Chương II. §4. Hàm số mũ. Hàm số Lôgarit

Đường xoắn ốc là đường vạch ra trên mặt phẳng của một chất điểm chuyển động xa dần điểm gốc trên một tia, theo một qui tắc nhất định, khi chính tia này cũng quay quanh điểm gốc đó.. Đườn[r]

Bài 4: HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

TIẾT 1: HÀM SỐ MŨ KIỂM TRA BÀI CŨ

Các em hãy điền vào dấu … để được khẳng định đúng

1 (U.V)’=……… 2 aloga b ……… 3 eln a ……

4 Nếu a> 1 thì lna mang giá trị : ……….

5 Nếu 0<a< 1 thì lna mang giá trị : ……….

I HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG:

Bài 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

5 2

 

 

  )

x

b y

Bài 2: a) Cho y(x1)e Chứng minh   x y y e x

b) Cho





2

2

x

y x e Chứng minh   xy (1 x y2)

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

VÍ DỤ 1: Thầy chủ nhiệm lớp gửi số tiền P = 1 triệu đồng (tiền quỹ của lớp) vào một ngân hàng với lãi suất 0,6%/tháng Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào

vốn ban đầu (người ta gọi là lãi kép).

a) Hỏi sau 1 tháng, nếu rút tiền ra thì lớp sẽ có số tiền quỹ là bao nhiêu?

b) Hỏi sau học kỳ 1 (4 tháng) mới đi rút tiền thì lớp sẽ có số tiền quỹ là bao nhiêu?

c) Hỏi sau n tháng mới đi rút tiền thì số tiền nhận được sẽ là bao nhiêu?

Sau tháng

thứ k (triệu đồng) Tiền lãi Số tiền lĩnh được(triệu đồng) (vốn tích lũy)

k=1 T1= P.r = ? P1 = P+T1= P+P.r = P(1+r) =?

k=2 T2= P1.r = ? P2 =P1+T2=P1+P1.r=P1(1+r)

= P(1+r) 2 = ?

= ?

= ?

k = n Tn=Pn-1.r Pn = P(1+r) n = ?

I HÀM SỐ MŨ:

1 Định nghĩa:

Định nghĩa: Cho a là số thực dương khác 1

Hàm số mũ cơ số a là hàm số có dạng: y=ax

Ví dụ 1:

Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số mũ? Với cơ số bao nhiêu? a) y  3 x

b) 53

x

 d) y 4x



2 Đạo hàm của hàm số mũ:

* Ta thừa nhận công thức 0

1 1 lim x

x

e x







.

* Định lý 1: Hàm số y = e x có đạo hàm tại mọi x và  e x / e x

.

Chứng minh (SGK)

 Chú ý: Đối với hàm hợp e với  ( ) u u u x ta có:  e u / e u u '

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

2  3  2



b y e

c y e e a0,a1

* Định lý 2: Hàm số y = a x a0,a  có đạo hàm tại mọi x và 1  a x / a x.lna

.

Chú ý: Đối với hàm hợp a với  ( ) u u u x ta có:  a u / a u.ln 'a u

Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a)y 3x b)

5 2

x

y   

  c) y 35x1



3 Khảo sát hàm số mũ y a x a0,a1

* Bài toán:

Cho hàm số

1 2

x

y   

  Lập bảng giá trị:

y

a) Tính các giá trị y tương ứng trong bảng trên

b) Biểu diễn các điểm có tọa độ tương ứng trong bảng trên lên hệ trục tọa độ Oxy

c) Nhận xét tính tăng, giảm của hàm số

Cho hàm số y 2x Lập bảng giá trị:

y

a) Tính các giá trị y tương ứng trong bảng trên

b) Biểu diễn các điểm có tọa độ tương ứng trong bảng trên lên hệ trục tọa độ Oxy

c) Nhận xét tính tăng, giảm của hàm số

* Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

 Tập xác định: D = R

 Tập giá trị: T = (0; +)

 Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến

 Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

 Đồ thị:

a>1

y=ax

y

x

1

0<a<1

y=ax

y

x

1

* Ví dụ: Vẽ đồ thị của hàm số:

1 4

x

y   

 

III HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1 Cho hàm số f x    3x 2 Chọn các khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A f ' 0  ln 3

; B f ' 0  3ln 3

; C f ' 1  ln 3

; D f ' 2  9

Câu 2: Cho hàm số y =

1 3

x

 

 

  Khẳng định nào sau đây sai?

A Hàm số có tập xác định là R

B Đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận ngang là trục Ox

C Đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận đứng là trục Oy

D Hàm số nghịch biến trên R

Câu 3: Một người gửi vào ngân hàng số tiền 58 triệu gửi tiết kiệm theo lãi suất 0,7% tháng Hỏi sau 8 tháng người này nhận về bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi

A 61,329 triệu B 70, 201 triệu C 60 triệu D 65,123 triệu

a) Cho y(x1)e Chứng minh   x y y e x

b) Cho





2

2

x

y x e Chứng minh   xy (1 x y2)

V TÌM TÒI MỞ RỘNG:

NHỮNG HÌNH ẢNH HẾT SỨC BÌNH DỊ VÀ ĐẸP CỦA HÀM MŨ VÀ LÔ-GA-RÍT TRONG CUỘC SỐNG QUANH TA

Có bao giờ bạn tự hỏi tại sao cơ số e lại gọi là cơ số tự nhiên, tại sao nghịch đảo của nó lại gọi là tỷ lệ vàng? Mời bạn khám phá bí mật của tự nhiên thông qua việc quan sát những thứ hết sức bình thường trong

cuộc sống như cái vỏ ốc, cây cải súp-lơ, quả thông và cả dải ngân hà Bạn sẽ thấy một sự thực là tự nhiên đã dùng hàm mũ - logarit để vẽ nên tất cả các vật thể đó

Đường xoắn ốc là đường vạch ra trên mặt phẳng của một chất điểm chuyển động xa dần điểm gốc trên

một tia, theo một qui tắc nhất định, khi chính tia này cũng quay quanh điểm gốc đó

Đường xoắn ốc logarit và bia mộ của người phát minh ra nó

Nếu chất điểm chuyển động xa dần gốc theo hàm số mũ: r = ke ti (k,t là tham số, i là đơn vị số ảo) thì ta

sẽ có đường xoắn ốc Lôgarit

Đường xoắn ốc này do nhà toán học người Pháp Descartes tìm ra năm 1628, nó có tính chất kì diệu: Dù bạn phóng to hay thu nhỏ đường xoắn ốc này thì hình dạng của nó không hề thay đổi – cũng như ta không thể phóng to hay thu nhỏ một góc vậy Nhà toán học Thụy Sĩ Danoly rất thích thú với đường xoắn ốc Lôgarit, ông

đă cho làm trên mộ của mình một tấm bia có đường xoắn ốc Lôgarit và dòng chữ: “Eadem mutata

Ta sẽ gặp vô số đường xoắn ốc logarit này trong tự nhiên:

Dĩ nhiên là vỏ óc xoắn ốc rồi

Đây là ảnh một cây xúp lơ thông thường Nếu trông kỹ, ta có thể thấy một điểm giữa, ở đó những bông hoa là nhỏ nhất Nhìn kỹ thêm, ta lại thấy những bông hoa tí xíu này được sắp xếp trên những đường xoắn ốc xung quanh điểm trung tâm kể trên, theo cả 2 hướng Dễ dàng đếm được 5 đường xoắn ngược và 8 đường thuận

chiều kim đồng hồ

Xúp lơ kiểu Roman, bề ngoài và mùi vị vừa giống cải xanh vừa giống xúp lơ Mỗi phần tử nhỏ nổi lên và giống với toàn thể nhưng có kích thước bé hơn, khiến các vòng xoắn nổi lên rất rõ ràng Có 13 vòng xoắn ngược và

21 vòng xoắn thuận chiều kim đồng hồ

Dải ngân hà của chúng ta, nơi trái đất và mặt trời của chúng ta đang du hành cùng nó, cũng là một xoắn ốc (ảnh

NASA) phẩm