TO 19 GADT NHOM 4 ĐOT 2 BAI 3 CHUONG III

+Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp nếu cần sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.. +Cộng hay trừ từng vế hai phương tr

ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG III

PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH

BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1 Phương Pháp

1.1 Khái niệm:

Phương trình bậc nhất hai ẩn x y, là hệ thức dạng: ax by c   1

Trong đó a b c, , là ba số cho trước với a b, không đồng thời bằng 0

1.2 Tập hợp nghiệm của phương trình:

a) Một nghiệm của phương trình  1 là một cặp số x y sao cho 0, 0 ax0by0  c

b) Phương trình bậc nhất hai ẩn ax by c  luôn có vô số nghiệm Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax by c  , kí hiệu là  d

- Nếu a  và 0 b 0 thì công thức nghiệm là:

x

c ax

y

b

















hoặc

c by x

a y











 

Khi đó đường thẳng  d cắt cả hai trục tọa độ.

- Nếu a  và 0 b  thì công thức nghiệm là:0

x

c

y

b















Khi đó đường thẳng  d song song hoặc trùng với trục Ox , cắt Oy tại điểm có tung độ .

c

b

- Nếu a  và 0 b  thì công thức nghiệm là:0

y

c

x

a















Khi đó đường thẳng  d song song hoặc trùng với trục Oy , cắt Ox tại điểm có

hoành độ .

c

a

2 Ví dụ

8 6 4 2

2

A B y

x

| Chương III: Bài 3

Phân tích

Cặp x y là nghiệm của phương trình 0; 0 ax by c  nếu khi thay x x y 0, y0 vào

phương trình ta được hai vế bằng nhau

Lời giải

Xét cặp số 2; 1  Thay x2,y1 vào phương trình 4x2y3 ta được

  4.2 2 1 6 3

VT

VT VP VP







2; 1

  không là nghiệm của phương trình 4x2y3 Xét cặp số

3 0;

2

 

 

  Thay

3 0, 2

x y

vào phương trình 4x2y3 ta được 3

4.0 2 3

2 3

VT

VT VP VP







3 0;

2

 

  

  không là nghiệm của phương trình 4x2y3

Lời giải

a)

 Ta có phương trình: x y  2 y x  2

Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình là:

2

x

y x







 





 Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình y x  2

Cho x 0 y2

ta được A0; 2  Cho y 0 x2 ta được B2;0

Biểu diễn cặp điểm A0; 2 ,  B2;0 trên hệ trục tọa độ và đường thẳng AB

chính là tập nghiệm của phương trình x y 2

Strong Team Toán VD–VDC | 2

Trong các cặp số , cặp số nào là nghiệm của phương trình: ?

Ví dụ 1

Với mỗi phương trình sau, tìm nghiệm tổng quát của phương trình và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó:

Ví dụ 2

8 6 4 2

2 4 6 8

y

x A

B

b)

 Ta có phương trình: 2x y  3 y2x3

Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình là:

2 3

x

y x







 





 Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình y2x3

Cho x 0 y3

ta được A0;3

Cho

3 0

2

y  x

ta được

3

;0 2

B  

 

Biểu diễn cặp điểm  

3 0;3 , ;0

2

A B  

  trên hệ trục tọa độ và đường thẳng AB chính

là tập nghiệm của phương trình y2x3

Lời giải

a) Xét 2x 3y8  1

3

x

Cho x là một giá trị t tùy ý ta tính được giá trị tương ứng của y

Cho phương trình

a) Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Ví dụ 3

| Chương III: Bài 3

Ta được công thức nghiệm tổng quát của phương trình  1 là

2 8 3

x t t y

 















b Ta có

y      x 

8

3

x

t  t  x t

Khi đó nghiệm nguyên của phương trình  1 là

3 8

3 8

x t

y t t

 





  

2 8

x t

t

y t

 







 





Cho t là một giá trị nguyên nào đó ta được một nghiệm nguyên của phương

trình  1

Ví dụ như, với t  thì 1

5 6

x y









với t  thì 2

2 4

x y









Lời giải

Với x  thì 4  2 trở thành: 0.y  (vô lý)  phương trình 2 16  2 vô nghiệm

Với x  thì 4

4

x x

 

Do x y  , nên y    2

16 4

x 

Do đó x  là ước của 16  4 x       4  1; 2; 4; 8; 16

Ta có

4

x  16 8 4 2 1 1 2 4 8 16

x 12 4 0 2 3 5 6 8 12 20 2

y 9 2 0 2 9 25 18 16 18 25

y

3 2



(loại )

4



3 2



(loại )

5

 Vậy các nghiệm nguyên của phương trình (2) là

5;5 , 5; 5 , 4; 4 , 4; 4 , 4;0 , 20;5 , 20; 5                 Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Ví dụ 4

Lời giải

Cặp số 1; 2 là nghiệm của phương trình 3x y 1 vì 3.1 2 1 

Cặp số 1;0

là không nghiệm của phương trình 3x y 1 vì 3.1 0 1 

Chọn x  , ta có 2 3.2 y 1 y5

Vậy cặp số 2;5

là một nghiệm của phương trình 3x y 1

DẠNG 2: HỆ PT BẬC NHẤT HAI ẨN, HỆ PT BẬC NHẤT BA ẨN (không chứa tham số)

1 Phương pháp

a.Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là

a x b y c

a x b y c





Trong đó x , ylà hai ẩn; các chữ còn lại là hệ số

Nếu cặp số x y0; 0

đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì x y0; 0

được gọi là một

nghiệm của hệ phương trình (3).

Giải hệ phương trình (3) là tìm tập nghiệm của nó.

-Giải hệ (3) bằng phương pháp cộng đại số (biến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình

tương đương)

+Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau

+Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ đã cho để được một phương trình mới (phương trình một ẩn)

+Dùng phương trình một ẩn thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia)

+Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho

-Giải hệ (3) bằng phương pháp thế (biến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình tương

đương)

+Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn)

+Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho

-Nhận xét

+Phương pháp thế sẽ sử dụng thuận tiện hơn khi một trong hai phương trình của hệ có các hệ số của

x hoặc y là 1 hay -1 Khi đó chỉ cần rút x hoặc yở phương trình có hệ số là 1 hay -1 này và thay

vào phương trình còn lại để giải hệ

Kiểm tra xem các cặp số và có là nghiệm của phương trình không? Tìm thêm một nghiệm

khác của phương trình

Ví dụ 5

| Chương III: Bài 3

+Đối với các hệ phương trình mà không có hệ số nào của x và ylà 1 hay -1 thì việc sử dụng phương pháp thế làm phát sinh các phân số và việc cộng trừ dễ làm ta sai sót Khi đó dùng phương pháp cộng đại số giúp các em đỡ nhầm lẫn hơn trong các phép tính

b Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là

a x b y c z d

a x b y c z d

a x b y c z d







Trong đó x , y, z là ba ẩn; các chữ còn lại là hệ số

Mỗi bộ ba số x y z0; 0; 0

nghiệm đúng cả ba phương trình của hệ thì được gọi là một nghiệm của

hệ phương trình (4)

-Giải hệ (4) bằng cách biến đổi hệ về dạng tam giác bằng phương pháp khử dần ẩn số

2 Ví dụ

Lời giải

a) Ta có:

Vậy nghiệm của hệ là x y ;  2;1

b) Ta có:

x y x y

             



Vậy nghiệm của hệ là x y z  ; ;   8;1;12

Lời giải

Gọi x y, lần lượt là số trẻ em, người lớn vào tham quan hội chợ trong ngày

Điều kiện x y, là các số nguyên dương

Giải các hệ phương trình sau:

b)

Ví dụ 1

Ở một hội chợ, vé vào cửa được bán ra với giá 15.000 đồng cho trẻ em và 40.000 đồng cho

người lớn Trong một ngày, có 2.600 người khách tham quan hội chợ và ban tổ chức hội chợ thu được 91.500.000 đồng Hỏi có bao nhiêu người lớn và bao nhiêu trẻ em vào tham dự hội chợ trong ngày đó?

Ví dụ 2

Theo giả thiết của bài toán, ta có hệ phương trình:

2.600

15.000 40.000 91.500.000

x y

 







Giải hệ phương trình ta được

500 2.100

x y









 Vậy có 500 trẻ em và 2.100 người lớn tham gia hội chợ trong ngày đó

Lời giải

Ta có:

Vậy a b ;  2;1

Do đó: S a2b2 5

Lời giải

Ta có:

a b c a b c a

Vậy ax22bx c  0 x22x  1 0 x1.

Phân tích

Làm giảm số ẩn bằng cách cộng từng vế phương trình 2 và phương trình 3

Lời giải

Biết là một nghiệm của hệ phương trình Tính tổng

Ví dụ 3

Biết là ba số thực thỏa mãn hệ phương trình Tìm tất cả các nghiệm thực của phương trình

Ví dụ 4

Giải hệ phương trình

Ví dụ 5

| Chương III: Bài 3

Vậy nghiệm của hệ là x y z ; ;  2; 2; 4 

Phân tích

Làm giảm số ẩn bằng cách trừ từng vế phương trình 2 và phương trình 3

Lời giải

Vậy nghiệm của hệ là x y z ; ;  1;1;1 

DẠNG 3: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN CÓ THAM SỐ

1.1 Giải và biện luận hệ phương trình

Phương pháp:

a x b y c





    



Để giải và biện luận hệ phương trình (∗), ta thực hiện các bước sau:

cộng đại số, ta thu được một phương trình mới ( chỉ còn một ẩn)

giải và biện luận hệ phương trình đã cho

1.2 Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

Giải hệ phương trình

Ví dụ 6

Phương pháp:

| Chương III: Bài 3

2 Ví dụ

Phân tích

- Hệ phương trình đã cho có thể dùng phương pháp thế để chuyển bài toán biện luận hệ phương trình về bài toán biện luận phương trình bậc nhất một ẩn

Lời giải

 Cách 1:

 Hệ phương trình tương đương      

I



Xét phương trình m 2x 5  1

 Nếu m  thì phương trình 2  1 có một nghiệm duy nhất

5 2

x m





Khi đó hệ  I

có một nghiệm duy nhất

5 2

x m y











     

 Nếu m  thì phương trình 2  1 trở thành 0x  (vô lý).5

 phương trình  1

vô nghiệm

 hệ  I vô nghiệm.

 Kết luận:

 m  : hệ có nghiệm duy nhất 2  

x y



 m  : hệ vô nghiệm.2

 Cách 2:



1 1

2 2

m

5

1 2

x

1 3 1

y

m

 Trường hợp 1: D 0 m : Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất2

5 2

1 3 2

x y

D x

y







 Trường hợp 2: D 0 m2

Ta có

0

5 0

x

D







  

 nên hệ phương trình vô nghiệm

 Kết luận:

 m  : hệ có nghiệm duy nhất 2  

5 1 3

m

x y



Giải và biện luận theo tham số hệ phương trình:

Ví dụ 1

 m  : hệ vô nghiệm.2

Phân tích

- Hệ phương trình đã cho có thể dùng phương pháp thế để chuyển bài toán biện luận hệ phương trình về bài toán biện luận phương trình bậc nhất một ẩn, nhưng phải qua nhiều bước biến đổi và cồng kềnh trong việc kết luận nghiệm Do đó, ta nên dùng định thức để giải và biện luận trực tiếp hệ trên

Lời giải

 Cách 1:

 Hệ phương trình tương đương    2 2  

1 1

I

y m mx

y m mx

  



  



Xét phương trình 4 m x2 m2 m2  1

 Nếu 4 m2  0 m2 thì phương trình  1

có một nghiệm duy nhất

   

   

2

2

x

Khi đó hệ  I

có một nghiệm duy nhất

1 2

1

m x m

m

y m m











     

 Nếu m  thì phương trình 2  1 trở thành 0x  (vô lý).4

 phương trình  1

vô nghiệm

 hệ  I

vô nghiệm

 Nếu m  thì phương trình 2  1 trở thành 0x  (đúng x0    )

 phương trình  1

có vô số nghiệm

 hệ  I

có vô số nghiệm x y; 

thỏa 2 1

x

y x







 





 Kết luận:

 m  và 2 m  : hệ có nghiệm duy nhất 2  

m

x y

m m

 

 m  : hệ có vô số nghiệm 2 2 1

x

y x







 





 m  : hệ vô nghiệm.2

 Cách 2:

Giải và biện luận theo tham số hệ phương trình:

Ví dụ 2

| Chương III: Bài 3

4

m

m

 1 1 2 2  1  2 

2

x

m

m



y

m m

D    m  m

 Trường hợp 1:

2 0

2

m D

m





  





Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất

1 2 2 2

x y

D m x

D m D y

D m









 Trường hợp 2: D 0 m hoặc 2 m  2

* Với m 2

Ta có

0

4 0

x

D D







 

 nên hệ phương trình vô nghiệm

* Với m 2

Ta có

0 0 0

x y

D D D

 







 nên hệ phương trình có vô số nghiệm x y; 

thỏa 2 1

x

y x







 





 Kết luận:

 m  và 2 m  : hệ có nghiệm duy nhất 2  

m

x y

m m

 

 m  : hệ có vô số nghiệm 2 2 1

x

y x







 





 m  : hệ vô nghiệm.2

Phân tích

- Cả 2 phương trình trong hệ đều có 2 biểu thức chung là x  và y Điều này giúp ta liên hệ1

đến phương pháp dùng ẩn phụ để giải hệ phương trình

- Có thể khái quát cách giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ (mục đích là để chuyển hệ đã cho về

hệ cơ bản)

+ Tìm điều kiện của các ẩn ban đầu để từng phương trình trong hệ có nghĩa

Giải và biện luận theo tham số hệ phương trình:

Ví dụ 3

+ Đặt ẩn mới và tìm điều kiện cho ẩn mới (nếu có)

+ Giải hệ phương trình với ẩn mới theo điều kiện ràng buộc của ẩn mới (nếu có)

+ Trở lại ẩn ban đầu và giải hệ theo điều kiện của ẩn ban đầu

Lời giải

 Điều kiện

1 0

x y











 Đặt

1 0 0

u x

v y

   





Hệ phương trình trở thành

1 2

mu v m

u mv

  







2 1

1

m

m



2

1 1

2

u

m

m





1

1

v

m m

D    m

 Trường hợp 1: D 0 m21 0  m1

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

2 1 1 1

u v

D m u

D m D v

D m







Vì điều kiện u v , 0 nên ta có

2 0

1 0 1

m

m







 

  



 

Khi đó ta được

 

 

 

 

 

2

2 2

2 2

2 3 2

1 1

m m

m m





 

 Trường hợp 2: D 0 m21 0  m1 hoặc m  1

* Khi m 1

Ta có

0

0 0

x

y

D

D

D

 







 nên hệ phương trình có vô số nghiệm thoả

1 0

x y







 

* Khi m 1

Ta có

0

2 0

u

D

D







 

 nên hệ phương trình vô nghiệm

 Kết luận:

| Chương III: Bài 3



1 1

m

m

 







 : hệ có nghiệm duy nhất

 

  2 2

m

x y

 m  : hệ có vô số nghiệm 1 x y;  thỏa

1 0

x y







 

 m  : hệ vô nghiệm.1

Lời giải

 I có nghiệm x y  ;   3; 2

 

 





Lời giải

Ta có: { mx+2y=m+1 ¿¿¿¿  I

+ Xét m  , hệ 0  I có nghiệm duy nhất

1 2 1 2

y x











 

 (loại vì x y  , ) + Xét m  0

 I  { 2mx+4 y=2m+2 ¿¿¿¿ ⇔ { ( m 2 − 4)y=2m 2 −3m−2=(m−2)(2m+1) ¿¿¿¿

 I

có nghiệm duy nhất  m 2 4 0  m  (1)2

Vậy với m 2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất

2

1

2

m

x

y









,

x y là những số nguyên  m 2 1; 1;3; 3    m5; 3; 1  (thỏa điều kiện (1))

Tìm các giá trị thực của tham số để hệ phương trình

có nghiệm

Ví dụ 4

Định các giá trị nguyên của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.

Ví dụ 5

Vậy m     5; 3; 1

thỏa đề

Lời giải

2 2

x y m

x

x y m y

 









4

2

y ym m y y

x y m

 





 

2

y m y m

x y m



 



Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình

2y  4m1 y m  7 0 *

có nghiệm duy nhất

Khi đó:

4 12 8 2 7 8 2 8 55

2 114 4 0

2 114 4

m m

       

  







  

  







Lời giải

2 2

y m x

x y m

  

  









Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình  *

có nghiệm

x   m x x  m x   x  m x m  m 

Khi đó:

 22 4 2 4 1 3 2 12

m

       

     Vậy: 0m thì hệ phương trình có nghiệm.4

Tìm để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 6

Tìm để hệ phương trình có nghiệm?

Ví dụ 7