Chương I. §1. Hàm số lượng giác

Quan sát thấy giá trị tại -1 và 1 đối nhau, nên đây không phải hàm chẵn.. không chẵn, không lẻ.[r]

Chương 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1.1 Các công thức lượng giác

1.1.1 Các hằng đẳng thức

* sin2  cos2  1 với mọi 

* tan cot  1 với mọi

1.1.2 Hệ thức liên hệ của các cung góc liên quan đặc biệt

* Hai cung đối nhau:  và  (Cos đối)

cos(   ) cos  sin(    ) sin 

tan(    ) tan  cot(    ) cot 

* Hai cung bù nhau:  và    (Sin bù)

sin(     ) sin  cos(      ) cos 

tan(      ) tan  cot(      ) cot 

* Hai cung phụ nhau:  và

* Hai cung hơn kém nhau : và   (Khác pi: tan, cot)

tan(   ) tan cot(   ) cot

1.1.3 Các công thức lượng giác

sin 2a2sin cosa a

cos 2acos asin a  1 2sin a 2cos a1

3sin 3a3sina4sin a cos3a4cos3a3cosa

a b a b a b (sin Cos bằng ½ sin cộng)

* Công thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2 sin sin

   (cos – cos = -2 sin sin)

sin sin 2 sin cos

  (sin + sin bằng 2 sin cos)

in - sin 2 cos sin

  (tan ta - với tan mình, bằng sin hiệu 2 đứa chia cos mình cos ta)

1.2 Tính tuần hoàn của hàm số

Định nghĩa: Hàm số y f x( ) xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T 0sao cho với mọi x D ta có

x T D và f x T(  ) f x( )

 Hàm số ysinx là hàm số tuần hoàn với chu kì T 2

 Hàm số ysinx là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

O1

1.3.2 Hàm số ycosx

 Tập xác định: D

 Hàm số ycosx là hàm số tuần hoàn với chu kì T  2

 Hàm số ycosx là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục O y làm trục đối xứng

 Hàm số ytanx là hàm số tuần hoàn với chu kì T 

x y

6

18 3

k x

2 4

x x

Không xác đinh Được đáp án B

Bài 2 Tìm tập xác định của hàm số 1 cos 3

1 sin 4

x y

x k

x k

x x

2 cos( ) sin( ) 0

26

Nhập f X A f X  (ở đây A đóng vai trò như T)

CALC: X là giá trị bất kỳ cần kiểm tra; A là giá trị Chu kỳ cần kiểm tra

f x  x x  hàm số tuần hoàn với chu kì cơ sở T0  2

Ví dụ 2 Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của các hàm số sau

1 f x( ) cos xcos 3.x 2 f x( ) sin x2

Lời giải:

1 Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn có số thực dương T thỏa

( ) ( ) cos( ) cos 3( ) cos cos 3

Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn

2 Giả sử hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn

Vậy hàm số đã cho không phải là hàm số tuần hoàn

Ví dụ 3 Cho a b c d là các số thực khác 0 Chứng minh rằng hàm số , , , f x( )asincx b cosdx là hàm số tuần hoàn khi và chỉ khi c

d là số hữu tỉ

Lời giải:

* Giả sử f x là hàm số tuần hoàn ( )   T 0 : (f x T ) f x( ) x

Ví dụ 4 Cho hàm số y f x( ) và yg x( ) là hai hàm số tuần hoàn với chu kỳ lần lượt là T T1, 2 Chứng minh rằng nếu 1

2 Hàm số f x( )a.tanux b cotvx c (với u v,  ) là hàm tuần hoàn với chu kì

Cho x 0 VT(2) tan 2 T0, còn VP(2) 0  (2) không xảy ra với mọi x

Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì cơ sở 0

Bài 9 Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau ysin x

A Hàm số không tuần hoàn B 0

B2 Start : -3 ; End : -3 ; Step : 1

B3 Quan sát giá trị tại các điểm đối xứng nhau

x



Cách 1 -Trước hết, ta dễ thấy chúng đều đối xứng

- Ý A cos :x là hàm số chẵn, tan :x là hàm số lẻ vậy A, là hàm lẻ

- Ý B sinx là hàm số chẵn, : tan :x là hàm số lẻ vậy B, là hàm lẻ

- Ý C cos :x là hàm chẵn, x.sin :x là hàm số chẵn Vậy C, là hàm số chẵn Đáp án : C

Cách 2 MODE 7 Nhập f X cos X 3 tan X Start : -3 ; End : 3 ; step : 1 Quan sát thấy giá trị tại -1 và 1 đối nhau, nên đây không phải hàm chẵn Loại A

AC sin X tan X = = = ; tiếp tục quan sát: thấy giá trị tại -1 và 1 đối nhau Loại B

AC cos X Xsin X = = =; thấy giá trị tại -1;1 tại -2; 2; tại -3; 3 đều bằng nhau Đáp án C VD1 Hàm số ytanx2sinx là hàm số

A chẵn B lẻ C vừa chẵn vừa lẻ D không chẵn, không

lẻ Lời giải

- Tập xác định dựa theo tập xác định của tanx nên đối xứng

- Ta có: tan x là hàm số lẻ; sin :x là hàm số lẻ nên ytanx2sinx là hàm số lẻ Đáp án B

này không đối xứng nên hàm số không chẵn, không lẻ Đáp án D

2 4 Tính đơn điệu của hàm số

2.4.1 Phương pháp

+ Phương pháp tự luận: Dựa vào tính đơn điệu của 4 hàm số lượng giác trên các góc phần tư để

thực hiện

Lưu ý: Tổng, tích của các hàm ĐB (NB) là hàm ĐB (NB) trên khoảng đó

Đối, nghịch đảo của hàm số ĐB (NB) là hàm số NB (ĐB) trên khoảng đó

Ví Dụ 0 Hàm số nào đồng biến trên  0;

A ysinx B ycosx C ytanx D yx2

Cách 1 0; thuộc góc phần tư thứ I và II

Với A, hàm số ĐB trên góc IV, I nên không thỏa mãn

Với B, hàm số ĐB trên góc III, IV cũng không thỏa mãn

Với C, Hàm số ĐB trên mỗi khoảng xác định nhưng không xác định tại

Vậy Đáp án là D

Cách 2 MODE 7, f x sin X Start : 0, End : , step :

12



Tại giá trị thứ 8 trở đi hàm số giảm

từ 1 xuống 0,9659… nên loại A

ON cos X  ngay lập tức thấy giá trị giảm, loại B

ON tan X  thấy không xác định tại

 Hàm số y2 sinx là hàm tuần hoàn với chu kì T 2

 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2

 Hàm số y 2 cos 2x là hàm tuần hoàn với chu kì T 

 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;

x y

-  -

2

-3  2

-2 

2 

3  2



 2

-π 4

5π 4

7π 4

3π 4 π

-3π

2

-π 2

π 3π

2

π 2 π

2

O

2.5 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

2.5.1 Phương pháp

+ Phương pháp tự luận: Đánh giá trực tiếp GTLN, GTNN của hàm số dựa vào TGT của sin x

cosx; hoặc dựa vào điều kiện có nghiệm của phương trình

+ Phương pháp máy tính: Sử dụng MODE 7, quan sát các giá trị và kết luận

2.5.2 Các ví dụ

Ví Dụ 0 Tập giá trị của hàm số y2sinx3 là

A  0;1 B  2;3 C 2;3 D  1;5

Cách 1 Ta có

1 sin 1

2 2sin 2

1 2sin 3 5

x x x

Ví dụ 1 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

1 y4sin cosx x1 2 y 4 3sin 22 x

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4 , giá trị nhỏ nhất bằng 1

Ví dụ 2 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

1.y6 cos2xcos 22 x 2 y(4sinx3cos )x 24(4sinx3cos ) 1x 

f t

7 1

Vậy miny1 đạt được khi cos 0

Vậy miny 3; maxy46

Ví dụ 3 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau chỉ nhận giá trị dương :

2(3sin 4 cos ) 6 sin 8 cos 2 1

Suy ra: sin2xsin2ysin sinx xsin siny y

sin cosx ysin cosy xsin(x y )

Mâu thuẫn với ( )

 Giả sử

22

Suy ra: sin2xsin2ysin sinx xsin siny y

sin cosx ysin cosy xsin(x y )

Mâu thuẫn với ( )

Vậy miny0 ; max y10

2 Do sinxcosx    2 0 x hàm số xác định với  x

Xét phương trình : sin 2 cos 1

Bài 1 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 2 sinx3

A maxy 5,miny1 B maxy 5,miny2 5

C maxy 5,miny2 D maxy 5,miny3

Bài 2 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 1 2 cos2x1

A maxy1,miny 1 3 B maxy3,miny 1 3

C maxy2,miny 1 3 D maxy0,miny 1 3

Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng miny 1 3, đạt được khi x k

Bài 3 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 1 3sin 2

4

y   x 

A miny 2,maxy4 B miny2,maxy4

C miny 2,maxy3 D miny 1,maxy4

A miny1,maxy2 B miny1,maxy3

C miny2,maxy3 D miny 1,maxy3

Bài 5 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 1 2 sin 2 x

A miny2,maxy 1 3 B miny2,maxy 2 3

C miny1,maxy 1 3 D miny1,maxy2

Bài 8 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y3sinx4cosx1

A maxy6,miny 2 B maxy4,miny 4

C maxy6,miny 4 D maxy6,miny 1

Tức là:  a2b2 asinx b cosx a2 b2

Bài 9 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y3sinx4cosx1

A miny 6; maxy4 B miny 6; maxy5

C miny 3; maxy4 D miny 6; maxy6

53cos

Suy ra miny 6; maxy4

Bài 10 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y2 sin2x3sin 2x4 cos2x

A miny 3 2 1; max y3 2 1 B miny 3 2 1; max y3 2 1

C miny 3 2; maxy3 2 1 D miny 3 2 2; max y3 2 1

Lời giải:

Ta có: y 1 cos 2x3sin 2x2(1 cos 2 ) x

3sin 2 3cos 2 1 3 2 sin 2 1

4

Suy ra miny 3 2 1; max y3 2 1

Bài 11 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau ysin2x3sin 2x3cos2x

A maxy 2 10; miny 2 10 B maxy 2 5; miny 2 5

C maxy 2 2; miny 2 2 D maxy 2 7 ; miny 2 7

Từ đó ta có được: maxy 2 10; miny 2 10

Bài 12 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y2sin 3x1

A miny 2,maxy3 B miny 1,maxy2

miny 3,maxy3

Lời giải:

:C

Bài 13 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 3 4 cos 22 x

A miny 1,maxy4 B miny 1,maxy7

miny 2,maxy7

Lời giải:

Đáp án C

Bài 14 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 1 2 4 cos 3 x

A miny 1 2 3,maxy 1 2 5 B miny2 3,maxy2 5

C miny 1 2 3,maxy 1 2 5 D miny  1 2 3,maxy  1 2 5

Lời giải:

Đáp án A

Bài 15 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y4sin 6x3cos6x

A miny 5,maxy5 B miny 4,maxy4

C miny 3,maxy5 D miny 6,maxy6

A miny6,maxy 4 3 B miny5,maxy 4 2 3

C miny5,maxy 4 3 3 D miny5,maxy 4 3

Bài 20 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau ysinx 2 sin 2x

Bài 21 Tìm tập giá trị nhỏ nhất của hàm số sau ytan2x4 tanx1

A miny 2 B miny 3 C miny 4 D miny 1

Lời giải:

Ta có: t(tanx2)23

miny 3 đạt được khi tanx2

Không tông tại max

Bài 22 Tìm tập giá trị nhỏ nhất của hàm số sau ytan2xcot2x3(tanxcot ) 1x 

A miny 5 B miny 3 C miny 2 D miny 4

Bài 23 Tìm m để hàm số y 5sin 4x6 cos 4x2m1 xác định với mọi x

Bài 24 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 2 3sin 3x

A miny 2; maxy5 B miny 1; maxy4

C miny 1; maxy5 D miny 5; maxy5

Lời giải:

Ta có:  1 sin 3x    1 1 y 5 Suy ra: miny 1; maxy5

Bài 25 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 1 4 sin 22 x

A miny 2; maxy1 B miny 3; maxy5

C miny 5; maxy1 D miny 3; maxy1

Lời giải:

Ta có: 0 sin 2 2 x    1 3 y 1 Suy ra: miny 3; maxy1

Bài 26 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 1 3 2 sin x

A miny 2; maxy 1 5 B miny2; maxy 5

C miny2; maxy 1 5 D miny2; maxy4

Lời giải:

Ta có: 1 3 2 sin  x    5 2 y 1 5 Suy ra: miny2; maxy 1 5

Bài 27 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 3 2 2 sin 4 2 x

A miny 3 2 2; maxy 3 2 3 B miny 2 2 2; maxy 3 2 3

C miny 3 2 2; maxy 3 2 3 D miny 3 2 2; maxy 3 3 3

Lời giải:

Ta có: 2 2 sin 4  2 x  3 3 2 2  y 3 2 3

Suy ra: miny 3 2 2; maxy 3 2 3

Bài 28 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y4sin 3x3cos 3x1

A miny 3; maxy6 B miny 4; maxy6

C miny 4; maxy4 D miny 2; maxy6

Lời giải:

Ta có:  5 4sin 3x3cos 3x    5 4 y 6 Suy ra: miny 4; maxy6

Bài 29 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 3 cosxsinx4

A miny2; maxy4 B miny2; maxy6

C miny4; maxy6 D miny2; maxy8

  Suy ra: miny2; maxy6

Bài 30 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau sin 2 2 cos 2 3

Bài 31 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y3cosxsinx2

A miny  2 5; maxy  2 5 B miny  2 7 ; maxy  2 7

C miny  2 3; maxy  2 3 D miny  2 10; maxy  2 10

Bài 31 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau

2 2

Bài 32 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau

23(3sin 4cos ) 4(3sin 4cos ) 1

Suy ra yêu cầu bài toán  1 2m  1 m 0

Bài 34 Tìm m để các bất phương trình 3sin 2 cos 22 1

Bài 35 Tìm m để các bất phương trình 4 sin 2 cos 2 17 2

Câu 5 Cho hàm số lượng giác nào sau đây có đồ thị đối xứng nhau qua Oy ?

A ysinx B ycosx C ytanx D. ycotx

Câu 6 Xét trên tập xác định thì

A hàm số lượng giác tuần hoàn với chu kì 2

B hàm số ysinx tuần hoàn với chu kì 2

C hàm số ycosx tuần hoàn với chu kì 2

D hàm số ycotx tuần hoàn với chu kì 2

Câu 7 Xét trên một chu kì thì đường thẳng y m (với   1 m 1) luôn cắt đồ thị

A hàm số lượng giác tại duy nhất một điểm

B hàm số ysinx tại duy nhất một điểm

C hàm số ycosx tại duy nhất một điểm

D hàm số ycotx tại duy nhất một điểm

Câu 8 Xét trên tập xác định thì

A hàm số lượng giác luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

B hàm số ysinx luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

C hàm số ytanx luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

D hàm số ycotx luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Câu 9 Trên khoảng ( 4 ; 3 )    , hàm số nào sau đây luôn nhận giá trị dương?

A ysinx B ycosx C ytanx D. ycotx

Câu 10 Trên khoảng 7 5

;

    

 , hàm số nào sau đây luôn nhận giá trị âm?

A ysinx B ycosx C ytanx D. ycotx

Câu 11 Các hàm số ysinx, ycosx, ytanx, ycotx nhận giá trị cùng dấu trên khoảng nào sau đây?

Câu 17 Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

A y = sinx –x B y = cosx C y = x.sinx D

21

x y x





Câu 18 Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

A y = x.cosx B y = x.tanx C y = tanx D y 1

Câu 26 Chu kỳ của hàm số y = cotx là:

Bài 36 Xét tính chẵn lẻ của các hàm số y f x  sau đây:

A ysin tanx3 B y sinx tanx C ycosx x sinx D tanx

Bài 39 ytan2x là hàm số tuần hoàn với chu kì:

2 và

12

2 và

12



D 1

3 và

1334



C 1

2 và

1322

21A 22D 23A 24D 25D 26C 27C 28d 29B 30D 31D 32B 33A 34D 35D 36

Chan-le

Le-le-37d 38c 39c 40a

41d 42C 43D 44C 45D 46C 47C 48C 49B 50C 51D 52C 53B 54A 55D