SKKN PHÂN TÍCH đa THỨC THÀNH NHÂN tử và các bài tập ỨNG DỤNG

1 Ý nghĩa và tác dụng.Trong nhiều năm tôi được phân công làm nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi tôi đã tích lũy được nhiều kiến thức về dạng toán “ Phân tích đa thức thành nhântử” và những

TRƯỜNG THCS TAM ĐA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1) Ý nghĩa và tác dụng.

Trong nhiều năm tôi được phân công làm nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi tôi

đã tích lũy được nhiều kiến thức về dạng toán “ Phân tích đa thức thành nhântử” và những dạng bài tập vận dụng ,đặc biệt là hướng dẫn học sinh cách nhậndạng bài toán để biết được nên áp dụng phương pháp nào để vừa nhanh gọn,vừa dễ hiểu

2) Giới hạn (phạm vi) nghiên cứu:

Đề tài nghiên cứu “Phân tích đa thức thành nhân tử và các bài tập vận dụng” Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 8 trường THCS

B Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu:

-Những chuyển biến sau khi áp dụng

-Rút ra bài học kinh nghiệm

2) Phương pháp tiến hành:

a) Cơ sở lý luận

Chuyên đề "Phân tích đa thức thành nhân tử" được học khá kỹ ở chương trình

lớp 8, nó có rất nhiều bài tập và cũng được ứng dụng rất nhiều để giải các bàitập trong chương trình đại số lớp 8 cũng như ở các lớp trên Vì vậy yêu cầu họcsinh nắm chắc và vận dụng nhuần nhuyễn các phương pháp phân tích đa thứcthành nhân tử là vấn đề rất quan trọng Nắm được tinh thần này trong quá trìnhgiảng dạy toán lớp 8 tôi đã dày công tìm tòi, nghiên cứu để tìm ra các phươngpháp phân tích đa thức thành nhân tử đa dạng và dễ hiểu Góp phần rèn luyện tríthông minh và năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh Trong SGK đã trình bàycác phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là phương pháp đặt nhân tửchung, phương pháp nhóm các hạng tử, dùng hằng đẳng thức Trong chuyên

đề này tôi giới thiệu thêm các phương pháp như: Phân tích đa thức thành nhân

tử bằng phương pháp tách số hạng, phương pháp thêm bớt số hạng, phươngpháp đặt ẩn phụ, phương pháp tìm nghiệm của đa thức Đồng thời vận dụng cácphương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm một số dạng bài tập

b) Cơ sở thực tiễn

Thực tế giảng dạy cho thấy các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử sgktrình bầy khá đầy đủ và chi tiết, song việc vận dụng của các em lại rất lung túng vàthiếu tính hệ thống Đặc biệt đối với học sinh khá giỏi thì nội dung kiến thức chưađáp ứng được nhu cầu của các em

Khi học chuyên đề này học sinh tiếp thu rất thích thú Các ví dụ đa dạng, cónhiều bài tập vận dụng tương tự nên giúp cho học sinh nắm vững chắc cácphương pháp phân tích đa thức thành nhân tử tạo tiền đề cho các em học tậpkiến thức mới và giải các bài toán khó

c) Các phương pháp tiến hành

-Phương pháp đọc sách và tài liệu

-Phương pháp nghiên cứu sản phẩm

-Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

-Phương pháp thực nghiệm

-Phương pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề

NỘI DUNG ĐỀ TÀI:

1) Mục tiêu nghiên cứu :

Chỉ ra những phương pháp dạy loại bài “ Phân tích đa thức thành nhân tử”Đổi mới phương pháp dạy học

Nâng cao chất lượng dạy học,cụ thể là chất lượng mũi nhọn

2) Giải pháp của đề tài

Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “Phân tích đa thức thànhnhân tử là gì và ngoài giải những bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử thìnhững dạng bài tập nào được vận dụng nó và vận dụng nó như thế nào ?

-Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức đã cho thành mộttích của các đa thức,đơn thức khác

-Phân tích đa thức thành nhân tử là bài toán đầu tiên của rất nhiều bài toánkhác Ví dụ:

+ Bài toán chứng minh chia hết

+ Rút gọn biểu thức

+Giải phương trình bậc cao

+ Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất

I Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:

1- Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm, tách, thêm, bớt hạng tử.

Ví dụ 1: x4 + x3 + 2x2 +x +1

Đa thức đã cho có 4 số hạng không thể đặt ngay nhân tử chung hoặc áp dụngngay các hằng đẳng thức, vì vậy ta nghĩ tới cách nhóm các số hạng hoặc thêmbớt số hạng Ta có thể phân tích như sau:

Cách 1: x4 + x3 + 2x2 +x +1

=(x4+2x2+1)+(x3+x) =(x2+1)2+x(x2+1)

=(x2+1)(x2+x+1)

Cách 2: x4 + x3 + x2 +x2+x +1

=x2(x2+x+1)+(x2+x+1) =(x2+1)(x2+x+1)

Bài này cần lưu ý học sinh trong tập hợp số hữu tỉ đa thức x2 + x +1 khôngphân tích được nữa

Ví dụ 2:Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3 - 7x2 + 15x - 25

Giải: x3 - 7x2 + 15x - 25

=x3 - 5x2 - 2x2 + 10x + 5x- 25

=x2(x- 5) - 2x(x - 5) + 5(x - 5) =(x- 5)(x2- 2x + 5)

Ví dụ 3:Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz

Giải: Đa thức đã cho có 7 số hạng lại không đặt nhân tử chung được mà cóhạng tử 3xyz nên ta tách hạng tử 3xyz thành 3 hạng tử để sử dụng phương phápnhóm hạng tử

x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz

= x2y + x2z + xyz + xy2 + y2z + xyz + xz2 + yz2 + xyz

= x (xy + xz + yz) + y (xy + yz + xz) + z (xz + yz + xy)

= (xy + xz + yz) (x + y + z)

Ví dụ 3: x2 + 6x + 8

Với các phương pháp đã biết như đặt nhân tử chung, nhóm số hạng, dùnghằng đẳng thức ta không thể phân tích được đa thức này Nếu tách một số hạngthành hai số hạng để đa thức trở thành 4 số hạng thì có thể nhóm các hạng tử đểxuất hiện nhân tử chung hoặc xuất hiện các hằng đẳng thức Từ đó có nhiềukhả năng biến đổi đa thức đã cho thành tích

Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh chú ý sau:

- Một đa thức dạng ax2 +bx + c chỉ phân tích được thành nhân tử trong tập hợp

Q khi đa thức đó có nghiệm hữu tỉ   (hoặc , )là một số chính phương

(trong đó = b2-4ac (, = b,2 - ac)

- Một đa thức dạng ax2 +bx + c tách làm xuất hiện hằng đẳng thức được khi :

 (hoặc , )là một số chính phương và chứa 2 trong 3 hạng tử của

A2 +2AB +B2 hoặc A2 - 2AB +B2

Ví dụ 5: x4 + 4y4 = x4 + 4y4 + 4x2 y2 – 4x2y2

= (x + 2y)2 – (2xy)2

= (x + 2y + 2xy)(x + 2y - 2xy)

Ví dụ 6: a5 + a - 1

Số mũ của a từ 5 xuống 1 nên giữa a5 và a cần có những số hạng với số mũtrung gian để nhóm số hạng làm xuất hiện nhân tử chung.

Phân tích đa thức a3 b3 c3  3abc thành nhân tử”

Bài này học sinh có thể giải như sau:

a = b = c

Nếu cho a= x- y; b= y-z ; c = z-x thì a+b+c =0 Do đó ta có bài toán như sau:

Bài toán 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

(x-y)3 + (y-z)3 + (z-x)3

Từ nhận xét ở trên học sinh có thể giải được ngay và cho kết quả :

(x-y)3 + (y-z)3 + (z-x)3= 3 (x-y)(y-z)(z-x)

Nếu cho a= x 2 +y 2 , b= z 2 -x 2 , c= -y 2 -z 2 cũng cho a+b+c = 0 và ta lại có bài toán như sau

Bài toán 2:Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

đề bài: Hai đa thức x2 + x + 1 và x2 + x + 2 chỉ khác nhau bởi hạng tử tự do, do

đó nếu ta đặt y = x2 + x + 1 hoặc y = x2 + x thì biến đổi đa thức thành đa thứcbậc hai sẽ đơn giản hơn nhiều

Nhận xét: Ta có: 2 + 8 = 4 + 6 cho nên nếu ta nhân các thừa số x + 2 với x +8

và x + 4 với x + 6 ta được các đa thức có phần biến giống nhau

=( x2+10x+20)2

3- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tìm nghiệm của đa thức.

a) Cách tìm nghiệm của một đa thức

-Phương pháp tìm nghiệm nguyên của đa thức:Nghiệm nguyên (nếu có ) củamột đa thức phải là ước của hạng tử tự do

VD Tìm nghiệm nguyên của đa thức sau:

x3 + 3x2 - 4

Giải: C1)Các ước của 4 là : 1;2;4;-1;-2;-4 Thử các giá trị này ta thấy x = 1 và x

= -2 là nghiệm của đa thức đã cho

C2) Tổng các hệ số của đa thức bằng 0 nên đa thức đã cho có nghiệm x =1

- Phương pháp tìm nghiệm hữu tỉ của một đa thức: Trong đa thức với hệ sốnguyên,nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tựdo;q là ước dương của số hạng có bậc cao nhất

VD Tìm nghiệm của đa thức sau:

2x3 + 5x2 + 5x + 3

Giải: Các ước của 3 là : 1;-1;3;-3 (p)

Các ước dương của 2 là : 1;2 (q)

Xét các số 1; 3;1/2; 3/2 ta thấy -3/2 là nghiệm của đa thức đã cho

II Các dạng bài tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử

Dạng 1: Rút gọn biểu thức

Để giải bài toán rút gọn một biểu thức đại số (dạng phân thức) ta phải phân tích

tử thức ,mẫu thức thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của chúng

Ta thấy tử thức của phân thức có các nghiệm là :1; 1

3; Mẫu thức của phân thức

( 1) (3 1) ( 1) (2 3)

x x

x x x x

Ví dụ 4: Cho 1 1 1 0

x y z  Tính 2 2 2

xy yz xz P

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x ,ta có:

Do x là số nguyên nên (x + 2) (2x - 1) là số nguyên

Do đó 8 (x + 2) (2x - 1) chia hết cho 8 Ta suy ra ĐPCM

Cách 2: (4x + 3)2 - 25

= 16x2 + 24x + 9 - 25

= 16x2 + 24x - 16

= 8 (2x2 + 3x - 2)

Vì x là số nguyên nên 2x2 + 3x - 2 là số nguyên

Do đó 8 (2x2 + 3x - 3) chia hết cho 8.Ta suy ra ĐPCM

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n biểu thức

3

3 2 3

Muốn chứng minh biểu thức là số nguyên chỉ cần chứng minh 2n + 3n2 + n3

chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

Vậy mọi số nguyên n biểu thức A=

6 2 3

3

2 n n n



 là số nguyên

Ví dụ 4: Chứng minh đa thức: x50 + x49 + + x2 + x + 1 chia hết cho đa thức x16

+ x15 + + x2 + x + 1

Ta thấy đa thức bị chia có 51 số hạng, đa thức chia có 17 số hạng, ta phân tích

đa thức bị chia như sau:

a     

1 1

1 1

CMR: a n b n c n a n b n c n

1 1

1 1

Vì n lẻ nên a2 = -bn hoặc bn = - c2 hoặc an = - cn

Thay vào ta suy ra điều phải chứng minh

Dạng 3: Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải một số dạng phương

trình.

a) Giải phương trình nghiệm nguyên.

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

3x2 + 10xy + 8y2 = 96

Ta có: 3x2 + 10xy + 8y2= 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2

= x (3x + 4y) + 2y (3a + 4y) = (3n + 4y) (x + 2y) = 96

Giải hệ (I) ta được x = 16; y = - 6 (Loại).

Giải hệ (II) ta được x = 4; y = 1 (Loại)

Giải hệ (III) ta được x = 4; y = 6 (Loại)

Giải hệ (IV) ta được x = - 16;y = 14 (Loại)

Vậy nghiệm của hệ x = 4; y = 1

Vậy nghiệm của phương trình: x= 4; y = 1

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

hoặc (x2 + 2x + 2) = 0 không có giá trị nào của x Q

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = -1

0 5

5

t t

Vậy phương trình có tập nghiệm: S = {0; -6}

Ví dụ 5: Giải phương trình đối xứng bậc chẵn

x4 + 3x3 + 4x2 + 3x + 1 = 0 (5)

Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (5)

 Chia hai vế của (5) cho x2  0, ta được

1

t t

Thay t = - 1 vào (*), ta được : x + x1 = -1  x2 + x + 1 = 0 (Vô nghiệm)Thay t = - 2 vào (*), ta được : x + x1 = - 2 x2 + 2x + 1 = 0 (x + 1)2 = 0

 x = -1

Vậy phương trình (5) có tập nghiệm S = {-1}

*Ví dụ 6: Giải phương trình đối xứng bậc lẻ

1 = 0  (x2 + 2

x

1) – 2(x +

x

1

) + 5 = 0Đặt (x + x1 ) = t (*)

 (x2 + x 2

1

) = t2 – 2(6’)  t2 – 2t +3 = 0

 (t – 1) 2 + 2 = 0 ( vô nghiệm)

Vậy phương trình (6) có tập nghiệm S = {-1}

Ví dụ 7: Giải hệ phương trình sau : 2 2 2

3 3 3

1 1 1

    1

a b c

3

2 n n n



 là số nguyên với mọi số chẵn n

16) Chứng minh đa thức: x79 + x78 + + x2 + x+ 1 chia hết cho đa thức x19 +

x18 + + x2 + x + 1

17): Giải phương trình : (3x-2)3- (x-3)3 = (2x+1)3

18) Giải phương trình nghiệm nguyên

(x+y)3= (x-2)3+ (y+2)3 + 6

19) Phân tích đa thức thành nhân tử

(x+y+z)3- (x+y-z)3- (x-y+z)3- (-x+y+z)3

20) Cho abc 0;a b c   0 Tính giá trị của P a2 b2 c2

em học sinh , các bậc cha mẹ học sinh tham khảo, góp phần nhỏ vào năng lựcgiải toán và tri thức toán học của mình Rất mong bạn đọc tham khảo và góp ýcho tôi để nội dung phong phú và hoàn thiện hơn./

Người thực hiện:

Hoàng Văn Chanh

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1) Một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THCS.2) Sách hướng dẫn giảng dạy môn toán lớp 8

3) Sách giáo khoa toán 8

4) Tài liệu Bồi dưỡng thường xuyên môn toán chu kỳ 2004-2007

5) Toán nâng cao và các chuyên đề Đại Số 8

c) Các phương pháp tiến hành Trang 3

NỘI DUNG ĐỀ TÀI:

Mục tiêu nghiên cứu: Trang4

Giải pháp của đề tài Trang 4

I Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Trang 4-10

II Các dạng bài tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử

XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC

TRƯỜNG THCS TAM ĐA