Chuyªn ®Ò : Giíi h¹n I) Giíi h¹n d·y sè Bµi 1. T×m c¸c giíi h¹n sau 1) 2 1 lim 3 n n + + 2) 2 2 2 lim 2 4 n n n n + + + 3) 2 2 lim( 2)n n n+ − + 4) 2 2 7 lim 5 2 n n n + + 5) 2 1 lim 2 n n + + 6) 2 2 3 1 lim 4 n n + + 7) 3 3 6 3 1 lim 7 2 n n n n + − + 8) 2 3 2 4 lim 7 2 9 n n n n + − − + 9) 2 2 2 lim 4 2 n n + − 10) 3 3 8 1 lim 2 5 n n + − 11) ( ) 2 lim 2 3n n n+ − − 12) ( ) lim 1n n+ − 13) 2 2 3 1 1 lim n n n + − − 14) ( ) 2 2 lim 1 2n n+ − − 15) 2 2 3 1 1 lim n n n + − − 16) ( ) 3 2 3 lim 2n n n− − 17) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 3 lim 1 2 n n n n n + + + + 18) 2 2 1 lim 2 4n n+ − + 19) ( ) 3 2 3 lim n n n n   + −     20) 2 lim( 2 1)n n n+ − − 21) 3 2 3 lim 5 1 n n n − + 22) 3 2 1 lim ( 1)(2 3)(3 4) n n n n + + + + 23) 2 6 3 4 2 1 lim 1 n n n n + − + − 24) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 3 lim 1 2 n n n n n + + + + Bµi 2: T×m c¸c giíi h¹n sau 1) 2 2 1 lim 1 . n n a a a b b b + + + + + + + + (v i ớ 1, 1a b< < ) 1) 1 lim 3 4 n + 2) 2 3 4 lim 2 5 n n n n + + + 2) 2 1 2 3 . lim 3 2 n n n n + + + + + − 3) 1 2 3 4 (2 1) 2 lim 2 1 n n n − + − + + − − + 4) 2 2 2 3 3 3 1 3 (2 1) lim n n n n   − + + +  ÷   5) 2 2 2 2 1 1 1 1 lim 1 1 1 . 1 2 3 4 n       − − − −  ÷ ÷ ÷  ÷       6) 2 2 2 1 1 1 lim . 1 2n n n n   + + +  ÷ + + +   3) 1 1 5 3 lim 5 1 n n n + + − + 4) 1 2 3 lim 2 5.3 n n n n + + + 5) 3 7 lim 3 7 n n n n − + 6) 1 1 ( 2) 3 lim ( 2) 3 n n n n+ + − + − + 7) 2 3 4 lim 2 5 n n n n + + + Bµi 3: TÝnh tæng 1) 1 + 0,3 + (0,3) 2 + . . . . . +(0,3) n + . . . . 2) x 2 – x 3 + x 4 – x 5 + . . . . + (-1) n .x n + . . . . . (víi x <1 v nà ≥ 2, n∈N) ¸p dông gi¶i ph¬ng tr×nh : 2x+1 + x 2 – x 3 + x 4 – x 5 + . . . . + (-1) n .x n + . . . . . = 13 6 ( x <1) 3) .) 2 1 ( .) 8 1 ( 4 1 ) 2 1 (1 1 +−++−++−+ − n II) Giíi h¹n hµm sè Bµi 1: TÝnh c¸c giíi h¹n 1. 1 5² lim 1 + + → x x x 2. 3 1² lim 3 − + → x x x 3. 3 65² lim 3 − +− → x xx x 4. 34² 1 lim 1 −−− + −→ xx x x 5. 1² 13²2 lim 1 − ++ −→ x xx x 6. 54² 23² lim 1 −+ +− → xx xx x 7. 2 16 lim 4 2 − − → x x x 8. 1 1 lim 5 7 1 − − → x x x 9. )²2( 23² lim 2 − +− → x xx x 10. 4² 8³ lim 2 − − → x x x 1. x xxx x 1²1 lim 0 ++−+ → 2. 2 321 lim 4 − −+ → x x x 3. 314 2 lim 2 −+ +− → x xx x 4. x x x −− → 11 lim 0 5. 23² 1 lim 1 −+ − → x x x 6. x x x 3 11 lim 3 0 −− → 7. 23² 1 lim 3 1 −+ + −→ x x x 8. 1 21 lim 3 1 − −+ → x x x 11. 12² 1³ lim 1 +− − → xx x x 12. xx xx x 2² 42³ lim 2 + +− −→ 13. 4 4 lim x a x a x a → − − 14. 2 7 3 3 lim 2 x x x x → − − + 15. 2 3 2 1 2 3 1 lim 1 x x x x x x → − + − − + 16. 3 0 1 1 lim 3 x x x → − − 17. 3 2 1 1 lim 3 2 x x x →− + + − 18. ( ) 2 2 2 3 2 lim 2 x x x x → − + − 19. 2 7 3 3 lim 2 x x x x → − − + 20. ( ) 6 5 2 1 4 5 lim 1 x x x x x → − + − 21. 1 lim x→− 2 2 2x x x x + + − 22. 2 lim >− x 23 8 2 3 +− − xx x 23. 3 2 4 2 2 132 lim +− ++ −→ xx xx x 9. 2 3 2 15 lim 3 x x x x → + − − 10. 2 2 1 2 3 1 lim 1 x x x x →− + + − 11. 3 2 1 1 lim 1 x x x x x → − + − − 12. 2 0 1 1 lim x x x x x → + − + + 13. 2 2 lim 4 1 3 x x x x → − + + − 14. 3 0 1 1 lim 3 x x x → − − 15/ 3 2 1 1 lim 3 2 x x x →− + + − 16. ( ) 2 2 2 3 2 lim 2 x x x x → − + − 17. 3 2 2 8 11 7 lim 3 2 x x x x x → + − + − + 18 ( ) 2 lim 4 x x x x →∞ − − 19. ( ) ( ) 2 sin 2 2 cos lim 1 x x x x x →∞ + + + 20. 2 7 3 3 lim 2 x x x x → − − + 21. 1 lim >− x 13 )2)(13( 3 2 − ++ x xx Bµi 2 : TÝnh c¸c giíi h¹n 1. 2 2 3 5 1 lim 2 x x x x →∞ − + − 2. ( ) ( ) ( ) 2 2 4 1 . 7 2 lim 2 1 x x x x →∞ − + + 1) ( ) 2 lim 3 1 x x x x →+∞ − − + 2) 12 5 lim 2 − +− −∞→ x xx x 3) x xx x 25 1 lim 2 + −+ ∞−→ 3. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 5 3 lim 2 1 1 x x x x x →∞ + + − + 4. 2² 15²3 lim − +− ∞→ x xx x 5. )5)(2( 1² lim −+ − ∞→ xx x x 6. 2² 1³ lim − ++− ∞→ x xx x 7. )1).(1³2( )35).(1²3( lim +− ++ ∞→ xx xx x 8. 35²2 17²3 lim +− +− ∞→ xx xx x 9. 3²5 ²22²3 lim 4 + +−+ ∞→ x xxx x 10. 72 1² lim 3 5 + −+ ∞→ x xx x 11. xx xx x −+ ++ +∞→ 1²4 32² lim 12. xx xx x −+ ++ −∞→ 1²4 32² lim 13 )234²4(lim xxx x −+− +∞→ 14. )234²4(lim xxx x −+− −∞→ 15. ( ) 2 lim 4 x x x x →∞ − − 16. 3 2 1 lim 2 3 x x x x →−∞ + − + 4) ( ) ( ) 2 3 2 1 1 lim 1 x x x x →+∞ + + + 5) −∞>− x lim ( )1 2 xx ++ 6) 6 2 3 lim 2 1 x x x x →−∞ − + 7) ( ) lim 1 x x x →+∞ + − 8) 2 lim 3 5 x x x →−∞ − 9) )10(lim xx x −− ∞+→ 10) 11. 1² 4²1² lim +− −++ ∞→ xx xxx x 12. )3²(lim xxx x ++− −∞→ 13. )4²(lim xxx x −− +∞→ 14. 1 ² lim + − −∞→ x xx x 15. 1 ² lim + − +∞→ x xx x 16. )4²).(3(lim xxx x −++ +∞→ 17. [ ] xxx x 27²4lim ++ −∞→ Bµi 3: TÝnh c¸c giíi h¹n sau: 1) + >− 0 lim x xx xx − + 2) 2 2 lim 2 − + + → x x x 3) 2 228 lim )2( + −+ + −→ x x x 4) ( ) ( ) 2 2 3 2 5 3 lim 3 x x x x − → − + − − 5) ( ) 2 2 lim 2 4 x x x x + → − − III. Hµm sè liªn tôc Bµi 1 XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè t¹i c¸c ®iÓm ®· chØ ra a) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 x 2 2 1 x 2 x f x x  − − ≠  = −   =  t¹i x 0 = 2 b) ( ) ( ) ( ) 3 2 -x +2x-2 x 1 1 4 x 1 x f x x  ≠  = −   =  t¹i x 0 = 1. c) f(x) = . 1 1 1 1 2      =+ ≠ − − xkhiax xkhi x x t¹i x=1 d) f(x) = . 2xkhim 2xkhi 2x 2xx 2      −= −≠ + −+ t¹i x=2 e)f(x)=      ≤+ > − −− 132 1 1 12²3 xkhix xkhi x xx t¹ix=1 .f)f(. f(x) =      ≠ − −+− = 1 1 22²³ 14 xkhi x xxx xkhi k) f(x)=      ≠ +− − = 2 23² )2(2 22 xkhi xx x xkhi t¹ix=2 m).f(x)=      > − ≤+ 1 3² 1 11 xkhi xx xkhix t¹ix=1 n).        ≠ − −− = = 2 2 321 21 )( xkhi x x xkhi xf t¹ix=2 p) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x -x-6 x 3 0 3 x 0 x=3 x x x f x a b  − ≠  −   = =      t¹i x 0 = 0 v t¹i xà 0 = 3. Bµi 2: XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè f(x) =      > − −− ≤− 3 62 32 31 2 xkhi x xx xkhix trªn R f(x)(=      ≥+ < − +− 12 1; 1 34 2 xax x x xx liªn tôc trªn R khi a=? Bµi 3 :xÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè trªn R : 1. f(x) =      = ≠ − +− 2 2 2 65² xkhia xkhi x xx 2. f(x) =      ≥+ < − +− 32 3 3 127² xkhibx xkhi x xx 3.f(x) = > + + 2 2 223 2 4 1 3 xkhi x x xkhiax 4. ( ) ( ) ( ) 3 3 2 x>2 2 1 x 2 4 x x f x ax + = + Bài 4. C/m phơng trình có nghiệm 1) C/m : x 3x +1 = 0 có 3 nghiệm phân biệtt bi t 2.C/m : 2x 4 + 4x + x 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc ( -1 ; 1 ) 3.C/m : x 17 = x 11 + 1 có nghiệm 4.C/m: x 5 3x = 1 có ít nhất một nghiệm thuộc ( 1 ; 2 ) 5.C/m phơng trình : m( x 1) .( x + 2 ) + 2x + 3 = 0luôn có nghiệm 6.C/m : a( x b )( x c ) + b.( x a )( x c ) + c.( x a)( x b ) = 0 luôn có nghiệm 7. C/m x 4 -3x 2 + 5x 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2). 8. C/m (m 2 + 1)x 4 x 3 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc ( 1; 2 ). 9. C/m x 3 + mx 2 - 1 = 0 luôn có một nghiệm dơng. 10. Cho m > 0 và a, b, c là 3 số thực thoả mãn: 0 12 =+ + + + m c m b m a CMR phơng trình sau luôn có nghiệm: ax 2 + bx + c = 0. 11) C/m phơng trình có nghiệm với mọi m cosx + mcos2x = 0. 12.C/m 3x 2 +2x-2=0 có ít nhất một nghiệm 13. x 4 -x-3=0 có một nghiệm thuộc(1;2). 14. x 3 -6x+1=0 có 3 nghiệm thuộc [-2;2]. GVBM: Đặng Thị Thuỷ