DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁNDiendangiaovientoan.vn Tiết 52- GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ MÔN TOÁN: GIẢI TÍCH LỚP 11 Chương IV: GIỚI HẠN A.. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm 1.
Trang 1DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN
Diendangiaovientoan.vn
Tiết 52- GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ MÔN TOÁN: GIẢI TÍCH LỚP 11 Chương IV: GIỚI HẠN
A LÝ THUYẾT
I Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
1 Định nghĩa
Cho khoảng chứa điểm x0 và hàm số y= f x( ) xác định trên K\{ }x0 Ta nói hàm số y= f x( ) có
giới hạn là số L khi x tiến đến x0 nếu với mọi dãy số ( )x n
bất kì, x n∈K\{ }x0 và x0→x0, ta có
( )n
f x =L.
Kí hiệu: ( )
0
lim
x x f x L
hay f x( ) →L khi x→x0.
Nhận xét: 0
0
lim
x x x x
; 0
lim
x x c c
(c: hằng số).
2 Định lí
a) Giả sử 0
lim ( )
x x f x L
và 0
lim ( )
x x g x M
Khi đó:
0
lim ( ) ( )
;
0
lim ( ) ( )
;
0
lim ( ) ( )
;
0
( )
lim
( )
x x
(nếu M ≠ 0)
b) Nếu f(x) ≥ 0 và 0
lim ( )
x x f x L
thì L ≥ 0 và 0
lim ( )
c) Nếu 0
lim ( )
x x f x L
thì 0
lim ( )
x x f x L
1
x
→−
Lời giải
1
Ví dụ 2 Tính
3 2 2
8 lim
4
x
x x
→
−
− .
Lời giải
2
( 2)( 2) 4
−
x
2 2
2 4 12
→
+
x
x
3 Giới hạn một bên
3.1 Định nghĩa
Cho hàm số f x( )
xác định trên ( x b0; )
Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số f x( )
khi 0
x→x nếu với mọi dãy số ( )x n
bất kì, x0<x n<b và x n→x0, ta có f x( )n →L.
Trang 2Kí hiệu: 0
lim ( )
x x f x L
+
Cho hàm số f x( )
xác định trên (a x; 0)
Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số f x( )
khi 0
x→x nếu với mọi dãy số ( )x n
bất kì, a<x n<x0 và x n →x0, ta có f x( )n →L.
Kí hiệu: 0
lim ( )
x x f x L
−
3.2 Định lí
0
lim ( )
x x f x L
lim ( ) lim ( )
x x f x x x f x L
Ví dụ 1 Tính ( )
1
lim
x f x
→ với ( ) 3, 2 1
f x
Cách 1 : Tự luận
Ta có
( )
2
1
x
Cách 2: Sử dụng máy tính
Bấm máy tính như sau x−3 + CACL + x= −1 10−10 ta được đáp án bằng −2
Bấm máy tính như sau 1− 7x2+2 + CACL + x= −1 10−10 ta được đáp án bằng −2
1
x
B BÀI TẬP CỦNG CỐ
Hướng dẫn giải Dạng 1: Câu hỏi lí thuyết
Câu 1
Giả sử ( )
0
lim
x x f x L
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai:
0
lim
0
3 3
lim
0
lim
0
lim
0
lim
nếu L>0.
Chọn đáp án C.
Dạng 2: f x ( )
xác định tại x0
Câu 2 Tính 6
2 tan 1 lim
sin 1
x
x B
x
π
→
+
=
+
:
A +∞ B −∞. C
4 3 6
9
+
D 1.
Cách 1: Tự luận
6
2 tan 1 lim
sin 1
2 tan 6 1 4 3 6
9 sin 1
6
x
x B
x
B
π
π π
→
+
=
+
+
Cách 2: Sử dụng máy tính
Trang 3Bấm máy tính như sau: Chuyển qua chế độ
Radian
2 tan 1 sin 1
x x
+ + + CACL + x 6 10 9
= +
và so đáp án
Chọn đáp án C.
Câu 3 Cho 2
3 lim
2
x
x m C
x
→
+
=
+ Để C = 5, giá trị của m là bao nhiêu?
A 3 B 14 C 3 D
10 3
Cách 1: Tự luận
2
x
C
x
→
+
6
4
m
Cách 2: Sử dụng máy tính
Bấm máy tính như sau
3 2
x M x
+ + + CACL + x= +2 10−9
và m = ( đáp án: A, B, C, D )
đáp án cho kết quả = 5 ta chọn
Chọn đáp án B.
Dạng 3: Phân thức hữu tỷ
0 0
Câu 4 Tính
2 3 1
lim
x
A
x
→−
=
A −∞ B 0 C
1
2 D +∞.
Cách 1: Tự luận
2 3 1
lim
x
A
x
→−
=
+
2 2 1
1 lim
x
x
→−
+
=
1
1
x
x
x x
→−
+
− +
Cách 2: Sử dụng máy tính
Bấm máy tính như sau:
2 3
x
+ + CACL + x= − +1 10−9 và so đáp án
Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus:
2 3
9
lim
và so đáp án
Chọn đáp án B.
Dạng 4:
0
0 chứa căn
Câu 5 Tính 2 2
lim
4
x
x A
x
→
+ −
=
1
6 C 2 D -2.
Cách 1: Tự luận
Trang 42 2
2 2
2 2
2 2
2
lim
4 ( 4 1 3)( 4 1 3) lim
( 4)( 4 1 3)
lim ( 4)( 4 1 3)
lim ( 4)( 4 1 3)
lim
6 ( 2)( 4 1 3)
x x
x x
x
x A
x
x
x
→
→
→
→
→
+ −
=
−
=
+ −
=
−
=
Cách 2: Sử sụng máy tính
Bấm máy tính như sau 2
4
x x
+ −
CACL + x= +2 10−10 và so đáp án
Chọn đáp án B.
Dạng 5: Giới hạn một bên
Câu 6 Tính 3
3 lim
5 15
x
x A
x
−
→
−
=
−
A
1
5 B
1 5
−
C 0 D −∞
Cách 1 : Tự luận
A
Cách 2: Sử dụng máy tính
Bấm máy tính như sau
3
5 15
x x
−
− + CACL +
10
3 10
x= − − và so đáp án.
Chọn đáp án B.
BÀI TẬP VỀ NHÀ
-Bài 3 (sgk trang 132) Tính các giới hạn sau:
a)
2 3
1 lim
1
x
x x
→−
−
2 2
4 lim
2
x
x x
→−
−
3 3 lim
6
x
x x
→
+ −
−
Lời giải
a) lim3 2 1 lim3( 1) 4
1
x
x x
b) lim24 2 lim 22( ) 4
2
x
x x
-Bài tập bổ sung:
Câu 1 Tính ( 2 )
1
A 5 B 9 C 0 D 7
Lời giải
Trang 5Ta có ( 2 ) ( ( ) ( )2 )
Câu 2. Tính
2 2 1
lim
1
x
I
x
→
=
A
1
2
−
B
3 2
−
C
1 4
−
D
1 3
−
Lời giải
Ta có
I
Câu 3. Tìm các giá trị thực của tham số a để hàm số
( )
33 2 2
2 1
4
x
x x
f x
>
=
( )
2
lim
x f x
Lời giải
3 2 2
2
x
f x
x
+ −
=
lim
4
( )
Hàm số có giới hạn tại x=2 ( ) ( )
4 4