Chương IV. §8. Hàm số liên tục

+ Nắm được hệ quả của định lí giá trị trung gian của hàm số liên tục và ý nghĩa hình học của định lí.. Kĩ năng:.[r]

Giáo án giảng dạy thực tập của Sinh viên môn Toán

Sinh viên: Lưu Thuỳ Dung (1261010006)

Lớp: K15 ĐHSP Toán- Trường Đại học Hồng Đức

GVHD: Thầy Thi Văn Chung

Ngày soạn: 13/03/2016

Ngày dạy: 16/03/2016

Lớp 11A5- Trường THPT Triệu Sơn 2

Tiết 69: §8 HÀM SỐ LIÊN TỤC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – NÂNG CAO

I MỤC TIÊU

Qua bài học học sinh cần nắm được:

1.Kiến thức:

+ Nắm được khái niệm hàm liên tục tại một điểm

+ Nắm được khái niệm hàm liên tục trên một khoảng, một đoạn

+ Nắm được hệ quả của định lí giá trị trung gian của hàm số liên tục và ý nghĩa hình học của định lí

2 Kĩ năng:

+ Học sinh biết cách chứng minh hàm số liên tục tại một điểm ;trên một khoảng và trên một đoạn

+ Biết áp dụng hệ quả của định lí giá trị trung gian để chứng minh một phương trình có nghiệm

3 Về tư duy:

+ Rèn luyện tư duy logic.

+ Biết quy lạ về quen

4 Về thái đô:

+ Có tinh thần hợp tác, tích cực tham gia bài học

II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH

1 Chuẩn bị của GV :

+ SGK, giáo án, thước kẻ, bài giảng powerpoint, hìnhvẽ minh họa.

2 Chuẩn bị của HS :

+ SGK, vở ghi, ôn tập các kiến thức đã học về giới hạn của hàm số Có

đầy đủ SGK và đọc trước bài ở nhà

III PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

+ Giáo viên sử dụng phương pháp gợi mở, giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề;

+ Thuyết trình và vấn đáp;

+ Tổ chức dạy học theo nhóm

IV TIẾN TRÌNH BÀI HỌC.

1 Ổn định lớp

+ Kiểm tra sĩ số

2 Kiểm tra bài cũ:

Cho hàm số   2

3

x

f x

x



 , tính lim4  

 và f  4 và so sánh kết quả

Giải: lim4   lim4 2 8  4

3

x

x



Đặt vấn đề: Khi giới hạn của hàm số tại điểm x0 bằng chính giá trị của hàm

số đó tại điểm x0thì ta nói hàm số đó liên tục tại điểm x0

3 Bài mới

Hoạt đông của Thầy và Trò Nôi dung

GV: Chiếu định nghĩa lên máy

chiếu và sau đó tóm tắt lại định nghĩa

trên bảng

ĐN1: Cho hàm số yf x  xđ

1 Hàm số liên tục tại môt điểm

trên khoảng (a; b) và x0a b; 

+ Hàm số y f x  được gọi là

liên tục tại x0nếu    

lim

+ Hàm số y f x  không liên tục

tại x0 đgl gián đoạn tại điểm đó

GV: Yêu cầu HS nhắc lại kiến

thức cũ, đó là:  

0

lim

x x f x

 tồn tại khi nào?

HS:

 

0

f x



GV: Từ đó rút ra nhận xét

GV: Cho HS làm ví dụ áp dụng

GV: Củng cố lại định nghĩa, hàm

số f x liên tục tại x0khi nào?

ĐN1: Hàm số yf x liên tục tại điểm x0nếu:

+ f x xác định tại x0

+    

lim

Nhận xét:

0

0

0

lim

x x





VD1: Xét tính liên tục của h/số:

  2

f x x tại x 1

HS: Khi    

lim

GV: Xét ví dụ 2 và gợi ý, sau đó

gọi HS lên bảng trình bày

GV: Ta đã có nhận xét sau khi

định nghĩa hàm số liên tục tại 1 điểm

Ở đây ta muốn xét tính liên tục

của h/số tại x=1, ở đây hàm số có sự

phân biệt giữa bên trái và bên phải của

số 1 vì thế ta phải sử dụng công thức

Ta phải xác định mấy thành phần?

HS: 3 thành phần là:

0

x x f x x x f x f x

GV: Gọi HS lên bảng làm bài, gọi

HS khác nhận xét

GV: Các em lưu ý nếu như trong

Giải: f  1 1

 

   

2

1

x





Vậy h/số liên tục tại x 1

VD2: Xét tính liên tục của h/số

 

1; 1

f x



 Tại điểm x 1

Giải: Ta có: f(1) 2

 

Ta nhận thấy    

1



Vậy hàm số không liên tục tại x=1

VD2 này ta chỉ cần tính hai yếu tố đầu

tiên ta thấy hai kết quả khác nhau ta có

thể KL mà không cần tính yếu tố thứ 3

HS: Chú ý nghe giảng và ghi bài

GV: Ta vừa xét xong 2 ví dụ, ở

VD1 hàm số liên tục tại x=1 và VD2

hàm số gián đoạn tại x=1 Để hiểu rõ

hơn các em nhìn vào đồ thị 2 hàm số ta

vừa xét

Chiếu lên máy để HS quan sát và

so sánh

GV: Về mặt ý nghĩa hình học của

hàm số liên tục tại một điểm đó là:

+ Nếu như f(x) liên tục tại điểm

0

x thì tại điểm đó đồ thị không bị đứt

(đường liền nét)

+ Nếu như hàm số không liên tục

(gián đoạn) thì đồ thị bị đứt tại điểm

0

x

Hàm số liên tục tại x=1.

GV: Vậy thì, nếu trong khoảng (a;

b) bất cứ giá trị nào của x0nằm trong

khoảng đó mà hàm số đều liên tục, thì

lúc đó ta nói h/số f(x) liên tục trên

khoảng (a; b) Từ đó ta có định nghĩa 2

GV: Chiếu định nghĩa lên máy

chiếu và sau đó tóm tắt lại định nghĩa

trên bảng

ĐN2: + Hàm số f xđ trên tập J,

trong đó J là một khoảng hoặc hợp của

nhiều khoảng Ta nói rằng hàm số f

liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi

điểm thuộc tập đó

+ Hàm số f xác định trên đoạn [a;

b] đgl liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó

liên tục trên khoảng (a; b) và

Hàm số gián đoạn tại x=1.

2 Hàm số liên tục trên môt khoảng, trên môt đoạn

ĐN2: + Hàm yf x  đgl liên tục trên một khoảng (a; b) nếu nó liên tục

tại điểm thuộc (a; b) + Hàm y f x đgl liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục tại điểm thuộc (a; b) và

GV: Cho HS làm ví dụ củng cố

GV: Muốn CM hàm số liên tục

trên nửa khoảng 1;)ta phải làm

ntn?

HS: CM liên tục trên khoảng

1; và      

1



 

 

Nhận xét: Đồ thị của hàm số trên

một khoảng là một đường liền nét trên khoảng đó

Chú ý: Tính liên tục của h/số trên

các nửa khoảng [a; b), (a; b], a ; )và ( ; ]b được ĐN tương tự như tính liên tục trên đoạn (a; b)

VD3: CMR hàm số f x   x1 liên tục trên nửa khoảng 1;)

Giải: Hàm số đã cho xác định trên

nửa khoảng 1;)

Vì với   x0  1; ta có:

 

lim ( ) lim 1 1

nên hàm số f liên tục trên khoảng

1;

Ngoài ra ta có :

 

lim ( ) lim 1 0 1

        

Do đó hàm số đã cho liên tục trên

GV: Từ định lí 1 và nhận xét sau

định lí 1 trong §4, rút ra định lí

Cho HS đọc lại định lí 1 trong

SGK, tr149

GV: Phát biểu định lí và cho học

sinh làm ví dụ áp dụng khi tìm khoảng

mà trên đó hàm số liên tục

Gọi HS đứng trại chỗ trả lời

HS: Đứng tại chỗ trả lời câu hỏi

nửa khoảng 1;)

3 Môt số định lí cơ bản

Định lí 1: a) Hàm số đa thức liên

tục trên toàn bộ tập số thực R b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng

Định lí 2 : Giả sử yf x  và

 

y g x là 2 hàm liên tục tại điểm x0

Khi đó : a) Các hàm số

   

f x g x



Liên tục tại điểm x0

b) Hàm số

 

 

f x y

g x



liên tục tại x0

nếu g x  0 0

VD4 : Hãy xác định các khoảng mà

trên đó hàm số liên tục

GV: Phát biểu định lí số 3 và ý

nghĩa hình học của nó

Từ đó rút ra hệ quả và ý nghĩa

hình học của hệ quả

HS: Ghi chép bài cẩn thận và vẽ

hình vào vở

GV: Cho HS quan sát đồ thị trên

đoạn (a; b) có f a f b     0 giả sử

  0

f a  và f b   0 Ta có f x  là

a)   2 1

6

x

f x





 

b) g x  tanxsinx

Giải : a) ĐKXĐ của f x  là :

6 0

3

x

x





    





Vậy f x  liên tục trên các khoảng

 ;3  3;2  2;

b) ĐKXĐ của g(x) là : cos 0

2

x  x k

Vậy g(x) liên tục trên các khoảng

Định lí 3 : Nếu hàm số f liên tục

trên đoạn [a ; b] Nếu f a  f b  thì với mỗi số thực M nằm giữa f a  và

 

f b , tồn tại ít nhất một điểm ca b; 

sao cho f c  M

Hệ quả : Nếu hàm số yf x 

liên tục trên đoạn [a ; b] và

hàm số liên tục trên (a; b) nên đồ thị

hàm số là một nét liền Đồ thị cắt trục

Ox ít nhất tại 1 điểm, giả sử cắt tại c thì

khi đó f c   0

GV: Cho HS làm ví dụ củng cố

GV: Tìm a, b sao cho

    0

f a f b  khi đó áp dụng hệ

quả ta có điều gì ?

HS: H/số f x  là hàm đa thức

nên liên tục trên R vì vậy liên tục trên

[0; 2]

pt f x   0 có ít nhất một nghiệm

trong khoảng 0;2.

    0

f a f b  thì ! 1 điểm ca b; 

sao cho f c   0

Hệ quả còn được phát biểu dưới dạng khác :

Nếu hàm số yf x  liên tục trên đoạn [a ;b] và f a f b     0 thì phương trình f x   0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a ; b)

VD 5: CMR phương trình

GV: Đối với dạng bài tập loại này

ta làm theo các bước

+ B1: Đặt f(x) = vế trái

+B2: Tìm 2 điểm a, b sao cho giá

trị hàm số tại đó nhân nhau trái dấu

+B3: KL hàm f(x) có ít nhất 1

nghiệm nằm trong khoảng đó

GV: Cho HS làm tiếp Ví dụ

GV: Để chứng minh pt có ít nhất

2 nghiệm ta cần làm gì?

HS: Tìm 2 khoảng nghiệm mà

trên đó hàm số f(x) liên tục, từ đó áp

dụng hệ quả

GV: Hai khoảng mà trên đó hàm

số liên tục là tách rời nhau thì 2

nghiệm đó ntn với nhau?

HS: 2 nghiệm phân biệt

GV: Lưu ý ở đây pt có ít nhất 2

nghiệm chứ không phải pt có 2 nghiệm

x  x  có ít nhất một nghiệm

Giải : Đặt f x  x32x 5

Ta có : f  0 5 và f  2 7

Do đó f    0 f 2 0 H/số f x  là hàm đa thức nên liên

tục trên R vì vậy liên tục trên [0 ; 2] Vậy pt f x   0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng 0;2

VD 6: CMR pt 2x3 6x 1 0 có

ít nhất hai nghiệm

(pt bậc 3 có tối đa 3 nghiệm)

Giải : Ta có

 0 1;  1 3;  2 5

+ f    0 1f 0 và f x  liên tục

trên [0 ; 1] nên pt f x   0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0 ; 1)

+ f    1 f 2 0 và f x  liên tục

trên [1 ; 2] nên pt f x   0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1 ; 2)

Vậy pt 2x3  6x 1 0 có ít nhất 2 nghiệm

4 Củng cố bài học :

Các em cần nắm được 2 nội dung chính :

ND1 : Hàm số yf x  liên tục tại x0 nếu :

0

0

0

lim

x x





ND2 : Nếu hàm số yf x  liên tục trên đoạn [a ; b] và f a f b     0 thì tồn tại ít nhất một điểm ca b;  sao cho f c   0

(Sử dụng lí thuyết này để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình)

5 Dặn dò :

+ BTVN : 46 – 49 SGK tr 172, 173 ĐS và GT lớp 11 NC

+ Tiết sau sẽ học bài ôn tập chương IV : về ôn lại bài giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và bài hàm số liên tục hôm nay