Đề cương bài giảng Giải tích cổ điển

giải tích cổ điểnĐề cương bài giảng Giải tích cổ điển giải tích cổ điểnĐề cương bài giảng Giải tích cổ điển giải tích cổ điểnĐề cương bài giảng Giải tích cổ điển giải tích cổ điểnĐề cương bài giảng Giải tích cổ điển giải tích cổ điểnĐề cương bài giảng Giải tích cổ điển giải tích cổ điểnĐề cương bài giảng Giải tích cổ điển giải tích cổ điểnĐề cương bài giảng Giải tích cổ điển

3 Tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn 43

Chương 2 Phép tính vi phân của hμm số một biến số 49

1 Khái niệm về đạo hàm, đạo hàm một phía 49

Đ3 Các định lý cơ bản của phép tính vi phân 59

1 Quy tắc Lôpitan để khử giới hạn dạng vô định 64

Lời nói đầu

Giải tích cổ điển là một môn học cơ sở, cần thiết được đưa vào giảng dạy ở các trường Đại học và Cao đẳng khối khoa học tự nhiên, khoa học kỹ thuật Bộ Giáo trình cơ bản và tài liệu tham khảo của môn này cho ngành Sư phạm Toán

đã có nhiều Đặc biệt phần bài tập giải tích cổ điển I đã được viết nhiều ở các sách khác nhau Song để thuận lợi và phù hợp cho sinh viên khoa Toán ĐHSP -

ĐHTN chúng tôi đã viết đề cương bài giảng này nhằm đáp ứng yêu cầu đó

Nội dung đề cương được trình bày trong 3 chương, bao gồm:

Chương 1 Lý thuyết giới hạn

Chương 2 Phép tính vi phân của hàm số một biến số

Chương 3 Phép tính tích phân

Chúng tôi đã sử dụng tài liệu này trong quá trình giảng dạy và đã hết sức

cố gắng khi biên soạn nhưng chắc chắn đề cương bài giảng còn có những khiếm khuyết Chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của độc giả

Cuối cùng, chúng tôi xin chân thành cám ơn các thầy cô giáo, các đồng nghiệp trong tổ bộ môn Giải tích - khoa Toán trường ĐHSP - ĐHTN đã cho chúng tôi những góp ý quý báu trong quá trình biên soạn

Thái Nguyên, ngày tháng 5 năm 2009

Các tác giả

Chẳng hạn ta dễ chứng minh được 2 không thể là số hữu tỷ Thật vậy,

giả sử 2 là số hữu tỷ thì ∃p, q ∈ Â sao cho 2 = p

Định nghĩa Cho A và B là hai tập số hữu tỷ, ta nói rằng chúng làm thành nhát

cắt Đêđơkin nếu thoả mãn:

i) A, B ≠ φ, A∩B = φ, A ∪ B = Q

ii) ∀a ∈ A, ∀b ∈ B ta luôn có a < b

Kí hiệu (A/B) trong đó A là tập dưới, B là tập trên

Ví dụ 1

1) A = {x ∈ Q, x < 10}, B = {x ∈ Q, x ≥ 10} ⇒ A/B làm thành nhát cắt 2) A = {x ∈ Q, x ≤ 10}, B = {x ∈ Q, x > 10} ⇒ A/B làm thành nhát cắt 3) A = {x ∈ Q+, x2 < 2} ∪ Q- , B = {x ∈ Q+, x2 > 2} ⇒ (A/B) làm thành nhát cắt

Đối với nhát cắt (A/B) chỉ có thể xảy ra 1 trong 4 khả năng sau:

1) Lớp dưới A không có phần từ lớn nhất, lớp trên B có phần tử nhỏ nhất (VD1) ⇒ nhát cắt loại 1

2) Lớp dưới A có phần từ lớn nhất, lớp trên B không có phần tử nhỏ nhất (VD2) ⇒ nhát cắt loại 2

3) Lớp dưới A không có phần từ lớn nhất, lớp trên B không có phần tử nhỏ nhất (VD3) ⇒ nhát cắt loại 3

4) Lớp dưới A có phần từ lớn nhất r1, lớp trên B có phần tử nhỏ nhất r2, khả năng 4 không xảy ra

Thật vậy, r = 1 2

2

r + r

, thế thì r1 < r < r2 và r ∈ A, r ∈ B ⇒ (A/B) không làm thành nhát cắt

Như vậy mỗi số hữu tỷ xác định một nhát cắt loại 1 hoặc loại 2 và ngược lại Riêng nhát cắt loại 3 còn khuyết phần tử nằm trên biên giữa lớp trên và lớp dưới, ta sẽ nói mỗi nhát cắt loại 3 xác định một số vô tỷ (chính là số nằm vào

chỗ khuyết đó) Tập số vô tỷ kí hiệu là I Tập số vô tỷ và hữu tỷ ta gọi là tập số

thực, kí hiệu là Ă

Từ định nghĩa ta thấy mỗi nhát cắt xác định 1 số thực và ngược lại mỗi số thực xác định một nhát cắt

1.3 Quan hệ sắp thứ tự trong tập số thực

Định nghĩa Cho hai số α và β xác định bởi hai nhắt cắt (A’/B’) và (A”/B”)

tương ứng Ta nói rằng α = β nếu lớp dưới A’ = A”, lớp trên B’ = B”

Ta nói rằng α < β (đọc là α nhở hơn β) nếu lớp dưới A’ ⊂ A”, lớp trên A’ ≠ A”

số âm b ∈ Ă ta cho tương ứng với điểm B nằm bên trái điểm O sao cho OB có

độ dài bằng ⏐b⏐ Mỗi số thực tương ứng với 1 điểm trên đường thẳng Δ và ngược lại Đường thẳng Δ ta gọi là trục số

b) Biểu diễn thập phân của số thực Số thực a ∈Ă được biểu diễn dưới dạng một

số thập phân a = n, c1c2 ck trong đó n ∈ Â , ci = 0 9 (i = 1, , k, )

1.5 Tính liên tục và trù mật của số thực

Định lý 1.1 (Định lý Đêđơkin) Đối với mỗi nhát cắt (A/B) trên tập số thực hoặc

lớp dưới A có số lớn nhất hoặc lớp trên B có số nhỏ nhất

Bổ đề Với hai số thực α < β luôn tồn tại ít nhất 1 số hữu tỷ r sao cho α <r < β

Hệ quả Nếu số thực α thoả mãn -r <α < r với mọi số hữu tỷ dương r thì r = 0

Nhận xét

1) Bổ đề trên khẳng định giữa hai số thực khác nhau có ít nhất 1 số hữu tỷ

xen giữa ⇒ có vô số hữu tỷ xen giữa 2 số thực đó ⇒ tính chất này gọi là tính chất trù mật của tập hợp số hữu tỷ ⇒ tính chất trù mật của tập hợp số thực

2) Trên tập hợp số hữu tỷ Ô ta chỉ ra rằng tồn tại những nhát cắt loại 3,

đó là nguyên nhân để mở rộng tập số hữu tỷ Trên tập số thực, định lý Đêđơkin khẳng định không có nhát cắt loại 3 thành thử dùng phương pháp Đêđơkin không thể mở rộng thêm những số mới nữa

3) Trong tập số thực không còn “chỗ khuyết” như trong tập số hữu tỷ Tính chất này gọi là tính đầy đủ hay tính liên tục của tập hợp số thực

1) Từ định nghĩa trên ta dễ dàng chứng minh được mệnh đề sau: “Để tập

A bị chặn điều kiện cần và đủ là tồn tại c > 0: ∀a ∈ A ta luôn có - c ≤ a ≤ c”

2) Nếu tập A bị chặn trên (hoặc bị chặn dưới) thì nó sẽ có vô số cận trên (hoặc cận dưới)

Định nghĩa 2 Cho A là tập hợp bị chặn trên (hoặc bị chặn dưới) Ta nói rằng số

M* (hoặc m*) là cận trên đúng (hoặc cận dưới đúng) của A nếu nó là cận trên nhỏ nhất (hoặc cận dưới lớn nhất) của tập ấy Tức là nó thoả mãn:

i) ∀a ∈ A ta luôn có a ≤ M* (hoặc a ≥ m*)

ii) Nếu M (hoặc m) là một cận trên (hoặc cận dưới) của A thì M* ≤ M (hoặc m* ≥ m)

Đôi với cận trên đúng (hoặc cận dưới đúng) ta ký hiệu

M* = sup A (hoặc m* = inf A)

Định lý 1.2 Cho A là tập hợp bị chặn trên (hoặc dưới) Để M* (hoặc m*) là cận trên đúng (hoặc cận dưới đúng) của A điều kiện cần và đủ là

i) a ≤ M* (hoặc a ≥ m*) với ∀a ∈ A

ii) ∀ε > 0, ∃aε ∈ A sao cho M* - ε < aε ≤ M* (hoặc m* ≤ aε < m* + ε)

Chứng minh

Điều kiện cần: Giả sử M* = supA, điều kiện i) hiển nhiên thoả mãn

Giả sử ∃ε > 0, ∀a∈ A ta luôn có a ≤ M*

- ε Vậy M*- ε là 1 cận trên của A

⇒ M* = supA ≤ M* - ε điều này vô lý do đó M* - ε < aε ≤ M*

Điều kiện đủ: Điều kiện i) chứng tỏ M* là một cận trên

Giả sử tồn tại cận trên M < M* Đặt ε = M* - M > 0 theo ii) ∃ aε ∈ A sao cho M = M* - (M* - M) = M* - ε < aε điều này vô lý Suy ra M* là cận trên đúng của A

Ta gọi γ là tổng của hai số thực α và β Kí hiệu: γ = α + β

Định nghĩa phép trừ Người ta chứng minh rằng với mỗi cặp số thực α, β tồn

tại duy nhất số thực γ sao cho α + γ = β, ta gọi γ là hiệu của β trừ α, kí hiệu là γ

∃! 0 ∈ : ∀a ∈ , a + 0 = 0 + a = a

∃!1 ∈ : 1 ∈ , a.1 = 1.a = a 3) Tồn tại phần tử đối trong phép cộng và phần tử nghịch đảo trong phép nhân

∀a∈ , ∃! (-a) ∈ : a + (-a) = 0

∀a ∈ , a ≠ 0, ∃! a-1

∈ : a a-1 = 1 4) Giữa phép cộng và phép nhân thoả mãn định luật phân phối

a(b + c) = ab + ac, ∀a, b, c ∈ 5) Quan hệ sắp thứ tự thoả mãn:

Tính chất bắc cầu: a ≤ và b c b ≤ ⇒ a c≤ 6) ∀ ∈ ⇒a a a ≥0, a a= ⇔ =0 a 0

7) a> b ⇒ a+ c > b+ c, ac > bc (nếu c > 0), ac < bc (nếu c < 0), ∀a, b∈

1.7.3 Giá trị tuyệt đối

Đối với mỗi số thực a ta gọi số khi 0

2.1.1 Kh¸i niÖm vÒ d·y sè

§Þnh nghÜa Cho ¸nh x¹ f: N* > ta cã b¶ng gi¸ trÞ

Dãy {xn} được gọi là bị chặn trên (hoặc dưới) nếu ∃C (hoặc c) sao cho xn

≤ C (hoặc xn ≥ c), ∀n

Dãy {xn} vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được gọi là bị chặn

Dãy {xn} được gọi là đơn điệu tăng (hoặc giảm) nếu ∀n, m ∈ N: n < m ⇒

2.1.2 Khái niệm về giới hạn của dãy số

Định nghĩa Ta nói rằng { }x n có giới hạn hữu hạn là a (hay tiến tới a khi n tiến

Định lí 1.3 Giới hạn (nếu có) của một dãy số là duy nhất

Chứng minh Giả sử { }x n hội tụ đến 2 giới hạn khác nhau a và b

Định lí 1.4 Mọi dãy hội tụ đều bị chặn

n x

→∞ = , với ε = 1, ∃nε ∈N sao cho xn ư < = a ε 1

⇒ a - 1 < xn < a + 1, ∀n > nε

Chọn C = max{ 1 a+ , 1 aư , x , 1 x , ,2 x , } ⇒ n x ≤ C, ∀n nVậy định lý được chứng minh

Định nghĩa Cho {xn} và dãy đơn điệu nghiêm ngặt các số tự nhiên

n1< n2 < n3 < < nk < nk+1 <

Ta sẽ gọi dãy { }x n k là dãy con của dãy {xn} Kí hiệu: { }x n k ⊂{ }x n , nk≥ n Nếu dãy con hội tụ thì ta sẽ gọi giới hạn của nó là giới hạn riêng của dãy {xn} Số bé nhất gọi là giới hạn dưới, số lớn nhất gọi là giới hạn trên

Định lí 1.5 Nếu dãy { }x n hội tụ về a thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ về a

áp dụng Chứng minh dãy { } ( )−1 n phân kỳ

Xét dãy con {x2k} = {1} hội tụ về 1

{x2k + 1} = {-1} hội tụ về -1

Vậy { } ( )−1 n phân kỳ

2.2 Các phép toán và tính chất của dãy hội tụ

2.2.1 Các phép toán trên giới hạn của dãy số

Định lí 1.6 Giả sử dãy { }x n hội tụ đến a và {yn} hội tụ đến b Khi đó

i) { }x n hội tụ và lim n

n x a

→∞ = ii) Dãy {x n ± y n} hội tụ và lim( n n)

⎧ ⎫

⎨ ⎬

⎩ ⎭ hội tụ và lim

n n n

→∞ =

Chứng minh

i) Sinh viên tự chứng minh

ii) Giả sử lim n ,lim n 0, 1, 2

3) C¶ hai d·y ph©n kú ⇒ ch−a kÕt luËn ®−îc

4) Sù héi tô hay ph©n kú cña mét d·y hoµn toµn kh«ng phô thuéc vµo h÷u h¹n c¸c sè h¹ng ban ®Çu cña nã

HÖ qu¶ NÕu d·y {xn} héi tô th× lim( n) lim n

⇒ xn > yn, ∀n > n0 , tr¸i víi gi¶ thiÕt ⇒ ®pcm

Tõ (1) vµ (2) suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh

iii) Gi¶ sö lim lim

→∞ n = →∞ n =

n x n y a

⇔ ∀ > ∃ε 0, n n1, 2∈N,∀ >n n a1: − <ε x n< +a ε

∀ >n n2:a− <ε y n < + a ε Chän n0 = max{n1, n2}: ∀n > n0: a− <ε x n ≤z n ≤ y n < + a ε

⇒ z n − < ⇒ lima ε n

n z a

→∞ =

2.3 Điều kiện hội tụ của dãy số

2.3.1 Điều kiện hội tụ của dãy đơn điệu

2.3.2 Bổ đề về các dãy đoạn thắt

Định nghĩa Ta sẽ gọi dãy các đoạn thẳng {[a n , b n]} là dãy các đoạn lồng thắt nếu [a n+1,b n+1] [⊂ a b n, n] và lim( n n) 0

Chọn C = a = b Hiển nhiên a n ≤ ≤C b n,∀ hay C ∈ [a n n , b n], ∀n

Định lí 1.9 (Bônxanô - Wâyơtrát) Mỗi dãy bị chặn có ít nhất một dãy con hội tụ

Chứng minh Giả sử {xn} là dãy bị chặn ⇒ ∃a, b ∈ R sao cho a≤x n ≤ ∀ b, n

Ta chia đôi [a, b] thì ít nhất một trong hai nửa của [a, b] chứa vô số phần

tử của dãy {xn}, kí hiệu nửa đó là [a1, b1] Ta lại chia đôi [a1, b1], cũng lý luận tương tự ta nhận được nửa [a2, b2] của đoạn [a1, b1] chứa vô số phần tử của {xn}

Cứ tiếp tục mãi quá trình trên đây ta nhận đươch dãy {[an, bn]} các đoạn thẳng có tính chất [an+1, bn+1] ⊂ [an, bn] và 1 ( )

02

n n n

b ưa = bưa → khi n → ∞ Mỗi đoạn

[an, bn] chứa vô số phần tử của {xn} Theo bổ đề Căngto, ∃! c ∈ R sao cho

n x c

→∞ =

Định lí 1.10 (Nguyên lý Bôxanô - Côsi về dãy hội tụ) Để dãy {xn} hội tụ, điều kiện cần và đủ là ∀ε > 0, nhỏ tuỳ ý, ∃n0 ∈ N sao cho x n ưx m < ∀ε, n m, > n0Chứng minh

Điều kiện cần Giả sử lim n

Ta có điều phải chứng minh

Điều kiện đủ Trước hết ta chứng minh dãy {xn} bị chặn Thật vậy với ε = 1, ∃n0sao cho

1) Tổng của hai đại lượng VCB là một đại lượng VCB

2) Tích của hai đại lượng VCB là một đại lượng VCB

3) Tích của một đại lượng VCB và một dãy hội tụ là một đại lượng VCB 4) Tích của một đại lượng VCB và một đại lượng bị chặn là một đại lượng VCB

Định nghĩa 1 Dãy số α α1, 2, ,αn, được gọi là một đại lượng VCL khi n

→ ∞, nếu với mỗi số dương M lớn tuỳ ý, ∃n0 sao cho αn >M,∀ > n n0

Định nghĩa 2 Cho { }αn , nếu với mỗi M > 0, lớn tuỳ ý, ∃n0 ∈ N sao cho

2) TÝch cña mét VCL vµ mét d·y cã giíi h¹n kh¸c 0 lµ mét VCL

−

⇒ { }a n héi tô vµ lim lim 1 1 2,71828828459015

n n

Định nghĩa Số lớn nhất trong các giới hạn riêng của dãy { }x n đ−ợc gọi là giới hạn trên của nó Kí hiệu: lim n

Điều kiện cần là hiển nhiên

Điều kiện đủ Giả sử lim n

độc lập (hay còn gọi là đối số) còn y là đại lượng biến đổi phụ thuộc Ta gọi y là hàm số của biến số x hay đối số x Kí hiệu: y = f(x), y = ϕ(x)

Tập X gọi là tập xác định (miền xác định) của hàm số Kí hiệu Df, Dy f(X) = {f(x): x ∈ X} gọi là tập giá trị của hàm số

* Ta gọi ánh xạ f: X →

x a y = f(x)

là một hàm số, X là tập nguồn hay tập xác định,

Y = f(X) là tập đích hay tập giá trị

Muốn xác định hàm số phải cho tập xác định, cho quy luật tương ứng, y

= f(x) là giá trị của hàm số tại điểm x

1.2.1 Phương pháp giải tích Quy tắc xác định giá trị của hàm số được cho

bằng một hay nhiều biểu thức toán học

1.2.2 Phương pháp đồ thị Trong mặt phẳng ta chọn hệ trục toạ độ Đềcác

vuông góc Oxy Mỗi cặp giá trị x và y = f(x) sẽ ứng với điểm M(x, f(x)) trong hệ trục Oxy

Khi cho điểm x chạy khắp trong miền xác định Dy của hàm số tập tất cả các điểm M(x, g(x)) sẽ tạo thành 1 đường cong trong mặt phẳng, ta gọi đó là đồ thị của hàm số y = f(x)

Khi hàm số y = f(x) được cho bằng đồ thị, muốn xác định các giá trị của hàm số khi biết giá trị của đối số x ta tiến hành như sau:

Từ điểm trên trục Ox có hoành độ x ta kẻ đường thẳng song song với Ox cắt Oy tại điểm có tung độ y Giá trị tung độ đó chính là giá trị f(x) của hàm số Để đường cong là đồ thị của hàm số nào đó cần đảm bảo tính chất mỗi

đường thẳng song song với trục tung cắt đường cong không quá 1 điểm

1.2.3 Phương pháp lập bảng Giá trị của đối số x và giá trị tương ứng của hàm

2

1 -1

1

-1

1.3.1 Tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số

Định nghĩa Cho hai hàm số f(x) và g(x) xác định trên miền Df và Dg tương ứng

Ta nói rằng hàm số h(x) xác định trên Dh là tổng của g và f nếu thoả mãn:

ư

1.3.3 Hàm ngược

Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền X, Y = f(X) thoả mãn tính

chất với mỗi y ∈ Y tồn tại duy nhất giá trị x ∈ X sao cho f(x) = y Ta nói

rằng hàm x = ϕ(y) là hàm ngược của hàm f nếu

Định nghĩa 1 Ta nói rằng hàm số y = f(x) bị chặn trên (hoặc bị chặn dưới) trên

miền X nếu tồn tại hằng số C (hoặc c) sao cho f(x) ≤ C (hoặc g(x) ≥ c), ∀x ∈ X

Hàm số đồng thời bị chặn trên và bị chặn dưới được gọi là hàm bị chặn

Nhận xét Từ định nghĩa suy ra mệnh đề:

“Để y = f(x) bị chặn trên X, điều kiện cần và đủ là ∃K > 0 sao cho

( ) ,

f x ≤K ∀ ∈ ” x X

Định nghĩa 2 Cho hàm số y = f(x) xác định trên X, ta sẽ gọi giá trị supf(X)

(hoặc inff(X)) là cận trên đúng (hoặc cận dưới đúng) của hàm số trên X

Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền X, ta nói rằng:

+ Hàm số đơn điệu tăng (hoặc giảm) trên X nếu với x1, x2 ∈ X, ta luôn có

x < x ⇒ f(x ) ≤ f(x ) (hoặc f(x ) ≥ f(x ))

+ Hàm số tăng nghiêm ngặt (hoặc giảm nghiêm ngặt) trên miền X nếu

∀x1, x2∈ X, ta luôn có x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) (hoặc f(x1) > f(x2))

Chú ý Hàm số tăng nghiêm ngặt (hoặc giảm nghiêm ngặt) ta gọi là hàm tăng

hay đồng biến (hoặc hàm giảm hay nghịch biến), gọi chung là hàm số đơn điệu

Chú ý Đồ thị của hàm số chẵn gồm hai nhánh đối xứng qua trục Oy

Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ

1.4.4 Hàm tuần hoàn

Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền X, ta nói rằng hàm số tuần

hoàn trên miền X nếu ∃T > 0, ∀x ∈ X, x + T ∈ X: f(x) = f(x + T)

Số T dương được nhỏ nhất thoả mãn điều kiện trên gọi là chu kỳ của hàm

số Kí hiệu: Tf

Ví dụ Hàm số y = ⏐sinx⏐ với chu kỳ Tf = π

Định lí 1.13 Giả sử hàm số f tăng nghiêm ngặt (hoặc giảm nghiêm ngặt) trên X,

b=a 4) Hµm sè l−îng gi¸c

2.1.1 Giới hạn hữu hạn tại một điểm hữu hạn

Định nghĩa 1 Cho tập X ⊆ và a ∈ Ta nói rằng a là điểm tụ hay điểm giới hạn của tập X nếu trong mỗi lân cận (a - δ, a + δ) của điểm a với δ > 0 nhỏ tuỳ ý luôn tìm đ−ợc ít nhất một điểm của tập X khác a

Ví dụ X = [a, b] thì mọi điểm ∈ [a, b] là điểm tụ của nó

X = [0, 1] ∪ {2} thì mọi điểm thuộc [0, 1] là điểm tụ của nó, 2 không là

điểm tụ

Định nghĩa 2 Cho hàm số y = f(x) xác định trong miền X và a là một điểm tụ

của nó Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn hữu hạn bằng A khi x dần đến a nếu

2.1.2 Giới hạn vô cùng ở một điểm hữu hạn

Quy −ớc: Khi xét giới hạn của hàm số y = f(x) xác định trên X tại điểm a, ta

luôn giả thiết a là điểm tụ của X

Định nghĩa Ta nói rằng hàm số y = f(x) có giới hạn bằng +∞ (hoặc - ∞) khi x

→ a, nếu với mỗi k > 0, ∃δ > 0, ∀x∈ X sao cho x a− < thì f(x) > k (hoặc f(x) δ

< - k)

§Þnh nghÜa Ta nãi r»ng hµm sè y = f(x) cã giíi h¹n h÷u h¹n b»ng A khi x→+∞

(hoÆc x→ -∞) nÕu ∀ε > 0 nhá tuú ý ∃x0 > 0 sao cho f x( )−A < , ∀x∈ X, x > ε

x0 (hoÆc x < -x0) KÝ hiÖu: lim ( )

§Þnh nghÜa Ta nãi r»ng hµm sè y = f(x) cã giíi h¹n b»ng +∞ (hoÆc -∞) khi x→

+∞ nÕu víi mçi K > 0, ∃x0 sao cho f(x) > K (hoÆc f(x) < - K) víi ∀x > x0

a x

§Þnh nghÜa Ta nãi r»ng hµm sè y = f(x) cã giíi h¹n ph¶i (hoÆc giíi h¹n tr¸i)

b»ng A khi x dÇn tíi a nÕu ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x∈ X sao cho a < x < a + δ (hoÆc a -

Trường hợp a = 0, ta viết x → + 0 hoặc x → - 0

Tương tự ta định nghĩa giới hạn 1 phía bằng ±∞

Định lí 1.14 Để hàm số f(x) có giới hạn bằng A khi x → a, điều kiện cần và đủ

là tồn tại giới hạn trái và giới hạn phải của hàm số tại điểm ấy và đều bằng A

Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp giới hạn hữu hạn tại một điểm hữu

x→+ x= +∞ ,

0

1lim

Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp giới hạn hữu hạn tại một điểm hữu

1) Định lý 1.15 được phát biểu tương tự cho giới hạn một phía

2) Sử dụng định lý 1.15 ta có thể chuyển việc xét giới hạn của hàm số tại một điểm sang việc xét giới hạn của dãy hàm số

Khi chứng minh định lý về giới hạn của hàm số ta có thể suy ra từ định lý 1.15 và các định lý về giới hạn của dãy số

Định lý 1.16 Giới hạn (hoặc giới hạn trái, hoặc giới hạn phải) của hàm số tại

một điểm nếu tồn tại là duy nhất

Định lý 1.17 Nếu hàm số có giới hạn hữu hạn tại một điểm thì tồn tại một lân

cận của điểm ấy để hàm số bị chặn trong lân cận đó ⇔ hàm số y = f(x) xác định trên X và điểm a là điểm giới hạn của X Nếu lim ( )

x a f x l

→ = và A < l < B thì tồn tại một khoảng J chứa a sao cho ∀x∈ X∩ J và x ≠ a ta có A < f(x) < B

Chú ý Định lý 1.20 vẫn còn đúng khi a = ±∞ , cho giới hạn một phía

2.3 Điều kiện tồn tại giới hạn của hàm số

2.3.1 Nguyên lý Bônxanô - Côsi đối với giới hạn của hàm số

Gi¶ sö ng−îc l¹i, tån t¹i d·y {xn} ⊂ X sao cho xn → a, yn → a khi n→∞ vµ

2.4.1 Khái niệm về đại l−ợng VCB và VCL

Định nghĩa 1 Cho hàm số y = α(x) xác định trên X và a là điểm giới hạn của X

Ta nói rằng α(x) là đại l−ợng VCB khi x → a nếu lim ( ) 0

ii) Nếu α(x) là VCB và β(x) là đại lượng bị chặn khi x→ a thì

αβ

i) Nếu K = 0 thì ta nói rằng α(x) là VCB bậc cao hơn β(x) (hay β(x) là

VCB bậc thấp hơn α(x)) khi x → a Kí hiệu α(x) = o(β(x)) khi x → a

ii) Nếu K ≠ 0, 1, ±∞ thì ta nói rằng α(x) và β(x) là 2 VCB cùng bậc khi x

→ a Kí hiệu α(x) = O(β(x)) khi x → a

iii) Nếu K = 1 thì ta nói rằng α(x) và β(x) là 2 VCB tương đương khi x

βα

→ = thành thử β(x) là VCB bậc cao hơn α(x) khi x→ a

Định lý 1.23 Cho α(x), β(x) và γ(x) là các VCB khi x → a Khi đó:

sin 3

x

x I

x

x I

β

α

→ = ≠ th× ta nãi r»ng β(x) lµ VCB bËc k so víi α(x) vµ C.αk

(x) lµ phÇn chÝnh cña VCB β(x)

VÝ dô PhÇn chÝnh cña 1 - cosx khi x → 0 lµ 1 2

2x loga(x2 + 1) khi x → 0 lµ (logae)x2

§3 Hμm sè liªn tôc

1 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n

Định nghĩa 1 Cho hàm số y = f(x) xác định trong khoảng (a, b) và điểm x0

∈(a, b) Hàm số đó đ−ợc gọi là hàm số liên tục tại điểm x0 nếu

⇔ Nếu ta kí hiệu Δx = x - x0: số gia của biến số x,

Δy = f(x) - f(x0) = f(x0 + Δx) - f(x0): số gia của hàm số tại x0

Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục tại x0 là

0

x y

Δ → Δ =

Định nghĩa 2 Hàm số y = f(x) đ−ợc gọi là hàm số liên tục trên (a, b) nếu nó liên

tục tại mỗi điểm của khoảng đó

Định nghĩa 3 Cho hàm số y = f(x) xác định trên [a, b] Hàm số đó đ−ợc gọi là

liên tục trái tại điểm b (hoặc liên tục phải tại điểm a) nếu

⇒ hàm số liên tục tại điểm x0 = 0

Ví dụ 2 Xét tính liên tục phải và trái của hàm số:

⇒ Hàm số không liên tục trái tại x0 = 1

Định lý 1.24 Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục tại điểm x0 là nó liên tục phải và liên tục trái tại điểm đó

⇒ Hàm số liên tục tại x0

Định nghĩa 4 Hàm số y = f(x) xác định trong khoảng (a, b) Hàm số này đ−ợc

gọi là hàm số gián đoạn tại điểm x0 ∈ [a, b] nếu nó không liên tục (hoặc không liên tục một phía) tại điểm đó

Phân loại điểm gián đoạn:

a) Hàm số f(x) đ−ợc gọi là gián đoạn loại 1 tại x0 nếu f(x) gián đoạn tại x0nh−ng ∃ f(x0 + 0), f(x0 - 0) Đặc biệt f(x0 + 0) = f(x0 - 0) ≠ f(x0) thì x0 gọi là điểm giới hạn bỏ đ−ợc

b) Hàm số y = f(x) gián đoạn tại x0 nh−ng không gián đoạn loại 1 thì ta nói rằng hàm số y = f(x) gián đoạn loại 2 tại x0

2 Phép toán trên các hàm số liên tục

Định lý 1.25 (các phép toán trên hàm số liên tục) Giả sử các hàm số f(x) và g(x)

liên tục tại x0, khi đó các hàm số:

i) f x( ) liên tục tại x0

ii) f(x) ± g(x) liên tục tại x0

iii) f(x).g(x) liên tục tại x0

( )

f x

g x liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0

Định lý 1.26 (liên tục của hàm hợp) Giả sử hàm số y = f(x) liên tục tại x0 và

z = g(y) liên tục tại y0 = f(x0) Khi đó hàm hợp z = g(f(x)) liên tục tại x0

Chú ý Trong định lý 1.25, 1.26 ta thay “liên tục” bằng “liên tục trái” hoặc “liên

tục phải” ta đ−ợc định lí về sự liên tục một phía

Định lý 1.27 (về tính liên tục của hàm số đơn điệu) Giả sử hàm số f(x) tăng

nghiêm ngặt (hoặc giảm nghiêm ngặt) trên đoạn [a, b] và biến đoạn [a, b] lên

đoạn [c, d], tức là f([a, b]) = [c, d] Khi đó hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b]

Chứng minh Giả sử f(x) tăng nghiêm ngặt trên [a, b], chọn x0 tuỳ ý thuộc [a, b] Ta chứng minh hàm số f(x) liên tục phải tại x0 Thật vậy, do f(x) tăng nghiêm ngặt nên y0 = f(x0) ∈ [c, d] Với ∀ε>0, đặt y1 = y0 + ε ∈[c, d] Thế thì ∃x1 ∈ [a, b] sao cho y1 = f(x1) Đặt δ = x1 - x0, thế thì 0 < x - x0 < δ , ta có f(x0) < f(x) < f(x1) hay 0 < f(x) - f(x0) < f(x1) - f(x0)