giới hạn hàm số

www.facebook.com/toihoctoan

Chương I |

GIGI HAN HAM SỐ

§1 DUNG DINH NGHIA DE TIM GIGI HAN

Bai 1: Cho f (x)= x° +4x+5 Ching minh rang lim f(x) = 10

Vi thé chi viéc chon 6 = min{ l, a thi moi bat dang thức đề cập đến

Ở trên đều xảy ra

Điu đó có nghĩa là : Ve>0 3đ>0 (chẳng hạn chọn

ổ= min 1 = ), thi v6i moi x mà |x~ IÌ< ổ, thì |f(x)-10|<e Theo dinh

nghĩa giới hạn suy ra : -

lim /(x) = 10

(số xạ rõ ràng chọn được một cách dễ dàng) Vì lẽ ấy nếu chọn

M= mac uy ah thi Vx e M, tacé

4c"

|/(x)~0|<z

15

Từ đó theo định nghĩa, suy ra

dim f(x) = lim (sinVix41 ~sinvx) =0

Đó là dpem

§2 GIỚI HẠN DẠNG 5

Giới hạn dạng 0 là một trong những giới hạn quan trọng nhất Để tìm

được giới hạn này về nguyên tắc chung, ta sử dụng các phép biến đổi để khử

(laa sires at) c hxQl=x+))

2- CBTVHAMSO - B

Từ đó thay vào (2), ta được

Bài Š : Cho m và n là hai số nguyên dương Tìm giới hạn sau :

B Phương pháp đổi biến

Bài I : Cho n là số nguyên dương và ¿ #0 Chứng minh rằng :

Chú ý : Dĩ nhiên kết quả vẫn đúng khi a = 0 ( Vì đó là điều tầm

20

x70 xX n >

từ (1) suy ra

L=2Z+2+ =3

2 3 4 Chú ý : Bài tập trên có dạng tổng quát sau : Cho n,, n,, , n, là các

số nguyên dương và đ¡, 4;, , đ, là các số khác 0 Khi đó ta có :

; Wl+a,x '3ll+a,x 4l1+4,x —]1 a, a, a,

(Chứng minh hoàn toàn tương tự)

Bài 4 : Tìm giới hạn sau :

._ 2Ncosx —Ÿcos x — cos x

Bài giải Viết lại giới hạn L dưới dang sau :

Xét hai giới hạn sau đây :

._ Mcosx-lcosx _„ \€os x - Ÿeos x

>0 sin” x x30 sIn x

Với giới hạn L; thực hiện phép đổi biến y= Âcosx, còn với L„ thi

đặt z = lƒcosx (Chú ý rằng khi x ->0 thì y*>1 và z —> 1) Từ đó :

22

yl l-y* yl l-y v->1 l-y~ 12

Cho ø, đ,, , 4, và bị, b,, , b,„ là các số cho trước Tìm giới hạn sau : |

Bài 6 : Tìm giới hạn sau :

1 —sin"” P Xx

a WM ~sin” x)(1—sin" x)(1-sin” x)

ở đây m, n, p là ba số nguyên dương cho trước

J(I+y+ -+y )\(I+y+ -+y )(I+y+ -+y )

_W+H+p imnp

._ JAHđXY , ({sinax cosby , SH@Y

v+0tanbx +*0 (sInĐX cosax)

+90 sin by sin ax _ siny

Chú ý : Các giới hạn trong bài † là các giới hạn cơ bản, thường xuyên

sử dụng trong các bài tập về tính giới hạn

lim XÌI—-cos2x =-J2 lim sinx

x70 x0" x

Bai 5 : Tìm giới hạn sau :

"¬ U- Jcos x cos2x cos3.x

Bai giai

Sau khi thực hiện phép nhân liên hợp, ta có :

l—cosx cos2x cos3x L=lim -

+30 rể (1 + ,/cos.x cos2.x cos 3x)

1 l—cosx cos2y cos3x

l—coOsx cos2x cos 3x = Ï— €0S.Y +COS Y — €OSY cOs2v+cosx cos2x—

—COS.Y c€OS2x cos3.v

= (I—cos x)+cos x(I—cos2x)+cos v cos2x(1— cos3x),

Do đó ta có :

lim > = lim ——— + lim | cos x —————

Chú ý : Bài toán trên có dạng tổng quát như sau :

Bài 6 : Cho m và n là các số nguyên dương Tìm giới hạn sau :

sin mx L= lm

vol Jay? > (I—x)(I+x+ -+x)) ~ n

Nén thay (2) và (2") vào (1) ta thu được kết quả sau :

L=—

n

29

'Bài 8 : Cho m, n là các số nguyên dương ; ø, Ø, 7 là các hằng số cho

trước (y #0) Hãy tìm giới hạn sau :

Vcosax L=lim

x0 sin* ax sin? yx sin? Bx sin? yx

Bang phép đổi biến số, ta có :

em tan( = - arctan —*—_| noe any

Từ đó /= lim | 2"''sin = lim | —2-—-7

lim ————— = lim =l ; lim = lim =Ì

x70 tan2x yoo y x0 tanx 23000 2

Tir dé theo (1) tacé6 L=2-1=1,

Ta biến đổi như sau :

(oe ~ 1)cos 2nx + cos2nx—]

Chú ý : Tương tự ta có : L, = lim Vox? tx va ently

37

38