Giải Tích 1 - Chương 1 - Giới Hạn Hàm Số

Giải Tích 1 - Chương 1 - Giới Hạn Hàm Số - ĐH BK thành phố Hồ Chí Minh

Trường Đại học Bách khoa tp Hô Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng

1 Hàm số

Định nghĩa (hàm hợp)

Cho hai hàm sg:X —Y; ƒ:Y >Z

Khi đó tôn tại hàm hợp ƒog:X OZ

Vi du

Cho f(x) =x: e(x)=V2-—x Tim cdc ham sau va mién

xác định của nó: a) fog; b)gosƒ; c)ƒsƒ; d)gog

Dinh nghia (ham 1 — 1)

Ham y = f(x) la ham 1 — 1 khi va chi khi không tôn tại

đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị nhiều hơn một điểm

Định nghĩa (hàm ngược)

Cho y = x) là hàm 1 — 1 với miền xác định D và miền

giá trị E Hàm ngược của y = f(x) là hàm từ E vào D,

ký hiệu x= f ”(y), xác định bởi x= ƒ"Í(y)© y= ƒŒœ)

Chu y:

Vi a= f '(b) @ b= f(a), nén (a,b) thudc dé thi y = f(x)

khi và chỉ khi (b,a) thuộc do thi cua f7!

Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)

Xét hàm lượng giác y = sin x

Định nghĩa (nhàm lượng giác ngược)

Xét hàm lượng giác y = £os x

Định nghĩa (nhàm lượng giác ngược)

Xét hàm lượng giác y = fanx

Định nghĩa (nhàm lượng giác ngược)

Xét hàm lượng giác y = cof x

Trên khoảng (0,Z), y= coi x là hàm 1 - 1

Binh nghia (ham Hyperbolic)

Có các công thức sau (tương tự công thức lượng giác)

Ù) cosh“(ø)— sinh“ (ø) = l

2) sinh(2a) =2sinh(a)cosh(a); cosh(2a) = cosh? (a) + sinh? (a)

3) cosh(a +b) = cosh(a) cosh(b) + sinh(a) sinh(b)

4) cosh(a—b) = cosh(a)cosh(b) — sinh(a) sinh(b)

5) sinh(a +b) = sinh(a)cosh(b) + sinh(b) cosh(a)

6) sinh(a —b) = sinh(a)cosh(b) — sinh(b) cosh(b)

20

và các công thức lượng giác hyperbolic khác

Đề thu được công thức lượng giác hyperbolic từ công

thức lượng giác quen thuộc ta thay cos bởi cosh và thay

sin bởi /sinh

Hàm cho bởi phương trình tham sô

Cho hai ham x = x(t), y = y(t) xac dinh trong mot lan can

V nào đó của điễm ¡ạ

Giả sử tôn tại hàm ngược của một trong hai hàm trên,

gia sw cua x = x(t) lat = t(x)

Khi đó tôn tại hàm y = y(t(x)) và hàm này được gọi là hàm

cho bởi phương trình tham số: x = x(†) và y = y(t)

22

Đây chính là phương trình của ellipse

Vi du

Phương trình tham số của đường = {x=Rcost

tron tam O ban kinh R: y= Rsint

Phương trình tham số của đường {*¢ = Rcosí

tròn tâm (a,b) bán kính H: y—b=Rsiní

2 Giới hạn của hàm số Định nghĩa

Cho D là tập số thực Điểm xạ được gọi là điểm tụ của

tập D nêu trong mọi khoảng (x; - £,x¿ + £) đêu chứa vô

2 Giới hạn của hàm số Định nghĩa

2 Giới hạn của hàm số Định nghĩa

2 Giới hạn của hàm số

x0

Định nghĩa (giới han trai)

Sô a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tai diém xạ, nêu

We>0 1ổ>0 Vvxe Dz,0<xo—x<ð =| f(x)-al< C

Định lý

Ham so y = x) có giới hạn tại xạ khi và chỉ khi nó có giới

hạn trái và giới hạn phải tại xạ và chúng bằng nhau

Chu y

Giới hạn một phía thường được dùng trong các trường

hợp hàm chứa căn bậc chăn, chứa trị tuyệt đôi, hoặc

Vậy không tôn tại giới hạn

Khi đó f(x) là VCB bậc cao hon g(x) khi x > 0

Vị lim 9) =lim x +sin°x ”

=0

Chú ý: Đây là các vô cùng bé khi X > O

Các vô cùng bé trên suy ra trực tiếp từ định nghĩa và

Ind+xtanx) ~ xtanx ~ x x +sinex O x

52

Cac truéng hop thay VCB DUNG VA SAI

Định nghĩa

Cho f{x) là vô cùng bé khi x — xạ

Số p được gọi là bậc của VOB f(x) khi x > x), nêu