Giải tích toán học - Tập 1 - Lê Văn Trực ppsx

Từ khoá: Giải tích toán học, giải tích, tập hợp, số thực, ánh xạ, Hàm liên tục, Điểm gián đoạn, liên tục, liên tục đều, hàm sơ cấp, Giới hạn, giới hạn dãy số, giới hạn hàm số, dãy số, h

NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007 Từ khoá: Giải tích toán học, giải tích, tập hợp, số thực, ánh xạ, Hàm liên tục, Điểm gián đoạn, liên tục, liên tục đều, hàm sơ cấp, Giới hạn, giới hạn dãy số, giới hạn hàm số, dãy số, hàm số, nguyên lý Cantor, nguyên lý Cauchy, giới hạn trên, giới hạn dưới, vô cùng bé, vô cùng lớn, hàm số hợp, hàm số ngược, Phép tích vi phân, Đạo hàm, vi phân, Công thức Taylor, Khai triển Maclaurin, Quy tắc L’hospital, tích phân không xác định, tích phân, nguyên hàm, Phép thế Euler, Điều kiện khả tích, Hàm khả tích, Diện tích, thể tích, Tích phân suy rộng, Nguyên lí Canto, Tập compact, Hàm nhiều biến, Liên tục, giới hạn, liên tục đều, Đạo hàm, cực trị hàm nhiều biến, Phép tích vi phân, Sự hội tụ. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả Mục lục

Chương 1 Tập hợp và số thực 7

1.1 Khái niệm về tập hợp 7

1.2 Số thực 9

1.3 Ánh xạ 14

1.4 Bài tập chương 1 16

Giải tích toán học

Tập 1

Lê Văn Trực

Chương 2 Giới hạn của dãy số và hàm số 19

2.1 Giới hạn của dãy số 19

2.1.1 Định nghĩa dãy số 19

2.1.2 Các tính chất của dãy hội tụ 21

2.1.3 Giới hạn vô hạn 24

2.2 Tiêu chuẩn hội tụ 25

2.2.1 Các định lý 25

2.2.2 Số e 26

2.2.3 Nguyên lý Cantor về dãy các đoạn thẳng lồng nhau và thắt lại 27

2.2.4 Sự hội tụ của dãy bị chặn 28

2.2.5 Nguyên lý Cauchy về sự hội tụ của một dãy số 29

2.2.6 Giới hạn trên và giới hạn dưới 30

2.3 Khái niệm về hàm số một biến số 32

2.3.1 Định nghĩa 32

2.3.2 Đồ thị của hàm số 32

2.3.3 Hàm số hợp 34

2.3.4 Hàm số ngược 34

2.3.5 Các hàm lượng giác ngược 36

2.3.6 Các hàm số hypebol 38

2.3.7 Các hàm hypebol ngược 39

2.4 Giới hạn của hàm số 41

2.4.1 Lân cận của một điểm 41

2.4.2 Các định nghĩa giới hạn 42

2.4.3 Giới hạn một phía 45

2.4.4 Giới hạn vô cùng 46

2.4.5 Các tính chất của giới hạn 47

2.4.6 Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn của hàm số 47

2.4.7 Vô cùng bé Vô cùng lớn 48

2.4.8 Các giới hạn đáng nhớ 51

2.5 Bài tập chương 2 54

Chương 3 Hàm liên tục một biến số 61

3.1 Định nghĩa sự liên tục của hàm số tại một điểm 61

3.1.1 Các định nghĩa 61

3.1.2 Hàm liên tục một phía, liên tục trên một khoảng, một đoạn kín 62

3.1.3 Các định lý về những phép tính trên các hàm liên tục 63

3.1.4 Điểm gián đoạn của hàm số 65

3.2 Các tính chất của hàm liên tục 68

3.2.1 Tính chất bảo toàn dấu ở lân cận một điểm 68

3.2.2 Tính chất của một hàm số liên tục trên một đoạn 68

3.3 Điều kiện liên tục của hàm đơn điệu và của hàm số ngược 72

3.3.1 Điều kiện liên tục của hàm đơn điệu 72

3.3.2 Tính liên tục của hàm ngược 73

3.4 Khái niệm liên tục đều 74

3.4.1 Mở đầu 74

3.4.2 Định nghĩa 74

3.4.3 Liên tục của các hàm số sơ cấp 76

3.5 Bài tập chương 3 77

Chương 4 Phép tính vi phân của hàm một biến 81

4.1 Đạo hàm và cách tính 81

4.1.1 Định nghĩa đạo hàm 81

4.1.2 Công thức đối với số gia của hàm số 81

4.2 Các qui tắc tính đạo hàm 82

4.2.1 Các qui tắc tính đạo hàm 82

4.2.2 Đạo hàm của hàm số hợp 82

4.2.3 Đạo hàm của hàm số ngược 84

4.2.4 Đạo hàm theo tham số 85

4.2.5 Đạo hàm một phía 85

4.2.6 Đạo hàm vô cùng 87

4.2.7 Đạo hàm các hàm số sơ cấp 87

4.3 Vi phân của hàm số 88

4.3.1 Định nghĩa 88

4.3.2 Các qui tắc tính vi phân 89

4.3.3 Vi phân của hàm số hợp 89

4.3.4 Ứng dụng của vi phân 90

4.4 Các định lí cơ bản của hàm khả vi 90

4.4.1 Cực trị địa phương 90

4.5 Đạo hàm và vi phân cấp cao 96

4.5.1 Định nghĩa đạo hàm cấp cao 96

4.5.2 Các công thức tổng quát đối với đạo hàm cấp n 97

4.5.3 Vi phân cấp cao 97

4.6 Công thức Taylor 98

4.6.1 Công thức Taylor 99

4.6.2 Khai triển Maclaurin 101

4.7 Qui tắc L’hospital để khử dạng vô định 103

4.7.1 Dạng vô định 103

4.7.2 Dạng vô dịnh 105

4.8 Khảo sát hàm số 108

4.8.1 Khảo sát đường cong cho dưới dạng phương trình hiện 108

4.8.2 Đường cong cho dưới dạng tham số 110

4.8.3 Khảo sát đường cong trong tọa độ cực 114

4.9 Bài tập chương 4 117

Chương 5 Tích phân không xác định 123

5.1 Tích phân không xác định 123

5.1.1 Định nghĩa nguyên hàm 123

5.1.2 Các tính chất 123

5.1.3 Định nghĩa tích phân không xác định 123

5.1.4 Các tính chất của tích phân không xác định 123

5.1.5 Bảng các tích phân cơ bản 124

5.2 Cách tính tích phân không xác định 125

5.2.1 Dựa vào bảng các tích phân cơ bản 125

5.2.2 Tính tích phân nhờ phép đổi biến 126

5.2.3 Phương pháp tính tích phân từng phần 127

5.2.4 Công thức truy hồi 129

5.3 Tích phân các phân thức hữu tỉ 130

5.3.1 Tích phân các phân thức hữu tỉ đơn giản nhất 130

5.3.2 Tích phân của các phân thức hữu tỉ 132

5.4 Tích phân các biểu thức chứa hàm lượng giác và các hàm hypebol 134

5.4.1 Tích phân các biểu thức chứa hàm lượng giác 134

5.4.2 Tích phân các biểu thức chứa hàm hypebol 136

5.5 Tích phân một vài lớp hàm vô tỉ 137

5.5.1 Tích phân dạng ( ,m ax b) I R x dx cx d + = + ∫ 137

5.5.2 Tích phân dạng ,( ) ,( ) , p r q s ax b ax b I R x dx cx d cx d ⎡ + + ⎤ ⎢ ⎥ = + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ 138

5.5.3 Tích phân các nhị thức vi phân 138

5.6 Tích phân các biểu thức dạng R( ,x ax2+bx+c) với a≠ 0 139

5.6.1 Phép thế Euler thứ nhất 140

5.6.2 Phép thế Euler thứ hai 140

5.6.3 Phép thế Euler thứ ba 141

5.6.4 Tích phân eliptic 142

5.7 Bài tập chương 5 143

Chương 6 Tích phân xác định 145

6.1 Định nghĩa tích phân xác định 145

6.1.1 Bài toán diện tích hình thang cong 145

6.1.2 Bài toán tính khối lượng 146

6.1.3 Định nghĩa tích phân xác định 146

6.1.4 Ý nghĩa hình học của tích phân xác định 148

6.2 Điều kiện khả tích 148

6.2.1 Điều kiện cần để hàm khả tích 148

6.2.2 Các tổng Darboux 149

6.2.3 Các tính chất của tổng tích phân Darboux 150

6.2.4 Dấu hiệu tồn tại của tích phân xác định 151

6.3 Các lớp hàm khả tích 152

6.4 Các tính chất cơ bản của tích phân 154

6.4.1 Các tính chất của tích phân xác định 154

6.4.2 Các định lí giá trị trung bình 158

6.5 Nguyên hàm và tích phân xác định 159

6.5.1 Các định nghĩa 160

6.5.2 Tích phân xác định như hàm của cận trên 160

6.6 Tính tích phân xác định 162

6.6.1 Phép đổi biến trong tích phân xác định 162

6.6.2 Phép lấy tích phân từng phần 164

6.6.3 Tính gần đúng tích phân xác định 168

6.7 Một số ứng dụng hình học, vật lý của tích phân xác định 172

6.7.1 Tính diện tích hình phẳng 172

6.7.2 Tính độ dài đường cong phẳng 177

6.7.3 Tính thể tích vật thể 180

6.7.4 Diện tích mặt tròn xoay 183

6.8 Tích phân suy rộng 186

6.8.1 Tích phân suy rộng loại 1 186

6.8.2 Tích phân suy rộng loại 2 195

6.8.3 Thay biến số trong tích phân suy rộng 199

6.9 Bài tập chương 6 200

Chương 7 Hàm số liên tục trong n 206

7.1 Tập hợp trong n 206

7.1.1 Khoảng cách trong n 206

7.1.2 Lân cận của một điểm 207

7.1.3 Điểm trong, điểm biên, điểm tụ của tập hợp 208

7.1.4 Tập mở, tập đóng 210

7.1.5 Tập liên thông 210

7.2 Sự hội tụ trong n, các khái niệm cơ bản của hàm số nhiều biến số 211

7.2.1 Sự hội tụ trong n 211

7.2.2 Dãy cơ bản 212

7.2.3 Nguyên lí Canto 213

7.2.4 Chú ý 213

7.2.5 Tập hợp compact 214

7.2.6 Định nghĩa hàm nhiều biến số 214

7.2.7 Tập xác định của hàm nhiều biến số 214

7.2.8 Đường mức và mặt mức 215

7.3 Giới hạn của hàm số trong n 216

7.3.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm 216

7.3.2 Giới hạn lặp 217

7.3.3 Quan hệ giữa giới hạn theo tập hợp các biến và các giới hạn lặp 218

7.3.1 Chú ý 219

7.4 Hàm số nhiều biến số liên tục 221

7.4.1 Hàm số liên tục tại một điểm 221

7.4.2 Hàm số liên tục đều 222

7.4.3 Liên tục theo từng biến 223

7.5 Phép tính vi phân của hàm số nhiều biến số 224

7.5.1 Đạo hàm riêng và vi phân cấp một 224

7.5.2 Đạo hàm và vi phân cấp cao 230

7.6 Đạo hàm của hàm số ẩn 233

7.6.1 Khái niệm về hàm số ẩn một biến số 233

7.6.2 Khái niệm hàm số ẩn của hai biến số 235

7.7 Đạo hàm theo hướng 237

7.7.1 Đạo hàm theo hướng 237

7.7.2 Gradien 238

7.8 Công thức Taylor Cực trị của hàm số nhiều biến số 239

7.8.1 Công thức Taylor 239

7.8.2 Cực trị của hàm nhiều biến số 241

7.8.3 Giá lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số nhiều biến số trên compac 244

7.9 Cực trị có điều kiện 245

7.9.1 Định nghĩa: 245

7.9.2 Phương pháp tìm cực trị 245

7.10 Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học 250

7.10.1 Tiếp tuyến của đường cong 250

7.10.2 Mặt phẳng tiếp xúc của mặt cong 251

7.10.3 Độ cong 253

7.10.4 Bao hình của một họ đườngcong 255

7.11 Bài tập chương 7 258

7.12 Hướng dẫn giải bài tập và đáp số 262

Tài liệu tham khảo 302

Chương 1

Tập hợp và số thực

1.1 Khái niệm về tập hợp

1.1.1 Tập hợp

Cho tập hợp M, để chỉ x là phần tử của tập M ta viết x M∈ (đọc là x thuộc M), để chỉ x

không phải là phần tử của tập M ta viết x M∉ (đọc là x không thuộc M)

Tập hợp M chỉ có một phần tử a, kí hiệu là { } a

Tập hợp M không có phần tử nào gọi là tập rỗng, ký hiệu là ∅

Cho hai tập A và B Nếu mỗi phần tử của A đều là phần tử của B ta nói rằng A là tập con

của B và ta viết A⊆B

Nếu A là tập con của B và A B ta nói rằng A là tập hợp con thực sự của tập hợp B và ≠viết là A⊂B Trong trường hợp này tồn tại ít nhất một phần tử trong B mà không phải là

phần tử của A Ví dụ như tập hợp các số nguyên là tập con của tập hợp các số hữu tỷ

Cho A, B, C là ba tập hợp Khi đó có tính chất sau:

a) ∅ ∈A (1.1.1) )

)

b c

Ta đã biết bốn phép toán cơ sở (cộng, trừ, nhân, chia) của số hữu tỷ và cách sắp xếp

chúng theo độ lớn (nếu a, b là hai số hữu tỷ, thì một trong chúng bé hơn số thứ hai) Tổng

a+b, hiệu a - b, tích a.b, thương a (b 0)

b ≠ của hai số hữu tỷ a,b lại là số hữu tỷ, nhưng với

các phép toán khác nếu chỉ xét trên tập các số hữu tỷ, ta thấy những điều nêu trên không còn

đúng nữa Ví dụ phép lấy căn là phép toán như vậy Ta hãy tìm căn bậc hai của số 2, tức là

tìm một số x mà bình phương của nó bằng 2 Ta khẳng định rằng không có số hữu tỷ nào mà

bình phương của nó bằng 2 Giả sử rằng số hữu tỷ x như vậy tồn tại, ta có thể viết dưới dạng

phân số tối giản p

q , trong đó p và q chỉ có ước số chung là 1± Khi đó 2 2 2

p

nên p2 là số chẵn và do đó p cũng là số chẵn, p = 2m, trong đó m là số nguyên, do đó

4m 2 =2q 2 , 2m 2 =q 2 cho nên q 2 là số chẵn và vì thế q là số chẵn Như vậy p,q là các số chẵn,

điều này mâu thuẫn với giả thiết là p,q chỉ có ước chung là ± Mâu thuẫn nhận được chứng 1

Ta nói rằng các tập A và B là rời nhau nếu A B∩ = Φ

d) Bổ sung C A B của B trong A ( B⊆ A) là tập hợp định nghĩa bởi

={ | ∈ vµ ∉ }

A

C B x x A x B (1.1.12) Phép giao, hợp và bổ sung có các tính chất sau:

iii) (A∩B) ∪ =C (A∪C) ∩ (B∪C) (1.1.15) iv) (A∩B) ∪ =C (A∩C) ∪ (B∩C) (1.1.16)

v) A\ ∅ = A, \ A=∅ ∅ (1.1.17) vi) C A(B1∪B2) =C B A 1∩C B A 2 (1.1.18) vii) C A(B1∩B2) =C B A 1∪C B A 2 (1.1.19)

1.1.4 Tích Đề các

Cho hai tập hợp A,B không rỗng Tích Đề các của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A ×B là tập hợp các cặp (x,y) trong đó x∈A y, ∈ , đồng thời (x,y)= (a,b) khi và chỉ khi x = a, y = B b

Bây giờ giả sử M là một tập hợp và t là một tính chất nào đó của các phần tử của tập M

Nếu phần tử x∈M có tính chất t ta viết t(x) Gọi c(t) là tập hợp của tất cả các phần tử của tập

M có tính chất t:

c(t) ={ x∈M |x có tính chất t} (1.1.21) hay

c(t) ={ x∈M |t(x)} (1.1.22) khi đó nếu

c(t) = M thì mọi phần tử của M đều có tính chất t, ta nói rằng “với mọi x∈M , x có tính chất t” và ta

nhân cho tương ứng hai số thực a và b với số thực được kí hiệu là a.b sao cho thoả mãn các tính chất sau: Với mọi số thực a,b và c

a) a+b = b+a (tính chất giao hoán),

b) a+(b+c) = (a+b)+c (tính chất kết hợp),

c) a.b = b.a (tính chất giao hoán ),

d) a(b.c) = (a.b).c (tính chất kết hợp),

e) (a+b).c = a.c+b.c (tính chất phân phối),

f) Tồn tại duy nhất số 0 sao cho a+0 = a ∀ ∈a ,

g) Với mọi a, tồn tại số – a sao cho a + (− a) = 0,

h) Tồn tại duy nhất số 1 0≠ sao cho a.1 = a ∀ ∈a ,

i) Với mọi số a≠0, tồn tại số a-1 sao cho a.a-1= 1, số a-1 còn được kí hiệu là 1

a

số b≠− a thoả mãn điều kiện a+b =0, thì a+b+ (− a)= − a, từ đây a+ (− a)+b=− a hay 0+b = −

a và b= − a, mâu thuẫn

1.2.2 So sánh hai số thực a và b

Cho hai số thực bất kì a và b Khi đó chỉ có thể xảy ra một trong ba trường hợp sau:

a = b (a bằng b), a > b (a lớn hơn b) hay b > a (b lớn hơn a)

Mệnh đề “=” có tính chất: nếu a=b và b=c thì a=c

Mệnh đề “>” có tính chất sau: Với mọi số thực a,b và c

Số thực a thoả mãn bất đẳng thức a>0 được gọi là số dương

Số thực a thoả mãn bất đẳng thức a<0 được gọi là số âm

Chú ý rằng chỉ có tập hợp các số thực mới có tính chất này Ví dụ như, giả sử

X = {x hữu tỉ | x < 2} và

Y = {y hữu tỉ | y > 2}

Khi đó đối với mọi x∈X với mọi y Y ∈ thoả mãn x ≤ y, nhưng không tồn tại số hữu tỉ c nào sao cho x c y≤ ≤ Thật vậy, số như vậy chỉ có thể là 2, nhưng 2 không phải là số hữu tỉ

Trong lý thuyết số vô tỉ người ta chứng minh được rằng với hai số thực bất kì α β, trong

đó α < β luôn luôn tìm được một số thực và đặc biệt một số hữu tỉ r nằm giữa hai số đó (và thành thử có một tập vô số các số vô tỉ như vậy nằm giữa α và β)

vì nếu số k là cận trên thì bất kì số l nào lớn hơn k là cận trên Một câu hỏi được đặt ra là liệu

có tồn tại số nhỏ nhất trong các cận trên của tập M Số nhỏ nhất như vậy gọi là cận trên đúng của tập M và kí hiệu là sup M

Cận trên đúng của tập M có tính chất sau:

∀ >ε 0, ∃ ∈x M xsao cho > supM -ε

Thật vậy, nếu số x như vậy không tồn tại thì số supM −ε cũng là cận trên và khi đó số

supM không phải là cận trên đúng của tập M Nói một cách khác, tính chất này nói lên supM

là số nhỏ nhất trong số các cận trên của M

tự nhiên n sao cho 1 1

n > − Số n này, ví dụ là n = 1 ε

Ví dụ 2: sup(0,1) = sup[0,1] = 1

Bây giờ ta có thể định nghĩa cận trên đúng của tập M một cách khác như sau:

Số supM được gọi là cận trên đúng của tập M bị chặn trên nếu

a) x≤ supM ∀ ∈x M (1.2.4) b) ∀ >ε 0, ∃ ∈x M sao chox >supM -ε (1.2.5)

Tập hợp số M được gọi là bị chặn dưới, nếu tồn tại số g sao cho

Tương tự như đối với cận trên đúng, cận dưới đúng có tính chất sau:

∀ ∃ ∈ε, x M sao cho x < inf M +ε (1.2.7)

Ta chứng minh rằng số 0 là cận dưới đúng của tập M

Thật vậy, ∀ >ε 0, ta phải tìm được số tự nhiên n sao cho

Trong các ví dụ trên, ta thấy sup M, inf M có thể thuộc M, cũng có thể không thuộc M

Định lí 1.2.2 Tập hợp số không rỗng bất kì bị chặn trên (dưới) có cận trên (dưới) đúng

Chứng minh: Giả sử X là tập hợp số không rỗng bị chặn trên Khi đó tập hợp Y các số là cận trên của tập X không rỗng Theo định nghĩa của cận trên suy ra rằng đối với bất kì x∈X

và bất kì y∈Y ta có bất đẳng thức

x≤ y Dựa vào tính chất liên tục của tập hợp các số thực, tồn tại một số c sao cho

≤ ≤ ∀ ∈ ∀ ∈

Từ bất đẳng thức thứ nhất trong (1.2.8) suy ra số c chặn trên tập hợp X, từ bất đẳng thức thứ hai trong (1.2.8) suy ra c là số bé nhất trong các cận trên của X, tức là cận trên đúng của tập X

c = sup X

Theo tính chất của cận trên đúng, đối với ε =1, ta tìm được một số nguyên x∈X sao cho

x > c – 1 nhưng khi đó x+1> c Bởi vì x+ ∈1 X , điều này có nghĩa là c không phải là cận trên đúng của tập hợp X, mâu thuẫn với điều nói ở trên

Ví dụ 7: Giả sử X và Y là hai tập hợp số Hãy chứng minh rằng nếu Y ⊂ X thì supX ≥ supY Giải: Giả sử supX = A, supY = B Ta phải chứng minh B ≤ A Giả sử ngược lại B > A Khi

đó dựa vào tính chất cận trên đúng, ∀ > ∃ ∈ε 0, y Y sao cho > y B−ε

Bởi vì: B− A >0, nên ta có thể lấy ε = B−A Ta nhận được y >B −ε = B –B +A, tức là y

Nếu tập M đồng thời bị chặn dưới và bị chặn trên, ta gọi là tập bị chặn

Cuối cùng nếu tập M không bị chặn trên, thì ta nói rằng cận trên đúng của tập đó là + ∞ , sup M = + ∞ Tương tự nếu tập M không bị chặn dưới, ta nói rằng cận dưới đúng của tập đó là

− ∞ , inf M=− ∞

Ví dụ như sup(0,+ ∞ ) = + ∞ , inf(− ∞ ,0)= − ∞

Giả sử M là tập hợp các số thực, nếu tồn tại một phần tử lớn nhất trong các phần tử của tập M, thì ta kí hiệu phân tử đó là maxM Tương tự ta kí hiệu phân tử nhỏ nhất của tập M là minM

Ví dụ như max{2, –3, –5,0} = 2, min{2,–3, –5,0}=–5,

|x|=max {(–x,x)} ∀x

1.2.5 Trục số thực

Bây giờ ta tìm cách biểu diễn hình học tập các số thực

Ta lấy một đường thẳng nằm ngang và trên đó ta lấy một điểm 0 nào đó làm gốc Ta chon một độ dài thích hợp làm đơn vị và đặt độ dài đó liên tiếp nhau từ điểm 0 sang trái và sang phải sao cho trải khắp đường thẳng Ví dụ như số 2 được biểu diễn bằng “điểm 2”, tức là điểm

ở bên phải điểm 0 với khoảng cách 2 đơn vị

Ta gọi đường thẳng nói trên là đường thẳng thực hay trục số Bất kỳ một số thực nào cũng được ứng với một điểm trên đường thẳng thực và ngược lại, bất kì một điểm nào trên

đường thẳng thực cũng được ứng với một số thực Số thực a ứng với điểm M trên trục số được gọi là toạ độ của điểm M Thông thường người ta không phân biệt “điểm a” nằm trên đường

thẳng thực và số thưc a (là toạ độ của điểm đó)

Tập hợp không có phần tử cực đại và phần tử cực tiểu, bởi vì đối với một số thực x bất

kì luôn luôn tồn tại hai số y và z sao cho y< x< z (ví dụ y = x −1, z = x+1) Vì thế ta hãy bổ

sung vào tập hai phần tử mới mà ta ký hiệu là +∞ , − ∞ và ta gọi chung là các điểm vô tận của trục thực Ta ký hiệu tập mới xuất hiện như vật là * Như vậy là

Ví dụ 3: Ánh xạ cho bởi qui luật f x( )=sin , x x∈ là ánh xạ tập tới tập và đồng thời ánh xạ tập lên tập hợp tất cả các số thực y sao cho 1− ≤ ≤ y 1

Ví dụ 4: Xét ánh xạ cho bởi qui luật 2

Ánh xạ :f A→ gọi là một song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh B

Ví dụ 5: Ánh xạ :f → cho bởi qui luật 3

y= x là một song ánh

Ví dụ 6: Ánh xạ :f → + cho bởi qui luật 2

y=x không phải là song ánh, nhưng ánh xạ : + → +

Giả sử f là một ánh xạ tập hợp A lên tập hợp B Khi đó ứng với mỗi phần tử có một và chỉ

một x∈A sao cho y= f x( ) Ánh xạ cho tương ứng phần tử y B∈ với phần tử x∈A sao

cho y= f x( ) gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f kí hiệu là f− 1

Như vậy f 1 B A

:

f−1( )y = ⇔x f x( )= (vớiy x∈A , y B∈ ) (1.3.5)

Hình 1.3.1

Ví dụ 8: Nếu A là tập hợp các vòng tròn đồng tâm nằm trên cùng một phẳng và f(x) là bán kính của vòng tròn x, khi đó f là ánh xạ đơn trị tập A lên tập các số thực dương Khi đó ánh xạ ngược f− 1 tương ứng một số thực dương x với vòng tròn nằm trong tập A mà bán kính của nó

x và ánh xạ ngoài được cho bởi qui luật siny, y∈

Ánh xạ sin2x, x∈ là hợp của ánh xạ trong cho bởi sinx, x∈ và ánh xạ ngoài cho bởi

y2, y∈

1.4 Bài tập chương 1

1.1 Cho a là số vô tỉ, r là số hữu tỉ

1) Hãy chứng minh rằng a+r và a− r là các số vô tỉ

2) Giả sử r ≠0 hãy chứng minh rằng các số ar,a r,

r a là các số vô tỉ

1.2 Cho a,b∈ , gọi số

1) Giả sử X,Y bị chặn trên, chứng minh:

sup(X+Y) = supX+ supY

2) Giả sử X, Y bị chặn dưới, chứng minh:

inf(X+Y) = inf X + inf Y

1.7 Cho A⊂ và F ={ |f f :A → A} Chứng minh rằng nếu f,g,h∈F và i là ánh xạ đồng nhất trên tập A, tức là i(x) =x, ∀ x∈A thì:

1) (f g) h = f (g h),

2) f i = f

1.8 Cho F là tập hợp nói trên và

Chương 2

Giới hạn của dãy số và hàm số

2.1 Giới hạn của dãy số

2.1.1 Định nghĩa dãy số

Cho *={1,2,3,…} là tập hợp các số tự nhiên Một ánh xạ f: * → được gọi là

một dãy số thực Nếu đặt x n = f(n) thì ta có thể biểu diễn dãy số dưới dạng:

1, 2, 3, , n,

x x x x (2.1.1)

Phần tử xn được gọi là số hạng thứ n của dãy số

Để cho gọn ta sẽ ký hiệu dãy số bằng {xn} Chỉ số n trong số hạng xn chỉ vị trí của số hạng này trong dãy (2.1.1)

Trước hết ta hãy nêu ra một vài ví dụ về dãy:

Bây giờ ta đưa ra định nghĩa chính xác về giới hạn của dãy

Định nghĩa 1: Ta nói rằng số a là giới hạn của dãy {xn} nếu đối với mọi số dương ε bé tuỳ

Ta chú ý rằng số p ở trên nói chung phụ thuộc vào việc chọn ε Để nhấn mạnh điều đó

đôi khi thay cho p ta sẽ viết pε

Khoảng mở (a−ε , a+ε ) có tâm tại điểm a được gọi là lân cận của điểm a Như vậy, để a

là giới hạn của dãy {xn} thì với lân cận bé bất kỳ của điểm a tất cả các phần tử xn của dãy bắt đầu từ một chỉ số nào đó cần phải rơi vào trong lân cận đó (tức là ngoài lân cận đó chỉ

n Với mọi ε cho trước 1

Ví dụ 2

Hãy chỉ ra rằng dãy:

{( 1) } : 1,1, 1, ,− n − − (2.1.8) không có giới hạn

Giả sử rằng dãy có giới hạn là a Khi đó với ε =1, tồn tại số p sao cho với n>p ta có |xn – a|< ε =1

Ta hãy chọn n lớn hơn p, khi đó n+1>p, cho nên

2.1.2 Các tính chất của dãy hội tụ

nhưng b cũng là giới hạn của dãy (2.1.1), nên với số ε nói trên, ta tìm được p2 sao cho với

Gọi k = max {|x1|,|x2|,|x3|,…,|xn|,|a|+1} Khi đó|xn|≤ k ∀n=1,2,3,…, tức là dãy {xn } bị chặn

Ta chú ý rằng dãy bị chặn không nhất thiết phải hội tụ

được gọi là dãy con của dãy (2.1.1) Hiển nhiên dãy con của dãy (2.1.12) cũng là dãy con của dãy (2.1.1)

Ta chú ý rằng

n

k ≥ n ∀ n∈ * (2.1.13)

Thật vậy k1≥ 1, cho nên k2>1 và do đó k2≥ 2, bởi vì k2 là số tự nhiên

Một cách tổng quát giả sử ta đã chứng minh được k n ≥ n, ta nhận được k n+1 > và do đó n

lim( n n)

n x y ab (2.1.20) (iv)

→∞

1 lim( )

n

n

y = 1

b với y n ≠0, b≠0 (2.1.21) (v)

Từ đây suy ra điều phải chứng minh

(ii) Chứng minh tương tự như trên

khi n>p1 thì |xn − a|< ε , khi n>p2 thì |yn −b|< ε

Gọi p =max(p1,p2) thì khi n>p ta có:

(v) Kết luận này là hệ quả của (iii) và iv

d) Sự bảo toàn thứ tự qua giới hạn trong bất đẳng thức

Định lý 2.1.5 Giả sử lim lim

→∞ n < →∞ n

n x n y Khi đó tìm được một số p sao cho với n>p thì x n < y n

Mặt khác vì x n →a và a < r nên tồn tại p1 sao cho khi n > p1 thì xn < r

Tương tự ta tìm được p2 sao cho khi n > p 2 thì y n > r

Nếu gọi p =max(p 1 ,p 2 ) thì khi n>p ta có xn <r và yn>r, nghĩa là xn<yn, và điều này mâu thuẫn với giả thiết

(ii) Vì xn→a nên với ε >0 cho trước tìm được p1 sao cho khi n >p1 thì:

| x n − <a| ε hay a− <ε x n < + a εTương tự, vì z n → , ta tìm được pa 2 sao cho khi n>p2 ta có a− <ε z n < +a ε

Từ đây, đặt p = max(p 1 ,p 2 ), thì khi n > p ta có

− < n ≤ n ≤ n < +

Suy ra a− <ε y n < +a ε, tức là y n → , điều phải chứng minh a

2.1.3 Giới hạn vô hạn

Định lý 2.1.7 Cho dãy số {xn} Nếu với mọi M > 0 lớn tuỳ ý, bao giờ cũng tồn tại một số p

sao cho ∀ >n p, ta có xn>M, thì ta nói rằng dãy {xn} có giới hạn cộng vô cùng và ký hiệu là

lim n

n x

→∞ = +∞

Nếu với mọi M >0 lớn tuỳ ý, bao giờ cũng tồn tại một số p sao cho ∀ >n p, ta có xn < –

M, thì ta nói rằng dãy {xn} có giới hạn trừ vô cùng và ký hiệu là

lim n

n x

→∞ = −∞ Cuối cùng ta hãy chú ý rằng một dãy hội tụ khi và chỉ khi nó có giới hạn hữu hạn Dãy có giới hạn là ±∞ không được xem là dãy hội tụ

2.2 Tiêu chuẩn hội tụ

+

< ∀ ∈ * 1

n n

ta nói rằng dãy (2.2.1) là dãy thực sự tăng Tương tự, nếu như

* 1

+

> ∀ ∈

n n

thì ta nói rằng dãy (2.2.1) thực sự giảm

Các dãy nói trên gọi chung là các dãy đơn điệu Tất cả các dãy đơn điệu tạo nên một lớp dãy rất quan trọng Bây giờ đối với những dãy này ta có hai định lý quan trọng sau

Định lý 2.2.1 Giả sử dãy (2.2.1) là không giảm Nếu như dãy không bị chặn trên thì

(i) Giả sử dãy (2.2.1) không bị chặn trên Khi đó ∀M >0 lớn tuỳ ý, ta đều tìm được

một số tự nhiên p sao cho xp>M (tức là ít nhất một số hạng của dãy lớn hơn M) Bởi vì, dãy là không giảm, nên khi n>p, ta có: x n ≥x p và do đó xn>M, cho nên

Dãy số đơn điệu là hội tụ khi và chỉ khi nó bị chặn

Ta thấy rằng dãy hội tụ bất kỳ là bị chặn Tất nhiên, ta cũng biết rằng dãy bị chặn không nhất thiết phải hội tụ Ví dụ như dãy 1

{( 1)− n+ } là bị chặn nhưng không hội tụ Nhưng dãy bị chặn đơn điệu luôn luôn hội tụ Ví dụ sau đây có một vai trò cực kỳ quan trọng trong giải tích cũng như trong ứng dụng

y

n Ta thấy rằng dãy {yn}là dãy giảm, tức là

2 2

2.2.3 Nguyên lý Cantor về dãy các đoạn thẳng lồng nhau và thắt lại

Định lý 2.2.4 Giả sử [a b1, 1]⊃[a b2, 2]⊃ ⊃[a b n, n]⊃ là dãy vô hạn các đoạn thẳng lồng nhau và thắt lại:

→∞ n − n =

Khi đó tồn tại duy nhất một phần tử

Định lý 2.2.5 Mọi dãy vô hạn bị chặn đều chứa một dãy con hội tụ

Ở đây ta không chứng minh định lý này (độc giả có thể đọc trong cuốn [1]) và chỉ lưu ý rằng đây là một định lý rất quan trọng về mặt lý thuyết Sau này ta sẽ thấy rằng khi dùng định

lý Bolzano – Weierstrass có thể chứng minh một số tính chất rất đặc trưng của hàm liên tục

2.2.5 Nguyên lý Cauchy về sự hội tụ của một dãy số

Định nghĩa 2 Dãy {xn} được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu ∀ >ε 0 cho trước bao giờ cũng ∃ ∈p * sao cho ∀m n, > p ta có | x n−x m|<ε

Định lý 2.2.6 (Nguyên lý Cauchy): Một dãy số hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy cơ bản

Vậy {xn} là dãy cơ bản

ii) Điều kiện đủ

Giả sử {xn} là dãy cơ bản Trước hết ta hãy chứng minh dãy {xn} bị chặn Thật vậy

x x n , vậy dãy {xn} phân kỳ

Ví dụ 2: Dùng tiêu chuẩn Cauchy để xét sự hội tụ của dãy

2.2.6 Giới hạn trên và giới hạn dưới

thì ta nói rằng a là một giới hạn riêng của dãy {xn}

Ví dụ như dãy{(−1)n} có hai giới hạn riêng là 1 và −1

b) Giới hạn trên và giới hạn dưới:

Cho {xn} là một dãy bị chặn Với mỗi n ta đặt

Giới hạn này được gọi là giới hạn trên của dãy{x n} và ký hiệu là lim

→∞ n

n x Như vậy là

x là giới hạn riêng nhỏ nhất của dãy đó

Chứng minh: Ta chứng minh cho lim n

∀ >ε u n > − ∀a ε n Theo tính chất của supremun ta có ∀ ∃n, k để a− <ε x n k+ ≤a

Từ đây ta thấy rằng dãy {xn} có vô số số hạng nằm trong (a−ε, ]a Vậy a là giới hạn

riêng của dãy {xn}

Sau đây ta chứng minh a là giới hạn riêng của lớn nhất

Bây giờ giả sử ngược lại có một dãy con { }

Theo tính chất của infimum ∃n0 để

0sup

Cho X Y, :X ⊂ , Y ⊂ Ánh xạ f X: →Y được gọi là một hàm số một biến số thực,

tập X gọi là tập xác định của hàm số Người ta còn kí hiệu tập xác định của hàm số f là Df Tập

Y thường được gọi là tập giá trị của hàm số

Phần tử x∈X được gọi là biến độc lập, hay đối số, còn f x( )∈Y được gọi là biến phụ

thuộc hay hàm số Để chứng tỏ hàm số f cho tương ứng mỗi phần tử x∈X với một phần tử xác định ( )∈f x Yta thường viết x f x( ) hay y= f x( )

Ví dụ: x x là hàm số đồng nhất, thường kí hiệu là id(x)

Giả sử trên một mặt phẳng cho hai trục toạ độ vuông góc, trục Ox và trục Oy, trục Ox gọi

là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung, đồ thị của hàm f với tập xác định X là tập hợp các điểm (x,y) thoả mãn phương trình y = f(x) , với x∈X

Cho nên đồ thị của hàm số trên là nửa đường tròn phía trên và nửa đường tròn phía dưới (nét đứt) là đồ thị của hàm − 3 x− 2 (Hình 2.3.1)

x được xác định với mọi x≠0(Hình 2.3.2)

Ví dụ 3: x→E x( )=[ ]x trong đó [ ]x là số nguyên lớn nhất không lớn hơn x, là hàm số phần nguyên của x

Vì trong khoảng [−2,−1), [−1,0), [0,1), [1,2), [2,3)… hàm nhận giá trị hằng số… −2,

−1,0,1,2… cho nên đồ thị là một dãy các đoạn thẳng nằm ngang, không kể các đầu mút bên phải (Hình 2.3.3a)

Ví dụ 4: Cho x là số tự nhiên, gọi T(x) là số lượng ước số dương của x, ví dụ như T(1)=1, T(6)=4 (ước số dương của 6 là 1,2,3,6)…

Cho nên x→T x( )là hàm số mà tập xác định của nó là tập hợp các số tự nhiên Đồ thị của hàm này gồm những điểm rời rạc (Hình 2.3.3b)

x 1 2 3 4 5 6 7…

Theo định nghĩa trên cho hàm số f :X →Y nghĩa là

i) Cho tập xác định X của hàm này,

ii) Cho quy luật tương ứng mỗi x∈Xvới một số xác định f x( ) ∈Y

Hai hàm f, g được xem là như nhau nếu như có cùng tập xác định X và nếu f(x)=g(x)

Như vậy hàm f ánh xạ tập X lên tập Y Ngoài ra ta giả thiết rằng f cũng là đơn ánh, nghĩa

là với x1 ≠ x2, , x1 x2∈X thì f x( 1)≠ f x( 2) Khi đó mỗi phần tử y∈Y đều là ảnh của đúng một phần tử x∈X nên ta có thể đặt tương ứng mỗi phần tử y∈Y với một phần tử x∈X

Phép tương ứng đó đã xác định một hàm số từ tập Y sang tập X Hàm số này được gọi là hàm

số ngựơc của hàm f và được kí hiệu là 1

:

f Y X, nghĩa là

Cho nên trong cùng một hệ trục toạ độ đồ thị hàm số y= f x( ) và 1

1 2

Đồ thị của hàm số y= xα, α >0luôn đi qua gốc toạ độ và điểm (1,1)

Tương tự ta có thể xét hàm số y= xα với α <0, trong trường hợp này hàm số không xác

Bây giờ hãy vẽ đồ thị của hàm số y=loga x Hàm số này nhận được từ hàm số

Hàm số y=sinx được xác định trong khoảng X=(−∞ +∞, ) và giá trị của nó lấp đầy đoạn

Y=[−1,1] Đường thẳng song song với trục Ox cắt đường sin, tức đồ thị của hàm số y = sinx tại một tập vô hạn các điểm, nói một cách khác mỗi giá trị y∈[−1,1] sẽ ứng với một tập vô hạn các giá trị của x∈X Vì vậy, hàm ngược mà ta kí hiệu là x = Arcsiny, sẽ là hàm đa trị

2 π

⎣ ⎦, nó được kí hiệu bằng x = arcsiny

và gọi là nhánh chính của hàm Arcsiny

Bằng cách lấy đối xứng đường sin qua đường phân giác thứ nhất ta được đồ thị của hàm

đa trị y = Arcsinx Bằng cách thu hẹp đồ thị trên với ,

Ta có công thức cho tất cả các giá trị của hàm ngược

Ta thấy y = cosx, 0 ≤ ≤x π ar ccos ⇔ x= y

Hàm số ngược của hàm số y = cosx là hàm số y = arccosx Hàm số y = arccosx có miền

xác định là tập [−1,1] và miền giá trị là [0,π ] và là hàm số giảm (xem hình vẽ Hình 2.3.5)

Do đó hàm số y=arctgx có tập xác định là tập và tập giá trị là khoảng mở ,

Hình 2.3.6 Hình 2.3.7

e) Khái niệm các hàm sơ cấp

Trong toán học các hàm số sau đây được gọi là các hàm số sơ cấp cơ bản: hàm số luỹ thừa:x→xα,α∈ ; hàm số mũ: x→a a x, >0,a≠ ; hàm số logarit: 1 x→loga x; các hàm

số lượng giác: x →sinx, x→cosx, x→tgx, x→cotgx và các hàm số lượng giác ngược Người

ta gọi hàm sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia), các phép lấy hàm số hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản Trong phần này, ngoài các hàm số sơ cấp nêu trên, ta còn nghiên cứu lớp các hàm số hypebol

−

+

=

1 2

x

a

1 2

Đó là đường cong đi qua điểm (0,1) và đối xứng qua trục Oy Hàm y là hàm số chẵn

Trong góc toạ độ thứ nhất khi x→ +∞ đồ thị của hàm số (2.3.1) dần đến đồ thị của đường 1

2

x

a và trong góc toạ độ thứ hai, khi x→ −∞ đồ thị của hàm số (2.3.1) dần đến đồ thị hàm số

12

x

a− Hàm số

ta có thể thiết lập những hệ thức đơn giản như sau:

Nói chung h x1( ) có những tính chất tương tự với cosx, h x2( ) có những tính chất tương

tự với sinx Khi a = e ta gọi hàm thứ nhất là cosinhypebol, ký hiệu là chx, hàm thứ hai là sinhypebol, kí hiệu là shx, như vậy

Hàm y=chx ánh xạ khoảng [0,+∞ lên khoảng [1,) +∞ , vậy ta có thể xác định một hàm )

ngược, ký hiệu là Argchx

Vậy y=Argchx, x∈[1,+∞),y∈[0,+∞)⇔ =x ch ,y y∈[0,+∞), x∈ +∞[1, ) Đồ thị của

hàm số y = Argchx suy từ đồ thị của y=chx, x≥0bằng phép lấy đối xứng qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất