Tổ 24 đại 10 chương 4 bài 1

Phương pháp 4: Biến đổi vế trái hoặc vế phải thành vế còn lại.Chú ý: Với các phương pháp 1 và phương pháp 2 công việc thường là biến đổi A B− thành tổng các đại lượng không âm.. Vậy bất

Các mệnh đề dạng ''a b< '' hoặc ''a b> '' được gọi là bất đẳng thức.

2 BẤT ĐẲNG THỨC HỆ QUẢ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TƯƠNG ĐƯƠNG

Nếu mệnh đề ''a b< ⇒ <c d'' đúng thì ta nói bất đẳng thức c d< là bất đẳng thức hệ quả của bất

đẳng thức a b< và cũng viết là a b< ⇒ <c d.

Nếu bất đẳng thức a b< là hệ quả của bất đẳng thức c d< và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng

thức tương đương với nhau và viết là a b< ⇔ <c d.

3 TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC

Như vậy để chứng minh bất đẳng thức a b< ta chỉ cần chứng minh a b− < 0 Tổng quát hơn, khi

so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất

của bất đẳng thức được tóm tắt trong bảng sau:

Tính chất

Tên gọi Điều kiện Nội dung

a b< ⇔ + < +a c b c Cộng hai vế của bất đẳng thức

với một số0

c> a b< ⇔ac bc< Nhân hai vế của bất đẳng thức

với một số0

Ta còn gặp các mệnh đề dạng a b≤ hoặc a b≥ Các mệnh đề dạng này cũng được gọi là bất đẳng

thức Để phân biệt, ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng

a b< hoặc a b> là các bất đẳng thức ngặt Các tính chất nêu trong bảng trên cũng đúng cho bất

Đại số lớp 10 |Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng

xảy ra khi và chỉ khi a b= .

Mở rộng: Nếu x x1, 2, , x n là các số không âm thì 1 2 1 2

.Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x1= = =x2 x n.

Nếu x y, cùng dương và có tích không đổi thì tổng x y+ nhỏ nhất khi và chỉ khi x= y.

5 BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Phương pháp 4: Biến đổi vế trái hoặc vế phải thành vế còn lại.

Chú ý: Với các phương pháp 1 và phương pháp 2 công việc thường là biến đổi A B− thành tổng

các đại lượng không âm Với bất đẳng thức A B− ≥0 chúng ta cần chỉ ra dấu bằng xảy ra khi nào ?

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b= .

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

STRON

G TE A M TO ÁN VD - VD C

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c= = .

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

suy ra điều phải chứng minh.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

2 2 2

000

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b= .

* Chứng minh BĐT Cauchy cho 2 số không âm :

02

a b

, luôn đúng với ,a b≥0 Do đó bất đẳng thức (*) đúngDấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b= .

2 BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY CHO 3 SỐ :

* Cho , ,a b c≥0 Ta có

33

a b c

abc

+ + ≥

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c= = .

* Chứng minh BĐT Cauchy cho 3 số không âm :

Cho , ,a b c≥0 Chứng minh: a b c+ + ≥3 3abc

Cách 1: BĐT đã cho tương đương với :

Cách 2: Ở THCS chúng ta đã biết BĐT quan trọng sau :

Như vậy ta cũng suy ra điều phải chứng minh

* Một số dạng tương tự của BĐT Cauchy cho 3 số:

∀ Ví dụ 6 ∈ ¡



33

a b c abc≤  + + ÷

3 BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY CHO NHIỀU SỐ (TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT)

* Cho a a1, 2, ,a n là các số thực không âm Ta có:

1 2 n 1 2

a + + + ≥a a n a a a

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1=a2 = = a n.

* Chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Cơ sở quy nạp với n=1, 2 được kiểm tra dễ dàng

Giả sử BĐT đã đúng với n số không âm (n≥2, n∈ Ν) Khi đó, ta sẽ chứng minh bất đẳng thức

cũng đúng với n+1 số không âm Xét n+ 1 số không âm a a1, , ,2 a n+1

a a

++ =

2

4 44

a a

+ ++ =

2

2

44

2

2

44

84

a a

++ ≥4, a∀ ∈¡ Dấu " "= xảy ra khi và chỉ khi a2 +4 = 2

44

a + ⇔ a2+4 = 4⇔ a=0.Vậy

2 2

8

4 4

a a

++ ≥ , a∀ ∈¡

116

x x

Bình luận: Lời giải trên là sự kết nối giữa giả thiết và đpcm Để ý quan sát ta thấy nếu như cứ

nhân 2 số hạng ở biểu thức điều kiện rồi lấy căn thì ta được một số hạng ở biểu thức cần chứng minh Chính điều này là xuất phát điểm của lời giải như trên.

Lời giải

Ta có A = ( ) ( )2

41

+ + −+ .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số: b+1

41

b

++ ≥ 2 ( 1 ) 4

1

b

b

 +  + ÷

b b

a b

a b c

Bình luận: Việc chèn thêm tham số trong việc áp dụng BĐT Cauchy là kĩ năng quan trọng mà các

em cần có trong việc giải toán BĐT Nhưng lưu ý khi chèn thêm tham số các em phải đảm bảo được việc dấu đẳng thức xảy ra.

( )2

Từ ( )1

và ( )2

, hiển nhiên BĐT ( )*

được chứng minh hoàn toàn

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x= =y z Vậy ta có điều phải chứng minh.

a b

Suy ra x y z+ + ≥ x− +1 y− +1 z−1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

32

Tác giả: Nguyễn Lê Hồng Uyên ; Fb: Uyen Hong

a

với qui ước nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0

Dạng 2: BĐT Cauchy – Schwarz dạng phân thức (dạng Engel)

Nếu x1, x2,…, x n là các số thực và y1, y2,…, y n là các số thực dương, thì

( )2 2

.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c= = =1.

14

Vậy bài toán đã được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= =y z.

VT= 9x −12x+29+ 9x +24x+25 ( )2 2 ( )2 2 ( ) (2 )2

+

712

Dạng 6 BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Tác giả: Vũ Văn Cẩn ; Fb:Vũ Văn Cẩn

DẠNG 7: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Tác giả: Võ Quang Thái ; Fb: Thái Võ Tác giả: Trần Tín ; Fb: Trần Tín

a a a

1 0

S =

khi

12

1

3 2 2

2 12

3 2 2 11

x

x x

a x

2 2

a b

2

khi và chỉ khi

9414

x y

y= −

khi và chỉ khi x= −2. maxy=1 khi và chỉ khi x=0.

Vậy minT =0 khi

00

x y