gioi han ham so 1

Cũng lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là fxn.. a Chứng minh rằng fxn = 2xn= b Tìm giới hạn của dãy số fxn... Ta thừa nhận định lí sau đây.Định lí 1 a Giả sử và... Cho hàm số TìmGiải...

Bài 2: GI I H N C A HÀM S Ớ Ạ Ủ Ố

I - GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ

TẠI MỘT ĐIỂM 1.Định nghĩa

Hoạt động 1:

Xét hàm số

2

2 2 ( )

1

x x

f x

x

−

=

−

1 Cho bi n x nh ng giá tr ế ữ ị

khác 1 l p thành dãy s (x ậ ố n),

xn→ 1 nh trong b ng sau: ư ả

x x1=2 x2= x3= x4= … xn= … → 1

f(x) f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) … f(xn) … →?

3 2

4 3

5 4

1

n n

+

Khi đó, các giá trị tương ứng của hàm số

f(x1), f(x2), …, f(xn),….

Cũng lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là (f(xn)).

a) Chứng minh rằng f(xn) = 2xn=

b) Tìm giới hạn của dãy số (f(xn)).

2n 2

n

+

2 Chứng minh rằng với dãy số bất kì (xn),

xn≠1 và xn→ 1, ta luôn có f(xn) → 2.

(Với tính chất thể hiện trong câu 2, ta nói hàm

số có giới hạn là 2 khi x dần tới 1)

2

( )

1

x x

f x

x

−

=

−

Dưới đây, thay cho các khoảng (a;b), (a; ),

( ;b), ta viết chung là khoảng K.

ĐỊNH NGHĨA 1

Cho khoảng K chứa điểm x o và hàm số f= f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x o }.

Ta nói hàm số y =f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x o nếu với dãy số (x n ) bất kì, x n K\{x o } và viết

x n → x 0 , ta có f(x n ) → L.

Kí hiệu: lim hay f(x) → L khi x → x0

+∞

−∞

Ví dụ 1 Cho hàm số f(x) =

Chứng minh rằng

Giải. Hàm số đã cho xác định trên R\{-2}.

Giả sử (xn) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn -2 và xn → -2 khi

n →

Ta có:

Do đó

(Lưu ý rằng, mặc dầu f(x) không xác định tại x= -2, nhưng hàm số lại

có giới hạn là -4 khi x → -2).

NHẬN XÉT v ới c là hằng số.

2

x x

− +

( )( ) ( )

lim ( ) lim lim lim 2 4

n

x

+ −

−

2

( ) 4

lim

x

f x

→−

= −

0 0

; 0

x x

x x

c c

x x

→

→

=

=

2

( ) 4

lim

x

f x

→−

= −

Ta thừa nhận định lí sau đây.

Định lí 1

a) Giả sử và Khi đó

b)Nếu f(x) 0 và , thì

L 0 và

(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với )

( )

lim

o

x x

f x L

→

o

x x

g x M

→

= [f(x)+ ( )]

lim

o

x x

g x L M

[f(x)- ( )]

lim

o

x x

g x L M

→

lim

o

x x

g x L M

f(x)

( )

lim

o

x x

L

M

g x M

→

Ví dụ 2 Cho hàm số Tìm

Giải Theo định lí 1 ta có

( )

2

x

f x

x

+

=

3

( )

lim

x

f x

→

2

1 ( )

3.3 1

2 3 2.

lim lim lim

lim lim

x

f x

x

+

Ví dụ 3 Tính

Giải.Vì (x-1) 0 khi x 1 , nên ta chưa thể áp

dụng định lí 1 nêu trên Nhưng với ta có

Do đó :

2 1

2 1

lim

x

x x

x

→

+ −

−

1

2

x

+ − = − − = +

− −

2

2 ( 1)( 2)

( 2) 3

x

3 Giới hạn một bên

Trong Định nghĩa 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x→x0 Giá trị xn có thể lớn hơn hay nhỏ hơn x0

Nếu ta chỉ xét các dãy (xn) mà xn luôn lớn

hơn x0 (hay luôn nhỏ hơn x0), thì ta có định nghĩa giới hạn một bên như dưới đây

ĐỊNH NGHĨA 2

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (xo;b)

số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm

số y = f(x) khi x→x0 nếu với dãy số (xn) bất kì,

x0<xn<b và xn →x0, ta có f(xn) →L

Kí hiệu:

( )

lim

o

x x

+

→

=

Cho hàm số y=f(x) xác định trên

khoảng (a;xo).

số L được gọi là giới hạn bên trái của

hàm số y = f(x) khi x → x0 nếu với dãy

số (xn) bất kì, xo>xn>a và xn → x0, ta có f(xn) → L.

Kí hiệu: lim ( )

o

−

→

=

Ta th a nh n đ nh lí sau đây ừ ậ ị

Đ NH LÍ 2 Ị

khi và ch khi lim ( ) ỉ

o

x x

f x L

→

=

Ví dụ 4 Cho hàm số

Tìm (Nếu có )

Giải.

Ta có ,

Như vậy, khi x dần tới 1 hàm số y=f(x) có giới hạn bên trái

là -2 và giới hạn bên phải là 7 Tuy nhiên, không tồn tại vì

( ) 52 2, 1

x x

f x

x x



=  − <



1

( ), ( ), ( )

x

( ) ( 3) 1 3 2

− −

( ) (5 2) 5.1 2 7

+ +

1

( )

lim

x

f x

→

( ) ( )

− +

≠

Hoạt động 2

 Trong biểu thức (1) xác định hàm số y = f(x)

ở ví dụ 4, cần thay số 2 bằng số nào để hàm

số có giới hạn là -2 khi x → 1?

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ

Làm bài tập SGK