sáng kiến kinh nghiệm hay đẫ đạt trên 80 điểm.Phát huy được tính tích cực, chủ động sáng tạo, phát triển khả năng tư duy, năng lực tự học của học sinh, tạo điều kiện cho các em hứng thú , say mê học tập bộ môn. Nêu lên được một số kinh nghiệm của bản thân về dạy học: “ Phân tích đa thức thành nhân tử”
Trang 1-A Đặt vấn đề:
I Lý do chọn đề tài
1 Cơ sở lý luận
Đào tạo thế hệ trẻ trở thành những ngời năng động sáng tạo, độc lập tiếp thu tri thức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết vận dụng và thực hiện các giải pháp hợp lý cho những vấn đề trong cuộc sống xã hội và trong thế giới khách quan là một vấn đề mà nhiều nhà giáo dục đã và đang quan tâm.Vấn đề trên không nằm ngoài mục tiêu giáo dục của Đảng và Nhà nớc ta trong giai
đoạn lịch sử hiện nay
Trong tập hợp các môn nằm trong chơng trình của giáo dục phổ thông nói chung, trờng THCS nói riêng, môn Toán là một môn khoa học quan trọng,
nó là cầu nối các ngành khoa học với nhau đồng thời nó có tính thực tiễn rất cao trong cuộc sống xã hội và với mỗi cá nhân
Đổi mới phơng pháp dạy học đợc hiểu là tổ chức các hoạt động tích cực cho ngời học, kích thích, thúc đẩy, hớng t duy của ngời học vào vấn đề
mà họ cần phải lĩnh hội Từ đó khơi dậy và thúc đẩy lòng ham muốn, phát triển nhu cầu tìm tòi, khám phá, chiếm lĩnh trong tự thân của ngời học từ đó phát triển, phát huy khả năng tự học của họ Đối với học sinh bậc THCS cũng vậy, các em là những đối tợng ngời học nhạy cảm việc đa phơng pháp học tập theo hớng đổi mới là cần thiết và thiết thực Vậy làm gì để khơi dậy và kích thích nhu cầu t duy, khả năng t duy tích cực, chủ động, độc lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm của môn học đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh? Trớc vấn đề đó ngời giáo viên cần phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp các phơng pháp dạy học trong các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối tợng học sinh, xây dựng cho học sinh một hớng t duy chủ động, sáng tạo
2 Cơ sở thực tiễn
Nội dung của chơng trình đại số 8 khá phong phú và đa dạng, bao hàm rất nhiều kiến thức đòi hỏi sự chính xác và logic Mong muốn nắm vững kiến thức về toán học để học khá và học giỏi môn toán là nguyện vọng của nhiều
học sinh Trong đó đặc biệt là chuyên đề “ Phân tích đa thức thành nhân tử”.
Nó đợc đa ngay vào trong chơng đầu, sau phần các hằng đẳng thức đáng nhớ
Chuyên đề: “Phân tích đa thức thành nhân tử” chứa đựng nhiều kiến thức, kỹ
năng và phơng pháp suy luận mà chơng trình đòi hỏi Nó liên quan tới rất nhiều nội dung khác trong chơng trình nh: Quy đồng các phân thức, giải
Trang 2-ơng trình chứa ẩn ở mẫu, ph -ơng trình tích, bất ph -ơng trình, chứng minh chia hết của đa thức
Các bài tập “Phân tích đa thức thành nhân tử” đơn giản mà vẫn hàm xúc,
không khó nhng vẫn đòi hỏi sự sáng tạo, chắc chắn chúng sẽ lôi cuốn các em
và làm các em hứng thú học toán hơn Dần dần hình thành cho các em học sinh một thói quen đi tìm một phơng pháp tối u cho một công việc nào đó trong cuộc sống này
Các em học sinh thờng gặp nhiều khó khăn trong việc đi tìm lời giải của
bài toán “Phân tích đa thức thành nhân tử” có những bài không biết bắt đầu từ
đâu vận dụng kiến thức gì trong chơng trình đã họ, có những bài giải đợc một
đoạn rồi đi vào ngõ cụt, bế tắc Qua nhiều năm giảng dạy tôi luôn chăn trở, suy nghĩ tìm tòi thu thập tài liệu sắp xếp sao cho hợp lý mong muốn giúp đỡ
các em bớt gặp khó khăn trong quá trình đi tìm lời giải cho bài toán “Phân tích đa thức thành nhân tử”
II Mục đích nghiên cứu đề tài
Phát huy đợc tính tích cực, chủ động sáng tạo, phát triển khả năng t duy, năng lực tự học của học sinh, tạo điều kiện cho các em hứng thú , say mê học tập bộ môn
Nêu lên đợc một số kinh nghiệm của bản thân về dạy học: “ Phân tích đa thức thành nhân tử”
B Giải quyết vấn đề:
Phần I: Các kiến thức cần nhớ
1 Khái niệm
Phân tích một đa thức thành nhân tử( hay thừa số) là biến đổi đa thức
đó thành một tích của những đơn thức và đa thức
2 Một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
a- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp thông th-ờng:
- Đặt nhân tử chung ( thừa số chung)
- Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ
- Nhóm hạng tử
b- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng vài phơng pháp khác( bổ sung – nâng cao )
- Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
Trang 3- Thêm bớt cùng một hạng tử
- Phơng pháp biến đổi (đặt ẩn phụ)
- Phơng pháp hệ số bất định
- Phơng pháp xét giá trị riêng
Phần 2:BàI TậP áP DụNG:
I/ ĐặT NHÂN Tử CHUNG ( THừA Số CHUNG)
1 Kiến thức: Phơng pháp này thờng đợc xét đến trớc tiên và dựa vào
tính chất phân phối của phép nhân đôi với phép cộng các đa thức:
AB + AC = A(B + C)
2 Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
Ví dụ 1: A = 6x3 – 9x2 = 3x2 (2x - 3)
Ví dụ 2 : B = 3x(x – 2y) + 6y(2y - x)
= 3x(x – 2y) - 6y(x – 2y) = (x – 2y)(3x – 6y) (1) = (x – 2y).3(x – 2y) (2) = 3(x – 2y)2
Ví dụ 3 : C = 4x(x - y) + 3 (y - x)2
= 4x (x - y) + (x - y)2 = (x - y)(4x + 3x – 3y) = ( x- y)(7x – 3y)
3 Nhận xét.
- Khi các hạng tử của một đa thức có chung một hay nhiều nhân tử, ta có thể
đặt nhân tử chung đó ra ngoài dấu ngoặc nh ví dụ 1
- Nhiều khi ta phải đổi dấu mới làm xuất hiện nhân tử chung nh ví dụ 2 : (2y - x) = - (x – 2y)
ở ví dụ 3 do số mũ chẵn nên (y - x)2 = (x - y)2 tránh mắc sai lầm nh ví dụ
2
(y - x)2 = - (x - y)2 là sai Vì ta cần chú ý : “ Tích không đổi khi ta đổi dấu hai nhân tử ( tổng quát một số chẵn nhân tử)”
- Một chú ý nữa mà các em cần nhớ đó là phải phân tích “ Triệt để” nh ở ví dụ
2 nếu ta dừng lại tại (1) hoặc (2) thì đa thức đã đợc phân tích thành nhân tử rồi nhng cha “ Triệt để”
II/ PHƯƠNG PHáP DùNG HằNG ĐẳNG THứC:
Trang 4-1 Kiến thức: Phơng pháp này dựa vào 7 hằng đẳng thức đáng nhớ.
2 Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
VD1: A = a4 – b4 = (a2)2 - (b2)2
= (a2 - b2) (a2 + b2) (1)
= (a - b)(a + b) (a2 + b2) (2) VD2: B = (x2 + 1)2 = 4x2
= (x2 – 2x + 1) (x2 + 2x + 1) (1)
= (x2 - 1) (x2 + 1) (2) VD3: C = (x + y)2 – 2(x + y) + 1
= (x + y – 1)2
3 Nhận xét :
ở VD1; VD2 ta đều dùng hằng đẳng thức a2 - b2 = (a - b)(a + b) nếu ở cả hai ví dụ ta dựng lại ở (1) thì đa thức đã đợc phân tích nh chua “Triệt để” Còn nếu ở VD2 từ (2) ta lại phậ tích tiếp: (x2 - 1) (x2 + 1) = (x2 - 1)2
- VD3 cho các em thấy ta phải quan sát kỹ biểu thức để dùng hằng đẳng thức cho nhanh
III/ PHƯƠNG PHáP NHóM NHIềU HạNG Tử.
1 Kiến thức: Cần tìm cách nhóm các hạng tử một cách thích hợp nhằm
xuất hiện nhân tử chung hoặc dạng hằng đẳng thức đã học
2 Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a
– VD1 : A = xy – 5y + 2y – 10
Cách 1: A = (xy – 5y) + (2x - 10) = y(x - 5) + 2(x - 5) = (x - 5)(y + 2) Cách 2: A = (xy + 2x) – (5y + 10)
= x(y + 2) – 5(y + 2)
= (x - 5)(y + 2)
b- VD2 : B = ax – bx + ab – x2
= (ax– x2) + ( ab– bx)
= x(a - x) + b(a - x)
= (a - x) (b + x)
c- VD3 : C = x2- y2 + 4x + 4
= (x2+ 4x + 4) - y2
= (x + 2)2 - y2
= (x + 2 + y)(x + 2 - y) Nhận xét:
- ở ví dụ 1 có hai cách nhóm đều thích hợp
Trang 5- ở ví dụ 2 nếu ta nhóm (ax - bx) + (ab - x2 ) = x(a - b)+ (ab - x2 ) đến
đây bế tắc
Nh vậy các em cần nhớ là quan sát cân nhắc để nhóm sao cho thích hợp hơn
c- VD4 : D = (x + y)3 – x3 – y3
= (x + y)3 – (x3 +y3)
= (x + y)( x2+ 2xy + y2) - (x + y)( x2 - xy + y2)
= 3xy (x + y)
* Trong VD4 các em đã nhóm nhẵm xuất hiện hằng đẳng thức (x3 +y3) Tuy nhiên cách giải này hơi dài, ta có thể giải cách khác ngắn gọn hơn đó
là khao triển hằng đẳng thức (x + y)3
Cách 2: D= (x + y)3 – x3 – y3
= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 – x3 – y3 = 3x2y + 3xy2
= 3xy (x + y)
c- VD4 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
E = x2(y - z)+ y2(z - x) + z2(x - y)
- Dạng bài tập này ta có hai cách giải:
Cách 1: Khai triển 2 trong 3 số hạng đã cho rồi lại tìm cách nhóm sao cho xuất hiện nhân tử chung giống nhân tử số hạng còn lại
E = x2(y - z)+ y2z - y2x + z2x - z2y = x2(y - z)+yz(y - z) - x(y2 – z2) = (y-z)( z2+yz – xy – xz)
= (y-z)[x(x-y)z(x-y) ] = (y-z)(x-y)(x-z) Cách 2 : Tách z-x = -(y - z) – (x - y)
Hoàn toàn tơng tự hoặc là: y – z = - (x-y) – (z - x)
Hay: x – y = - (y - z) – (z - x)
Ta sẽ có E = x2(y - x)- y2[(y-z) + (x -z) ] + z(x-y)
= (x-z)( x2- y2) – (x - y)( y2- z2)
=
= y(y - z)(x- y)(x-z) Ngoài ra dạng bài tập này còn có cách giải khác đó là phơng pháp xét giá trị riêng (phần sau)
IV PHƯƠNG PHáP TáCH MộT HạNG Tử THàNH NHIềU HạNG Tử
Trang 6-1 Tam thức bậc 2: A = ax 2 + bx + c
a Phơng pháp tách hạng tử bx :
- Tổng quát – tìm tích của ac:
- Phân tích ac = b1b2 /b1 + b2 = b
- Tách ax2 + bx + c = ax2+ b1x+ b2x + c
Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
A = 4x2 – 4x – 3
Ta có : ac = 4(-3) = -12 = -6.2 ( vì -6 + 2 = -4 = b)
A = 4x2 – 6x + 2x– 3
= 2x(2x -3)+ (2x -3)
= (2x-3)(2x+1)
Nhận xét: Phơng pháp tách bx nhằm xuất hiện hệ số tỉ lệ
c
b b
1
nhờ đó
mà xuất hiện thừa số chung
* Phơng pháp này phần lớn các em hay dùng vì nó dễ nhớ và cũng dùng cho khá nhiều bài toán
*Tuy nhiên để phân tích ac = b1b2 /b1 + b2 = b ta cần chú ý nh sau:
- Nếu ac>0 mà b>0 b1 và b2>0
Ví dụ: A = x2 + 5x + 4 có ac = 1.4 = 4> 0 và b = 5>0
b1 = 1 ; b2 = 4
* b<0 b1 và b2 < 0
Ví dụ A = x2 - 5x + 4
Ta thấy : b = -5<0 ac = 1.4 = 4 = (-1)(-4) = b1b2
- Nếu ac<0 mà b>0 ac phân tích thành hai thừa số trái dấu.Trong đó
có một thừa số dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn
VD : A = x2 +5x – 6
Có b=5>0 vậy ac = 1(-6)= 6(-1) = b1b2
- Nếu ac<0 mà b<0 ac phân tích thành hai thừa số trái dấu trong đó có thừa số âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn
B = 2x2 – 5x – 3
Có: b = -5<0 vậy ac=-6 = (-6).1 = b1b2
b Tách hạng tử ax 2
- Tổng quát ax2 nhằm xuất hiện hằng đẳng thức : (a’ b)2 – c2
VD: Phân tích đa thức thành nhân tử
A= 3x2 – 8x + 4
= 4x2 – 8x +4 –x2 = (2x -2)2 –x2 = (x-2)(3x -2)
Trang 7-c Tách hạng tử c
- Tách c nhằm xuất hiện hằng đẳng thức: (a b)2 – c’
Ví dụ : B = 4x2 – 4x – 3
= 4x2 – 4x + 1- 4
= (2x - 1)2 - 22
= (2x-3)(2x+1)
* Nhận xét: Có nhiều cách tách 1 hạng tử thành hai hạng tử khác trong
đó cách thông dụng là tách bx và Trong trờng hợp tam thức ax2 + bx + c có b
là lẻ hoặc a không là bình phơng của một số nguyên thì ta tách bx sẽ gọn hơn tách c
2 Đa thức bậc cao: a 0 x n + a 1 x n-1 + + a n-1 x+ a n = f(x)
Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức
a/ Khái niệm nghiệm của đa thức:
* Số a đợc gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0
Nh vậy nếu f(x) có nghiệm x=a thì nó chứa thừa số x-a
b/ Nếu đa thức có nghiệm nguyên :
Chú ý : 1- Khi xét nghiệm nguyên của một đa thức thì nên nhớ 2
định lý sau:
a - Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của
đa thức Khi đó f(x) cha nhân tử x-1
VD1: A = x3 + 3x2 -4
Có 1+3-4=0 nên 1 là nghiệm của A và A chứa nhân tử (x - 1)
Cách1:
A= x3 - x2 + 4x2 -4x + 4x -4 (phơng pháp tách dần dần)
= x2(x-1)+ 4x(x-1)+4(x-1)
= (x-1)(x+2)2
Cách 2: A = x3 - x2 + 4x2 -4
= x2(x-1)+ 4(x2-1)
= (x-1)(x+2)2
Cách 3: A = x3 + 3x2 -4
= x3 – 1 + 3x2 -3 = (x-1)(x2 + x + 1) + 3(x- 1)(x+1)
= (x-1)(x+2)2
Trang 8-Nh vậy khi đã biết đa thức có nhân tử là x-1 ta sẽ dùng mọi phơng pháp tách để làm xuất hiện nhân tử chung x – 1 Tuy nhiên cách làm dễ nhất là phơng pháp tách dần
b Nếu đa thc f(x) có tổng các hệ số hạng bậc chẵn bằng tổng các
số hạng bậc lẻ thì x = -1 là nghiệm của đa thức khi ấy đa thức chứa nhân tử x + 1.
VD2: B = x3 -5x2 + 3x + 9 có 1 + 3 = 9 -5 = 4
Nên x = -1 là nghiệm của B có nhân tử x + 1 khi đó tách B làm sao
có nhân tử chung là x +1
Cách 1: B= x3 + x2- 6x + 9x + 9 – 6x2
= x2(x+1)-6x(x+1)+9(x+1)
= (x+1)(x-3)2
C ách2: Phơng pháp nhằm xuất hiện hằng đẳng thức.
B = x3 -5x2 + 3x + 9
= x3 +3x2 + 3x + 1 - 8 x2 + 8
= (x +1)3 -8(x+1)(x-1)
= (x+1)(x-3)2
Chú ý : 2- Nếu đa thức có nghiệm nguyên khác 1 thì nghiệm đó phải là ớc của các hạng tử tự do a n vậy ta tìm ớc của a n rồi thử.
- Để nhanh chóng loại trừ các ớc của hệ số tự do không là nghiệm của đa thc, ta có thể dùng nhận xét sau: “ x= a là nghiệm của f(x) và
f(1) ; f(-1) 0 thì
1
) 1 (
a
f
và
1
) 1 (
a
f
đều nguyên”
Chứng minh: Thật vậy nếu số a là nghiệm của f(x) thì f(x – a) Q(a) (1)
Thay x = 1 vào (1) ta có : f(1 ) = (1 - a).Q(1)
Do f(1)> 0 1 – a 0 a 1
Q(1) =
1
) 1 (
a
f
Z
Thay x = -1 vào (1) hoàn toàn tơng tự ta cũng có
1
) 1 (
a
f
là số nguyên
VD3: f(x) = 4x3 -13x2 + 9x – 18
Ta có Ư(18) = { 1, 2, 3, 6, 9, 18}
f(1) = -18 x
1không là nghiệm của f(x) f(-1)= -44
Trong các ớc trên ta dễ dàng thấy nhanh là:
1 3
18
;
1 6
18
;
1 9
18
;
1 18
18
Trang 9-Và
1 2
44
Nh vậy chỉ còn lại 2 ớc là – 2 và 3 Thử lại lần nữa ta thấy 3 là nghiệm
Vậy f(x) = (x-3)(4x2 – x + 6)
* Nhận xét: -Các em nên nhớ là x = a là nghiệm thì
1
) 1 (
a
f
và
1
) 1 (
a
f
phải
cùng nguyên Cho nên các em phải quan sát và thử nhanh nếu
1
) 1 (
a
f
thì
loại ngay mà không cần thử
1
) 1 (
a
f
nữa
- Cuối cùng khi đã tìm đợc các ớc thoả mãn rồi ta vẫn phải thử lại lần nữa
c Nếu f(x) không có nghiệm nguyên mà còn nghiệm hữu tỉ.
- Nghiệm hữu tỉ x =
q
p
trong đó :
p là ớc của an
q là ớc dơng của a0 VD4: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x -5
Xét các số
3
5
; 3
1
thì ta thấy
3
1
là nghiệm nên đa thc f(x) sẽ có nhân tử
là (x
-3
1
) hay (3x -1) và ta sẽ dùng phơng phap tách dần nhằm xuất hiện nhân
tử (3x-1)
Vậy f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x -5
= 3x3 – x2 - 6x2 + 2x + 15x -5 = x2(3x-1) – 2x(3x-1)+5(3x-1) = (3x-1)(x2-2x+5)
d/ Nhận xét
- Thông thờng sau khi nhẩm đợc nghiệm x = a ta thờng dùng phơng pháp
tách dần ( hoặc phơng pháp hằng đẳng thức nếu đợc) sao cho xuất hiện nhân tử (x –a)
- Ngoài ra còn có thể dùng lợc đồ Hoóc –ne để tách( phân tích đa thức)
cho nhanh
Trang 10-* Tổng quát : f(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + + a n-1 x+ a n
Có nghiệm x = a
Khi đó ta có lợc đồ nh sau:
x=a b0 = a0 b1 = ab0 + a1 b2 = ab1 + a2 0
f(x) = (x – a)(b0xn-1 + b1xn-2 + b2xn-3 + )
- Nếu nhân tử Q(x)= b0xn-1 + b1xn-2 + b2xn-3 +
Ta lại nhẩm thấy có nghiệm x = b thì lại tách tiếp trên lợc đồ nh đã làm với x = a
VD: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
f(x) = x3 -5x2 + 3x + 9
Nhẩm nhanh ta thấy f(x) có nghiệm x = -1 và x = 3 ta có lợc đồ Hoóc ne
nh sau ( hớng dẫn cách thực hành)
Vậy : f(x) = (x - 3)(x + 1)(x – 3)
= (x + 1)(x - 3)2
- Thực tế ta làm gọn nh sau: (Nhng nhớ là các hệ số ta viết theo thứ tự của bậc tơng đơng giảm dần, bậc nào khuyết thì hệ số của bậc đó là 0)
* VD : Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
F(x) = x3 – 7x – 6
Nhẩm nhanh ta có x = - 1 ; x = -2 là nghiệm
Ta có lợc đồ Hoóc ne:
Vậy f(x) = (x + 1)(x + 2)(x – 3)
Bài tập : Phân tích đa thức thành nhân tử( vơi nhiều cách): f(x) = x 3 – 7x – 6 Chú ý rằng : -1; -2; -3 là nghiệm của đa thức nên ta có các cách sau:
1-539x=31-2-30 x x x
x=-11 x-30
Trang 11- Phơng pháp tách dần:
Cách 1: f(x) = x 3 + x 2 - x 2 – x - 6x – 6
= x 2 (x + 1)- x(x + 1)-6(x + 1)= … Cách 2: f(x) = x 3 + 2x 2 -2 x 2 – 4x - 3x – 6
= x 2 (x + 2)- 2x(x + 2)-3(x + 2)= … Cách 3: f(x) = x 3 -32x 2 +3 x 2 – 9x +2x – 6
= x 2 (x - 3)+3x(x -3)+2(x -3)= …
- Phơng pháp xuất hiện hằng đẳng thức
Cách 4: f(x) = x 3 +1 - 7x – 7= (x + 1)( x 2 – x + 1)- 7(x + 1)=…
Cách 5: f(x) = x 3 +8 - 7x – 14= (x + 2)( x 2 – 2x + 4)- 7(x + 2)=…
Cách 6: f(x) = x 3 -27 - 7x + 21= (x -3)( x 2 + 3x + 9)- 7(x -3)=…
- Phơng pháp số hạng -7x:
Cách tách số hạng -7x:
Cách 7: f(x) = x 3 -x - 6x – 6= x(x 2 - 1)-6(x + 1)=…
Cách 8: f(x) = x 3 -4x - 3x – 6= x(x 2 - 4)-3(x + 2)=…
Cách 9: f(x) = x 3 -9x +2x – 6= x(x 2 - 9)+ 2(x -3 )=…
-Tách x3
Cách 10: 7x 3 – 7x -6x 3 – 6
V PHơNG PHáP THÊM Và BớT CùNG MộT HạNG Tử
Dạng 1: Thêm và bớt cùng một số hạng làm xuất hiện hiệu của 2 bình
ph-ơng.
VD1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
A = x4 + 64 = (x2)2 + 82
= x4 + 16x2 + 64 - 16x2
= (x2 + 8)2 – (4x)2
= (x2 – 4x +8) (x2 + 4x +8)
VD2:
B = 81x4 + 4 =(9x2)2 + 22
= 81x4 +36x2 +4 – 36x2
= (9x2 + 2)2 – (6x)2
= (9x2 -6x + 2) (9x2 + 6x + 2)
Nhận xét : Nh vậy ở dạng này đã có a2 + b2 ta chỉ việc thêm và bớt số hạng 2ab, trong đó 2ab = c2 khi đó: A = a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab