GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ – HÀM SỐ LIÊN TỤCI.. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1.. Định nghĩa Định nghĩa 1 Xét hàm số y = fx xác định trong khoảng a; b chứa x0 có thể không xác định tại x0.. Các định lý
Trang 1GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ – HÀM SỐ LIÊN TỤC
I GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1 Định nghĩa
Định nghĩa 1
Xét hàm số y = f(x) xác định trong khoảng (a; b) chứa x0 (có thể không xác định tại x0) Trong khoảng (a; b) ta có thể lấy dãy {x , xn} n ¹ x ( n0 " Î Z, n³ 1) sao cho nlim xn x0
®¥ = Số L được gọi là giới hạn của f(x) khi x tiến dần về x0 nếu
nlim x x
nlim f(x ) L
®¥ = Ký hiệu xlim f(x)x0 L
Định nghĩa 2
Số L được gọi là giới hạn của f(x) khi x tiến dần về x0 nếu
0
"e> $d> < - < d Þ - < e
Ví dụ 1 Xét hàm số f(x)=3x- 2 khi x dần đến 2, ta có
3
e
- < e Û - < e Û - < Nghĩa là với "e>0, chọn 3
e
d = thì 0< x- 2 < d Þ f(x)- 4 < e
Vậy lim(3xx 2 2) 4
Ví dụ 2 Xét hàm số y x2 1
-=
- khi x®1 Hàm số không xác định tại x = 1, nhưng khi x¹ 1 ta có:
2
Nghĩa là với "e>0, chọn $d = e: 0< x- 1 < d Þ y- 2 < e
Vậy
2
x 1
®
-=
2 Các định lý cơ bản
Định lý 1
Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi x tiến dần về x0 thì giới hạn đó là duy nhất.
Định lý 2
Nếu các hàm số f(x), g(x) có giới hạn khi x tiến dần về x0 thì
xlim f(x)x g(x) xlim f(x)x xlim g(x)x
xlim f(x).g(x)x xlim f(x) lim g(x)x x x
0
x x
x x
lim f(x) f(x)
g(x) lim g(x)
®
®
4i) xlim f(x)x0 xlim f(x) (f(x)x0 0)
Định lý 3
Mọi hàm số sơ cấp f(x) xác định trong khoảng chứa x0 thì xlim f(x)x0 f(x )0
Định lý 4 (giới hạn kẹp giữa)
Nếu xlim h(x)x0 xlim g(x)x0 L
® = ® = và h(x) f(x) g(x)£ £ với mọi x thuộc khoảng chứa x0 thì
0
xlim f(x)x L
3 Mở rộng khái niệm giới hạn của hàm số
Định lý 5
Trang 2i) Nếu xlim f(x)x0 0
® = và f(x) 0> khi x đủ gần x0 thì
0
x x
1 lim f(x)
ii) Nếu xlim f(x)x0 0
® = và f(x) 0< khi x đủ gần x0 thì
0
x x
1 lim f(x)
Định nghĩa 3
Số L được gọi là giới hạn của f(x) khi x tiến dần về vô cực nếu:
"e> " > > Þ - < e Ký hiệu xlim f(x)®¥ = L
Định nghĩa 4
i) Số L được gọi là giới hạn bên phải của f(x) khi x tiến dần về x0 (x > x0) nếu
0
"e > $d> < - < d Þ - < e Ký hiệu xlim f(x)x0+ L
ii) Số L được gọi là giới hạn bên trái của f(x) khi x tiến dần về x0 (x < x0) nếu
0
"e> $d> - d < - < Þ - < e Ký hiệu xlim f(x)®x-0 = L
Định lý 6
xlim f(x)x L xlim f(x)x+ xlim f(x)x- L
Ví dụ 3 Cho hàm số
x f(x)
ïï
= í
ïî
neáu
Tìm m để f(x) có giới hạn khi x® 0
Giải
xlim f(x)0+ xlim0+ x m m
Vậy m = 2
4 Phương pháp giải toán (các quy tắc khử dạng vô định)
4.1 Dạng 0
0
i) Phân tích tử và mẫu (chia cho x – x 0 )
n
0 n
2
x
Vậy
x 1
®
=
ii) Dùng lượng liên hợp
=
-3
x 2
lim
®
ç
2
2 2
lim
®
ï
2
ü
ï
2
lim
®
Trang 3( )2 ( )
lim
®
x 2
lim
24
®
4.2 Dạng ¥
¥
Ta chia tử và mẫu cho xn (n là bậc cao nhất của tử và mẫu)
4 4
4
x 3 1
x
= +
+
( )
4
4 x
lim
32 1
2 2
x
®¥
+
Vậy
4 x
lim
32 2(2x 1)
® ¥
=
4
3
4
x 1
Vậy
3 x
lim
®¥
-= ¥
5
5
5
x
x
Vậy
5 x
®¥
=
Ví dụ 9
2
2
2
x 1
x
=
4
x
2
2 2
x
®¥
x
lim
2
®¥
=
Ví dụ 10
x 1
x
2
x
2 2
x
®- ¥
-+
Trang 4
Vậy 2
x
lim
®- ¥
4.3 Dạng ¥ - ¥ Ta dùng lượng liên hợp.
( 4 2 4 ) ( 4 2 4 )
x
lim
® +¥
-=
1 3
2
+ +
x
3
2
2
+ +
x 2 1
® +¥
®- ¥ + - không phải dạng vô định vì
4.4 Dạng 0.¥ Ta biến đổi 0.¥ = 1 .¥ =¥
2
+ +
x 2 x
2
2 1
x
x
1
2
4.5 Các quy tắc đặc biệt khử dạng vô định 0 0 0
, , , 0 , 0 , , 1
¥
¥
Kết quả cần nhớ:
1 x
x 0
x
1
x
Định lý 7 (quy tắc L’Hopital) (chỉ dùng trong trắc nghiệm)
Cho hai hàm số f(x) và g(x) có đạo hàm trong khoảng chứa x0 thỏa các điều kiện:
i) xlim f(x)x0 xlim g(x)x0 0
® = ® = hoặc xlim f(x)x0 xlim g(x)x0
ii) g (x)/ ¹ 0 với mọi x thuộc khoảng chứa x0
iii)
0
/
/
x x
f (x)
g (x)
thì
/ /
Chú ý:
Trang 5i) Định lý vẫn đúng cho các trường hợp x® x0 ±, x ® ±¥
ii) Có thể áp dụng quy tắc L’Hopital nhiều lần
Ví dụ 14 (dạng 0
2
-+ +
-
x 2
lim
24
®
Ví dụ 15 (dạng 0
0)
2 1 tg 2x tg2x
+
Vậy
x 0
tg2x
x
Ví dụ 16 (dạng 0
0)
x 0
x
x sin x
Ví dụ 17 (dạng ¥
x
ln x
x
Ví dụ 18 (dạng 0.¥ ) ( )
( )
2 2
2
2 x
æ ö÷ ç
xlim x ln x0+ 0
Ví dụ 19 (dạng ¥ - ¥ ) x 1( ) x 1
x 1 x 1
2
1
2
ln x
lim
A lim x+ lnA ln lim x+
( x ) ( )
2
1
xlim( x)0+ 0 A 1 xlim x0+ x 1
Vậy xlim x0+ x 1
B lim cotgx+ lnB ln lim cotgx+
( )
2 1
lnx
1 ln(cotgx) cotgx sin x
ln x
x
Vậy ( ) lnx1
x 0
1 lim cotgx
e +
Trang 6( ) 2 ( )
1 x
sin x
2
cosx 1
1 x cosx sin x sin x x
1limx 0 x sin x2 1limx 0 sin x
2 ® 2x sin x x cosx 2 ® 2sin x x cosx
+ +
1 1
x 6
6
Cách khác:
1 x
x 0
sin x
x
®
3
sinx x
x
x 0 3 x 0 2 x 0 x 0
1 x 6
x 0
lim
II HÀM SỐ LIÊN TỤC
1 Định nghĩa 1
Xét hàm số f(x) có MXĐ D Ì ¡
i) Điểm x0 Î D được gọi là điểm tụ của D nếu tồn tại dãy {xn} Ì D \ x{ 0} sao cho xn ® x0 Điểm 0
x Î D không phải là điểm tụ của D được gọi là điểm cô lập của D.
ii) Nếu điểm x0 Î D là điểm cô lập của D thì ta quy ước f(x) liên tục tại x0.
iii) Nếu điểm x0 Î D là điểm tụ của D thì f(x) liên tục tại x0 khi xlim f(x)x0 f(x )0
Ví dụ 23 Xét hàm số f(x)= x2- 3x+ +2 2 x- có MXĐ D= - ¥( ;1]È{ }2 .
Ta có x = 2 là điểm cô lập của f(x) và f(x) liên tục tại x = 2
Tại x0 Î - ¥( ; 1] thì x xlim f(x)0 f(x )0
® = nên f(x) liên tục.
2 Định nghĩa 2
i) f(x) liên tục bên phải x0 nếu xlim f(x)x0+ f(x )0
ii) f(x) liên tục bên trái x0 nếu xlim f(x)x0- f(x )0
Ví dụ 24 Hàm số f(x)= x2 - 3x+ +2 2 x- liên tục bên trái tại x = 1
3 Định nghĩa 3
i) f(x) liên tục trên khoảng (a; b) nếu f(x) liên tục tại mọi điểm x0 thuộc (a; b)
ii) f(x) liên tục trên đoạn [a; b] nếu f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và liên tục phải tại a, liên tục trái tại b
Chú ý:
i) Hàm số sơ cấp xác định tại đâu thì liên tục tại đó
ii) Hàm số không liên tục tại x0 thì gọi là gián đoạn tại điểm x0
Trang 7Ví dụ 25 Xét sự liên tục của hàm số
2
lnx f(x)
ïï
= íï
ïïî
neáu neáu tại x = 0.
Giải
Ta có:
ln x
x
2
xlim f(x)0- xlim(x0- 2x) 0 f(0) limf(x)x 0 f(0)
Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 0
Ví dụ 26 Xét sự liên tục của hàm số
2
x 2
x f(x)
ïï
= í
ïïî
neáu
Giải
Với mọi x¹ 0 ta có hàm số
2
x 2
f(x)
x
-= xác định nên liên tục
Tại x = 0, ta có:
2
x 2
2x x
Vậy hàm số f(x) liên tục trên ¡ \ 0{ } hay gián đoạn tại x = 0
4 Định lý (điều kiện để phương trình có nghiệm trong khoảng (a; b))
Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và thỏa f(a).f(b)< thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong0
khoảng (a; b) (ngược lại không đúng).
Ví dụ 27 Chứng minh phương trình x3 +mx2 - 1=0 (*) luôn có nghiệm thực dương
Giải
Xét hàm số f(x)=x3 +mx2- 1 liên tục trên ¡ và f(0)= - 1< 0
Mặt khác
xlim f(x) b 0 : f(b) 0 f(0).f(b) 0
Vậy phương trình (*) luôn có nghiệm thực dương thuộc khoảng (0; b)