Giải tích toán học tập 1

+ Nếu f có đạo hàm tại điểm x0 ta cóNhờ các quy tắc lấy đạo hàm và các công thức đã nêu trên ta có các công thức và quy tắc lấy vi phân sau Nếu hàm số y = f x, trong đó xlà biến độc lập,

Chương 2

Phép tính vi phân của hàm số một biến số

2.1 Đạo hàm

2.1.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 2.1.1 Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a, b) Ta nóirằng hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm c ∈ (a, b) nếu tồn tại giới hạn hữuhạn

Nếu hàm số f (x) có đạo hàm tại mọi điểm x ∈ (a, b) thì hàm f

có đạo hàm trên khoảng (a, b).

Trong đó, 4x gọi là số gia của đối số, f (c + 4x) − f (c) là số gia của hàm số tại x = c.

(2) Ta có thể viết công thức đạo hàm của hàm số dưới dạng sau

f (c + 4x) − f (c) = f0(c).4x + o(4x)

Ví dụ.

(1)f (x) = c, x ∈ (a, b) ⇒ f0(x) = 0 vìf (x + 4x) − f (x) = c − c = 0 (2) f (x) = xn, x ∈ (a, b)( với n ∈ N \ {0}) ⇒ f0(x) = nxn−1 vì

= 1

x.

ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm của hàm số f (x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong y = f (x) tại điểm M (x0, f (x0).

2.1 Đạo hàm 59

Nhận xét.

(1) Nếu hàm số f (x) có đạo hàm tại điểm x = c thì đồ thị của hàm số f (x) có một tiếp tuyến duy nhất tại (c, f (c) không vuông góc với trục Ox.

(2) Nếu hàm số f (x) có đạo hàm tại điểm x = c thì nó liên tục tại x = c (điều ngược lại nói chung không đúng).

Định nghĩa 2.1.2 Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng (a, b), x0 ∈(a, b) Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

lim

4x→0 +

f (x0+ 4x) − f (x0)

4xthì f có đạo hàm phải tại x0 và ký hiệu

4x = ±∞thì ta nói tại điểmx = x0

hàm số f (x) có đạo hàm vô cùng (khi đó tiếp tuyến tại x0 vuông góc với trục hoành).

2.1.2 Các quy tắc tính đạo hàm Đạo hàm của hàm số hợp,

đạo hàm của hàm số ngược

Định lí 2.1.3 Cho f(x) và g(x) là hai hàm số xác định trong khoảng (a, b)

và có đạo hàm tại x ∈ (a, b) Khi đó

g(x)4x

= lim

4x→0

1g(x)g(x + 4x).

2.1 Đạo hàm 61

Định lí 2.1.4 Giả sử

(1) Hàm số u = g(x) xác định trong khoảng (a, b), lấy giá trị trong (c, d)

và có đạo hàm tại e ∈ (a, b)

(2) Hàm y = f(x) xác định trong khoảng (c, d) và có đạo hàmtại u = g(e)

Khi đó hàm hợp f◦g có đạo hàm tại e và

(f◦g(e))0 = fu0(g(e))g0(e)

Chứng minh Do f có đạo hàm tại u nên

f (u + 4u) − f (u) = f0(u)4u + o(4u)

Mặt khác g có đạo hàm tại e nên

4u = g(e + 4x) − g(e) = g0(e)4x + o(4x)

Thay 4u vào công thức trên ta có

f (u + 4u) − f (u) = fu0(g(e)).g0(e)4x + fu0(u)o(4x) + o(4u)

Chia cả hai vế cho 4x và chú ý, o(4x)4x → 0 và g(x) liên tục tại e nên khi4x → 0thì 4u → 0 Ta có

(f◦g(e))0 = fu0(g(e))g0(e)

(3) Từ đạo hàm của hàm số y = sin x ta có

(cos x)0 = − sin x, (tan x)0 = 1

f (x) − f (x0)

x − x0 → f0(x0), từ đó suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ Xét haif (x) = sin xtrên[−π

2,

π

2]vàg(y) = arcsin ytrên[−1, 1] Với x0 bất kỳ thuộc [−π

2,

π

2], y0 = sin x0 và f0(x0) = cos x0 =p1 − y2

0

Theo định lý trên, gy0(y0) = 1

f0(x0) =

1p1 − y2

Định nghĩa 2.2.1 Giả sử f là hàm số xác định trong (a, b) Khi đó hàm số

f được gọi là khả vi (có vi phân) tại điểm x0 ∈ (a, b) nếu tồn tại số A ∈ Rsao cho với mọi số gia 4x = x − x0, số gia 4f(x0) = f (x) − f (x0)có thểbiểu diễn được dưới dạng

Chứng minh +) Nếu f có đạo hàm tại điểm x0 ta có

Nhờ các quy tắc lấy đạo hàm và các công thức đã nêu trên ta

có các công thức và quy tắc lấy vi phân sau

Nếu hàm số y = f (x), trong đó xlà biến độc lập, là hàm số khả

vi tại điểm x nào đó thì

dy = f0(x)dx

Xét vi phândytrong trường hợpxlà biến phụ thuộc vàotnghĩa là

y = f (ϕ(t))

2.2.3 Các định lý giá trị trung bình

Định nghĩa 2.2.3 Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a, b) Ta nóirằng f(x) đạt cực đại (hoặc cực tiểu) ttại điểm x = c ∈ (a, b) nếu tồn tại

δ > 0 sao cho

f (x) − f (c) < 0(hoặc > 0) với ∀x ∈ (c − δ, c + δ) ∩ (a, b), x 6= c

Bổ đề 2.2.4 (Định lý Fermat) Nếu hàm số f : (a, b) −→ R đạt cực trị tại

Hệ quả 2.2.5 (Định lý Rolle) Cho hàm số f(x) xác định, liên tục trong đoạn[a, b] và khả vi trong (a, b) Giả sử f(a) = f(b) Khi đó tồn tại c ∈ (a, b) saocho f0(c) = 0.

Chứng minh Vì f liên tục trên đoạn [a, b] nên nó đạt giá trị lớn nhất M vànhỏ nhất m trên đoạn đó Ta có

Nếu M = m thì f(x) =const trên [a, b] hay f0(x) = 0, ∀x ∈ (a, b)Nếu M > m Khi đó, do f(a) = f(b) nên giá trị M hoặc m đạt tại một

điểm c ∈ (a, b) Theo định lý Fermat ta có f0(c) = 0

Định lí 2.2.6 (Định lý Lagrange) Nếu hàm số f(x) xác định, liên tục trên

đoạn [a, b] và khả vi trong khoảng (a, b) thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b)sao cho

Dễ thấy g thỏa mãn tất cả các điều kiện của định lý Rolle nên tồn tại điểm

c ∈ (a, b)sao cho g0(c) = 0 Từ đó suy ra

Công thức trên được gọi là công thức số gia giới nội.

Hệ quả 2.2.7 Nếu f0(x) = 0với ∀x ∈ (a, b) thì f(x) =const trên (a, b)

2.2 Vi phân 67

Định lí 2.2.8 (Cauchy) Nếu các hàm số f, g liên tục trên [a, b] và khả vitrong (a, b), g0(x) 6= 0, ∀x ∈ (a, b)thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) saocho

f (b) − f (a)g(b) − g(a) =

f0(c)

g0(c).Chứng minh Xét hàm số

ϕ(x) = f (x) − f (a) − f (b) − f (a)

g(b) − g(a)(g(x) − g(a)).

Dễ thấy ϕ(x) thỏa mãn các điều kiện của định lý Rolle do đó tồn tại

c ∈ (a, b)sao cho ϕ0(0) = 0, ta có

Do hàm f (x) khả vi trên đoạn [1, 3] và triệt tiêu tại các điểm

x = 1, x = 2và x = 3của đoạn đó Do đó trên các đoạn[1, 2] và[2.3]

đối với hàm f (x) thỏa mãn định lý Rolle, tồn tại ít nhất hai điểm của khoảng (1, 3) để đạo hàm tại đó triệt tiêu Kiểm tra trực tiếp

ta thấy đạo hàm của f (x) là f0(x) = 3x2− 12x + 11 = 0 rõ ràng triệt tiêu tại hai điểm.

Ví dụ 2 Với mọi x, y, p thỏa mãn x > y > 0, p > 1 ta có

pyp−1(x − y) ≤ xp− yp ≤ pxp−1(x − y)

Thật vậy, có thể thấy hàm số f (t) = tp khả vi liên tục trên mọi đoạn

[y, x] Theo định lý Lagrange tồn tại điểm c ∈ [y, x] sao cho

f (x) − f (y)

x − y = f

0

(c) hay xx − yp− yp = pcp−1

Do c ∈ [y, x], p > 1 nên pyp−1(x − y) ≤ pcp−1≤ pxp−1(x − y) Từ đó

pyp−1(x − y) ≤ xp− yp ≤ pxp−1(x − y)

2.2.4 Đạo hàm và vi phân cấp cao, công thức Newton -

Leib-nitz, khai triển Taylor

a) Đạo hàm và vi phân cấp cao

Định nghĩa 2.2.9 Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a, b), f(x) đượcgọi là khả vi cấp n trong khoảng (a, b) nếu f khả vi cấp (n−1) trong khoảng(a, b)và đạo hàm cấp (n − 1) của f cũng khả vi Khi đó đạo hàm cấp n của

x − 1 có đạo hàm cấp n là

f(n)(x) = (−1)

nn!

(x − 1)n+1

= (−1)

k+1(k + 1)!

(x − 1)k+2

Các phép toán về đạo hàm cấp cao

Giả sửf, g có đạo hàm cấp n tại điểm x ta có

(f (x) ± g(x))(n) = f(n)(x) ± g(n)(x)(αf (x))(n)= αf(n)(x), (α ∈ R)(f (x).g(x))(n) =

Tổng quát, vi phân cấp n của hàm số f tại điểm x ký hiệu

dnf (x) là vi phân của vi phân cấp (n − 1) của f tại x, nghĩa là

dn(f (x)) = d(dn−1f (x)) = f(n)(x)dxn hay

f(n)(x) = d

nf (x)

dxn

(Công thức này chỉ đúng với x là biến số độc lập).

Chú ý Vi phân cấp cao không có tính bất biến, ví dụ

b) Khai triển Taylor.

Giả sử hàm sốf (x)liên tục, khả vi đến cấp (n + 1)trong khoảng

(a, b) Ta sẽ tìm cách xấp xỉ hàm f (x) bởi một hàm đơn giản hơn,

cụ thể là tìm một đa thức Pn(x) có bậc không quá n sao cho với một điểm cnào đó trong (a, b),

f (c) = Pn(c), f0(c) = Pn0(c), ã ã ã , f(n)(c) = Pn(n)(c)

f(n)(c)n! (x − c)

n+f

(n+1)(c)(n + 1)!(x − c)

n+1

Trong đó c là số thực nằm giữa x và c

Công thức trên được gọi là công thức Taylor, biểu diễn của hàm

f (x) dưới dạng trên được gọi là khai triển Taylor của hàmf (x) tại

điểm x = c Trong khuôn khổ chương trình ta không chứng minh

Đặc biệt nếu c = 0 ∈ (a, b) thì công thức trên được gọi là công thức Maclaurin

f (x) = f (0) + f

0(0)1! x + ã ã ã +

f(n)(0)n! x

n

+f

(n+1)(θx)(n + 1)! x

n+1 với 0 < θ < 1

Nếu đặt h = x − c thì công thức Taylor được viết dưới dạng sau

f (c+h) = f (c)+f

0(c)1! h+ã ã ã+

f(n)(c)n! h

n+f

(n+1)(c + θh)(n + 1)! h

n+1 với 0 < θ < 1

Từ các công thức trên có thể thấy xấp xỉ của f tại lân cận của

c càng chính xác nếu biết càng nhiều đạo hàm cấp cao của f tại

x = c Đại lượng Rn = f

(n+1)(c + θh)(n + 1)! h

n+1 gọi là sai số khi tính giá trị của hàm f (x) tại c.

Ví dụ.

(1) Khai triển Maclaurin hàm số f (x) = (1 + x)m với m nguyên dương.

(2) Khai triển Maclaurin của hàm số f (x) = 1

1 + x Dễ thấy với

2.2.5 ứng dụng của phép tính vi phân

a) Quy tắc L'Hospital

Định lí 2.2.12 (Quy tắc De L'Hospital) Giả sử các hàm số f(x), g(x) xác

định, khả vi tại lân cận nào đó của a ∈ R (có thể trừ điểm a), và nếu tronglân cận của a,

lim

x→af (x) = lim

x→ag(x) = 0, g0(x) 6= 0

Chứng minh Theo giả thiết, f(x), g(x) khả vi trong một lân cận của a nênchúng liên tục trong lân cận đó Nếu hai hàm số không xác định tại a ta cóthể bổ sung giá trị tại a bằng cách đặt f(a) = g(a) = 0 Khi đó f(x), g(x)liên tục trên lân cận của a và tại điểm a.

Theo định lý Cauchy, tồn tại c nằm giữa a và x sao cho

f (x)g(x) =

f (x) − f (a)g(x) − g(a) =

f0(c)

g0(c)Cho x → a thì c → a do đó nếu

x→0

1 − cos2xcos2x(1 − cos x)

= lim

x→0

1 + cos xcos2x = 2

1cos2x

Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức trên khi h → 0 ta có f0(x) ≥ 0.

Ngược lại, nếu f0(x) ≥ 0với ∀x ∈ (a, b) Lấy u, v ∈ [a, b], u < v Theo

định lý Lagrange, tồn tại w ∈ (u, v) sao cho

Từ đó suy ra f(a) < f(b), định lý được chứng minh

Hệ quả 2.2.14 Cho f(x), g(x) là hai hàm số xác định, liên tục trên đoạn[a, b] và khả vi trên khoảng (a, b)

(1) Nếu f(a) ≤ g(a) và f0

(x) ≤ g0(x)∀x ∈ (a, b)thì f(x) ≤ g(x), ∀x ∈[a, b]

(2) Nếu f(a) ≤ g(a) và f0(x) < g0(x), ∀x ∈ (a, b)thì f(x) < g(x), ∀x ∈(a, b)

Chứng minh Đặt h = g − f

(1) Dễ thấy h xác định và liên tục trên đoạn [a, b] và khả vi trên khoảng(a, b) Hơn nữa h0(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b) Theo định lý trên, h tăng trong [a, b]nên h(x) ≥ h(a) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] hay f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b]

(2) Lấy x ∈ (a, b) Theo giả thiết, h0(t) > 0, ∀t ∈ (a, x) Theo định lý2.2.13, h(x) > h(a) ≥ 0 hay g(x) > f(x).

Do x lấy bất kỳ trên (a, b) nên f(x) < g(x), ∀x ∈ (a, b)

(1) Nếu khi x đi qua c mà f0(x)đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạtcực đại tại x = c

(2) Nếu khi x đi qua c mà f0(x)đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạtcực tiểu tại x = c

(3) Nếu khi x đi qua c mà f0(x)không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trịtại x = c

Chứng minh (1) Giả sử x thuộc lân cận đủ nhỏ của điểm c và x < c Khi

đó, do f0(t) > 0, ∀t ∈ (x, c)nên f(c) > f(x) Mặt khác, lấy x > c trong lân

- Hàm số xác định, liên tục trên một lân cận của0, khả vi tại 0

- Trong lân cận của 0, hàm số khả vi và f0(x) = 2x Dễ thấy

f0(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm 0

(1) Nếu n chẵn thì f(x) đạt cực trị tại x = c, cụ thể

x = c là điểm cực tiểu nếu f(n)(c) > 0

x = c là điểm cực đại nếu f(n)(c) < 0

n,với d nằm giữa x và c

Từ đó suy ra với x 6= c

Nếu n chẵn thì (x − c)n> 0và nếu f(n)(c) > 0thì tồn tại một lân cận V

đủ bé của c để f(n)(x) > 0, ∀x ∈ V Do đó nếu x ∈ V − {c} thì f(x) > f(c)hay x = c là điểm cực tiểu của f Tương tự với trường hợp f(n)(c) < 0.Nếu n lẻ thì (x − c) đổi dấu khi x đi qua c do đó f(x) − f(c) có dấu thay

đổi khi x đi qua c, nghĩa là x = c không phải là cực trị của f(x)

Ví dụ 1 Xét hàm số f (x) = x3 Ta có

f0(x) = 3x2, f00(x) = 6x, f000(x) = 6

Ta nhận thấy

a) Đạo hàmf0(x) = −e−xx

n

n! < 0 trên(0, +∞)nên hàm số nghịch biến Do đó

2.3 Bài tập chương II 792.3 Bài tập chương II

3 Có đạo hàm liên tục tại x = 0.

Bài 7 Tính các đạo hàm trái f−0 (x)và đạo hàm phải f+0 (x) của các hàm số sau tại x = 0

1 y = |x| 2 y =

√sin2x 3 y = ln(1 + |x|)

Bài 18 Tìm x0y của các hàm số sau:

1 y = sin 2x 2 y = tan ex 3 y = log3(arctan sin x)

4 x+y2 = 2y 5 sin x + cos y = 1 6 x = t3; y = e2tsin t

Bài 19 Tìm số ctrong Định lý Lagrange: f (a) − f (b) = f0(c)(a − b)

đối với các hàm số sau:

x nếu x > 1 trên [0,2], (a = 0, b = 1).

Bài 20.

1 Cho f (x) = x(x − 1)(x − 2)(x − 3) Chứng minh rằng phương trình f0(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

Bài 26 Dùng quy tắc L'Hospital để tính các giới hạn sau:

Chương 3

Phép tính tích phân của hàm số một biến số

3.1 Tích phân không xác định

3.1.1 Định nghĩa nguyên hàm và tích phân không xác định

Ta biết, nếu hàm số f (x) khả vi trong (a, b) thì f (x) có đạo hàm và

có thể tính được đạo hàm đó trong (a, b) Ngược lại, nếu cho một hàm số f (x) xác định trong khoảng (a, b) thì có hay không một hàm số F (x) khả vi trong (a, b) và F0(x) = f (x)? Hàm số F (x) như thế được gọi là nguyên hàm của f (x) trong khoảng (a, b) Ta có

định nghĩa sau

Định nghĩa 3.1.1 Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a, b) Hàm số

F (x) xác định trong khoảng (a, b) được gọi là nguyên hàm của f(x) nếu

F (x) khả vi và F0(x) = f (x)hay dF (x) = f(x)dx, ∀x ∈ (a, b)

Ví dụ (1) Hàm số F (x) = x4

4 là nguyên hàm của hàm số f(x) = x3, ∀x ∈ Rvì x4

Định lí 3.1.2 Giả sử F (x) khả vi trong khoảng (a, b) và F (x) là nguyên hàmcủa f(x) với ∀x ∈ (a, b) Khi đó ta có

(1) Với mọi hằng số C, F (x) + C cũng là nguyên hàm của f(x) với

∀x ∈ (a, b)

(2) Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a, b) đều

có dạng F (x) + C

Chứng minh (1) Hiển nhiên vì (F (x) + C)0 = f (x)

(2) Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f(x) Khi đó, xét H(x) =G(x) − F (x) Dễ thấy H0(x) = 0 trên (a, b) nên H(x) = C =const trên(a, b) Điều đó chứng tỏ G(x) = F (x) + C, định lý được chứng minh

Nhận xét Nếu F (x) là nguyên hàm của f (x) thì có vô số nguyên hàm của f (x), đó là các hàm số có dạng F (x) + C với C là một hằng số nào đó.

Định nghĩa 3.1.3 Tập tất cả các nguyên hàm của một hàm số f(x) được gọi

là tích phân không xác định của hàm số đó và ký hiệu là R f(x)dx

( ở đây x là biến lấy tích phân, f (x) là hàm số lấy tích phân,

f (x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân)

Nếu F (x) là một nguyên hàm củaf (x) thì

x − 2

x − 1

+ C

Z

1sin xdx =

Zsin x

1 − cos2xdx

= −12

Giả sử u = f (x) và v = g(x) là hai hàm số khả vi Đạo hàm

u0 = f0(x), v0 = g0(x) là hai hàm số liên tục Khi đó theo quy tắc lấy

vi phân của tích ta có

d(uv) = vdu + udv hay udv = d(uv) − vdu

Lấy tích phân hai vế ta được

Zudv = uv −

Zvdu

u = ln(tan x), dv = sin xdx suy ra du = 1

cos2x tan xdx, v = − cos x

Ta có

I = − cos x ln(tan x) +

Z dxsin x

= − cos x ln(tan x) +

Z sin xdxsin2x

= − cos x ln(tan x) +

Z d(cos x)cos2x − 1

= − cos x ln(tan x) + 1

2

Z

h 1cos x − 1 − 1

cos x + 1

id(cos x)

aarctan

x

a + C Nếu m > 1, đặt u = 1

(x2+ a2)m, và dv = dx ta có

du = −2mx(x2+ a2)m+1, và v = x

Từ đó

(x2+ a2)m + 2m

Z x2dx(x2+ a2)m+1

(x2+ a2)m + 2mh

Z

dx(x2+ a2)m − a2

Z

dx(x2+ a2)m+1

+) Trường hợp 1 Giả sử cần tínhR f (x)dx, ta đặtt = w(x) Khi

đó nếu f (x) = g(w(x)) = g(t) và giả sử biết R g(t)dt = G(t) + C thì theo quy tắc vi phân hàm hợp ta có thể suy ra

Z

f (x)dx =

Zg(w(x))w0(x)dx =

Zg(w(x))dw(x) = G(w(x)) + C

+) Trường hợp 2 Ta có thể dùng phép đổi biến ngược lại,

x = ϕ(t) Khi đó, nếu f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ0(t)dt = g(t)dt và giả sử tích phân R g(t)dt tính được thì tích phân R f (x)dxcũng có thể tính

Z(t2− 1)dt

Z2tdt(t2+ a2)m + N −M p

2

Z

dt(t2+ a2)m

Tích phân thứ nhất được tính bằng phép đổi biến u = t2 + a2, tích phân thứ hai đã được tính trong ví dụ 4, phần tích phân từng phần Như vậy việc tính tích phân một hàm hữu tỉ sẽ đưa về tính tích phân của 4 dạng trên, và về mặt lý thuyết, việc này luôn có thể thực hiện được.

d) Tích phân các biểu thức lượng giác

+) Dạng 1 Giả sử cần tính tích phân

I =

ZR(sin x, cos x)dx

trong đó R(u, v) là biểu thức hữu tỉ đối với u và v Để tính tích phân này ta dùng phép đổi biến

3.1 Tích phân không xác định 93

Ta có

I =

ZR( 2t

1 + t2

=

Zdt

Zd(2 − t2)

Dạng 1. R R(x,√a2+ x2), đổi biến x = a tan t.

Dạng 2. R R(x,√a2− x2), đổi biến x = a sin x hoặc x = a cos t Dạng 3. R R(x,√x2− a2), đổi biến x = a

cos t Một số ví dụ.

Ví dụ 1 Tính I =R x2√

a2− x2dx, a > 0

Tích phân thứ tính phép đổi biến u = t2 + a2, tích phân thứ hai tính ví dụ 4, phần tích phân phần Như việc tính tích phân hàm hữu tỉ đưa tính tích. .. x) + 1< /sup>

2

Z

h 1cos x − − 1< /sup>

cos x +

id(cos x)

aarctan

x

a + C Nếu m > 1< h3>, đặt... (ϕ(t))ϕ0(t)dt = g(t)dt và giả sử tích phân R g(t)dt tính tích phân R f (x)dxcũng tính

Z(t2− 1) dt