thức với việc tìm nghiệm của đa thức nên học sinh cha có đợc sự hiểu biết một cách toàn diện và có hệ thống về đa thức

2 Những nội dung kiến thức cần cung cấp và làm rõ cho học sinh trong quá trình giảng dạy về đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử:

 Các khái niệm cơ bản:

- Một đa thức của các biến x,y, ,z là một biểu thức nguyên trong đó các chữ x,y, ,x là các biến

- Nếu tại x=a đa thức f(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a là một nghiệm của đa thức f(x)

- Phân tích một đa thức thành nhân tử (hay thừa số) nghĩa là biến đổi nó thành tích của những đơn thức và đa thức

 Các phơng pháp cơ bản để phân tích đa thức thành nhân tử:

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp đặt nhân tử chung

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp dùng hằng đẳng thức

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp nhóm nhiều hạng tử

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phơng pháp

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử

 Với một cặp đa thức A(x) và B(x) trong đó B(x)  0:

tồn tại cặp đa thức Q(x) và R(x) sao cho:

A(x) =B(x).Q(x)+R(x) trong đó R(x) =0 hoặc bậc của R(x) thấp hơn bậc của B(x)

- Nếu R(x) =0 ta đợc phép chia hết

- Nếu R(x)  0 ta đợc phép chia có d, khi đó Q(x) là thơng và R(x) là

d của phép chia A(x) cho B(x)

+ Ví dụ1: A(x) =10x2-7x+a (aQ) xác định a sao cho A(x) chia hết cho 2x-3

Đặt phép chia đa thức:

8x+a -8x-12

a+12

Để A(x) chia hết cho 2x-3 ta phải có:

a+12=0

a=-12

Vậy a=-12 thì A(x) chia hết cho 2x-3

+Ví dụ 2: Cho đa thức: A(x) = a2x3+3ax2-6x-2a (a  Q)

Xác định a sao cho A(x) chia hết cho (x+1)

+Đặt phép chia đa thức:

a2x3+3ax2-6x-2a x+1

-a2x3+a2x2 ax2+(3a-a2)x+(a2-3a-6)

(3a-a2)x2-6x-2a

-(3a-a2)x2+(3a-a2)x

-a2+a+6

Để A(x) chia hết cho x+1 ta phải có:

-a2+a+6=0

(a+2)(3-a)=0

Vậy a=-2 hoặc a=3 thì A(x) chia hết cho x+1

*Định lý Bơdu về nghiệm của một đa thức:

Giả sử K là một trờng Phần tử K[x] khi và chỉ khi f(x) chia hết cho nhị thức x-a

Ví dụ: Phân tích đa thức 5x3-2x-3 thành nhân tử, dễ thấy x=1 là một nghiệm , theo định lý Bơdu thì đa thức 5x3-2x-3 chia hết cho x-1

Thực hiện phép chia ta đợc:

5x3-2x-3 =(x-1)(5x2+5x+3)

Ví dụ 2:Phân tích đa thức f(x)=3x5- 6x4-2x3+4x2-x+2 thành nhân tử

Dễ thấy x=1 là một nghiệm

Vì vậy đa thức đã cho chia hết cho x-1

Thức hiện phép chia ta đợc:

f(x)=(x-1)(3x4- 3x3-5x2-x-2)

Dễ thấy 3x4- 3x3-5x2-x-2 có nghiệm là x=-1

Thực hiện phép chia ta đợc:

3x4- 3x3-5x2-x-2=(x+1)(3x3-6x2+x-2)

Dễ thấy rằng 3x3-6x2+x-2 có nghiệm x=2

Vì thế 3x3-6x2+x-2=(x-2)(3x2+1)

Vậy 3x5- 6x4-2x3+4x2-x+2 =(x-1)(x+1)(x-2)(3x2+1)

*Khái niệm đa thức bất khả quy:

Đa thức f(x) 0 và khác ớc của 1 đợc gọi là đa thức bất khả quy nếu từ

đẳng thức f(x)=g(x).h(x) suy ra g(x) hoặc h(x) là ớc của đơn vị

Ví dụ: Z là vành số nguyên

- Số nguyên m  z[x] là bất khả quy khi và chỉ khi m là số nguyên tố

- Đa thức ax+b  Z[x], a  0 là bất khả quy khi và chỉ khi (a,b)=1

- Cụ thể 3x+5 là bất khả quy

 Tiêu chuẩn Aidenxtainơ về đa thức bất khả quy:

Giả sử f(x)=a0+a1x+a2x2+ +anxn với các ai Z

Nếu có một số nguyên tố P thoả mãn các điều kiện sau:

- P không phải là ớc của an

- P là ớc của ai, với i=0,1, ,n-1

- P2 không phải là ớc của a0

- Thì f(x) là đa thức bất khả quy trong Q[x]

Ví dụ: f(x)=2x3-3x2+9x-3 là đa thức bất khả quy trong Q[x] vì số nguyên

tố P=3 thoả mãn tiêu chuẩn Aidenxtainơ

Ví dụ: Hãy lập một đa thức bất khả quy trong Q[x] có bậc 7?

Chọn P=2, f(x)=x7-4x6 +8x3-6x+6 là đa thức bất khả quy trong Q[x]

3.Một số bài tập vận dụng và cách giải:

 Các bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp tách 1 số hạng thành nhiều số hạng khác.

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3x2-8x+4

Nhận xét: Đa thức trên không chứa thừa số chung Không có dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ, cũng không thể nhóm các số hạng Ta biến đổi

đa thức này thành đa thức có nhiều số hạng hơn:

Cách 1: (tách số hạng thứ 2)

3x2-8x+4 =3x2-6x-2x+4

=(3x2-6x)-(2x-4)

=3x(x-2)-2(x-2)

=(x-2)(3x-2) Cách 2:(tách số hạng thứ nhất)

3x2-8x+4 =4x2-8x+4-x2

=(2x-2)2 -x2

=(2x-2+x)(2x-2-x)

=(3x-2)(x-2) Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai ax2+x+c thành thừa số ta tách

số hạng bx=b1x+b2x sao cho b1/a=c/b2 tức là b1b2=ac

Trong thực hành ta làm nh sau:

Bớc 1: Tìm tích ac

Bớc 2: Phân tích a.c ra thành tích của 2 thừa số nguyên bằng mọi cách Bớc 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b

Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:

4x2-4x-3 (a=4,b=-4,c=-3)

ac=4.(-3)=-12

-12=-6.2=-4.3=2.(-6)=4.(-3)=1.(-12)=-12.1

Vì -6+2=-4 =b nên ta có thể làm nh sau:

=(4x2-6x)+(2x-3)

=2x(2x-3)+(2x-3)

=(2x-3)(2x+1) Cách 2: Tách số hạng thứ 3:

4x2-4x-3 =4x2-4x+1-4

=(4x2-4x+1)-4

=(2x-1)2-22

=(2x-1-2)(2x-1+2)

=(2x-3)(2x+1) Qua hai ví dụ trên ta thấy việc tách một số hạng thành nhiếu số hạng khác thờng nhằm mục đích:

+ Làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ nhờ đó mà xuất hiện thừa số chung (cách 1)

+ Làm xuất hiện hiệu của hai bình phơng (cách 2)

Với các đa thức có bậc từ 3 trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỷ

lệ ngời ta thờng dùng cách làm xuất hiện nghiệm của đa thức

Ta nhắc lại khái niệm nghiệm của đa thức: Số a đợc gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a)=0

Nh vậy nếu đa thức f(x) có nghiệm x-a thì nó chứa thừa số x-a

Giả sử đa thức: a0xn+a1xn-1+ +an

với a0,a1, ,an-1,an  Z

Có nghiệm x=a (a  Z)

=> a0xn+a1xn-1+ +an =(x-a)(b0xn+b1xn-1+ +bn –1) trong đó b0,b1, ,bn-1,bn

 Z

Số hạng có bậc thấp nhất của tích ở vế phải bằng-abn-1

Số hạng có bậc thấp nhất ở vế phải bằng an

 -abn-1=an tức là a là ớc của an

Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử x3-x2-4

Lần lợt kiểm tra với x=1,x=2,x=4 ta thấy f(2)=23-22-4=0

đa thức có nghiệm x=2 do đó chứa thừa số (x-2)

Cách 1: x3-x2-4 =x3-2x2+x2-2x+2x-4

=(x3-2x2)+(x2-2x)+(2x-4)

=x2(x-2)+x(x-2)+2(x-2)

=(x-2)(x2+x+2) Cách 2: x3-x2-4 =x3-8-x2+4

=(x3-8)-(x2-4)

=(x-2)(x2+2x+4)-(x-2)(x+2)

=(x-2)(x2+2x+4-x-2)

=(x-2)(x2+x+2) Chú ý: Khi xét nghiệm nguyên của đa thức nên nhớ 2 định lý sau:

a Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức, do đó đa thức chứa thừa số x-1.

Ví dụ; x3-5x2+8x- 4 x-1

-x3-x2 x2-4x+4

-4x2+8x- 4

- -4x2+4x

4x- 4

4x-4

o vậy x3-5x2+8x-4 =(x-1)(x2-4x+4)

=(x-1)(x-2)2

b Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức.

đa thức chứa thừa số x+1

Ví dụ: x3-5x2+3x+9

Ta có 9-5=1+3

 -1 là nghiệm của đa thức, đa thức chứa thừa số x+1

- 6x2+3x+9 6 x2-6x

9x+9

-9x+9

0

=(x+1)(x-3)2

Để nhanh chóng loại trừ các ớc của hệ số tự do không là nghiệm của đa thức, có thể dùng nhận xét sau:

Nếu a là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(-1) 0 thì: f(1):(a-1) và f(-1): (a+1) đều là số nguyên

Ví dụ: f(x)=4x3-13x2+9x-18

Ư(18)=1,2,3,6,9,18 f(1)=4-13+9-18=-18  0

f(-1)=-4-13-9-18=-44  0

 1 không phải là nghiệm của f(x)

Dễ thấy:

-3;6;9;18 không là nghiệm của f(x)

 2 không phải là nghiệm của f(x)

Dễ thấy x=3 là nghiệm của f(x)

4x3-13x2+9x-18 =4x3-12x2-x2+3x+6x-18

=(4x3-12x2)-(x2-3x)+(6x-18)

=4x2(x-3)-x(x-3)+6(x-3)

nen Z







































1 18 18

; 1 18 18

; 1 9 18

; 1 9 18

; 1 6 18

; 1 6 18

; 1

3

18

Z







1

2

44