Toán ứng dụng trong kinh doanh MS07-R08aV

Toán ứng dụng trong kinh doanh

Chương 8 HÀM NHIỀU BIẾN (Functions of Several Variables)

1 Hàm của hai dạng nhiều biến độc lập:

+ Hàm của 2 biến độc lập: j = f(x,y) → S = xy

+ Hàm của nhiều biến độc lập: u = f(x,y,z) → V = xyz

u = f(w,x,y,z)

Ví dụ: Hàm chi phí của hai sản phẩm

Một Công ty sản xuất 2 loại sản phẩm A và B Hàm chi phí mỗi tuần của mỗi loại sản phẩm như sau:

Sản phẩm A: C(x) = 500 + 70x , x số lượng sản phẩm A

Sản phẩm B: C(y) = 200 + 100y , y số lượng sản phẩm B

Hàm chi phí của hai sản phẩm A và B là C(x,y)

C(x,y) = C(x) + C(y)

C(x,y) = 700 + 70x + 100y

Tính chi phí để sản xuất ra 10 sản phẩm A và 5 sản phẩm B:

C(10,5) = 700 = 70*10 + 100*5 = 1900$

C(20,10) = 3100$

Ví dụ: Các hàm doanh thu, chi phí và lợi nhuận

Gọi p là giá của sản phẩm A

q là giá của sản phẩm B

p và q được xác định như sau:

⎧

⎨

⎩

210 4

⎧

⎨

x

p q

=

−

−

y

p q

=

−

−

−

−

a/ Hàm doanh thu hàng tuần R(x,y)

R(x,y) = px + qy = (210-4x+y)x + (300+x-12y)y

R(x,y) = 210x+300y-4x2+2xy-12y2

Xác định doanh thu ở mức 20m sản phẩm A và 10 sản phẩm B

b/ Hàm lợi nhuận hàng tuần P(x,y)

P(x,y) = R(x,y) - C(x,y)

P(x,y) = 140x+200y-4x2+2xy-12y2-700

P(20,10) = 1700$

2 Đạo hàm riêng phần: (Partial Derivatives)

2.1 Đạo hàm riêng phần bậc 1

Cho z = f(x,y)

a Đạo hàm riệng phần theo biến x được ký hiệu: ∂

∂ΖΧ , fx hay fx(x,y)

∂

∆

∆

=lim →0 f x( + x y, )− f x y( , )

x

b Đạo hàm riêng phần theo biến y được ký hiệu ∂

∂ΖΥ , fy hay fy(x,y)

∂

∆

∆

=lim →0 f x y( , + y)− f x y( , )

y

Ví dụ:

P(x,y) = 140x+ 200y-4x2+2xy-12y2-700

∂

∂ΡΧ = Px(x,y) = 140-8x+2y

Px(15.10) = 40

Ở mức sản lượng A là 15,B = 10 Nếu gửi nguyên sản lượng B, khi sản lượng A tăng 1 đơn vị thì chi phí tăng 40$

2.2 Đạo hàm riêng phần 2: (Second order Partial Derivative)

Cho z = f(x,y) thì ta có các đạo hàm riêng phần như sau:

( )

∂

∂

∂

∂

∂

∂

2

2

z

z

x f x y f

= ⎛

⎝⎜ ⎞⎠⎟ = ΧΞ , = ΧΧ

( )

∂

∂

∂

∂

∂

∂

2

2

z

z

= ⎛

⎝

⎜ ⎞

⎠

⎟ = ΥΥ , = ΥΥ

( )

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂

∂

∂

2

2

z

xyz x

z

y f x y fxy z

y x y

z

x f x y f

f f

= ⎛

⎝

⎜ ⎞

⎠

⎟ = =

= ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ = =

⎫

⎬

⎪⎪

⎭

⎪

⎪

=

ΧΥ

( , ) ,

Ví dụ: Cho z=f(x,y) = 3x2-2xy3+1 Tìm

a/ ∂

∂

2z

xyz,

∂

∂ ∂

2z

y x fxy(2,1) b/

∂

∂

2 2

x ,

∂

∂

2 2

z

y

Giải:

a/ ∂∂z ∂ ∂∂ ∂∂ ( )

y xy

z

x y x xy y

= −6 2 ⇒ 2 = −6 2 = −6 2

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂

z

z

= +6 −2 3 ⇒ 2 = −6 2 −2 3 = −6 2

fxy(2,1) = fyx(2,1) = -6*12 = -6

b/ ∂∂2 ∂∂ ∂∂ ∂∂ ( )

2

3

6 2 6

z

z

= ⎛

⎝⎜ ⎞⎠⎟ = + − = +

∂

∂

∂

∂

∂

∂

2

2

2

z

z

= ⎛

⎝

⎜ ⎞

⎠

⎟ = − = −

3 Cực trị của hàm hai biến:

3.1 Cực trị của hàm 2 biến:

Nếu:

1 z = f(x,y)

2 fx(a,b) = 0 và fy(a,b) = 0 ⇒ (a,b) là điểm dừng

3 Tồn tại các đạo hàm bậc 2 của f tại vùng xung quanh điểm (a,b)

4 A = fxx(a,b), B = fxy(a,b), C = fyy(a,b)

Thì

1 Nếu AC B− 2 >0

∆

6 74 448

và A<0 thì (a,b) là điểm cực đại địa phương (Local Maximum)

2 Nếu AC -B2 > 0 và A>0 thì (a,b) là điểm cực tiểu địa phương

3 Nếu AC - B2 ≤ 0 thì không có điểm cực trị

AC - B2 < 0 thì (a,b) là điểm yên ngựa (Saddle Point)

AC - B2 = 0 không có cực trị

Ví dụ: Cho hàm lợi nhuận P(x,y) = -2x2+2xy-y2+10x-4y +107 Tìm mức sản lượng (x,y) sao cho lợi nhuận lớn nhất

Bước 1 : Tìm điểm dừng (Critical Point)

( ) ( )

∂

∂

∂

∂

p

p

Χ

Υ

, ,

⇒ x

y

=

=

⎧

⎨

⎩

3 1 (3,1) là điểm dừng

Bước 2: Tính A = fxx(3,1), B = fxy(3,1), C = fyy(3,1)

Pxx(x,y) = -4 = A

Pxy(x,y) = 2 = B

Pyy(x,y) = -2 = C

Bước 3

AC B

A

− = >

= − <

⎧

⎨

⎩

4 0 ⇒ (3,1) là điểm cực đại địa phương P(3,1) = 120$

3.2 Cực trị có điều kiện - Phương pháp nhân tử Lagrange (Lagrange Multiplier Method)

1 Thành lập bài toán

Cực đại hay cực tiểu z = f(x,y)

(Maximize or Minimize)

Với điều kiện (Ràng buộc) g(x,y) = 0

(Subject to)

2 Thành lập hàm Lagrange

F(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y)

λ là hằng số chưa được xác định

3 Tìm các điểm dừng, tọa độ (x,y) của điểm lừng danh là nghiệm của hệ phương trình

∂

∂x F x y, ,λ = F x yΧ , ,λ =0

∂

∂y F x y, ,λ = F x yΥ , ,λ =0

∂

∂λz F x y, ,λ =F x yλ , ,λ = 0 hay g(x,y) = 0

4 Tìm giá trị của hàm z = f(x,y) tại các điểm dừng

5 Tìm giá trị biên của miền xác định

6 Giá trị lớn nhất hay bé nhất trong các điểm vừa tìm sẽ là cực trị có điều kiện

Ví dụ:

Giả sử có sẵn 720m kẽm gai, người ta muốn rào 1 khu đất như hình vẽ Hãy xác định x và

y để diện tích được rào có giá trị lớn nhất

Hàng rào hiện hữu

Diện tích = xy Chiều dài = 3x+y=720 Kẽm gai hiện có

x

y

Giải:

Bước 1: Thành lập bài toán

Maximize A = f(x,y) = x,y

Điều kiện g(x,y) = 3x+y-720 = 0

Bước 2: Hàm lagrange

F(x,y, λ) = f(x,y) +Vg(x,y)

= xy + λ(3x+y-720)

Bước 3: Tìm điểm dừng

Fx = y+3λ = 0

Fy = x+λ = 0 ⇒

= −

=

=

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪

120 360

x y

λ = 3x+y-720 = 0

Bước 4: A(120,360) = f(120,360) = 43200m2

Bước 5: A(0,0) = f(0,0) = 0

Kết luận: (120.360) là điểm cực đại

Diện tích lớn nhất là 43200m2