Toán ứng dụng trong kinh doanh MS07-R04aV

Toán ứng dụng trong kinh doanh

Chương 4

PHƯƠNG TRÌNH CUNG VÀ CẦU (Supply and Demand Equation)

1 Hệ phương trình tuyến tính (bậc nhất)

Là hệ gồm nhiều phương trình đại số tuyến tính thay phương trình bậc 1

Ví dụ: Bài toán giá vé xem xi nê

Nếu giá của 2 vé người lớn và 1 vé trẻ em là 8$ và giá của 1 vé người lớn và 3 vé trẻ em

là 9$ thì giá vé của mỗi loại sẽ là bao nhiêu?

Thành lập bài toán:

Gọi x là giá vé loại người lớn, y là giá vé loại trẻ em

x y

+ =

⎧

⎨

⎩

2 Hệ phương trình tuyến tính gồm 2 biến

2.1 Định nghĩa:

Là hệ phương trình có dạng:

⎧

⎨

⎩

2.2 Giải hệ phương trình:

a Phương pháp đồ thị (Solution by graphing)

Gọi (D1) là đồ thị của a1x+b1y = c1

(D2) là đồ thị của a2x+b2y = c2

y

(D1) A(x*,y*) là nghiệm của phương trình

y*

x

(D2)

y (D1)

x

(D1) ≡ (D2)

x

Ta có 3 trường hợp: + (D1) cắt (D2): phương trình có một nghiệm

+ (D1) // (D2): phương trình vô nghiệm

+ (D1) trùng (D2): phương trình vô định

Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau đây bằng phương pháp đồ thị;

a/ x y

x y

+ =

⎧

⎨

⎩

+ = −

⎧

⎨

⎩

⎧

⎨

⎩ Giải:

Nghiệm của hệ Phương trình vô nghiệm Phương trình vô định phương trình là: (4,1)

b Phương trình thay thế: (Solution by substitution)

Giải phương trình bằng phương pháp thay thế:

x y

x y

+ =

− =

⎧

⎨

⎩

( ) ( )

Giải:

Từ (1) ⇒ y = f(x) = 4-5x Thay vào phương trình (2)

(2) ⇒ 2x-3(4-5x) = 5

17x = 17

x = 1 Vậy y = 4-5x = 4-5*1 = -1

Nghiệm của hệ phương trình là (1,-1)

-4

y

0

2

4 -2

x y

0

y

-1 0

5

1

x

5

4

2

c Phương pháp khử và cộng: (Solution by elimination by addition)

Phương pháp này liên quan đến việc thay thế hệ phương trình đã có bằng các hệ phương trình tương đương đơn giản hơn cho đến khi đạt lời giải của bài toán:

Định lý 1 trình bày các phép biến đổi để tạo ra các hệ phương trình tương đương Định lý 1:

Một hệ phương trình tuyến tính được biến đổi thành hệ phương trình tương đương bằng:

+ Đổi chỗ 2 phương trình

+ Nhân phương trình với 1 hằng số khác zero

+ Nhân phương trình này với 1 hằng số và cộng vào phương trình khác đã cho

Ví dụ:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp khử và cộng:

⎧

⎨

⎩

( ) ( ) (1) * 5 ⇒ 15x-10y = 40

(2) * 2 ⇒ 4x+10y = -2

19x = 38

x = 2

Thay x = 2 vào (1) ⇒ 3*2-2y = 8 ⇒ y = -1

Nghiệm của phương trình là (2,-1)

3 Hệ phương trình tuyến tính gồm 3 biến:

3.1 Định nghĩa:

Là hệ phương trình có dạng:

a x b y c z d

a x b y c z d

a x b y c z d

1 2 3

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪

( ) ( ) ( )

3.2 Cách giải:

+ Dùng định lý 1, khử bớt 1 biến số để có hệ phương trình gồm 2 biến

+ Giải hệ phương trình hai biến

+ Tìm biến thứ 3

Ví dụ: Giải hệ phương trình

3 2 4 6 1

+ − = −

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪

( ) ( ) ( ) Giải:

(1)*5+(2)*4 ta có: 15x-10y+20z = 30

8x+12y-20z = -32

(1)*3-(3)*4 ta có: 9x-6y+12z = 8

(a)*5-(b) ta có: 115x+10y = -10

126x = 0

Nghiệm của phương trình là (x,y,z) = (0,-1,1)

Vấn đề: Tìm điểm cân bằng của đường cung và đường cầu;

Tìm tọa độ điểm cân bằng là giao điểm của đường cung và đường cầu Cho biết:

- Phương trình của đường cầu là: p = -0.2q +4

- Phương trình của đường cung là: p = 0.07q + 0.76

Giải:

Toạ độ điểm cân bằng là giao điểm của hệ phương trình

p

= − +

⎧

⎨

⎩

0 2 4

0 07 0 76

.

⇒ -0.2q + 4 = 0.07q + 0.76

0.27q = 3.24

Tương tự, tìm điểm cân bằng của:

P$

4 3 2 1.6 1

12 15 20 10

p q

q q

= − +

⎧

⎨

⎩

01 3

0 08 0 66

Vấn đề: Bài toán kế hoạch sản xuất

Một nhà máy sản xuất 3 loại sản phẩm A,B và C Mỗi sản phẩm phải qua 3 công đoạn cắt, lắp rắp và đóng gói với thời gian yêu cầu cho mỗi công đoạn được liệt kê ở bảng sau đây:

Cắt

Lắp ráp

Đóng gói

I.6 giờ 0.6 giờ 0.2 giờ

1 giờ 0.9 giờ 0.3 giờ

1.5 giờ 1.2 giờ 0.5 giờ Các bộ phận cắt, lắp ráp và đóng gói có số giờ công nhiều nhất trong mỗi tuần lần lượt là

380, 330 và 120 giờ công

Hỏi nhà máy phải sản xuất số lượng mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu theo mỗi tuần để nhà máy hoạt động hết năng lực của nhà máy

Giải:

Gọi x, y, z lần lượt là số lượng sản phẩm A, B và C nhà máy sản xuất trong mỗi tuần Ta có:

0 6 1 15 380 1

0 6 0 9 12 330 2

0 2 0 3 0 5 120 3

x y z

x y z

x y z

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪

(1) - (2) ⇒ 01.y+0.3z = 50

(1) - (3)*2 ⇒ -0.3z = -30

z = 100

⇒ 0.1y+0.3*100 = 50

(3) ⇒ 0.2x+0.3*200+0.5*100 = 120

x y z

=

=

=

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪

50 200 100

4 Giải hệ phương trình tuyến tính 2 và 3 biến bằng phương pháp Cramer:

4.1 Hệ phương trình tuyến tính 2 biến:

⎧

⎨

⎩

a Định thức cấp 2 (2-Ordered Determinat)

Định thức cấp 2 tương ứng với bảng các phần tử a b

⎛

⎝

⎠

⎟được xác định như sau:

a1 b1

= a1b2 - a2b1

a2 b2

b Phương pháp Crame

Tính các định thức;

Công thức Cramer

D

D

= Υ

Nhận xét:

D ≠ 0 ⇒ hệ phương trình có 1 nghiệm (Điều kiện để phương trình có nghiệm)

D = 0 ⇒ Dx ≠ 0 hay Dy ≠ 0 ⇒ hệ phương trình vô nghiệm

Dx = 0 hay Dy = 0 ⇒ hệ phương trình vô định theo x hay theo y

Ví dụ: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cramer

x y

+ =

⎧

⎨

⎩

Giải:

D=

− = − − = − ≠

− = − − = −

D

= Χ = 1, y D

D

= Υ = − 1 Nghiệm của phương trình là (1,-1)

4.2 Hệ phương trình tuyến tính 3 biến:

- +

a x b y c z d

a x b y c z d

a x b y c z d

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪

a Định thức cấp 3

Định thức cấp 3 tương ứng với bảng các phần tử

⎛

⎝

⎜

⎜

⎜

⎞

⎠

⎟

⎟

⎟được xác định sau:

1

1

1

Lưu ý:

Định thức con của phần tử cho trước của định thức cấp 3 là định thức cấp 2 nhận được từ định thức cấp 3 bằng cách bỏ hàng và cột chứa phần tử đã cho

+ Dấu thêm vào định thức con:

- + -+ - +

+ Một số cách tính định thức cấp 3

- Thêm vào 2 cột

= a1b2c3+b1c2a3+c1a2a3-a3b2c1-b3c2a1-c3a2b1

- Thêm vào 2 hàng

- Công thức Sarus

b phương pháp Cramer

2 cột thêm vào

- -+

+ +

-

-

- -

+

+

+

Tính các định thức

D =

Dx =

Dy =

Dz =

Công thức Cramer

D

D

D

= Ζ

Nhận xét:

D ≠ 0 ⇒ hệ phương trình có 1 nghiệm

D = 0 ⇒ Dx ≠ 0, Dy ≠ 0, Dz ≠ 0 hệ phương trình vô nghiệm

Dx = 0, Dy = 0, Dz = 0 hệ phương trình vô định

Ví dụ:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪

Giải :

D=

−

=

1 2 1

3 2 1

4 3 2

12 1

3 1

3 2

4 3 = 1*(-4-3)-2(-6-4)+1(9-8)

= -7+20+1

D = 14 ≠ 0

Tương tự

Dx = 14, Dy = 28, Dz = 42

D

= Χ = 1, y D

D

y

= = 2, z D

D z

= = 3 Nghiệm là ⇒ (1,2,3)

5 Hệ phương trình tuyến tính và ma trận bổ sung:

(Systems of Linear equations and augmented matrices)

5.1 Ma trận (mstrix) : là một mảng số hình chữ nhật được viết trong ngoặc

Ví dụ:

3 5

0 − 2

⎡

⎣

⎦

⎥⇒ ma trận gồm 2 hàng, 2 cột, 0 63 5

2 1

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⇒ ma trận chữ nhật 3 hàng, 2 cột

2

3

0

−

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⇒ ma trận cột

[1 − 1 0 5 ]⇒ma trận hàng

Tổng quát, ma trận m hàng và n cột

1

1

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎥ Mỗi số ấy trong ma trận gọi là phần tử của ma trận

5.2 Ma trận bổ sung

Cho hệ phương trình tuyến tính: 2 3 5

+ = −

⎧

⎨

⎩

Ma trận bổ sung ứng với hệ phương trình trên là: 2 3

1 2

5 3

−

⎡

⎣

⎦

⎥

⎥ Tổng quát

hệ phương trình Ma trận bổ sung

a x b y c

a x b y c

⎧

⎨

c c

R R

1 2

1 2

⎡

⎣

⎦

⎥

⎥

←

←

↑ ↑ ↑

C1 C2 C3

5.3 Giải hệ phương trình tuyến tính:

Định lý 2:

Một ma trận bổ sung được biến đổi thành ma trận tương đương về hàng bằng cách:

- Ri ↔ Rj

- kRi → Ri

- Ri + kRj → Ri

Giải hệ phương trình tuyến tính: a x b y c

a x b y c

⎧

⎨

⎩

c c

1 2

⎡

⎣

⎦

⎥

⎥

1 0

0 1

⎡

⎣

⎦

⎥

⎥⇒

=

=

⎧

⎨

⎩

m n

y n

Nhận xét:

1 0

0 1

⎡

⎣

⎦

⎥

⎥

m

n → hệ phương trình có 1 nghiệm

1

0 0

k m

n

⎡

⎣

⎦

⎥

⎥→ hệ phương trình vô nghiệm

1

0 0 0

k m

⎡

⎣

⎦

⎥

⎥→ hệ phương trình vô định

Ví dụ: Giải hệ phương trình: 3 4 1

⎧

⎨

⎩ Giải:

Ta có ma trận bổ sung

3 4

1 7

−

⎡

⎣

⎦

⎥

⎥ R1 ↔ R2

3 4

7 1

−

⎡

⎣

⎦

⎥

⎥ R2+(-3)*R1 → R2

1 2

0 10

7 20

−

⎡

⎣

⎦

⎥

⎥

1

10R2 → R2

1 2

0 1

7 2

−

⎡

⎣

⎦

⎥

⎥ R1+2R2 → R1

1 0

0 1

3 2

⎡

⎣

⎦

⎥

=

=

⎧

⎨

⎩

x y

3 2 biến đổi

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 2 4

x y

− =

− + = −

⎧

⎨

⎩ Giải:

6 3

4 12

−

−

⎡

⎣

⎦

⎥

⎥

1

2R1→R1

1 1 2

2 12

−

−

⎡

⎣

⎦

⎥

⎥ / R2 + 6R1 → R2

1 1 2

2 0

−

⎡

⎣

⎦

⎥

⎥ / → hệ phương trình vô định

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: 2 4

x y

− =

− + = −

⎧

⎨

⎩ Giải:

2 6

1 3

3 2

⎡

⎣

⎦

⎥

⎥ R1 → R2

1 3

2 6

2 3

⎡

⎣

⎦

⎥

⎥ R2 - 2R1 → R2

1 3

0 0

2 7

⎡

⎣

⎦

⎥

⎥ → hệ phương trình vô nghiệm Lưu ý:

Quá trình giải hệ phương trình được trình bày trên còn được gọi là phép khử Gauss - Jordan (Gauss - Jodan Elimination)

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phép khử Gauss - Jordan

x y z

+ − =

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪ Giải:

cần 1 ≈ 23 12 11

3 7 0

−

−

−

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

R1 ↔ R3

cần 0 ≈ 13 13 21

0 7 3

−

−

−

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

R2 - 3R1 → R2

R3 - 2R1 → R3

cần 1 ≈ 10 103 27

0 7 3

−

−

−

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

1

10R2 → R2

cần 0 ≈ 10 13 72

10

0 7 10 3

−

−

−

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

R3 - 4R2 → R3

cần 1 ≈ 10 13 72

10

0 0 15

0 7 10 1 5

−

−

−

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎥ -5 * R3 → R3

cần 0 ≈ 10 13 72

10

0 7 10 1

−

−

⎡

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

cần 0 ≈ 10 13 00

0 0 1

2 0 1

−

⎡

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

R1 + 3R2 → R1

≈ 1 0 00 1 0

0 0 1

2 0 1

⎡

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

x y z

=

=

= −

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪

2 0 1

6 Các phép tính về ma trận:

6.1 Sự bằng nhau của 2 ma trận:

Hai ma trận gọi là bằng nhau nếu có kích thước và các phần tử tương ứng bằng nhau Cho A= a c

b d

⎡

⎣

⎦

⎣

⎦

=

=

=

= 6.2 Cộng, trừ 2 ma trận

⎡

⎣

⎦

⎥ Điều kiện: 2 ma trận phải có cùng kích thước m*n

Tính chất:

• A + B = B + C (giao toán)

• (A+B) + C = A + (B + C) (kết hợp)

R1 - 2R3 → R1

R2 +7/10R3 →R2

Ma trận thu gọn (Reduced matisix)

Ví dụ:

3 2

1

0

1 3

2 3

1 5

0 2

2 1

⎡

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥+

−

−

−

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥ 6.3 Nhân một hằng số với một ma trận:

b d

=⎡

⎣

⎦

⎥ ⇒ = ⎡

⎣

⎦

⎥

6.4 Nhân 2 ma trận

Cho ma trận A kích thước m*p (số hàng *số cột)

Điều kiện để nhân 2 ma trận p = q

• Tích của 2 ma trận A và B là một ma trận có kích thước m*n và được ký hiệu là A*B

• Phần tử ở hàng I cột j của ma trận tích bằng tổng các tích của các phần tử tương ứng ở hàng I của ma trận A vàa ở cột j ở ma trận B

Ví dụ:

A=

−

−

⎡

⎣

⎦

⎥

2

2

3 1

1

2 có kích thước (2*3)

B=

−

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

1 3

2 0

1 2

có kích thước (3*2)

× =⎡

⎣

⎦

⎥

có kích thước (2*2) với

a11 = ∑ các phần tử hàng 1 của A 8 các phần tử cột 1 của B

= 2*1 +3*2 +(-1)*(-1) = 9

a12 = -2*1 + 1*2 + 2(-1) = -2

a12 = 2*3 + 3*0 + (-1)2 = 4

a22 = -2*3 + 1*0 + 2*2 = -2

A B× =

⎡

⎣

⎦

⎥

Tính chất: A*B ≠ B*A

Vấn đề: Quản Lý Bán Hàng

Công ty Honda có hai đại lý bán xe X và Y Hai đại lý này chỉ chuyên bán xe Dream II và

xe môtô Doanh số bán hàng trong tháng 8 & 9 của 2 đại lý được ghi lại như sau:

Dream II Môtô Dream II Môtô Đại lý X $18,000 $36,000 Đại lý X $72,000 $144,000

a/ Tính toán doanh số trong 2 tháng 8 và 9 cho mỗi đại lý và mỗi loại xe

b/ Tính sự gia tăng doanh số từ tháng 8 đấn tháng 9

c/ Nếu tiền huê hồng Công ty Honda trả cho đại lý là 5% doanh thu Tính tiền huê hồng của mỗi đại lý cho mỗi loại xe nhận được trong tháng 9

Giải:

Y

+ =⎡

⎣

⎦

⎥

$90000 $180000

$126000 $108000

Y

− =⎡

⎣

⎦

⎥

$54000 $108000

$54000 $108000

c/5% × =⎡

⎣

⎦

⎥

Y

$3600 $7200

$4500 $5400

Vấn đề: Tính Chi Phí Lao Động

Số giờ công lao động cho mỗi sản phẩm được cho như sau:

M

=

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

0 6 0 6 0 2

Tiền lương tính theo giờ

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

Vấn đề:

a/ Kích thước của M, N và M*N

b/ Tính M*N và giải thích kết quả

Giải:

a/ Kích thước M: 3*3

Sản phẩm A

Sản phẩm C Sản phẩm B

Nhà máy I Nhà máy II

Cắt

Đóng gói Lắp ráp

Công tác Cắt Công tác Đóng gói

Công tác lắp ráp

M*N: 3*2

b/

M N

a

a

a a

.

.

=⎡

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥=

⎡

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

21

31

22 32

9 11

14 1

19 8

17 2

24 1

a11 0 6 0 6 0 2

6 8 3

0 6 6 0 6 8 0 2 3

=

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

a11: chi phí lao động cho sản phẩm A tại nhà máy I

a12 0 6 0 6 0 2

7 10 4

0 6 7 0 6 10 0 2 4

=

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

a12: chi phí lao động cho sản phẩm A tại nhà máy II

a21 1 0 9 0 3

6 8 3

1 6 0 9 8 0 3 3 1

=

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

a21: chi phí lao động cho sản phẩm B tại nhà máy I

a22 1 0 9 0 3

7 10 4

1 7 0 9 10 0 3 4 2

=

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

a22: chi phí lao động cho sản phẩm B tại nhà máy II

a31 15 12 0 4

6 8 3

15 6 12 8 0 4 3 8

=

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

a31: chi phí lao động cho sản phẩm C tại nhà máy I

a31 15 12 0 4

7 10 4

15 7 12 10 0 4 4 1

=

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

Bảng kết mã của M*N cho thấy rằng chi phí lao động cho mỗi sản phẩm tại mỗi nhà máy

7 Ma trận nghịch đảo của ma trận vuông, phương trình ma trận:

7.1 Ma trận nghịch đảo của ma trận vuông (Inverse matrix)

a/ Ma trận vuông cấp n: ma trận có kích thước n*m

(Square matrices or order n)

Nhà máy I

Nhà máy II

Sản phẩm C Sản phẩm B

ma trận 3*1

ma trận 3*1

b/ Ma trận đơn vị: (Identity matrix)

Là ma trận vuông có các phần tử trên đờng chéo chính bằng 1 và các phần tử khác bằng 0

I =⎡

⎣

⎦

⎥

1 0

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

1 0 0

0 1 0

0 0 1

c/ Ma trận nghịch đảo của ma trận M:

Được ký hiệu là M-1

M*M-1 = M-1*M = I

M-1 có cùng kích thưóc với m

d/ Tìm M -1

Tìm ma trận nghị[I B]ch đảo M-1 củaM =⎡

⎣

⎦

⎥

2 3

1 2 Gọi M a c

b d

− =⎡

⎣

⎦

⎥ ⇒

1 vấn đề: a, b, c, d = ? M*M-1 = I

2 3

1 2

⎡

⎣

⎦

⎥ ×⎡a c b d

⎣

⎦

⎥ =⎡

⎣

⎦

⎥

1 0

0 1

1 0

0 1

⎡

⎣

⎦

⎥ =⎡

⎣

⎦

⎥

⎧

⎨

⎩

d

= −

=

⎧

⎨

⎩

3 2

−

⎡

⎣

⎦

⎥

1 2 Cách khác: Nếu [M I]chuyển thành [I B]thì M-1 = B

Ví dụ:

Tìm M-1 của M = 2 3

1 2

⎡

⎣

⎦

⎥

]

1 2

1 0

0 1

⎤

⎦

⎥

⎡

⎣

⎢

⎢

≈ 1 2

2 3

0 1

1 0

⎤

⎦

⎥

⎡

⎣

⎢

⎢

Tính chất:

MI = IM = IN

R1↔ R2

R2 -2R1↔ R2

≈ 1 2

0 1

0 1

1 2

⎤

⎦

⎥

⎡

⎣

⎢

⎢

≈ 1 2

0 1

0 1

1 2

−

⎤

⎦

⎥

⎡

⎣

⎢

⎢

≈ 1 0

0 1

1 2

−

−

⎤

⎦

⎥

⎡

⎣

⎢

⎢

≈ [I B]

−

⎡

⎣

⎦

⎥

1 2

7.2 Phương trính ma trận

a/ Phương trình ma trận

a x b y c z d

a x b y c z d

a x b y c z d

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪

x y z

d d d

1 2 3

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

×

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

=

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

Phương trình ma trận: A * X = B

b/ Cách giải:

A X = B

A-1(AX) = A-1*B

(A-1A) X = A-1*B

I * X = A-1 * B

X = A-1 * B

Ví dụ:

Giải phương trình 2 3 8

⎧

⎨

⎩

2 3

1 0

8 5

⎡

⎣

⎦

⎥ ×⎡

⎣

⎢ ⎤

⎦

⎥ =⎡

⎣

⎢ ⎤

⎦

⎥

x y

A = 2 3

1 2

1 2

1

⎡

⎣

⎦

⎥ ⇒ =⎡− −

⎣

⎦

⎥

−

A

-R2↔ R2

R1 -2R2↔ R1

C

A− × =B −

−

⎡

⎣

⎦

⎥⎡

⎣

⎢ ⎤

⎦

⎥ = ⎡− −+

⎣

⎦

⎥ =⎡

⎣

⎢ ⎤

⎦

⎥

1 2

8 5

2 8 3 5

1 8 2 5

1 2

X = x

x y

⎡

⎣

⎢ ⎤

⎦

⎥ = × =⎡

⎣

⎢ ⎤

⎦

⎥ ⇒⎧⎨ ==

⎩

2

1 2