Toán ứng dụng trong kinh doanh MS07-R01aV

Toán ứng dụng trong kinh doanh

Chương I ĐỒ THỊ

1 HỆ TỌA ĐỘ: (Coordinates System)

1.1 Hệ toạ độ vuơng gĩc: (Cartersian Coordinates System)

Hệ toạ độ vuơng gĩc trong một mặt phẳng được cấu tạo bởi hai trục số thực vuơng gĩc với nhau Trục nằm ngang (Horizontal axes) gọi là trục hồnh x’ox, trục thẳng đứng (Vertical axes) gọi là trục tung y’oy Giao điểm của hai trục gọi là gốc tọa độ (Origin) O Hệ tọa độ vuơng gĩc chia mặt phẳng làm 4 vùng I, II, III và IV

x

y

M(x,y)

x

y

x'

y'

1.2 Tọa độ của một điểm trong mặt phẳng:

Vị trí của một M trong mặt phẳng được xác định bằng hồnh độ x (Abscisga) và tung độ (Ordinade) y

(x,y) được gọi là tọa độ của điểm M và được ký hiệu M(x,y)

1.3 Khoảng cách giữa hai điểm:

Cho hai điểm M1(x1,y1) và M2(x2,y2) trong mặt phẳng khoảng cách giữa hai điểm

M1,M2 được tính theo cơng thức sau:

y

M 2 (x 2 ,y 2 )

x 2

y 2

x'

y' 0

M 1 (x 1 ,y 1 )

x 1

y 1

∆x = x 2 -x 1

∆y = y 2 -y 1

d = M M1 2 = x2 −x1 2 + y −y

2

d = 5

1.4 Gia số:

Gia số của x là ∆x = x2 -x1

y là ∆y = y2 -y1

2 ĐƯỜNG THẲNG

2.1 Phương trình của đường thẳng

- Dạng tổng quát (Dạng chuẩn):

C By

Là phương trình bậc nhất theo x và y A, B, C là các hằng số

- Dạng thông dụng:

b mx

m: độ dốc (slope)

b: tung độ gốc (intercept): x = 0 ⇒ y = b

2.2 Độ dốc:

Gọi m là độ dốc của đường thẳng (D)

x

∆

∆

α

Ý nghĩa của độc dốc: Khi thay đổi 1 đơn vị thì y thay đổi m đơn vị

x

M1(x1, y1) ∆y = y2 - y1

∆x = x2 - x1

(D)

y2

α

y1

b

Nhận xét:

+ Đi lên

(Đồng biến)

m>0

+ Đi xuống

+ Nằm ngang

+ Thẳng đứng

2.3 Xác định phương trình đường thẳng:

Xác định phương trình đường thẳng khi biết độ dốc m và tung độ gốc b (Slope

-Intercept form)

b mx

Ví dụ:

a) Xác định độ dốc, tung độ gốc và vẽ đồ thị của đường thẳng có phương trình :

y = -2/3x - 3

b) Viết phương trình của đường thẳng có độ dốc là 2/3 và tung độ gốc là -2

Giải

y

0

x (D)

y

(D) y

x

0

0

x (D)

0

x (D)

x -4

-3 (D)

b y = 2/3 x - 2

Xác định phương trình đường thẳng đi qua một điểm M(x 1 , y 1 ) và biết trước độ dốc m (Point-Slope Form)

x x

−

1 1 Phương trình đường thẳng có dạng: y - y1 = m(x - x1)

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng có độ dốc là 1/2 và đi qua điểm (-4,3)

Giải: Phương trình đường thẳng có dạng: y -y1 = m(x - x1)

m=1

2, x1 = -4, y1 = 3

y -3 =1

2(x + 4) =

1

2x +2 Vậy: y = 1

2x + 5

Xác định phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm M 1 (x 1 ,y 1 ) và M 2 (x 2 ,y 2 )

Độ dốc của đường thẳng là:

−

Phương trình đường thẳng có dạng:

1

−

hay y y

x x

−

−

−

1

1

(D) M(x,y)

M1(x1,y1)

y

y1

0

x

x1

x

∆y = y2 - y1

M2 (x2,y2)

M1(x1,y1)

y

y2

y1

x2

x1

∆x = x2 - x1

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm có tọa độ (-3,2) và (-4,5)

Giải: Phương trình đường thẳng có dạng:

x x

−

−

− 1

1

− −

+

−

2

5 2

3

3 1

( ) ( )

Đường thẳng nằm ngang và đường thẳng thẳng đứng

+ Phương trình đường thẳng nằm ngang: y = b

+ Phương trình đường thẳng thẳng đứng: x = b

Ví dụ: Phương trình đường thẳng đứng và đường nằm ngang đi qua điểm có tọa độ (-2,3)

Giải:

Đường thẳng song song và thẳng góc

Cho 2 đường thẳng (D1) và (D2) có độ dốc tương ứng là m1 và m2

+ Nếu (D1) // (D2) thì m1 = m2

+ Nếu (D1) ⊥ (D2) thì m1*m2 = -1

Ví dụ: Cho đường thẳng (D) có phương trình y =1

2x - 2 và điểm A(2,-3) Viết phương trình của đường thẳng

a (D1) đi qua diểm A và song song với đường thẳng (D)

b (D2) đi qua điểm A và thẳng góc với đường thẳng (D)

Giải:

a Gọi m1 là độ dốc của đường thẳng (D1)

y

x=-2

x

(D1) // (D) ⇒ m1 = m =1

2 (D1): y - y1 = m1 (x-xA)

2(x-2)

2x - 4

b Gọi m2 là độ dốc của đường thẳng (D2)

(D2) ⊥ (D) ⇒ m2* m = -1 → m2 = − 1 = −1 = −

1 2

2

m

(D2): y - yA = m2 (x - xA)

y + 3 = -2(x - 2)

y = -2x +1

3 HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

3.1 Hàm số;

a Định nghĩa hàm số:

Một hàm số f từ tập hợp X đến tập hợp Y là một qui tắc sao cho với mỗi phần tử x∈X

có tương ứng với nhiều nhất một phần tử y∈Y

x: biến số (tạo ảnh)

y: hàm số (ảnh)

b Miền xác định và miền gía trị của hàm số:

Miền xác định D (Domain)

D = {x∈X y/ = f x( ) }

X

= f(x) y

D

V

D là tập hợp gồm những phần tử x có tương ứng với phần tử y

Miền giá trị V V={y Y y∈ / = f x( ) }

V là tập hợp gồm những phần tử y có tương ứng với phần tử x

Ghi chú: Hàm số f từ tập hợp X đến tập hợp Y chính là một ánh xạ từ D đến Y, có ý nghĩa f là một qui tắc sao cho mỗi phần tử x∈ D đều tương ứng với một và chỉ một phần

tử y∈Y

c Miền xác định của một số hàm số cơ bản

Hàm đa thức:

y = Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + + a2x2 + a1x1 + a0

Miền xác định D = R có nghĩa là y = f(x) được xác định với mọi x∈R

Ví dụ: Hàm số y = f(x) = 3x2 - 2x + 1

D = R = (-∞,∞)

Q x

n m

( )

y = được xác định khi Qm(x) ≠ 0

Hàm vô tỉ

y = P x n( )

y = f(x) được xác định khi Pn(x) ≥ 0

Ví dụ: Tìm miền xác định của các hàm số sau:

x

−

Giải

a y được xác định khi x-1 ≠ 0 hay x ≠ 1: D = R\ { }1

b y được xác định khi x-3 ≥ 0 hay x ≥ 3: D = [3,∞ )

3.2 Đồ thị

a Định nghĩa:

Để nghiên cứu hàm số f(x) ta thường biểu diễn cặp số (x, f(x)) lên mặt phẳng tọa độ Tập họp các điểm biểu diễn các cặp số này gọi là đồ thị hàm số f

b Sự biến thiên của hàm số f

Hàm số đồng biến

Hàm f đồng biến trên khoảng (a,b)

⇔ [∀ x1, x2 ∈ (a,b), x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)]

− >

⎡

⎣

⎦

⎥

x x a b f x f x

x x

0 , ( , ), ( ) ( )

x

y

y

y = f(x) f(x 2 )

x 2

f(x 1 )

x 1

Hàm số nghịch biến:

Hàm số f nghịch biến trên (a,b)

⇔ [∀x x1, 2 ∈( , ),a b x1 px2 ⇒ f x( )1 f f x( )2 ]

−

⎡

⎣

⎦

⎥

x x a b f x f x

x x

0 , ( , ), ( ) ( ) p

x

y

∆y

y = f(x) f(x 2 )

x 2

f(x 1 )

x 1

c Sự dịch chuyển đồ thị của hàm số:

Dịch chuyển theo phươngđứng Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = f(x)

(C) dịch lên trên: y = f(x) + k, k > 0

(C) dịch xuống dưới: y = f(x) - k, k > 0

Dịch chuyển theo phương ngang

Dịch qua phải: y = f(x - h), h > 0

Dịch qua trái: y = f(x + h), h>0

x

y

y = f(x)

y = f(x+k)

y = f(x)+h

Đối xứng qua trục X:

y = -f(x)

x

y

y = f(x)

y = -f(x)

Giãn và co đồ thị:

Giãn đồ thị: y = C f(x), C > 1

Co đồ thị: y = C f(x), 0 < C < 1

0 1 2 3 4 10

20 30

x

y

y = k*f(x)

y = f(x)/k

y = f(x)

Vấn đề: Chuyển Hệ Trục Tọa Độ

Đối xứng oxy: M(x,y), O’(a,b)

Đối xứng O’XY: M(X,Y)

y b Y

= +

= +

⎧

⎨

= −

= −

⎧

⎨

⎩

Ưng dụng: Vẽ đô thị

+ Cho đồ thị y = f(x)

+ Vẽ đồ thị y = f(x-K) và y = f(x+K)

= −

=

⎧

⎨

=

⎧

⎨

⎩ Kết Luận:

+ Đồ thị y = f(x-K) là đồ thị y = f(x) dịch qua phải K đơn vị

+ Đồ thị y = f(x+K) là đồ thị y = f(x) dịch qua trái K đơn vị

Vấn đề: Chi Phí

Chi Phí

• Tổng Chi Phí (Total Cost - TC): Chi phí cố định (Fixed Cost - FC)

Chi phí biến đổi (Variable Cost - VC)

• TC = f(Q), Q: Sản lượng

• FC là chi phí mà một xí nghiệp nhất thiết phải chi trả dù không sản xuất gì cả

• VC là chi phí tăng lên cùng với mức tăng của sản lượng

Y y

Y

0’ b

x

X

• Chi phí cận biên (Marginal Cost - MC): là chi phí gia tăng để sản xuất thêm một đơn

vị sản phẩm

• Chi phí Bình Quân (Average Cost - AC)

Q

Q

=

Q

=

Ví dụ: Một công ty sản xuất giầy nhận thấy rằng chi phí cố định là 300 USD mỗi ngày và tổng chi phí là 4300 USD mỗi ngày ứng với tổng sản lượng mỗi ngày là 100 đôi giầy Giả

sử rằng tổng chi phí TC (USD) có quan hệ tuyến tính với sản lượng x (đôi giầy)

a Xác định phương trình của chi phí cố định FC theo sản lượng x

b Xác định phương trình của chi phí biến đổi VC theo sản lượng x

c Xác định phương trình của tổng chi phí TC theo sản lượng x

Giải:

a Xác định phương trình của chi phí cố định TC:

FC = 300

b Xác định phương trình của chi phí biến đổi VC theo sản lượng x: VC = f(x)

VC = f(x) = mx + b

x = 100 ⇒ VC = TC - FC = 4300 - 300 = 4000

4000 0

Vậy: VC = 40x

c Xác định phương trình của tổng chi phí TC theo sản lượng x:

TC = FC + VC = 300 + 40x

TC

VC

VC FC

Q

FC C

C

FC

VC TC

300

Vấn đề: Thu Nhập

Bộ phận nghiên cứu thị trường của công ty sản xuất linh kiện điện tử cho máy vi tính đã

xác định phương trình đường cầu của linh kiện điện tử là:

x = 10000 - 50p Trong đó x là só lượng linh kiện được bán ở mức giá $p mỗi linh kiện

a Trình bày thu nhập R dưới dạng hàm của x

b Tìm miền xác định của hàm R

Giải:

a x = 10000 - 50p ⇔ p = 200 - 1

50x

R = px = (200 - 1

50x) = 200x -

1

50x

2

b Tìm miền xác định của R

Điều kiện x ≥ 0

50x ≥ 0 → x ≤ 10000

⇒ 0 ≤ x ≤ 10000 hay D = [0, 10000]

Vấn đề: Điểm Hòa Vốn (Break - Even point Analysis)

$

FC TC

300 TR=TC

Q BE

TR

TC = FC + VC = FC + v*x

TR = p*x

Ở điểm hòa vốn x = xBE Ta có TC = TR:

FC + v*xBE = xBE*p

BE =

−

Ví dụ: Một công ty sản xuất bưu thiếp nhận thấy rằng chi phí cố định để sản xuất bưu thiếp là 9000$ và chi phí biến đổi là 3,5$ mỗi bưu thiếp và giá mỗi bưu thiếp là 5$ Tìm sản lượng hòa vốn của công ty

Giải:

TC = 9000 + 3,5x và R = 5x

TC = R ⇒ 9000 +3,5 x = 5x ⇔ xBE = 9000

5 35− =6000 bưu thiếp

Lưu ý:

Vấn đề: Mô Hình Khấu Hao Tuyến Tính (Deppreciation)

(Mô Hình Khấu Hao Đều)

(Mô Hình Sản Lượng - Straight Line)

Theo mô hình hấu hao đều Chi phí khấu hao D cho mỗi năm sẽ là:

n

Trong đó:

P: giá trị của tài sản

SV: giá trị còn lại

n: thời kỳ hấu hao

P-SV: Giá trị tài sản đầu tư bị giảm

Giá trị bút toán của tài sản ở cuối năm t là Bvt

BVt

t 2

SV P Giá trị tài sản

BV P D t P P SV

Ví dụ: Một tài sản có giá trị ban đầu là 50 triệu đồng Giá trị còn lại sau 5 năm là 10 triệu đồng Tính chi phí khấu hao hằng năm và chi phí bút toán vào cuối năm thứ hai

Giải:

D= 50 10− =

BV2 = 50-8*2 = 34 trĐ/năm

Vấn đề: Đường Cung và Cầu

1 Đường Cầu: (Demand Curve)

- Đường cầu là sự tương quan giữa giá và lượng cầu của một mặt hàng (khi các giá trị khác được giữ không đổi)

- Phân biệt giữa Cầu và lượng cầu: (Demand and Quantity Demanded)

+ Cầu mô tả hành vi của người mua ở tất cả mức giá

+ Lượng cầu chỉ có ý nghĩa trong mối quan hệ với một mức giá cụ thể

Nói cách khác, danh từ Cầu chỉ toàn bộ đường cầu trong khi danh từ lượng cầu chỉ một điểm cụ thể nào đó trên đường cầu

- Điều kiện một đường cầu: tương quan giữa giá và lượng cầu là nghịch biến nghĩa

là giá tăng ⇒ lượng cầu giảm

- Độ dốc của đường cầu phản ánh mức đáp ứng của lượng cầu đối với các thay đổi

về giá

2 Đường Cung: (Supply Curve)

- Đường cung là sự tương quan giữa giá và lượng cầu của một mặt hàng (khi các giá trị khác được giữa nguyên)

- Phân biệt giữa Cung và lượng cầu (Supply and Quantity Supplied)

+ Cung mô tả toàn diện về số lượng mà người bán muốn bán ở mọi mức giá + Lượng cung có ý nghĩa trong mối quan hệ với mức giá cụ thể

Giá

(P)

Lượng cầu (Q)

Đơn giản

Giá (P)

Q D

1

Q D

Po

P1

Nói cách khác, danh từ Cung chỉ toàn bộ đường cung trong khi danh từ lượng cung chỉ một điểm cụ thể nào đó trên đường cung

- Điều kiện một đường cung, tương quan giữa giá và lượng cung là đồng biến, nghĩa là giá tăng ⇒ lượng cung giảm

- Độ dốc đường cung phản ánh mức đáp ứng của lượng cung đối với các thay đổi về giá

Ví dụ: Cung và cầu về gạo

Giá P

D

S

(triệu kg/tháng) 2,5

2,4

2,3

2,2

2,1

9

10

12

15

20

18

16

12

7

2

Q 2.1

2.5 2.4 2.3 2.2

P0

S D

0

Q0=12

P

3 Sự cân bằng giữa Cung và Cầu:

- Một thị trường tồn tại khi có sự giao tiếp giữa các người mua và người bán trong niệc bán một mặt hàng hay dịch vụ

P

P1

P

Q S

1

Q S

0

Q

P0

Q

- Thị trường cân bằng khi đường cung gặp đường cầu Giao điểm của đường cung

và đường cầu là điểm cân bằng Ở điểm cân bằng ta có giá cân bằng và lượng cân bằng

Trên thực tế, Cung và Cầu không phải lúc nào cũng trong trạng thái cân bằng, nhưng xu hướng các thị trường đều tiến tới cân bằng

4 Sự dịch chuyển của đường Cung và Cầu:

P0

Dư Cầu

Q

Q0

P

Q S

1

S

S

D

P0

P1

Q project

D

P0

P1

Q project

1

Q D

1