BẤT PHƯƠNG TRÌNH BÀI 3.. DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT Tác giả:Trần Lưu Giang ; Fb:Giang Trần 1... GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU.. + Rút gọn bớt các nhị thức có l
Trang 1KIẾN THỨC CƠ BẢN
I ===I
CÁC DẠNG BÀI TẬP
II ===I
ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG IV
BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BÀI 3 DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT
Tác giả:Trần Lưu Giang ; Fb:Giang Trần
1 ĐỊNH LÝ VỀ DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT :
a) Nhị thức bậc nhất : Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng f x( )=ax+b trong đó a ,
b là hai số cho đã cho, a≠0.
b) Dấu của nhị thức bậc nhất:
Định lí: Nhị thức ( ) f x =ax + có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng b
;
b
a
æ ö÷
ç- +¥ ÷
ç ÷
çè ø, trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng ;
b a
æ ÷ö ç- ¥ - ÷
ç ÷
çè ø.
Hay ta có:
•a f x ( )>0Û ;
b x a
æ ö÷ ç
Î -ççè +¥ ÷÷ø.
• a f x ( )<0Û ;
b x
a
æ ö÷ ç
Î - ¥ -ççè ÷÷ø.
c) Bảng xét dấu nhị thức bậc nhất:
a
( )
f x =ax+b trái dấu với a 0 cùng dấu với a
Khi
b
x
a
nhị thức ( )f x =ax+ có giá trị bằng 0, ta nói số b x= −b a
là nghiệm của nhị thức ( )
f x
DẠNG 1 XÉT DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT
Tác giả: Dương Ngọc; Fb: Dương Ngọc
a Phương pháp
STRON
G TE A M TO ÁN VD -VD C
Trang 2( ) ( 2 ) ( 4 )
x
−
=
+
Ví dụ 2
Xét dấu nhị thức bậc nhất f x( ) =ax b a+ ( ≠0)
Cho f x( ) =ax b+ =0 ⇔ = −x b a.
Bảng xét dấu:
b Một số ví dụ
Lời giải
Cho x− =2 0⇔ =x 2.
4 0
x+ = ⇔ = −x 4. Các nhị thức x−2, x+4 có các nghiệm viết theo thứ tự tăng dần là 4; 2− .
Bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu ta thấy:
( ) 0
f x > khi x∈ −∞ −( ; 4) hoặc x∈(2;+∞). ( ) 0
f x < khi x∈ −( 4;2). ( ) 0
f x = khi x= −4 hoặc x= −4.
Lời giải
( )
f x
không xác định khi
1 4
x= −
STRON
G
TE
A
M
TO
ÁN
VD
-VD
C
Trang 3( ) ( ) ( 2 )
Ta có 2 3− x=0
2 3
x
⇔ =
4x+ =1 0
1 4
x
⇔ = −
Bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu ta thấy:
( ) 0
f x < khi x∈ −∞ − ; 14÷ hoặc x∈23;+∞÷.
( ) 0
f x > khi x∈ − 1 24 3; ÷.
( ) 0
f x = khi x= 23.
( )
f x
không xác định khi
1 4
x= −
Lời giải
( ) ( 2) ( 2 6) ( )
f x =x x− x− −x .
Cho x=0.
2 0
x− = ⇔ =x 2.
6− =x 0 ⇔ =x 6.
Bảng xét dấu:
STRON
G TE A M TO ÁN VD -VD C
Trang 4( ) ( 2 ) 4
Từ bảng xét dấu ta thấy:
( ) 0
f x > khi x∈( )0; 2 hoặc x∈( )2;6 .
( ) 0
f x < khi x∈ −∞( ;0) hoặc x∈(6;+∞). ( ) 0
f x = khi x=0 hoặc x=2 hoặc x=6.
Lời giải
Nếu m− =2 0 ⇔ =m 2 thì f x( ) = − <4 0, với mọi x Nếu m− ≠2 0 ⇔ ≠m 2 thì f x( )
là một nhị thức bậc nhất có nghiệm
4 2
x m
=
− .
Ta có bảng xét dấu nhị thức f x( )
trong hai trường hợp m>2, m<2 như sau:
Bảng xét dấu:
TH 1: m>2
TH 2: m<2
Kết luận:
+ Với m=2 thì f x( ) <0, ∀x.
STRON
G
TE
A
M
TO
ÁN
VD
-VD
C
Trang 5( ) 3 2
x
f x
x
+
−
Ví dụ 5
+ Với m>2
( ) 0
f x < khi x∈ −∞ ;m4−2÷
( ) 0
f x > khi x∈m4−2;+∞÷.
( ) 0
f x = khi x=m4−2.
+ Với m<2
( ) 0
f x > khi x∈ −∞ ;m4−2÷
( ) 0
f x < khi x∈m4−2;+∞÷.
( ) 0
f x = khi x=m4−2.
Lời giải
( )
f x
không xác định khi
2 3
x=
Ta có ( ) 3 2
3 2
x
f x
x
+
= −
−
( )
8 8
3 2
x x
−
=
− .
Cho 8x− =8 0 ⇔ =x 1.
3x− =2 0
2 3
x
⇔ =
Bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu ta thấy :
STRON
G TE A M TO ÁN VD -VD C
Trang 6( x Ví dụ 6 − 1 ) ( 2 − 3 x ) ≥ 0
( ) 0
f x > khi x∈ −∞ ;23÷ hoặc x∈ +∞(1; ). ( ) 0
f x < khi x∈23;1÷
( ) 0
f x = khi x=1.
( )
f x
không xác định khi
2 3
x=
DẠNG 2 GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
Tác giả: Bùi Thị Thủy ; Fb: Thuthuy Bui
a Phương pháp
* Giải bất phương trình tích
• Dạng P x( ) >0 (1) (trong đó P x( ) là tích các nhị thức bậc nhất).
• Cách giải: Lập bảng xét dấu của P x( ) Từ đó suy ra tập nghiệm của (1).
* Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu
• Dạng
( ) 0 ( )
P x
Q x >
(2) (trong đó P x( ), Q x( )
là tích những nhị thức bậc nhất.)
• Cách giải: Lập bảng xét dấu của
( ) ( )
P x
Q x Từ đó suy ra tập nghiệm của (2).
Chú ý:
+) Quy đồng và không được khử mẫu
+) Rút gọn bớt các nhị thức có lũy thừa bậc chẵn (cần lưu ý trong việc rút gọn để tránh làm mất nghiệm)
b Một số ví dụ
Lời giải
Ta có x− = ⇔ =1 0 x 1.
2
2 3 0
3
− = ⇔ =
Bảng xét dấu
STRON
G
TE
A
M
TO
ÁN
VD
-VD
C
Trang 7( x Ví dụ 7 − 2 ) ( x 2 − 5 x + 4 ) < 0
Suy ra bất phương trình có tập nghiệm là
2
;1 3
S
=
Lời giải
Ta có (x−2) (x2− + = −5x 4) (x 2) (x−1) (x−4)
x− = ⇔ =x
x− = ⇔ =x .
x− = ⇔ =x .
Bảng xét dấu
Suy ra bất phương trình có tập nghiệm là S = −∞ ∪( ;1) ( )2; 4 .
Lời giải
Ta có (2x−1) (x3− ≤ ⇔1) 0 (2x−1) (x−1) (x2+ + ≤x 1) 0
(2x 1) (x 1) 0
2
2 1 3
2 4
x + + =x x+ + > ∀x
Ta có x− = ⇔ =1 0 x 1.
1
2 1 0
2
x− = ⇔ =x
Bảng xét dấu
STRON
G TE A M TO ÁN VD -VD C
Trang 8( 2 2 1 ) ( 3 4 1 ) 0
x
x x
Ví dụ 9
( ) 2
4
2 x
+
−
Ví dụ 10
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
1
;1 2
S
=
Lời giải
ĐKXĐ:
1 2 1 3
x
x
≠
≠ −
Ta có 2− + = ⇔ =x 4 0 x 2
1
2 1 0
2
x− = ⇔ =x
1
3 1 0
3
x+ = ⇔ = −x
Bảng xét dấu
Kết hợp với điều kiện xác định suy ra tập nghiệm của bất phương trình là
1 1
; [2; )
3 2
Lời giải
ĐKXĐ:
2 4
x x
≠
≠ −
0
4 4
2
2 2
5 5
x x
−
−
Ta có x=0;x− = ⇔ =5 0 x 5
x+ = ⇔ = −x
x− = ⇔ =x
Bảng xét dấu
STRON
G
TE
A
M
TO
ÁN
VD
-VD
C
Trang 9+ 1 + − 4 > 6
Kết hợp với điều kiện xác định suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = −( 4;0] [5;∪ +∞).
3) DẠNG 3: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.
Tác giả: Lê Thị Thanh Hoa; Fb: Lê Thị Thanh Hoa
a Phương pháp giải:
Theo định nghĩa
( ) A x( ) ( ) neáneáu Au A( ) ( )x 00
A x
=
Để giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta phải khử dấu giá trị tuyệt đối bằng
các phương pháp sau:
* Phương pháp chia khoảng: Ta xét bất phương trình trong nhiều khoảng (nửa khoảng, đoạn) khác
nhau, trên đó các biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối đều có dấu xác định Từ đó, ta có thể bỏ
dấu giá trị tuyệt đối
* Phương pháp bình phương hai vế:
( ) ( ) 2( ) 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
A x B x A x B x A x B x A x B x
( ) ( ) 2( ) ( ) 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
0
B x
B x
A x B x
A x B x A x B x A x B x
• < ⇔ < ⇔ − + <
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
0 0
0 0
0
B x
B x
B x
> − + >
b Ví dụ:
Lời giải
Ta dùng phương pháp chia khoảng:
* Nếu x< −1 thì bất phương trình là :
3
1 4 6
2
− − − + > ⇔ < −
Kết hợp điều kiện ta được
3 2
x< −
STRON
G TE A M TO ÁN VD -VD C
Trang 10−
2
3
1 4
x x
Ví dụ 12
+ < −
* Nếu 1− ≤ <x 4 khi đó bất phương trình trở thành :x+ − + > ⇔ >1 x 4 6 5 6 (Vô lí).
Suy ra bất phương trình vô nghiệm
* Nếu x≥4 khi đó bất phương trình trở thành :x+ + − > ⇔ >1 x 4 6 x 92
Kết hợp điều kiện ta được
9 2
x>
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
= −∞ − ÷ ∪ +∞÷
S
Lời giải
Điều kiện: x≠ ±2.
−
2 2
4
(3x x2 4 3)( x x2 4) 0
⇔ − + + − ≤ ⇔(x+1) (− +x 4) (x−1) (x+ ≤4) 0 (*)
Lập bảng xét dấu vế trái ta được:
( )* ⇔ ∈ −∞ − ∪ −x ( ; 4] [ 1;1] [∪ +∞4; )
(Thỏa mãn ĐK) Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S= −∞ − ∪ −( ; 4] [ 1;1] [∪ +∞4; )
Lời giải
Bất phương trình ( ) (2 )2 ( ) ( )
1
4
1 4
2 1
3 2
x
x x
x
>
⇔ < − ⇔ >
>
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S=( 2;+ ∞)
STRON
G
TE
A
M
TO
ÁN
VD
-VD
C
Trang 112 2 2 3
Lời giải
Bất phương trình
( ) (2 )2
5 7 0
5 7 0
3 5 7
x x
− <
− ≥
⇔
− > −
5 7 5 7
x
x
>
5
7
5
7
1
1
3
x
x
x
>
⇔ ≤
< <
5
1 7
3
1 5
3 7
x
x x
>
⇔ ⇔ >
< ≤
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
1
; 3
S= + ∞
Lời giải
Bất phương trình ⇔(x2−2x a+ )2 ≤(x2−3x a− )2
2 2 2 2
⇔ x − x a+ − x − −x a ≤ ⇔x x(2 −5)(x+2 ) 0a ≤
( )
( )
( )
5 0
( ) 2
2 5 0
2
2 0
5
2 5 0
2
2
≤ ≤
− ≤ ≥ −
+ ≤ ≤
≤ −
x
I
x
II
• Trường hợp 1: − ≤ ⇔ ≥2a 0 a 0 Khi đó:
( )
( )
5 0
2 2
⇔ ≤ ≤
⇔ ≤ −
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: ( ; 2 0;5
2
STRON
G TE A M TO ÁN VD -VD C
Trang 12• Trường hợp 2:
5 5
2 4
< − ≤ ⇔ − ≤ <a a
Khi đó:
( ) ( )
5 2
2 0
⇔ − ≤ ≤
⇔ ≤
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: ( ;0 2 ;5
2
S= −∞ ∪ − a
• Trường hợp 3:
5 5 2
2 4
− > ⇔ < −a a
Khi đó:
( )I
vô nghiệm
( ) 5 0
2 2
≤
⇔
≤ ≤ −
x II
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: ( ;0 5; 2
2
S= −∞ ∪ − a
DẠNG 4 DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT TRÊN MỘT TẬP
Tác giả: Phan Văn Thuân; Fb: Hồng Thuân
a Phương pháp
Dấu của f x( ) =ax b+ trên một tập
Nhận thấy đồ thị của hàm số f x( ) =ax b+ là một đường thẳng , nên ta suy ra :
a f x( ) ≥0, ∀x ∈¡ ⇔
0 0
a b
=
≥
f x( ) ≤0, ∀x∈¡ ⇔
0 0
a b
=
≤
b f x( ) ≥0, ∀ ≥x α ⇔ ( )
0 0
a
f α
≥
f x( ) ≤0, ∀ ≥x α ⇔ ( )
0 0
a
f α
≤
c f x( ) ≥0, ∀ ≤x α ⇔ ( )
0 0
a
f α
≤
f x( ) ≤0, ∀ ≤x α ⇔ ( )
0 0
a
f α
≥
d f x( ) ≥0, ∀ ∈x [α β; ] ⇔
( ) ( )
0 0
f f
α β
≥
f x( ) ≤0, ∀ ∈x [α β; ] ⇔
( ) ( )
0 0
f f
α β
≤
e Phương trình f x( ) =0 có nghiệm trên [α β; ] khi và chỉ khi f ( ) ( )α f β ≤0 Lưu ý : Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình ax b+ ≥0 Bất phương trình có nghiệm với mọi
x I∈ khi và chỉ khi I ⊂S
b Một số ví dụ
STRON
G
TE
A
M
TO
ÁN
VD
-VD
C
Trang 13( m 2 − 4 m + 3 ) x m m + − 2 ≤ 0
Ví dụ 16
[ 0 ;1 ]
x
Lời giải
Đặt f x( ) =(m2−4m+3)x m m+ − 2
( ) 0
f x ≤ , ∀ ∈x ¡ ⇔
2 2
0
m m
3 1
m m
=
=
Vậy m∈{ }3;1 là giá trị cần tìm.
Lời giải
Đặt f x( ) =m x m( − )+ + +x m 6 =x m( + −1) m2+ +m 6
a f x( ) ≥0, ∀ ≥x 0 ⇔ ( )
1 0
0 0
m f
+ ≥
1
6 0
m
≥ −
⇔ − ≤ ≤1 m 3
Vậy với m∈ −[ 1;3] thì bpt nghiệm đúng với ∀ ≥x 0
b f x( ) ≥0, ∀ ∈x [ ]0;1 ⇔
( ) ( )
0 0
1 0
f f
≥
2 2
6 0
− + + ≥
⇔
m
m
− ≤ ≤
Vậy với m∈ −1 8 ;3
thì bpt nghiệm đúng với ∀ ∈x [ ]0;1
Lời giải
STRON
G TE A M TO ÁN VD -VD C
Trang 14( 0 ; )
Cách 1
Bất phương trình tương đương với ( 2 )
4m +7m−2 x≥4m−1
(m 2 4) ( m 1)x 4m 1
* Nếu (m+2 4) ( m− =1) 0 ⇔
2 1 4
m m
= −
=
thì bất phương trình vô nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi
x do đó không thoả mãn yêu cầu bài toán
Nếu
1 4
m>
⇒ (m+2 4) ( m− >1) 0 bất phương trình tương đương với x≥m1+2
Do đó để bất phương trình có tập nghiệm là [− + ∞1; ) thì m1+2 = −1 ⇔ m= −3 (không thoả mãn )
Nếu
1 2
4
m
− < <
⇒(m+2 4) ( m− <1) 0 bất phương trình tương đương với x≤m1+2 suy ra
1 2
4
m
− < <
không thoả mãn yêu cầu bài toán
Nếu m< −2 ⇒(m+2 4) ( m− >1) 0 bất phương trình tương đương với x≥m1+2
Do đó để bất phương trình có tập nghiệm là [− + ∞1; ) thì m1+2 = −1 ⇔ m= −3 ( thoả mãn )
Vậy m= −3 là giá trị cần tìm
Cách 2
Bất phương trình tương đương với (4m2+7m−2)x≥4m−1
(m 2 4) ( m 1)x 4m 1
* Nếu (m+2 4) ( m− =1) 0 ⇔
2 1 4
m m
= −
=
thì bất phương trình vô nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi
x do đó không thoả mãn yêu cầu bài toán
* Nếu (m+2 4) ( m− ≠1) 0 Để bất phương trình có tập nghiệm [− + ∞1; ) khi và chỉ khi
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 4 1 0 2 4 1 0
2 4 1 2
m
+ − > + − >
= −
( 2 4) ( 1) 0
3 3
m m
= −
Vậy m= −3 là giá trị cần tìm.
STRON
G
TE
A
M
TO
ÁN
VD
-VD
C
Trang 15[ 1; 2 ]
Lời giải
Đặt 2 1
x
t
x
=
+ bất phương trình trở thành mt−2m− <3 0.
Nếu x>0 ta có 2 2
1
+ khi đó 0< ≤t 12.
Khi đó bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọix∈(0;+ ∞) khi và chỉ khi bất phương trình
2 3 0
mt− m− < đúng với mọi
1 0;
2
t
∈ ⇔
1
2
m
3 2 2
m m
≥ −
> −
3 2
m≥ −
Vậy với
3 2
m≥ −
thì bpt nghiệm đúng với mọi x∈(0;+ ∞)
Lời giải
Xét bất phương trình
0 2
x m
x m
− − <
− + ( * ).
Ta có x−2m− = ⇔ =3 0 x1 2m+3
x m− + = ⇔2 0 x2 = −m 2
Ta có x1<x2 ⇔2m+ < −3 m 2 ⇔ m< −5
.Nếu m< −5 thì ( * ) ⇔ < <x1 x x2
Do đó điều kiện của bài toán được thoả mãn khi [ ]1; 2 ⊂(x x1; 2) ⇔ 2m+ < < < −3 1 2 m 2
⇔
+ < < −
− > >
Vậy không có giá trị nào thoả mãn
.Nếu m= −5 thì ( * ) ⇔
7 0 7
x
x+ <
+ vô nghiệm
Vậy m= −5 không thoả mãn
.Nếu m> −5 lúc này x1 >x2 nên bất phương trình có tập nghiệm (x x2; 1)
Vậy bất phương trình thoả mãn với mọi x∈[ ]1; 2 ⇔ [ ]1;2 ⊂(x x2; 1)
⇔ m− < < <2 1 2 2m+3
⇔
2 1
m m
− <
+ >
STRON
G TE A M TO ÁN VD -VD C
Trang 161
3
2 m
− < <
( Thoả mãn m> −5 )
Vậy với
1
;3 2
m∈ −
thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x∈[ ]1; 2
STRON
G
TE
A
M
TO
ÁN
VD
-VD
C