Giải tích cổ điển tập 1

Các tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn .... Tính chất liên tục của các hàm số sơ cấp đơn giản ..... Biểu diễn hình học và biểu diễn thập phân số thực Người ta chứng minh được r

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG

KHOA SƯ PHẠM

GIẢI TÍCH CỔ ĐIỂN TẬP 1

VÕ THÀNH TÀI

Tài liệu giảng dạy “Giải tích cổ điển tập 1”, do tác giả Võ Thành Tài, công tác tại Khoa Sư phạm thực hiện Tác giả đã báo cáo nội dung và được Hội đồng Khoa học và Đào tạo Khoa thông qua ngày ……… , và được Hội đồng Khoa học và Đào tạo Trường Đại học An Giang thông qua ngày ………

Tác giả biên soạn

LỜI CAM KẾT

Tôi xin cam đoan đây là tài liệu giảng dạy của riêng tôi Nội dung tài liệu giảng dạy có xuất xứ rõ ràng

An Giang, ngày 01 tháng 02 năm 2018

Người biên soạn

ThS VÕ THÀNH TÀI

MỤC LỤC

Chương 1 SỐ THỰC VÀ GIỚI HẠN DÃY SỐ 1

1.1 Số thực 1

1.1.1 Tập số hữu tỉ 1

1.1.2 Nhát cắt Dedekind 3

1.1.3 Quan hệ thứ tự trong tập số thực 4

1.1.4 Các phép toán trên tập số thực 4

1.1.5 Tính chất trù mật của tập số thực 5

1.1.6 Định nghĩa số thực và tính chất liên tục của tập số thực 5

1.1.7 Biểu diễn hình học và biểu diễn thập phân số thực 5

1.1.8 Cận trên và cận dưới 6

1.1.9 Số thực mở rộng 7

1.1.10 Khoảng, đoạn, lận cận 8

1.1.11 Giá trị tuyệt đối 9

1.1.12 Một số bất đẳng thức sơ cấp thường gặp trong tập số thực 10

1.2 Giới hạn dãy số thực 11

1.2.1 Khái niệm dãy số 11

1.2.2 Giới hạn của dãy số 11

1.2.3 Dãy bị chặn và dãy đơn điệu 14

1.2.4 Dãy con và giới hạn riêng 15

1.2.5 Phép toán và tính chất của các dãy hội tụ 16

1.2.6 Một số dãy số đặc biệt 23

1.2.7 Điều kiện hội tụ của dãy số 27

1.2.8 Đại lượng vô cùng bé và đại lượng vô cùng lớn 34

1.2.9 Giới hạn trên và giới hạn dưới 36

1.2.10 Tổng hợp một số định lý quan trọng trong việc tìm giới hạn dãy số 37

BÀI TẬP CHƯƠNG 1 59

CHƯƠNG 2 HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ 65

2.1 Hàm số 65

2.1.1 Khái niệm hàm số 65

2.1.2 Các phương pháp cho hàm số 65

2.1.3 Phép toán trên các hàm số 66

2.1.4 Hàm số đơn điệu 67

2.1.5 Hàm số bị chặn 67

2.1.6 Hàm số chẵn và hàm số lẻ 68

2.1.7 Hàm số tuần hoàn 68

2.1.8 Hàm số hợp 69

2.1.9 Hàm số ngược 69

2.1.10 Các hàm số sơ cấp cơ bản 71

2.1.11 Hàm số sơ cấp 73

2.2 Giới hạn hàm số 73

2.2.1 Khái niệm giới hạn 73

2.2.2 Tính chất và các phép toán 78

2.2.3 Điều kiên tồn tại giới hạn hàm số 83

2.2.4 Đại lượng vô cùng bé và đại lượng vô cùng lớn 83

2.2.5 Các dạng vô định 86

BÀI TẬP CHƯƠNG 2 90

Chương 3 HÀM SỐ LIÊN TỤC 97

3.1 Hàm số liên tục tại một điểm 97

3.1.1 Các khái niệm cơ bản 97

3.1.2 Các phép toán trên hàm số liên tục 101

3.2 Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn 102

3.2.1 Định nghĩa 102

3.2.2 Các tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn 103

3.3 Tính liên tục của hàm số sơ cấp 108

3.3.1 Điều kiện liên tục của các hàm đơn điệu 108

3.3.2 Tính chất liên tục của các hàm số sơ cấp đơn giản 109

3.4 Liên tục đều 111

BÀI TẬP CHƯƠNG 3 114

Chương 4 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 117

4.1 Đạo hàm 117

4.1.2 Các quy tắc tính đạo hàm 122

4.1.3 Bảng công thức đạo hàm thường gặp 126

4.2 Vi phân cấp một 127

4.2.1 Định nghĩa 127

4.2.2 Điều kiện hàm khả vi 128

4.2.3 Các quy tắc lấy vi phân 130

4.2.4 Tính bất biến của dạng thức vi phân 130

4.2.5 Ứng dụng của vi phân để tính gần đúng 130

4.2.6 Các định lý về hàm khả vi 131

4.3 Đạo hàm cấp cao 139

4.3.1 Định nghĩa 139

4.3.2 Công thức Leibnizt 140

4.3.3 Đạo hàm cấp cao đối với các hàm số thường gặp 140

4.4 Vi phân cấp cao 142

4.5 Ứng dụng của phép tính vi phân 144

4.5.1 Công thức Taylo và khai triển các hàm số sơ cấp đơn giản 144

4.5.2 Quy tắc L’Hospital 148

4.5.3 Khảo sát hàm số 149

BÀI TẬP CHƯƠNG 4 163

CHƯƠNG 5 TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 169

5.1 Nguyên hàm 169

5.1.1 Định nghĩa 169

5.1.2 Tính chất 170

5.1.3 Bảng tích phân một số hàm thường gặp 170

5.1.4 Các phương pháp tính tích phân 171

5.1.5 Tích phân các hàm hữu tỉ 176

5.1.6 Tích phân các hàm vô tỉ 180

5.1.7 Tích phân các hàm lượng giác 187

5.2 Tích phân xác định 192

5.2.1 Bài toán tính diện tích hình thang cong 192

5.2.2 Định nghĩa 194

5.2.2 Điều kiện khả tích 195

5.2.3 Tính chất của tích phân xác định 202

5.2.4 Mối liên hệ giữa tích phân xác định và nguyên hàm 206

5.2.5 Các phương pháp tính tích phân xác định 208

5.2.6 Một số tích phân dạng đặc biệt 211

5.3 Một số ứng dụng của tích phân xác định 212

5.3.1 Tính giới hạn dãy số 212

5.3.2 Tính dộ dài cung 213

5.3.3 Tính diện tích hình phẳng 215

5.3.4 Tính thể tích vật thể 217

5.3.5 Tính diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay 220

BÀI TẬP CHƯƠNG 5 224

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VÀ ĐÁP SỐ 229

TÀI LIỆU THAM KHẢO 268

tập hợp này được trang bị một cấu trúc thể giao hoán sắp thứ tự toàn phần

Đầu tiên ta nhắc lại những tính chất quan trọng nhất của tập số hữu tỉ

1.1.1 Tập số hữu tỉ

1.1.1.1 Tính được sắp của số hữu tỉ

Khái niệm bé hơn   làm cho tập số hữu tỉ trở thành tập được sắp thứ tự Khái niệm bé hơn có các tính chất sau đây:

i Với mỗi cặp số ,a b thuộc số hữu tỉ có một và chỉ một trong ba quan hệ sau:

a b ab b a

ii Từ a b và bc suy ra a (tính chất bắc cầu); c

iii Nếu a b thì tồn tại số c sao cho a và c cb (tính trù mật)

Khái niệm lớn hơn   được suy ra từ khái niệm bé hơn (ab khi và chỉ khi

ba) Rõ ràng quan hệ lớn hơn cũng có ba tính chất trên

1.1.1.2 Tính chất của các phép toán “cộng, trừ, nhân, chia” các số hữu tỉ

a Phép cộng

Với mỗi cặp số hữu tỉ ,a b tồn tại một số duy nhất c được gọi là tổng của hai

số đã cho và ký hiệu là c   a b

Phép cộng có các tính chất sau đây:

Với mỗi cặp số hữu tỉ ,a b tồn tại một số duy nhất c được gọi là tích của hai số

đã cho và ký hiệu là c a b (hay ab )

Phép nhân có các tính chất sau đây:

i Tính chất giao hoán: abba;

ii Tính chất kết hợp:  ab c a bc ;

iii .1a  a;

iv Với mỗi số a 0, tồn tại số b sao cho ab  số b này được gọi là số 1,

nghịch đảo của số a và được ký hiệu là 1

a

Giữa phép nhân và phép cộng có các tính chất sau đây:

i Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: ab c acbc;

ii Từ a b và c  suy ra 0 acbc

1.1.1.3 Tiên đề Archimede

Với mỗi số hữu tỉ a  bất kỳ, tồn tại số tự nhiên n sao cho 0 n a

1.1.1.4 Sự cần thiết phải mở rộng số hữu tỉ

Tập số hữu tỉ không đủ để giải ngay cả những bài toán rất đơn giản Chẳng

hạn, ta dễ dàng chứng minh rằng không có số hữu tỉ r nào mà r  2 2

Thật vậy, giả sử ngược lại rằng tồn tại số hữu tỉ r m, m n,  1

số chẵn Điều này vô lí vì m n ,  1

Ngoài ra, những số có ích khác trong giải tích như ,e  cũng không phải số

hữu tỉ Do đó rất cần thiết phải mở rộng tập số hữu tỉ

Một trong các lý thuyết để mở rộng số hữu tỉ và xây dựng số thực là lý thuyết

“Nhát cắt Dedekind”

1.1.2 Nhát cắt Dedekind (Vũ Tuấn, 2011, Giáo trình Giải tích toán học tập 1)

Định nghĩa 1.1 Gọi  là tập số hữu tỉ Ta gọi tập  các số hữu tỉ là một nhát

* Nhận xét Từ định nghĩa trên ta thấy nếu p  và q  thì  pq

Từ đó ta thấy rằng những số không thuộc nhát cắt  đều lớn hơn mọi số thuộc nhát cắt đó Do đó ta gọi tập các số không thuộc  là lớp trên của nhát cắt  và kí

hiệu là  Mỗi số thuộc  được gọi là số dưới, mỗi số thuộc  được gọi là số trên

Mặt khác, ta thấy r là số bé nhất trong lớp trên 

Ví dụ 1.2 Cho tập  gồm tất cả số hữu tỉ không dương và những số hữu tỉ

dương a thỏa mãn a 2 2. Tập  là một nhát cắt

Thật vậy, dễ thấy  thỏa mãn các điều kiện i) và ii)

Giả sử trong  có số lớn nhất là m khi đó , m  0

Vì m0,m nên m 2 2 Theo tiên đề Archimedes ta chọn được số nguyên dương 1 2 2

2

m n

n

  Điều này trái với giả thiết m là số lớn



Vậy trong  không có số lớn nhất nên  thỏa mãn điều kiện iii), điều đó chứng tỏ  là một nhát cắt

Chú ý thêm rằng, bằng cách chứng minh tương tự ta cũng chứng minh được lớp trên của nhát cắt không có số bé nhất

* Nhận xét

i Từ định nghĩa và các ví dụ trên ta thấy rằng mỗi nhát cắt  phải thuộc một

trong hai loại sau đây:

Loại 1: Lớp trên  có số bé nhất (Ví dụ 1.1);

Loại 2: Lớp trên  không có số bé nhất (Ví dụ 1.2)

ii Ví dụ 1.1 chứng tỏ rằng với mỗi số hữu tỉ r , tập  a :a r (1) là

một nhát cắt loại 1, trong đó r là số bé nhất của lớp trên 

Mọi nhát cắt  mà lớp trên  có số bé nhất r hữu tỉ đều có dạng (1) Ta gọi

mỗi nhát cắt loại 1 là một nhát cắt hữu tỉ và ký hiệu là * r

Ta ký hiệu tập hợp tất cả các nhát cắt là 

1.1.3 Quan hệ thứ tự trong tập số thực

Định nghĩa 1.2 Cho 2 nhát cắt ,   Ta nói hai nhát cắt ,   bằng nhau nếu

các tập ,  bằng nhau và viết là  Ngược lại ta bảo chúng khác nhau và viết

là 

Định nghĩa 1.3 Cho 2 nhát cắt ,   Ta nói  bé hơn  và viết là  

(hoặc   ) nếu tồn tại số hữu tỉ p sao cho  p,p 

  có nghĩa là    hoặc  

  có nghĩa là    hoặc  

Các định lý sau đây cho ta quan hệ thứ tự trong tập số thực

Định lý 1.1 Với các nhát cắt ,   có một và chỉ một trong ba quan hệ sau:

  

Định lý 1.2 Cho các nhát cắt , ,    Nếu   và    thì  

1.1.4 Các phép toán trên tập số thực

Ta đưa ra định nghĩa các phép toán cộng và nhân trong tập số thực

Bổ đề 1.1 Giả sử   , . Nếu  là tập mọi số hữu tỉ r  p q, trong đó ,

Định nghĩa 1.5 Nhát cắt  đước xây dựng trong bổ đề trên được gọi là tích

của hai nhát cắt không âm ,  và ký hiệu là 

Định nghĩa 1.6 Ta gọi mỗi nhát cắt là một số thực Nhát cắt loại 2 được gọi là

số vô tỉ, nhát cắt loại 1 được gọi là số hữu tỉ Ta ký hiệu tập mọi số thực là , ký hiệu tập mọi số vô tỉ là ,I khi đó  I 

Định lý 1.4 Giả sử , A B là những tập hợp các số thực thỏa mãn các điều kiện:

1.1.7 Biểu diễn hình học và biểu diễn thập phân số thực

Người ta chứng minh được rằng có thể thiết lập một song ánh giữa tập số thực

và tập các điểm trên một đường thẳng, nếu trên đường thẳng đó đã xác định điểm gốc, chiều và đơn vị độ dài Vì vậy người ta thường gọi đường thẳng (đã xác định điểm gốc, chiều và đơn vị độ dài) là đường thẳng số hay trục số, mỗi điểm trên trục

số là một số và ngược lại mỗi số là một điểm

Người ta cũng chứng minh được rằng có thể biểu diễn mỗi số thực  dưới

dạng một số thập phân vô hạn:

1 2 3, k

trong đó a là một số nguyên và a k là một trong các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Hơn nữa, nếu trong (1.1) ta không dùng số 0 làm chu kỳ cho trường hợp số

thực  có biểu diễn thập phân vô hạn tuần hoàn thì cách biểu diễn trên là duy nhất

Nói một cách khác, nếu không dùng số 0 làm chu kỳ, người ta đã thiết lập được một ánh xạ 1-1 giữa tập mọi số thực và tập mọi số thập phân dạng (1.1)

1.1.8 Cận trên và cận dưới

Định nghĩa 1.7 Cho một bộ phận A của  Nếu tồn tại số thực M sao cho

x M với mọi x A thì ta nói tập A bị chặn trên và M là một cận trên của A

trong 

Như vậy,

Tập A bị chặn trên trong   M  :x M x,  A

Rõ ràng với mọi số N M cũng đều là những cận trên của ,A nghĩa là nếu

A bị chặn trên thì nó có vô số cận trên

Tương tự,nếu tồn tại số thực m sao cho x m với mọi x A thì ta nói tập

A bị chặn dưới và m là một cận dưới của A trong 

Như vậy,

Tập A bị chặn dưới trong    m  :x m x, A

Tập A được gọi là bị chặn nếu nó bị chặn trên và bị chặn dưới

Ví dụ 1.3 Tập Ax / 1  x 1 là một tập bị chặn

Định nghĩa 1.8 Số bé nhất trong các cận trên của A được gọi là cận trên đúng

của A và ký hiệu là sup A

Như vậy,

,sup

Trong trường hợp này cận trên đúng thuộc A và cận dưới đúng không thuộc A

* Chú ý Cận trên đúng và cận dưới đúng của một tập số thực có thể thuộc

hoặc không thuộc tập đó

Định lý 1.5 Nếu tập các số thực A không rỗng và bị chặn trên thì tồn tại

sup A Tương tự, nếu tập các số thực A không rỗng và bị chặn dưới thì tồn tại

inf A

* Chú ý Nếu x M với mọi x A thì sup AM Tương tự, nếu x m

với mọi x A thì infAm

Định nghĩa 1.9 Ta nói M là phần tử lớn nhất của A khi và chỉ khi M A

và M là một cận trên của A trong  Kí hiệu là max A

i Nếu xM với mọi x A thì supAM;

ii Nếu x m với mọi x A thì infAm

Định nghĩa 1.11 Giả sử A ,nếu A không bị chặn trên thì ta nói  là

 , gọi là nửa đoạn (hoặc nửa khoảng);

iv) a b,   x /a  x b, gọi là nửa đoạn (hoặc nửa khoảng);

  … là các lân cận của điểm 0

Định nghĩa 1.14 Cho tập số thực E Số thực x0 được gọi là điểm giới hạn

của tập E nếu mọi lân cận của điểm x0 cũng chứa ít nhất một điểm khác x0 thuộc

E

0

x là điểm giới hạn của tập E    0,B x 0,E \ x0  

Ví dụ 1.7 Ta thấy rằng mọi điểm ;a b

  đều là điểm giới hạn  a b Chú ý rằng ; ,

a b là các điểm giới hạn của  a b nhưng không thuộc ;  a b ;

* Nhận xét

i Điểm giới hạn của một tập hợp có thể thuộc hay không thuộc tập đó

ii Mỗi điểm của một tập có thể là điểm giới hạn hoặc không là điểm giới hạn của tập đó Một điểm của tập hợp mà không phải là điểm giới hạn của tập hợp đó sẽ được gọi là một điểm cô lập

Định nghĩa 1.15 Cho tập số thực E Số thực x0 Eđược gọi là điểm trong của tập E nếu tồn tại một lân cận của x0 hoàn toàn thuộc E Nghĩa là,

  Các điểm ,a b không phải là điểm trong của đoạn ;a b vì bất

kỳ một lân cận nào của a hoặc b cũng chứa những điểm không thuộc đoạn ; a b

  không có điểm trong nào cả

1.1.11 Giá trị tuyệt đối

Định nghĩa 1.16 Giá trị tuyệt đối của một số thực  , ký hiệu là  , được định

nghĩa như sau:

(trung bình cộng  trung bình nhân  trung bình điều hòa)

iv Nếu  a là một cấp số cộng với các số hạng dương thì k

1

2

n n

vi Nếu a k k, 1, 2, ,n là các số dương thỏa mãn điều kiện

1

1

n k k

k k

k k

Ta gọi tập các số a   1 ,a 2 , ,a n , (1) viết theo thứ tự là một dãy số

Người ta thường ký hiệu dãy (1) là a a1, , , , 2 a n hoặc  a Ta gọi mỗi số n

 1, 2, 

n

a n  là một số hạng hay một phần tử của dãy; n là chỉ số của số hạng a n

1.2.2 Giới hạn của dãy số

Định nghĩa 1.17

i Số a  được gọi là giới hạn của dãy số  a nếu với mỗi số n   nhỏ 0

tùy ý, tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi nN , ta đều có a n   Ký hiệu a 

  (a hữu hạn) thì ta nói dãy  a hội tụ về a Ngược lại, ta n

sẽ nói dãy  a phân kỳ n

Vậy 1

n

n n

Vậy lim ,  0 

Định lý 1.6 Giới hạn của dãy số (nếu có) là duy nhất

  nên tồn tại N '  sao cho a na'   n N '

Chọn M maxN N, ', rõ ràng với mọi n M ta có đồng thời:

Định nghĩa 1.19 Cho dãy số thực  a n

i Ta nói  a tiến tới  nếu n    A 0, N , n N a, n A Khi đó ta

1.2.3 Dãy bị chặn và dãy đơn điệu

Định nghĩa 1.20 Dãy  a được gọi là bị chặn nếu tồn tại số dương M sao n

cho a n M với mọi n

Định lý 1.7 Mọi dãy số hội tụ đều bị chặn

Vậy dãy số  a bị chặn dưới n

Định lý 1.9 Mọi dãy số tiến tới  đều bị chặn trên

i Dãy số a được gọi là dãy tăng nếu n a1 a2  a n  ;

ii Dãy số  a được gọi là dãy số giảm nếu n a1 a2  a n  ;

iii Dãy số  a n được gọi là dãy số tăng nghiêm ngặt nếu

Các dãy số tăng hay giảm gọi chung là dãy đơn điệu

1.2.4 Dãy con và giới hạn riêng

Định nghĩa 1.22 Cho dãy số  a và dãy các số nguyên dương tăng nghiêm n

Nếu dãy con  a m n hội tụ thì ta gọi giới hạn của nó là giới hạn riêng của dãy

 a n

* Chú ý Dễ thấy m n n

Định lý 1.10 Mỗi dãy số con  a m n của một dãy số hội tụ  a cũng là một dãy n

số hội tụ và lim lim

a a

i Các công thức i), ii), iii) chỉ đúng khi các dãy  a và n  b hội tụ Tuy nhiên, n

có khi dãy a n b n hội tụ nhưng dãy  a và n  b không hội tụ, chẳng hạn các dãy n

ii Việc thay đổi một số hữu hạn các số hạng của một dãy số không làm ảnh hưởng đến tính chất hội tụ hay phân kỳ của dãy và cũng không làm thay đổi giới hạn của dãy

Hệ quả Nếu dãy  a n hội tụ thì với mọi hằng số c  ta luôn có

Định lý 1.14 Nếu hai dãy số    a n , b thỏa mãn n a n b n  n N ( N  nào đó) và lim n

* Chú ý Điều ngược lại không đúng Chẳng hạn dãy   1 n 1



  hội tụ nhưng dãy   1n

Suy ra b n a n  n N (mâu thuẩn)

Vậy a hay b lim n lim n

lim n lim n lim n

b Ta có:

 

* 2

n n n

n n

n n

n n

n

a

a b b

n n

n n

n

a

a b b

n n

n n

n n n

n n

n n

n n n

n n

a

a b b

n n

n n n

n n

n n

n n

n n n

1.2.6 Một số dãy số đặc biệt

1.2.6.1 Dãy truy hồi

Dãy  a là dãy truy hồi cấp h nếu n a n  f a n1; ,a n h ,  n h

* Dãy truy hồi tuyến tính cấp 1

Dãy truy hồi tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng số là dãy có dạng u n1 au n b

2

3

n n

n n

Đây là dãy truy hồi cấp một với hệ số hằng số

Nếu b 1,  u n là cấp số cộng với công bội d  dãy phân kỳ ra 1,  Nếu b  số hạng tổng quát của dãy có dạng 1, n

n

Với n 0, AB a;

n 1, AbB  1 ab

  (dễ dàng chứng minh theo quy nạp)

Từ đó nếu b  còn a tuỳ ý, hoặc 1 b  còn 1 1

* Dãy truy hồi tuyến tính cấp 2

Dãy truy hồi tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng có dạng

u  au  bu n ,a b là các hằng số

Phương trình k2 ak  gọi là phương trình đặc trưng của dãy b 0

+ Trường hợp 1 Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt k k1, 2 Khi đó

có 2 số ,A B để u n có dạng 1n 2n

n

u Ak Bk + Trường hợp 2 Phương trình đặc trưng có nghiệm kép k1 k2 k0 Khi đó

có 2 số ,A B để u n có dạng 0n 0n 1

n

u Ak Bnk  + Trường hợp 3 Phương trình đặc trưng có nghiệm phức

n n

a a

n

n

a

n h n

Vậy

1

n n

a a

n n

Người ta nói rằng hàm giai thừa trội hơn hàm mũ

1.2.7 Điều kiện hội tụ của dãy số

Do  a là dãy tăng nên n a  a N a n  n N

Mặt khác, a n a với mọi n nên suy ra a n  a  với mọi n

Như vậy, với mọi nN ta có:

1 !

n n

n n

Do đó x n1x n   hay n 1  x là dãy giảm n

Vậy dãy số  x giảm và bị chặn dưới nên hội tụ n

Vậy  x hội tụ n

Ví dụ 1.14 Chứng minh dãy số  a , trong đó n 1 1

n n

11

n

n n

1

n

n n

1.2.7.2 Bổ đề về dãy các đoạn thắt và tiêu chuẩn Cauchy

Định nghĩa 1.23 Ta sẽ gọi dãy các đoạn  1, 2, ,n, (trong đó

Bổ đề 1.1 Nếu   là dãy các đoạn thắt thì tồn tại một điểm duy nhất thuộc n

vào mọi đoạn của dãy