[r]
Trang 1I, Các đẳng thức lượng giác,
1, Công thức cơ bản.
Sin 2 x + Cos 2 x = 1
Cos2x =1+Tan
2
x
Sin2x =1+Cotg
2
x
Sin 2x = (1–Cosx)(1+Cosx)
Sin 2 x = Tan2x
1+Tan2x
Cotgx.Tanx = 1
Tan 2 x = 1 −Cos 2 x
1+Cos 2 x
Sin 2 x = 1 −Cos 2 x
2
Cos 2 x = 1+Cos 2 x
2
Sinx.Cosx = 1
2 Sin2 x
2, Cung đối nhau.
Cos(–x) = Cosx
Sin(–x) = – Sinx
Tan(–x) = – Tanx
Cotg(–x) = – Cotgx
3, Cung bù nhau.
gx
4, Cung hơn kém.
Cotgx
5, Cung phụ nhau.
Sin ( π
2 − x) = Cosx
Cos ( π
2 − x) = Sinx
Tan ( π
2 − x) = Cotgx
Cotgx ( π
2 − x) =
Tanx
6, Cung hơn kém.
Sin ( π
Cos ( π
Tan ( π
Cotg ( π
Ghi nhớ: Cos đối – Sin bù – Phụchéo.
7, Công thức cộng.
Sin(a ❑ + ¿
−
¿ b) = SinaCosb ❑ + ¿
−
¿
CosaSinb
Cos(a ❑ + ¿
−
¿ b) = CosaCosb
+ ¿−
❑¿ SinaSinb
Tan(a+b) = Tana+Tanb
1 − TanaTanb
Tan(a–b) = Tana − Tanb
1+TanaTanb
Cotg(a+b) = CotgaCotgb −1
Cotga+Cotgb
Cotg(a–b) = CotgaCotgb+1
Cotga − Cotgb
8, Công thức nhân đôi.
Sin2x = 2SinxCosx
Cos2x = Cos 2 x – Sin 2 x = 2Cos 2 x - 1 = 1 – 2Sin 2 x
Tan2x = 2 Tanx
1 − Tan2x
Cotg2x = Cotg2x − 1
2 Cotgx
Lưu ý:
Cosx = Cos2 x
2 −Sin
2x
2
= 2Cos 2 x
2 − 1
= 1 – 2Sin 2 x
2
Sinx = 2Sin x
2 Cos
x
2
9, Công thức theo “t”.
Đặt Tan x
2 = t ta có:
Sinx = 2t
1+t2
Cosx = 1 −t2
1+t2
Tanx = 2 t
1 −t2
10, Công thức nhân 3.
Sin3x = 3 sin x − 4 sin3x
Cos3x = 4Cos 3 x – 3Cosx
Tan3x = 3 Tanx −Tan3x
1− 3 Tan2x
11, Công thức tích thành tổng.
CosxCosy=
1
2 [ Cos(x+ y)+Cos( x − y ) ]
SinxCosy = 1
2 [ Sin( x+ y )+Sin(x − y) ]
SinxSiny=
2 [ Cos(x + y )− Cos(x − y) ]
12, Công thức tổng(hiệu) thành tích.
Sinx + Siny = 2Sin ( x+ y 2 ) Cos ( x − y 2 )
Sinx – Siny = 2Cos ( x+ y 2 ) Sin ( x − y 2 )
Cosx + Cosy = 2Cos
( x+ y 2 ) Cos ( x − y 2 )
Cosx – Cosy = – 2Sin
( x+ y 2 ) Sin ( x − y 2 )
Tanx + Tany = Sin(x+ y)
CosxCosy
Tanx – Tany = Sin(x − y)
CosxCosy
Cotgx + Cotgy = Sin(x+ y)
SinxSiny
Cotgx – Cotgy = Sin( y − x)
SinxSiny
Sin( y − x)
SinxSiny
Trang 213, Các hệ qủa thông dụng.
Sinx + Cosx = √ 2Sinx ( x + π
4 ) = √ 2 Cos ( x − π
4 )
Sinx – Cosx = √ 2Sinx ( x − π
4 ) = − √ 2 Cos ( x + π
4 )
4.Sinx.Sin(60 o – x).Sin(60 o + x) = Sin3x
4.Cosx.Cos(60 o – x).Cos(60 o + x) = Cos3x
1 + Sin2x = (Sinx + Cosx) 2
1 – Sin2x = (Sinx – Cosx) 2
1+Tanx
1 − Tanx =Tan ( x + π
4 )
1 − Tanx
1+Tanx = − Tan ( x − π
4 )
Cotgnx – Tannx = 2Cotg2nx
Cotgx + Tanx = 2
Sin2 x
Công thức liên quan đến phương trình lượng giác
Sin3x = 3 Sinx − 4 Sin3x
⇔ Sin 3 x = 3 Sinx −Sin 3 x
4
Cos3x = 4Cos 3 x – 3Cosx
⇔ Cos 3 x = 3 Cosx +Cos 3 x
4
Sin 4 x + Cos 4 x = 1 − 1
2 Sin
2
2 x
Sin 4 x – Cos 4 x = – Cos2x
Sin 6 x + Cos 6 x = 1 − 3
4 Sin
22 x
Sin 6 x – Cos 6 x = Cos2x ( 1 − 1
4 Sin
2
2 x )
III, Phương trình lượng giác.
1, Cosx = Cos α
⇔ x=α +k 2 π x=− α+k 2 π
¿ {
( k Z )
Đặc biệt:
Cosx = 0 ⇔ x = π
2 + kπ
Cosx = 1 ⇔ x = k2 π
Cosx = −1 ⇔ x = π +k 2 π
2, Sinx = Sin α
⇔ x=α+k 2 π x=π − α+k 2 π
¿ {
( k Z )
Đặc biệt:
Sinx = 0 ⇔ x = kπ
Sinx = 1 ⇔ x = π
2 + k 2 π
Sinx = −1 ⇔ x=− π
2 + k 2 π
3, Tanx = Tan α
Đặc biệt:
Tanx = 0 ⇔ x=kπ
Tanx không xác định khi x= π
2 + kπ (Cosx=0)
4, Cotgx = Cotg α
Đặc biệt:
Cotgx = 0 ⇔ x= π
2 + kπ
Cotgx không xác định khi:
x = kπ ( Sinx=0)