chuyen de phan tich da thuc thanh nhan tu

e/ Các phơng pháp cơ bản để phân tích đa thức thành nhân tử: - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp đặt nhân tử chung.. - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp nhóm

CHUYấN ĐỀ

CAÙC PHệễNG PHAÙP PHAÂN TÍCH ẹA THệÙC THAỉNH

NHAÂN TệÛ

A.cơ sở lý thuyết:

a/ Định lý về phép chia đa thức (phép chia hết và chia có d):

- Khi đó với hai đa thức bất kỳ f(x), g(x) và g(x) 0 tồn tại duy nhấthai đa thức q(x) và r(x)sao cho:

f(x) = g(x).q(x) + r(x), r(x) = 0, hoặc bậc r(x) < bậc g(x)

q(x) đợc gọi là thơng, r(x) đợc gọi là d

Nếu r(x) = 0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) và ký hiệu f(x)g(x)

Nếu r(x) 0 thì ta nói f(x) chia cho g(x) có d

b/ Hệ quả: Ta có f(a) là d trong phép chia f(x) cho x- a.

c/ Định nghĩa nghiệm của một đa thức một ẩn:

Phần tử aA đợc gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0

d/ Định lý Bơdu về nghiệm của một đa thức:

Phần tử a là nghiệm của đa thức f(x) khi và chỉ khi f(x) x-a

e/ Các phơng pháp cơ bản để phân tích đa thức thành nhân tử:

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp đặt nhân tử chung

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp dùng hằng đẳngthức

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp nhóm nhiều hạngtử

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phơngpháp

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thànhnhiều hạng tử

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thêm bớt cùng một hạngtử

1 Phương phỏp đặt nhõn tử chung

Vớ dụ 1 Phõn tớch các đa thức sau thành nhõn tử.

28a 2 b 2  21abab 2 + 1ab4a 2 b = 7ab(4ab  3b + 2a)b + 2a) 2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y  z) – 5y(y  z) = (y – z)(2  5y)

2 Phương phỏp dựng hằng đẳng thức

Vớ dụ 2 Phõn tớch các đa thức sau thành nhõn tử.

9x 2 – 4 = (3b + 2a)x) 2 – 2 2 = ( 3b + 2a)x– 2)(3b + 2a)x + 2)

8 – 27a 3b + 2a) b 6 = 2 3b + 2a) – (3b + 2a)ab 2 ) 3b + 2a) = (2 – 3b + 2a)ab 2 )( 4 + 6ab 2 + 9a 2 b 4 ) 25x 4 – 1ab0x 2 y + y 2 = (5x 2 – y) 2

3 Phương phỏp nhúm nhiều hạng tử

Vớ dụ 3 Phõn tớch các đa thức sau thành nhõn tử

= ( x 2 + 1ab)( 2x – 3b + 2a))

x 2 – 2xy + y 2 – 1ab6 = (x – y) 2  4 2 = ( x – y – 4)( x –y + 4)

4 Phối hợp nhiều phương phỏp

Vớ dụ 4 Phõn tớch các đa thức sau thành nhõn tử

3b + 2a)xy 2 – 1ab2xy + 1ab2x = 3b + 2a)x(y 2 – 4y + 4) = 3b + 2a)x(y – 2) 2

3b + 2a)x 3b + 2a) y – 6x 2 y – 3b + 2a)xy 3b + 2a) – 6axy 2 – 3b + 2a)a 2 xy + 3b + 2a)xy =

= 3b + 2a)xy(x 2 – 2y – y 2 – 2ay – a 2 + 1ab)

= 3b + 2a)xy[( x 2 – 2x + 1ab) – (y 2 + 2ay + a 2 )]

= 3b + 2a)xy[(x – 1ab) 2 – (y + a) 2 ]

= 3b + 2a)xy[(x – 1ab) – (y + a)][(x – 1ab) + (y + a)]

= 3b + 2a)xy( x –1ab – y – a)(x – 1ab + y + a)

a+12

Để A(x)  2x-3 ta phải có: a+12=0  a= -12

Vậy a=-12 thì A(x) chia hết cho 2x-3

Ví dụ 6: Cho đa thức: A(x) = a 2 x 3 +3ax 2 -6x-2a (a  Q)

Xác định a sao cho A(x) chia hết cho (x+1)

I PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ

1 Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax 2 + bx + c)

a) Cách 1 (tách hạng tử bậc nhất bx):

Bước 1: Tìm tích ac, rồi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.

a.c = M Bước 2: Chọn hai thừa số a i c i sao cho M = a i c i với b = a i + c i

Bước 3: Tách bx = a i x + c i x Từ đó nhóm hai số hạng thích hợp để phân tích tiếp.

Ví dụ 5 Phân tích đa thức f(x) = 3b + 2a)x2 + 8x + 4 thành nhân tử.

Hướng dẫn

 Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(– 12)

 Tích của hai thừa số có tổng bằng b = 8 là tích a.c = 2.6 (a.c = a i c i ).

= (x + 2)(3b + 2a)x + 2)

f(x) = (1ab2x 2 + 8x) – (9x 2 – 4) = … = (x + 2)(3b + 2a)x + 2)

e) Cỏch 5 (nhẩm nghiệm): Xem phần sau.

Chỳ ý : Nếu f(x) = ax 2 + bx + c cú dạng A 2 ± 2AB + c thỡ ta tỏch như sau : f(x) = A 2 ± 2AB + B 2 – B 2 + c = (A ± B) 2 – (B 2 – c)

2 Đối với đa thức bậc từ 3 trở lờn

Qua các ví dụ trên ta thấy việc tách một số hạng thành nhiếu số hạng khác thờng nhằm mục đích:

+ Làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ nhờ đó mà xuất hiện thừa số chung (cách 1).

+ Làm xuất hiện hiệu của hai bình phơng (cách 2)

Với các đa thức có bậc từ 3 trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số

tỷ lệ ngời ta thờng dùng cách làm xuất hiện nghiệm của đa thức.

Ta nhắc lại khái niệm nghiệm của đa thức: Số a đợc gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a)=0.

Nh vậy nếu đa thức f(x) có nghiệm x-a thì nó chứa thừa số x-a.

Giả sử đa thức: a0xn+a1xn-1+ +an

với a0,a1, ,an-1,an  Z có nghiệm x= a (a  Z)

=> a0xn+a1xn-1+ +an=(x-a)(b0xn+b1xn-1+ +bn –1) trong đó b0,b1, ,bn-1,bn

 Z

Số hạng có bậc thấp nhất của tích ở vế phải bằng-abn-1

Số hạng có bậc thấp nhất ở vế phải bằng an

 -abn-1= an tức là a là ớc của an

Vậy đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ớc của hạng tử tự

do a n

Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử x 3 -x 2 -4.

Lần lợt kiểm tra với x=1,x=2,x=4 ta thấy f(2)=23-22-4=0

đa thức có nghiệm x= 2 do đó chứa thừa số (x-2)

Cách 1: x3-x2-4 =x3-2x2+x2-2x+2x-4 = (x3-2x2)+(x2-2x)+(2x-4)

=x2(x-2)+x(x-2)+2(x-2) = (x-2)(x2+x+2)Cách 2: x3-x2-4 =x3-8-x2+4 = (x3-8)-(x2-4)

Thay x = 1ab vào (1ab), ta có : f(1ab) = (1ab – a).q(1ab).

Do f(1ab) ≠ 0 nên a ≠ 1ab, suy ra q(1ab) = 



( )

f 1

a 1 Vì các hệ số của f(x) nguyên

nên các hệ số của q(x) cũng nguyên Do đó, q(1ab) là số nguyên Vậy



( )

f 1

a 1 là số nguyên.

Thay x = –1ab vào (1ab) và chứng minh tương tự ta có 

Hướng dẫn

Các ước của 1ab8 là ± 1ab, ± 2, ± 3b + 2a), ± 6, ± 9, ± 1ab8.

f(1ab) = –1ab8, f(–1ab) = –44, nên ± 1ab không phải là nghiệm của f(x)

18 1 không là số nguyên nên –3b + 2a), ± 6, ±

9, ± 1ab8 không là nghiệm của f(x) Chỉ còn –2 và 3b + 2a) Kiểm tra ta thấy 3b + 2a) là nghiệm của f(x) Do đó, ta tách các hạng tử như sau :

f(x) = (3b + 2a)x 3b + 2a) – x 2 ) – (6x 2 – 2x) + (1ab5x – 5) = (3b + 2a)x – 1ab)(x 2 – 2x + 5)

3 Đối với đa thức nhiều biến

Ví dụ 11 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) 2x 2  5xy + 2y 2 ;

C¸c bµi to¸n luyÖn TËp.

Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö

1ab1ab/ 3b + 2a) 2 1ab2/ 5 3b + 2a) 9

1ab3b + 2a) / 8 1ab7 1ab0 1ab4/ 3b + 2a) 6 4

1ab7 / 4 1ab8/ 3b + 2a) 3b + 2a) 2

1ab9 / 9 26 24 20/ 2 3b + 2a) 3b + 2a) 1ab

21ab/ 3b + 2a) 1ab4 4 3b + 2a) 22/ 2 1ab

II PHƯƠNG PHÁP THÊM VÀ BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ

1 Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình ương

ph-Ví dụ 12 Phân tích đa thức x4 + x2 + 1ab thành nhân tử

Cách 1 : x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2)

Cách 2 : x4 + 4 = (x4 + 2x3b + 2a) + 2x2) – (2x3b + 2a) + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4)

2 Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung

Ví dụ 14 Phân tích đa thức x5 + x  1ab thành nhân tử

Lời giải

Cách 1

x5 + x  1ab = x5  x4 + x3b + 2a) + x4  x3b + 2a) + x2  x2 + x  1ab

= x3b + 2a)(x2  x + 1ab)  x2(x2  x + 1ab)  (x2  x + 1ab) = (x2  x + 1ab)(x3b + 2a)  x2  1ab)

Cách 2 Thêm và bớt x2 :

x5 + x  1ab = x5 + x2  x2 + x  1ab = x2(x3b + 2a) + 1ab)  (x2  x + 1ab)

= (x2  x + 1ab)[x2(x + 1ab)  1ab] = (x2  x + 1ab)(x3b + 2a)  x2  1ab)

Ví dụ 15 Phân tích đa thức x7 + x + 1ab thành nhân tử

Lời giải

= x(x3b + 2a) – 1ab)(x3b + 2a) + 1ab) + (x2+ x + 1ab) = x(x3b + 2a) + 1ab)(x  1ab)(x2 + x + 1ab) + ( x2 + x + 1ab)

Lưu ý : Các đa thức dạng x3b + 2a)m + 1ab + x3b + 2a)n + 2 + 1ab như x7 + x2 + 1ab, x4 + x5 + 1ab

*Phân tích đa thức thành nhân tử

NHỮNG ĐỀ TOÁN VÀ BÀI GIẢI:

Bài toán 1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 x2  1ab

* Học sinh lớp 8 giải:

Ta có:

Bài toán dạng trên có m 2n và m, n là số chẵn nên có thể thêm bớt

x n để đưa đa thức về dạng hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương Nếu bài toán vẫn có m 2n ( là số chẵn ) nhưng n là số lẻ thì ta phải làm sao ?

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 1ab0 5

x x  x  x   x  x   x 

NHỮNG BÀI TOÁN DẠNG KHÁC: ( m 2n )

Bài toán 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tửx5 x4  1ab

Bài toán 5 Phân tích đa thức sau thành nhân tử:x8 x7  1ab

2 3b + 2a)

1ab 1ab

CÁCH GIẢI ĐỀ NGHỊ:

Cách giải chung cho dạng này là thêm bớt hạng tử chứa số mũ chưa có

ở đề bài Trong phần giải này chú ý tổng số số hạng tử sau khi đã thêm bớt phải là bội của 3 Chẳng hạn ta giải lại các bài toán trên theo cách đềnghị:

Bài toán 1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 x2  1ab

Nhận xét: Khi thêm bớt hạng tử theo cách đề nghị ta có: 4 2

x x 1ab x x 1ab x 3b + 2a)x 1ab x 3b + 2a)x 1ab

Bài toán 2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x8 x4  1ab

x2  x 1ab x2  x 1ab x4  x2  1ab

Bài toán 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tửx5 x4  1ab

Bài toán 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tửx5  x 1ab

Đa thức x6  x4 x3b + 2a)  x 1ab không phân tích được nữa

Bài toán 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:x5 x4  1ab Bài giải:

TỔNG QUÁT VÀ MỞ RỘNG:

Bài toán: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:x1ab0 x5  1ab

Bài giải:

             

1ab0 5 1ab0 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 5 4 4 3b + 2a) 3b + 2a) 2 2

1ab0 9 8 7 6 5 5 4 3b + 2a) 2 9 8 7 6 5 4 3b + 2a) 2

Để giải bài toán này ta phải thêm bớt x 5 để có tổng số hạng tử là 21 bội của 3

thì mới phân tích được.

Với bài toán 3 và bài toán 6 có thể cho chúng ta thực hiện cách giải trên

với bài toán phân tích đa thức thành nhân tử dạng x m x n  1ab Tuy nhiên dạng

x x  x  hoặc x mx n 1ab tuỳ thuộc vào đề bài có thể phân tích được nghĩa

là đề cho là bài toán giải được Sau đây là một số bài toán có thể phân tích

x2  x 1ab x6 x5  x3b + 2a)  x2  1ab

d Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x1ab0  x5  1ab

1ab0 5 1ab0 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 5 4 4 3b + 2a) 3b + 2a) 2 2

1ab0 9 8 9 8 7 7 6 5 6 5 4 5 4 3b + 2a) 3b + 2a) 2 2

1ab/ 1ab 2/ 1ab

3b + 2a)/ 1ab 4/ 1ab

Đặt ẩn phụ để đưa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các phương pháp cơ bản.

Ví dụ 1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

x(x + 4)(x + 6)(x + 1ab0) + 1ab28

Lời giải

1ab0x + 8)

Nhận xét: Nhờ phương pháp đổi biến ta đã đưa đa thức bậc 4 đối với x

thành đa thức bậc 2 đối với y

Ví dụ 2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0

Cách 2 A = x4 + 6x3b + 2a)  2x2 + 9x2  6x + 1ab = x4 + (6x3b + 2a) 2x2) + (9x2  6x +1ab)

= x4 + 2x2(3b + 2a)x  1ab) + (3b + 2a)x  1ab)2 = (x2 + 3b + 2a)x  1ab)2

C¸c bµi to¸n

Bµi 1:Ph©n tÝch c¸c ®© thøc sau thµnh nh©n tö

IV PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH

Ví dụ 1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

x4  6x3b + 2a) + 1ab2x2  1ab4x  3b + 2a)

Lời giải

Thử với x= 1ab; 3b + 2a) không là nghiệm của đa thức, đa thức không cónghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ Như vậy đa thức trên phân

c)x3b + 2a) + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd

= x4  6x3b + 2a) + 1ab2x2  1ab4x + 3b + 2a)

=-ïï + + =ïí

=-ïï

ïîXét bd= 3b + 2a) với b, d  Z, b  { 1ab,  3b + 2a)} Với b = 3b + 2a) thì d = 1ab, hệ điềukiện trên trở thành

V PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG

Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhân tử chứabiến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định các nhân

Ta thấy k phải là hằng số vì P có bậc 3b + 2a) đối với tập hợp các biến x, y, z,còn tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc 3b + 2a) đối với tập hợp các biến x,

3b + 2a) 3b + 2a)

VI PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ MỘT SỐ ĐA THỨC ĐẶC BIỆT

1 Đưa về đa thức : a 3 + b 3 + c 3  3abc

Ví dụ 1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) a3b + 2a) + b3b + 2a) + c3b + 2a)  3b + 2a)abc

b) (x  y)3b + 2a) + (y  z)3b + 2a) + (z  x)3b + 2a)

Lời giải

a) a3b + 2a) + b3b + 2a) + c3b + 2a)  3b + 2a)abc = (a + b)3b + 2a)  3b + 2a)a2b  3b + 2a)ab2 + c3b + 2a)  3b + 2a)abc

= [(a + b)3b + 2a) + c3b + 2a)]  3b + 2a)ab(a + b + c)

b) Đặt x  y = a, y  z = b, z  x = c thì a + b + c Theo câu a) ta có :

a3b + 2a) + b3b + 2a) + c3b + 2a)  3b + 2a)abc = 0  a3b + 2a) + b3b + 2a) + c3b + 2a) = 3b + 2a)abc

Vậy (x  y)3b + 2a) + (y  z)3b + 2a) + (z  x)3b + 2a) = 3b + 2a)(x  y)(y  z)(z  x)

2 Đưa về đa thức : (a + b + c) 3  a 3  b 3  c 3

Ví dụ 2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) (a + b + c)3b + 2a)  a3b + 2a)  b3b + 2a)  c3b + 2a)

b) 8(x + y + z)3b + 2a)  (x + y)3b + 2a)  (y + z)3b + 2a)  (z + x)3b + 2a)

Lời giải

a) (a + b + c)3b + 2a)  a3b + 2a)  b3b + 2a)  c3b + 2a) = [(a + b) + c]3b + 2a)  a3b + 2a)  b3b + 2a)  c3b + 2a)

= (a + b)3b + 2a) + c3b + 2a) + 3b + 2a)c(a + b)(a + b + c)  a3b + 2a)  b3b + 2a)  c3b + 2a)

= (a + b)3b + 2a) + 3b + 2a)c(a + b)(a + b + c)  (a+ b)(a2  ab + b2)

= 3b + 2a)(a + b)(b + c)(c + a)

Đa thức đã cho có dạng : (a + b + c)3b + 2a)  a3b + 2a)  b3b + 2a)  c3b + 2a)

Theo kết quả câu a) ta có : (a + b + c)3b + 2a)  a3b + 2a)  b3b + 2a)  c3b + 2a) = 3b + 2a)(a + b)(b + c)(c +a)

Hay 8(x + y + z)3b + 2a)  (x + y)3b + 2a)  (y + z)3b + 2a)  (z + x)3b + 2a) = 3b + 2a)(x + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y)

BÀI TẬP LÀM THÊM

1ab Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

b) (a + b + c)(ab + bc + ca)  abc ;

c) c(a + 2b)3b + 2a)  b(2a + b)3b + 2a)

2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) xy(x + y)  yz(y + z) + xz(x  z) ;

d) x3b + 2a)(y  z) + y3b + 2a)(z  x) + z3b + 2a)(x  y) ;

e) x3b + 2a)(z  y2) + y3b + 2a)(x  z2) + z3b + 2a)(y  z2) + xyz(xyz  1ab)

3b + 2a) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

4 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) (a + b + c)3b + 2a)  (a + b  c)3b + 2a)  (b + c  a)3b + 2a)  (c + a  b)3b + 2a) ;

b) abc  (ab + bc + ca) + a + b + c  1ab.

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (từ bài 7 đến bài 1ab6) :

d) x3b + 2a) – 9x2 + 6x + 1ab6 ; e) x3b + 2a) + 9x2 + 6x – 1ab6 ; g) x3b + 2a) – x2 + x – 2 ;

7 a) 27x3b + 2a) + 27x +1ab8x + 4 ; b) 2x3b + 2a) + x2 +5x + 3b + 2a) ;c) (x2 – 3b + 2a))2 + 1ab6

1ab4 a) a6 + a4 + a2b2 + b4  b6 ; b) x3b + 2a) + 3b + 2a)xy + y3b + 2a)  1ab

1ab5 Dùng phương pháp hệ số bất định :

1ab7 Dùng phương pháp xét giá trị riêng :

+ a  b)

1ab8 Chứng minh rằng trong ba số a, b, c, tồn tại hai số bằng nhau, nếu :

21ab Chứng minh rằng nếu m = a + b + c thì :

0

x3b + 2a) + y3b + 2a) + z3b + 2a) = (x + y + z)3b + 2a)