skkn: Một số pp phân tích đa thức thành nhân tử

PHẦN I: MỞ ĐẦU A/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI VÀ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ : 1/ Lý do chọn đề tài : Trong chương trình Đại số lớp 8, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử làmột nội dung của c

PHẦN I:

MỞ ĐẦU

A/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI VÀ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ :

1/ Lý do chọn đề tài :

Trong chương trình Đại số lớp 8, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử làmột nội dung của chương trình toán, được áp dụng nhiều vào giải các bài tập Phươngpháp này cũng là một công cụ hữu ích cho học sinh trong quá trình luyện tập như : Rútgọn biểu thức, giải phương trình tích, chia đa thức… không những vận dụng giải các bàitoán ở chương trình lớp 8 mà còn vận dụng giải các bài tập của các lớp 9 ,10 và về saunày

Bản thân tôi là giáo viên giảng dạy môn Toán, qua một số năm dạy tôi thấy họcsinh sau khi học vẫn còn lúng túng phân tích đa thức thành nhân tử và thường mắc phảinhững sai sót khi làm bài tập

Để giúp học sinh tự học, học thêm ở nhà tránh những sai sót và định hướng đượcmột số cách giải khi gặp các dạng toán phải dùng đến việc phân tích đa thức thànhnhân tử, do đó tôi chọn viết đề tài: “ Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” để dạy cho học sinh

Đề tài gồm 3 phần: Phần I là Mở đầu, Phần II là Nội dung và Phần III là Kết quả, bài học kinh nghiệm Trong phần nội dung đề tài chủ yếu là chỉ ra các phương pháp phântích đa thức thành nhân tử, trong mỗi phương pháp đều có ví dụ cụ thể, bài tập tự luyện và có hướng dẫn giải bài tập tự luyện Một số bài tập sử dụng Máy tính bỏ túi để phân tích đa thức thành nhân tử và một số ví dụ nhận định một số sai sót khi làm bài tập và hướng khắc phục cho học sinh

2/ Thực trạng vấn đề:

Thực tế học sinh ở trường THCS Tiến Thành tiếp thu bài còn chậm và vận dụngkiến thức từ lý thuyết vào làm bài tập còn hạn chế Các em còn nhầm lẫn và chưa thành

thạo sử dụng những phương pháp phân tích thành nhân tử, do thời lượng làm bài tập còn

ít nên chưa giải được những dạng toán mở rộng, nâng cao

Trong quá trình giải bài tập, đa số học sinh thường mắc các lỗi như :

 Đặt nhân tử chung

 Chưa vận dụng thành thạo hằng đẳng thức đáng nhớ vào làm bài tập

 Sử dụng phương pháp nhóm chưa hợp lý

 Chưa biết cách tách hạng tử

 Khi gặp đa thức bậc cao, hệ số lớn thì không tìm ra được cách giải

Nguyên nhân học sinh còn tồn tại các khuyết điểm trên là :

+ Do thời lượng luyện tập giờ chính khóa còn ít, vì vậy học sinh chưa có thời gianđể ôn tập, làm bài tập, giải bài tập nhiều

+ Học sinh nắm kiến thức chưa tốt, chưa sâu , một số chỉ học máy móc,hiểu mộtcách đơn giản chứ chưa nắm vững kiến thức nên gặp nhiều khó khăn trong quátrình làm bài tập

B/ PHƯƠNG PHÁP THỰC HIỆN ĐỀ TÀI:

1/ Công tác chuẩn bị dạy :

- Địa điểm : Trường THCS Tiến Thành

- Giáo trình : SGK, sách bài tập, một số tài liệu tham khảo khác như sách phát triểnToán 8 …

2/ Đối tượng học :

Học sinh lớp 8A3 học chính khóa, ôn tập cuối chương, ngoài ra dạy phụ đạo theo chủ đềbám sát

3/ Lập kế hoạch tổ chức thực hiện :

Ngoài thời gian dạy giờ chính khóa ở trường tôi bố trí lịch học phụ đạo cho học sinh vàochiều thứ 5 và chiều thứ 7 như sau:

tử chung và luyện tập

hằng đẳng thức và luyện tập.

1/11/07 5 Chiều Phương pháp nhóm

3/11/07 7 Chiều Phương pháp tách và

luyện tập

8/11/07

pháp trên và luyện tập

10/11/07 7 Chiều Phương pháp dùng hệ

số bất định và luyện tập

15/11/07 5 Chiều Phương pháp đổi biến

17/11/07 7 Chiều Sử dụng Máy tính bỏ

túi Casio f(x)- 570MS để phân tích đa thức thành nhân tử

4) Tổ chức thực hiện:

- Giáo viên dạy theo lịch

- Học sinh học tập, thực hiện theo nội quy đã quy định

PHẦN II:

NỘI DUNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH

ĐATHỨC THÀNH NHÂN TỬ

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số ) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức

Trong một đa thức nếu các hạng tử có nhân tử giống nhau thì ta có thể đưa ra làm nhân tử chung theo công thức sau : A.B + A.C = A(B + C).

a/ Các ví dụ:

Ví dụ1 :

Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3x – 6y

Giải : Ta có : 3x – 6y = 3 x – 3 2y

= 3 ( x – 2y)

 Nhận xét : Ở đây nhân tử chung là 3 do đó ta có thể đưa ra ngoài làm nhân tử chungtheo công thức A.B + A.C = A(B + C) như vậy khi dạy, cần chú ý học sinh xác định đượcnhân tử chung

Sau ví dụ 1 và nhận xét, giáo viên cho học sinh tiếp tục thực hiện ví dụ 2

 Nhận xét : Ở ví dụ 2 đa thức cần phân tích có hai hạng tử là 3(x – y) và – 5x(y – x)

nhìn qua ta chưa thấy nhân tử chung Ta có thể đổi dấu – 5x(y – x) thành 5x (x – y) đểxuất hiện nhân tử chung rồi đặt nhân tử chung

Khi dạy học sinh thông qua 2 ví dụ, giáo viên có thể đưa ra thêm ví dụ 3 để rèn luyệncho học sinh được thành thạo về các bước phân tích

= 5(x – 2y)[x (x – 2y) – 2y]

= 5(x – 2y)( x2 – 2xy – 2y)

* Nhận xét :

Đối với các ví dụ trên khi sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung giáo viên cần chú

ý cho học sinh cách tìm nhân tử chung với đa thức có hệ số nguyên như sau :

+ Hệ số là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các hạng tử

+ Các lũy thừa bằng chữ có mặt trong mọi hạng tử với số mũ của mỗi lũy thừa là số mũ nhỏ nhất của nó.

b/ Bài tập tự luyện :

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Bài 3: Chứng minh rằng n2(n + 1) + 2n(n + 1) luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:

Các bước giải và kết quả như sau:

DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC

Các hằng đẳng thức đáng nhớ : A 2 + 2AB + B 2 = (A + B) 2

Nhận xét: Ở đây ta đã viết các hạng tử thứ nhất và thứ ba của đa thức dưới dạng một

lũy thừa để áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu

Qua ví dụ này học sinh chú ý khi một đa thức có ba hạng tử, trong đó có hai hạng tử đượcviết dưới dạng một lũy thừa thì ta nghĩ đến hằng đẳng thức bình phương của một hiệuhoặc bình phương của một tổng

Nhận xét: Để áp dụng được hằng đẳng thức thì hạng tử thứ hai của đa thức phải được

viết dưới dạng một lũy thừa 7 = ( 7)2.Khi đó hằng đẳng thức sử dụng là hiệu hai bìnhphương

b/ Bài tập tự luyện :

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:

Một số bước giải và kết quả:

Bài 1 : a, x2 – 4y2 = x2 – (2y)2 = (x + 2y)(x – 2y)

Nhận xét : Với ba hạng tử của đa thức trên ta có thể nhóm hai hạng tử thứ hai và thứ ba

với nhau ta được nhân tử chung là x – 2

= (x + y )(x – y – 1)

Nhận xét: Hạng tử thứ nhất và thứ ba là dạng của hằng đẳng thức nên ta nhóm hai

hạng tử đó với nhau,vậy thì hai hạng tử còn lại nhóm thành một nhóm

Nhận xét : Nếu ta cứ tiếp tục nhóm hai hạng tử thành một nhóm thì sẽ không phân tích

đa thức trên thành nhân tử được Như vậy ta có thể nhóm ba hạng tử x2 , 6x , 9 thành mộtnhóm để đưa về một hằng đẳng thức, tiếp tục sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bìnhphương để ta phân tích

Sau 3 ví dụ, giáo viên cho học sinh làm một số bài tập sau :

b/ Bài tập tự luyện :

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Bài 3 : Chứng minh x2 - 2xy + y2 + 1 > 0 với mọi số thực x và y

c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:

Các bước giải giáo viên mong đợi học sinh thực hiện được như sau:

TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU

Bước 1: Tìm tích a.c

Bước 2: Phân tích a.c thành tích của hai số nguyên bằng mọi cách

Bước 3 : Chọn 2 thừa số có tích bằng a.c nói trên mà có tổng bằng b

Nhận xét : Ở đây ta đã tách -10x thành -2x và -8x, sau đó dùng phương pháp nhóm và

đặt nhân tử chung

Ví dụ2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 - x – 6

Đối với các ví dụ trên, ta có thể giải được nhiều cách, tuy nhiên ở đây các ví dụ đều

chỉ ra sử dụng phương pháp tách hạng tử bx dựa vào cách hướng dẫn ở trên để thực hành

giải bài toán, nhằm giúp học sinh biết vận dụng phương pháp tách, rèn luyện được kỹ năng sử dụng phương pháp nhóm và đặt nhân tử chung ,đặc biệt phải chú ý đến bước sử dụng phương pháp nhóm đó cũng chính là phối hợp các phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử.

Sau khi giáo viên dạy học sinh thông qua 3 ví dụ cụ thể của phương pháp tách hạng tử, tiếp theo cho học sinh làm bài tập tự luyện như sau:

b/ Bài tập tự luyện :

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

A = x2 – 6x + 11

B = 2x2 + 10x – 1

C = 5x – x2

c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:

Các lời giải ngắn gọn yêu cầu học sinh thực hiện được:

Bài 1 : a – 5x2 +16x – 3 = -5x2 + 15x + x – 3

= (-5x2 + 15x) + (x – 3)

d 4x2 – 3x – 1 = 4x2 – 4x + x – 1

= (4x2 – 4x)+( x – 1) = 4x(x – 1) + (x – 1)

= (x – 3)2 + 2 2

Vậy Amin = 2 tại x = 3

b B = 2x2 + 10x – 1 = 2(x2+ 5x ) – 1 = 2(x2 + 2.x 52+ 254 – 254 ) –1 = 2(x + 5

2)2 – 25

2 –1

= – 272 + 2(x + 52)2  – 272 Vậy Bmin = – 27

4

Vậy Cmax = 25

4 tại x = 5

2

* PHỐI HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP:

MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ THỂ GIẢI ĐƯỢC NHIỀU CÁCH

HOẶC TRONG MỘT CÁCH CÓ PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP

= (x – 1)(4x + 1).

Cách 2 : 4x2 – 3x – 1 = 4x2 – 4x + x – 1 (Tách -3x thành -4x và x)

= (4x2 – 4x) + ( x – 1) = 4x(x – 1) + (x – 1)

= (x – 1)(4x + 1)

Cách 3 : 4x2 – 3x – 1 = 4x2– 4 – 3x + 3 (Tách -1 thành -4 và 3)

= 4(x2 – 1) – 3( x –1)

= 4(x – 1)(x + 1) – (x – 1) = (x – 1)(4x + 1).

* Nhận xét :

Một bài toán có thể có nhiều lời giải khác nhau nhưng cuối cùng đều có chung một kết quả Như vậy trong các tiết luyện tập, giáo viên có thể cho học sinh giải một số bài tập ở các dạng khác nhau, sử dụng các phương pháp khác nhau, sau đó nhận xét và so sánh, lời giải nào hay và ngắn gọn.

Giáo viên cho học sinh làm một số bài tập sau :

b/ Bài tập tự luyện :

Bài 1 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Mệnh đề : Nếu hai đa thức A và B bằng nhau thì các hạng tử cùng bậc của hai đa thức đó phải có hệ số bằng nhau

 Nhận xét : Đa thức bậc ba ở ví dụ 1 phân tích được thành tích của mộtt nhị thức bậc

nhất và một tam thức bậc hai, do đó ta còn có cách giải tổng quát hơn như sau :

Với đa thức bậc 3 : a 1 x 3 + b 1 x 2 + c 1 x + d 1 (a 1 0) ta luôn phân tích được thành tích của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai như sau :

a 1 x 3 + b 1 x 2 + c 1 x + d 1 = (ax + b ) (cx 2 + dx + m) (*)

 a 1 x 3 + b 1 x 2 + c 1 x + d 1 = cax 3 + (ad + bc )x 2 + (am + bd)x + bm

Đồng nhất các hệ số với nhau ta được:

1 1 1

Giải ra ta tìm được các giá trị a, b, c, d, m, thay vào vế phải của (*) ta có kết quả cần tìm.

Aùp dụng : Bài toán ở ví dụ 1ta có cách giải khác như sau :

Ta có 2x3 – 5x2 + 8x – 3 = (ax + b ) (cx2 + dx + m)

 2x3 – 5x2 + 8x – 3 = cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm

Đồng nhất thức ta có : ac = 2, ad + bc = -5, am + bd = 8, bm = -3

Giả thiết rằng a > 0 (nếu a < 0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử ) do đó a = 2 hoặc a = 1.Xét a = 2  c = 1, 2d +b = -5 , 2m + bd = 8 , bm = -3 , b có thể bằng 1; 3

Xét b = -1 thì m = 3 , d = -2 thỏa mãn các điều kiện trên

 x3 + 3x2 + 3x + 2 = cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm

Đồng nhất thức ta có:

1332

ac

ad bc

am bd bm

Giả thiết rằng a > 0 (nếu a < 0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử ) do đó a = 1

Xét a = 1  c = 1, d + b = 3 , m + bd = 3 , bm = 2 , b có thể bằng 1 ; 2

Xét b = 2 thì m =1, d = 1 thỏa mãn các điều kiện trên

Vậy a =1, c = 1, b = 2, m = 1, d = 1 ta có :

x3 + 3x2 + 3x + 2 = (x + 2)(x2 + x + 1)

* Nhận xét:

Khi sử dụng phương pháp hệ số bất định dựa vào mối quan hệ của các hệ số để ta đưa

ra các giá trị tương ứng của a,c từ đó ta tìm các giá trị tiếp theo của các hệ số còn lại

b/ Bài tập tự luyện :

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp dùng hệ số bấtđịnh

c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:

Các lời giải mong đợi học sinh trình bầy được:

Phép nhân này cho ta kết quả 3x2 + (3c + a)xy + (3d +b)x + (ad + cb)y + acy2 + bd

Đồng nhất đa thức với đa thức 3x2 –22xy– 4x + 8y + 7y2 + 1 ta được :

Thay vào (1) ta dược (x + a)(x – 5) + 2 = (x – 3)(x – 4) với x

Với x = 4 thì a = -2 Vậy đa thức được phân tích thành (x – 2)(x – 5) + 2 = (x – 4)(x – 3)

* 55 b c 12 b c67

Thay vào (1) ta được (x + a)(x – 5) + 2 = (x – 7)(x – 6) với x

Với x = 6 thì a = -8 Vậy đa thức được phân tích thành (x – 8)(x – 5) + 2 = (x – 7)(x – 6)

Bài 3:

Bài này giáo viên yêu cầu học sinh tự giải

Kết quả: (x + 9)(x + 5) + 3 = (x + 8)(x + 6) với m = 9

(x +1)(x + 5) + 3 = (x + 2)(x + 4) với m = 1

Phân tích đa thức thành nhân tử đôi khi ta phải dùng biến phụ để cho việc phân tích được đơn giản hơn

- Đối với bài toán này thường dùng phương pháp đặt biến số phụ chú ý :

+ Khi a + b = c + d thì ta ghép [(x + a)(x + b)] ; [(x + c )(x + d)]

Aùp dụng bài toán tổng quát giáo viên cho học sinh làm ví dụ sau :

Ví dụ 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

b/ Bài tập tự luyện :

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:

Các bước giải và kết quả cần hướng dẫn cho học sinh:

Đặt x2 – 9x + 17 = y Đa thức trở thành (y – 3)(y + 3) – 72

Làm tương tự như câu a ta được kết quả như sau:

(x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72 = (x2 – 9x + 26)( x2 – 9x + 8)

= (x2 – 9x + 26)(x – 8) (x – 1)

Từ đó đa thức có dạng :

x3 + y3 + z3 = x3 + y3 – (x + y)3 = (x + y)(x2 – xy + y2) – (x + y)(x2 + 2xy + y2)

= (x + y)[(x2 – xy + y2) – (x2 + 2xy + y2)

= (x + y)(x2 –xy + y2 – x2 – 2xy – y2 )

= -3xy(x + y)

= 3xyz

Vậy B = 3(a – b)(b – c)(c – a)

Qua bài trên ta suy ra : Nếu có X + Y + Z = 0 ta luôn có X3 + Y3 + X3 = 3XYZ

Vậy phương trình có nghiệm là 5

A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)

Kiến thức cần nhớ:

Định lý 1 (Định lý Bơdu) : (Nhà toán học Pháp Bezout 1730-1783)

Đa thức f(x)  x – c  f(c) = 0.

Số c được gọi là nghiệm của đa thức f(x) khi đó f(x) phân tích được f(x) = (x – a ).g(x) Trong đó g(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn 1 đơn vị so với bậc của đa thức f(x)

Định lý 2 : Cho đa thức bậc n , f(x) = anxn + an-1xn-1 +…….+ ao có n nghiệm là c1, c2, c3,…cn

thì f(x) được phân tích thành nhân tử là f(x) = an(x –c1)(x –c2)….(x –cn)

(Vì lý do sư phạm nên ta công nhận không chứng minh hai định lý trên )

Do máy tính Casio fx-570MS có chức năng giải phương trình, nên ta có thể dạy học sinhbiết cách sử dụng máy đểø tìm nghiệm của phương trình, từ đó áp dụng vào phân tích đathức thành nhân tử

Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm nghiệm của P(x) bằng dãy phím sau:

MODE 3 (EQN) 1  (Degree) 2 2  4  ( ) 6   máy cho kết quả x1 = 1, ấntiếp máy cho kết quả x2 = -3

Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm nghiệm của P(x) bằng dãy phím sau:

kết quả x1 = -2, ấn tiếp  máy cho kết quả x2 =1, ấn tiếp  máy cho kết quả x3 = 3.Vậy khi x = -2; 1; 3 thì f(x) = 0

b/ Theo câu a, f(x) có nghiệm là x = -2; 1; 3 nên f(x) được phân tích thành nhân tử nhưsau: f(x) = 5(x + 2)(x – 1)(x – 3)

Quy trình bấm phím giống như các ví dụ trên ta tìm được nghiệm là x = 4

b/ Theo câu a thì f(x) có nghiệm là 4

Dùng sơ đồ Hoocne hạ bậc để tìm đa thức thương ta có:

Giải : Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm nghiệm của f(x) bằng cách nhập f(x) vào máybằng dãy phím sau:

đó ấn tiếp SHIFT SOLVE SHIFT SOLVE chờ một chút máy cho kết quả x = 1

2 Dùng sơ đồ Hoocne hạ bậc để tìm đa thức thương , ta có:

Sau đó nhập đa thức g(x) = 10x4 –76x3 + 52x2 - 76x + 42 vào máy bằng dãy phím sau :

7 6 ALPHA x  4 2 ALPHA  0 SHIFT SOLVE SHIFT SOLVE máy hiện x = 7 Dùng sơ đồ Hoocne , ta có :

= (2x - 1)(x – 7)( 5x – 3)( x2 + 1)

Chú ý: