Toán ứng dụng trong kinh doanh MS07-R06bV

Toán ứng dụng trong kinh doanh

Chương 6

LẤY MẪU VÀ PHÂN PHỐI MẪU

(Sampling and Sampling Distribution)

6.1 LẤY MẪU TỪ TẬP HỢP CHÍNH (Sampling from a Population)

6.1.1 Tập hợp chính (Population)

Tập hợp chính là tập hợp tất cả các đối tương mà ta quan tâm nghiên cứu trong một vấn

đề nào đó Số phần tử của tập hợp chính được ký hiệu là N

- Nếu N là số hữu hạn ta có tập hợp chính hữu hạn (finite population)

- Nếu N là số vô hạn ta có tập hợp chính vô hạn (infinite population)

6.1.2 Mẫu (Sample)

Mẫu là tập hợp con của tập hợp chính Số phần tử của mẫu đã ký hiệu là n (cỡ mẫu)

6.1.3 Lấy mẫu ngẫu nhiên đơn giản (Simple Random Sampling)

Đó là cách chọn n phần tử từ tập hợp chính gồm N phần tử sao cho mỗi tổ hợp trong CnN

tổ hợp đều có cùng khả năng được chọn như nhau Kết quả của việc chọn này cho ta các mẫu ngẫu nhiên (random sample)

Việc lấy mẫu ngẫu nhiên có thể tiến hành theo cách lấy mẫu không hoàn trả lại (sampling without replacement) hay theo cách lấy mẫu có hoàn trả lại (sampling with replacement)

6.1.4 Phân phối mẫu (Sampling Distribution)

Các mẫu đều có các đặc trưng thống kê của mẫu như số trung bình X , phương sai 2

x

S

Phân phối xác suất của các đặc trưng thống kê của mẫu được gọi là phân phối mẫu

Trong chương này ta khảo sát phân phối mẫu của X , 2

x

S Suy diễn thống kê (Statistic Inference) : Dựa vào các đặc trưng thống kê của mẫu ta có thể suy rộng ra cho các đặc trưng thống kê của tập hợp chính

6.2 PHÂN PHỐI MẪU CỦA SỐ TRUNG BÌNH CỦA MẪU X

(Sampling Distribution of the Sample Mean)

Phân phối mẫu của số trung bình của mẫu là phân phối xác suất của đại lượng X

6.2.1 Kỳ vọng của số trung bình mẫu E ( X )

Giả sử tập hợp chính có N phần tử, có trung bình là µx và phương sai là σ Ta có: 2x

X

N

i∑ i

=

i∑ i −µ

=

2 2

Gọi X1, X2 Xn là mẫu ngẫu nhiên có cỡ mẫu là n, được chọn từ tập hợp chính Số trung bình của mẫu là :

∑

n

• Kỳ vọng của số trung bình mẫu của số trung bình mẫu E (X ) là giá trị trung bình của

tập hợp chính µx Nói cách khác, phân phối mẫu của X có số trung bình là µx

E(X ) = µx

Thí dụ: Giả sử tập hợp chính gồm 5 học sinh có số tuổi là 2, 4, 6, 8 và 10 Trong trường hợp này số trung bình của tập hợp chính sẽ là

µx = 1/5(2+4+6+8+10) = 6

Giả sử lấy mẫu ngẫu nhiên không hoàn lại với cỡ mẫu là 2 Ta sẽ có C25 = 10 mẫu khác nhau (với cỡ mẫu là 2) Và mỗi mẫu sẽ có số trung bình của mẫu X như sau :

Sample 2,4 2,6 2,8 2,10 4,6 4,8 4,10 6,8 6,10 8,10

X 3 4 5 6 5 6 7 7 8 9 Phân phối mẫu của số trung bình X là :

(Phân phối xác suất của đặc trưng thống kê của mẫu X

Sample 3 4 5 6 7 8 9 10

Kỳ vọng của X

E(X ) = Σ X * p( X )

= 3 * 0,1 + 4 * 0,1 + 5 * 0,2 + 6 * 0,2 + 7 * 0,2 + 8 * 0,1 + 9 * 0,1

E(X ) = 6 = µx

6.2.2 Phương sai của số trung bình mẫu (σ2X)

a) Trường hợp tập hợp chính vô hạn (Infinite Polulation)

Phương sai của số trung bình mẫu X được ký hiệu là σ2

x Var (X ) = σ2x =

nx

σ2

Đúng khi n < N Với σ2

x là phương sai của tập hợp chính, n là cỡ mẫu

Var (X ) = σ2x = ( )

1 N

n

N n

2 x

−

− σ

b) Trường hợp tập hợp chính hữu hạn (Finite Population)

Thí dụ:

Tính phương sai của X trong thí dụ trên

Phương sai của tập hợp chính

σ2

x = E[(Xi - µx)² = Σ(xi - µx)² * P(Xi) µx = 6; P(Xi) = 1/5

= 1/5[(2-6)² + (4 - 6)² + (6 -6 )² + (8-6)² + (10 - 6)²]

σ2

x = 8

Phương sai của X tính từ định nghĩa

Var (X ) = E [( X - E( X ))2] = E [(X - 6)2] vì E (X ) = µx = 6

= [(3-6)2*0,1 + (4-6)2*0,1 + (5-6)2*0,2 + (6-6)2*0,2 + (7-6)2*0,2 + (8-6)2

*0,1 + (9-6)2*0,1]

Var (X ) = σ2

x = 3 Nếu áp dụng công thức :

1 5

2

5 2

8 1 N

n

N n

2 x 2

−

−

=

−

− σ

=

6.2.3 Độ lệch chuẩn của số trung bình mẫu (σX)

Độ lệch chuẩn của X được ký hiệu (σ ) X

n

= 2 = Đối với tập hợp chính vô hạn

hay

1 N

n N n

x

− σ

=

σ * Đối với tập hợp chính hữu hạn

x

σ được xem như sai số chuẩn (Standard Error) của số trung bình mẫu X

6.2.4 Lấy mẫu từ tập hợp chính tuân theo phân phối chuẩn

(Sampling From Normal Population)

Luật phân phối của số trung bình mẫu X

Nếu tập hợp chính của biến X tuân theo phân phối chuẩn với số trung bình là µx và phương sai σx thì số trung bình mẫu X sẽ tuân theo phân phối chuẩn với số trung trình là

µx và phương sai là 2 n

x/

σ2

6.2.5 Chuẩn hóa số trung bình mẫu X

X

σ Nếu X có số trung bình là µx và phương sai là σ2

X thì Z có số trung bình là 0 và phương sai là 1

Nếu X~N(µx ,σ2X) ==> Z~N( )0,1

6.2.6 Định lý giới hạn trung tâm (Central Limit Theorem)

Khi n lớn thì

n

X Z

X

X

σ

µ

−

= sẽ gần đúng có phân phối chuẩn chuẩn hóa hay X có

phân phối chuẩn với số trung bình là µx phương sai xn

2

σ

Khi n lớn ==> Z ~ N(0, 1) hay X N

n

~ ⎛µ , σ2

⎝

⎠

⎟

Thí dụ :

Chiều dài của các cây thước kẻ trong dây chuyền sản xuất thước tuân theo phân phối chuẩn với µ = 30cm Độ lệch chuẩn xung quanh số trung trung bình là σ = 0,1cm Nhân viên thanh tra lấy mẫu với cỡ mẫu n = 4 và nhận thấy số trung bình của mẫu là X = 29875cm Tìm xác suất để số trung bình của mẫu nhỏ hơn hoặc bằng 29875cm

Giải :

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

≤

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

〈

4 0,1

30 29875 n σ

30 X P 29875 X

P

= P (Z ≤ - 350) = 0,062

Thí dụ :

Một nhà sản xuất phụ tùng xe ôtô cho biết tuổi thọ của phụ tùng xe tuân theo luật phân phối chuẩn với số trung bình là 36.000 dặm và độ lệch chuẩn là 4.000 dặm Đối với một mẫu được chọn một cách ngẫu nhiên với cỡ mẫu là 16 thì tuổi thọ trung bình của mẫu là 34.500 dặm Nếu nhà sản xuất nói đúng thì xác suất để số trung bình mẫu nhỏ hơn hoặc

bằng giá trị của mẫu đã đo là bao nhiêu

Giải :

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

〈

−

=

〈

16 4000

000 36 500 34 500

34

X X

X P X

P

σ µ

= P (Z < -1,5) = 0,0668

Thí dụ:

Giả sử tập hợp chính tuân theo phân phối chuẩn với µ = 40, σ 2 = 100

X

µ = 40

f(x)

Lấy 1.000 mẫu ngẫu nhiên với cỡ mẫu 5 Gọi X là số trung bình của mẫu X tuân theo

phân phối chuẩn với số trung bình là µ = 40 phương sai σ2 100

Lấy 1.000 mẫu ngẫu nhiên với cỡ mẫu 10 Gọi X là số trung bình của mẫu X tuân theo phân phối chuẩn với số trung bình là µ = 40, phương sai σ2 100

X

µ = 40

f(x)

Ν = 10

Ν=5

Nhận xét :

Phương sai của phân phối mẫu sẽ giảm khi cỡ mẫu tăng

6.3 PHÂN PHỐI MẪU CỦA PHƯƠNG SAI MẪU S 2x

(Sampling Distribution Of The Sample Variance)

Phân phối mẫu của phương sai mẫu là phân phối xác suất của phương sai mẫu S 2x

6.3.1 Kỳ vọng của phương sai mẫu E ( S ) 2x

Phương sai mẫu ký hiệu là S2x

Kỳ vọng của phương sai mẫu E(S2x) chính là phương sai của tập hợp chính σ Nói 2X cách khác, phân phối mẫu của (S ) có số trung bình là 2x 2

X

σ E(S ) = 2x 2

X

σ Điều kiện : n < < N

6.3.2 Phương sai của phương sai mẫu

Phương sai của phương sai mẫu được ký hiệu Var(S ) 2x

Var(S ) tùy thuộc vào luật phân phối của tập hợp chính Nếu tập hợp chính tuân 2x theo phân phối chuẩn thì

( )S n2 1

σ

=

6.3.3 Phân phối χ2 (Chi - squared Distribution)

Biến ngẫu nhiên X2 tuân theo luật phân phối χ2 có độ tự do là n (degree of freedom) nếu hàm mật độ xác suất của X2 có dạng

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

≤

>

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ ν Γ

=

−

− ν

0 x neáu

0 0 x neáu e

2

x 2 2

1 x

f

2 x 1 2 2 2

X

2

2

* )

(

Ghi chú :

( )

α

χ2υ,α

∫

=

2

2 2

2 1 2

2

2

( ) 2 / (

1 )

, (

x

dx x v

e

x v p v x P

Người ta lập bảng tính sẵn các giá trị diện tích P(x², ν)

Biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối χ2 với độ tự do là ν được ký hiệu

v

F(χ2)

6.3.4 Luật phân phối của 2

x

2 x

S 1 n σ

− ) (

= χ² n-1

Ta có:

x

2 x

S 1 n σ

− ) (

=

2

X

n 1 i

2

X σ

Nếu tập hợp chính tuân theo luật phân phối chuẩn thì 2

x

2 x

S 1 n σ

− ) (

tuân theo luật phân phối χ² với độ tự do là (n-1)

X ~ N(µx, σ ) => 2x 2

x

2 x

S 1 n σ

− ) (

~ χ²n-1

Thí dụ :

Một nhà sản xuất sữa hộp muốn trọng lượng trung bình của các hộp sữa sản xuất ra phải gần bằng trọng lượng đã được quảng cáo Giả sử phân phối trọng lượng của tập hợp chính tuân theo phân phối chuẩn Nếu lấy ngẫu nhiên 20 hộp đem đi kiểm tra Tìm 2 số K1 và

K2 sao cho :

a) P( 2 1) 0,05

2

=

< K

S

x

x

σ

b) P( 2 2) 0,05

2

=

> K

S

x

x

σ

Giải :

a 0,05 = ( < =

σ2x 1)

2

S

x

2 x

S 1 n σ

− ) (

< (n-1)K1] = P[χ²n-1 < (n-1) K1]

Với cỡ mẫu n =20 và χ²n-1 là biến ngẫu nhiên có độ tự do n-1 = 19 Ta có :

0,05 = P[χ²n-1 <19K1] = P[ χ²19<19K1]

hay 1-0,05 = 0,95= P[χ²n-1 >19K1] = P[χ²19>19K1]

Tra bảng ta có : 19K1 = 10,12

K1 = 0,533

Ý nghĩa : Với xác suất 5%, phương sai của mẫu sẽ nhỏ hơn 53,3% lần phương sai của tập hợp chính

Hay P(S < 0,5332x 2

x

σ ) = 0,05

2 2

K n S n P K

−

>

−

=

n : cỡ mẫu

Tra bảng ta có : 19K2 = 30,14

K2 = 1,586

Ý nghĩa : Với xác suất 5%, phương sai của mẫu sẽ lớn hơn 58.6% phương sai của tập hợp chính

X

P(S >1,586 2x 2

x

σ ) = 0,05