Toán ứng dụng trong kinh doanh
Trang 1Chương 9 TÍCH PHÂN
(Integration)
1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
1.1 Nguyên hàm (Antiderivative)
a) F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a,b) ⇔ ∀x ∈ (a,b), F ’(x) = f(x)
Ví dụ:
F(x) =
3
x3
f(x) = x2
Ta có
F’(x) = x2 = f(x) ⇒ F(x) là nguyên hàm của f(x)
b) Nếu hai hàm số F(x) và G(x) cùng là nguyên hàm của f(x) thì F(x) và G(x) sẽ khác nhau một hằng số K; nghĩa là
F(x) = G(x) + K
Vì F’(x) = [G(x) + K]’ = G’(x) = f(x)
1.2 Bảng công thức tính nguyên hàm
Hàm số f(x) Nguyên hàm F(x)
1 n
xn 1
+
+
f(x) =
x
1
F(x) = ln|x| + C
lna
ax
+ C
1.3 Tích phân bất định (Indefinite Integral)
• Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x), tích phân bất định của hàm số f(x) được ký hiệu là ∫f(x)dx
∫f(x)dx = F(x) + C
Trang 2• Công thức và tính chất của tích phân bất định
∫adx=ax+C
+
1 n
x dx
x
1 n
∫ dx =lnx +C
x
1
∫exdx =ex +C
lna
e dx
a
x
∫kf(x)dx=k∫f(x)dx
∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx
Ví dụ:
Tính ∫(4x3 +2x−1)dx =∫4x3dx+∫2xdx+∫(−1)dx
2
x 2 4
x
= x4 + x2 – x + C
Lưu ý: Đổi biến số
du = udx
∫(x+1)2dx
Đặt u = (x+1) ⇒ u’ = 1 ⇒ du = dx
3
1) (x C 3
+
+
= +
Ví dụ: Hàm chi phí
a) Xác định hàm chi phí C(x) cho biết:
Hàm chi phí cận biên C’(x) = 0,3x2 + 2x và
Chi phí cố định là $2000
b) Tìm chi phí để sản xuất 20 đơn vị sản phẩm
Giải:
a) C(x) =∫C'(x)dx=∫(0,3x2 +2x)dx
2
x 2 3
x
C(x) = 0,1x3 + x2 + C
Ta có x = 0 ⇒ C(0) = C = 2000
Vậy C(x) = 0,1x3 + x2 + 2000
Trang 3b) C(20) = 0,1*203 + 202 + 2000 = 3200$
Ví dụ: Hàm doanh thu
a) Tìm R(x) biết R’(x) = 400 – 0,4x và x = 0 ⇒ R(x) = 0
b) R(1000)
Giải:
a) R(x) = ∫R'(x)dx=∫(400−0,4x)dx= 400x – 0,4*x2/2 + C
R(x) = 400x – 0,2x2 + C
R(0) = C = 0
R(x) = 400x – 0,2x2
b) R(1000) = 400×103 – 0,2×106 = 200.000 $
2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (Definite Integral)
2.1 Hình thang cong
• Hình thang cong là hình giới hạn bởi các đường
y = f(x)
y = 0
x = a
x = b
• Diện tích hình thang cong S
∆Si = f(ξi)∆xi với ∆xi = xi – xi-1
=
∞
→
=
→
1
n n
1
0
lim
f(ξi)
y = f(x)
xi-1 xi
ξi
S
Trang 42.2 Tích phân xác định
a Định nghĩa:
Cho f là hàm liên tục và f(x) ≥ 0 trên đoạn [a, b]
Nếu
1 a = x0 ≤ x1≤ x2≤ … ≤ xn-1≤ xn = b
2 ∆xi = xi – xi-1 , i = 1 ÷ n
3 ∆xi → 0 khi n → ∞
4 xi ≤ ξi ≤ xi-1 , i = 1 ÷ n
=
∞
1
n b
a
x ) ( lim dx )
x
(
được gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) từ a đến b, với a là cận dưới và b là cận trên của tích phân
b Ý nghĩa hình học của tích phân xác định
Ý nghĩa hình học của tích phân xác định là diện tích của hình thang cong
∫
= b
a
dx ) x ( S
c Tính chất của tích phân xác định
Nếu f là hàm liên tục trên [a, b]
a
0 dx
)
x
(
b
b
a
dx ) x ( dx
)
x
(
a
b a
dx ) x ( k dx )
x
(
kf
a
b a
b
a
dx ) x ( g dx ) x ( dx )]
x ( g )
x
(
[
b c
c a
b
a
dx ) x ( dx ) x ( dx
)
x
d Công thức Newton Leibnitz
Nếu f(x) là liên tục trên [a, b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì
] F ( b ) F ( a ) )
x ( F dx
)
x
a b
a
−
=
=
∫
Trang 5e Định lý về giá trị trung bình
Nếu f liên tục trên [a, b] ⇒ ∃ c∈ [a, b]:
∫
−
=
b a
dx ) x ( a
b
)
c
Ví dụ: Diện tích của hình thang cong giới hạn bởi: y = f(x), y = 0, x =a, x = b
∫
=
b a
dx ) x ( S
Tìm diện giới hạn bởi đường y = x, y = 0, và
a) x = 0 và x = 2
b) x = 2 và x = 4
Giải:
2 2
0 2
2 2
x xdx dx
) x (
2
0
2
0
2 2
0
⎦
⎤
=
=
6 2
2 2
4 2
x xdx dx
) x (
4
2
4
2
2 4
2
⎦
⎤
=
=
Ví dụ: Diện tích giới hạn bởi hai đường f(x) và g(x), x = a, x = b
=
b
a
dx )]
x ( g ) x ( [ S
y = x
x
y
2 4
S2
S1
x
a b
y = f(x)
y = g(x)
S
S
y = f(x)
x
y
Trang 6Ví dụ: Thặng dư người tiêu dùng CS (Customers’ Surplus)
Thặng dư nhà sản xuất PS (Producers’ Surplus)
Cho phương trình đường cầu và đường cung
20
1
20 −
5000
1
2 + a) Tìm điểm cân bằng về giá và sản lượng
b) Tìm thặng dư người tiêu dùng CS
c) Tìm thặng dư nhà sản xuất PS
Giải:
Bước 1: Tìm điểm cân bằng
Điểm cân bằng là nghiệm của phương trình D(x) = S(x)
x 20
1
5000
1
x2 + 250x – 9000 = 0
⇒ x = 200 hay x = -450
20
1
Bước 2: Vẽ đồ thị
Bước 3: Tìm CS
40
1 x 10 dx ] 10 x 20
1 20 [ dx ] p )
x
(
D
[
200
0 2 200
0
0
0
∫
CS = $1000
S(x)
D(x)
CS
400 300
200
100
0
PS
20
10
15
5
x p
Trang 7Bước 4: Tìm PS
200
0 3 200
0
2
200
0
2 0
0 0
x 15000
1 x 8 dx ] x 5000
1 8 [
dx )]
x 5000
1 2 ( 10 [ dx )]
x ( S p [ PS
⎥
⎥
⎦
⎤
−
=
−
=
+
−
=
−
=
∫
∫
∫
= 1600 – 1600/3 = $1,067
Ví dụ:
b
a
b
a
dx ) x ( dx
)]
x ( 0 [
y